高一数学试卷（人教版）
一、填空题
1．已知log 23=a , log 37=b ，用含a , b 的式子表示log 214= 。 2． 方程lg x =lg 12-lg(x +4) 的解集为 。 3． 设α是第四象限角，tan α=-4． 函数y =
3
，则sin 2α=____________________． 4
2sin x -1的定义域为__________。
5． 函数y =2cos 2x +sin 2x ，x ∈R 的最大值是6． 把-6sin α+2cos α化为A sin(α+φ)(其中A >0, φ∈(0, 2π) ）的形式是 。 7． 函数f (x )=(
1｜cos x ｜
) 在［－π，π］上的单调减区间为__ _。 3
8． 函数y =-2sin(2x +9．
，且
π
3
) 与y 轴距离最近的对称中心的坐标是＿＿＿＿。
，则
。
10. 设函数f(x)是以2为周期的奇函数，且 ，若
4c o s 2) α的值．，则f (
11. 已知函
数，
求
12. 设函数y =sin (ωx +ϕ) ω>0, ϕ∈ -
⎛⎝⎛ππ⎫⎫
, ⎪⎪⎪的最小正周期为π，且其图像关于直线22⎝⎭⎭
⎛π⎫⎛π⎫
, 0⎪对称；(2) 图像关于点 , 0⎪对⎝4⎭⎝3⎭
x =
π
12
对称，则在下面四个结论中：(1)图像关于点
称；(3)在⎢0,
⎡π⎤⎡π⎤
上是增函数；（4）在⎥⎢-6, 0⎥上是增函数，那么所有正确结论的编号为____ 6⎣⎦⎣⎦
二、选择题
13. 已知正弦曲线y =A sin(ωx +φ) ，(A >0，ω>0)上一个最高点的坐标是(2，3) ，由这个
最高点到相邻的最低点，曲线交x 轴于(6，0) 点，则这条曲线的解析式是 ( )
ππ
x +) 84π
(C) y =sin(x +2)
8
(A) y =sin( 14．函数y=sin(2x+
(A) 向左平移(C) 向左平移
π
x -2) 8
ππ
(D) y =sin(x -)
84
(B) y =sin(
π
) 的图象是由函数y=sin2x的图像 （ ） 3
π
单位 35π
单位 6
(B) 向左平移
π
单位2． 65π
单位 6
(D) 向右平移
15. 在三角形△ABC 中, a =36, b =21, A =60, 不解三角形判断三角形解的情况( ).
(A) 一解 （B ） 两解 (C) 无解 (D) 以上都不对 16. 函数f (x )=cos2x +sin(
π
+x ) 是 ( ). 2
(B) 仅有最小值的奇函数
(D) 既有最大值又有最小值的偶函数
(A) 非奇非偶函数 (C) 仅有最大值的偶函数 三、解答题
17．（8分）设函数f (x ) =log 2(x +1), (x >-1) （1）求其反函数f
（2）解方程f
18．（10分）已知
-1
-1
(x ) ；
(x ) =4x -7.
sin x -cos x
=2.
sin x +cos x
（1）求tan x 的值；
（2）若sin x , cos x 是方程x 2-mx +n =0的两个根，求m 2+2n 的值. 19．（
分）已知函数
；
(1).求f(x)的定义域；
(2).写出函数f (x ) 的值域；
(3).求函数f (x ) 的单调递减区间；
20. （12分）设关于的方程(1).求的取值范围； (2).求
的值。
在
内有两相异解，；
21．（12分）我们把平面直角坐标系中，函数y =f (x ), x ∈D 上的点P (x , y )，满足． x ∈N *, y ∈N *的点称为函数y =f (x ) 的“正格点”
⑴请你选取一个m 的值，使对函数f (x ) =sin mx , x ∈R 的图像上有正格点，并写出函数的一个正格点坐标．
⑵若函数f (x ) =sin mx , x ∈R ，m ∈(1,2)与函数g (x ) =lg x 的图像有正格点交点，求m 的值，并写出两个函数图像的所有交点个数．
⑶对于⑵中的m 值，函数f (x ) =sin mx , x ∈⎢0, ⎥时，不等式
9
⎡5⎤⎣⎦
log a x >sin mx 恒成立，求实数a 的取值范围．
高一期末数学试卷答案
1、1+ab 2、{2} 3、-
24π5⎤⎡
4、⎢2k π+, 2k π+π⎥(k ∈Z ) 5
1 2566⎦⎣
ππ
,0］及［, π］ 8、（22
9、
10、
6、 7、［－
11、
12、(２) (４) 13、A 14、B 15、A 16、D
-1
17. 解：（1） f
(x ) =2x -1, (x ∈R ) ；--------------------------------4分
x x
（2）由已知⇒2-1=4-7⇒(2x -3)(2x +2) =0
⇒2x -3=0⇒x =log 23-----------------------------------------------------4分
18. 解： (1)tan x =-3； (2)m =sin x +cos x ,
-----------------------------------------4分
n =sin x ⋅cos x ---------------------------------2分
2tan x 1
=----4分
51+tan 2x
sin x -cos x 21-sin 2x 3
) =4⇒=4⇒sin 2x =-） （另解：已知⇒(
sin x +cos x 1+sin 2x 5⇒m 2+2n =1+4sin x ⋅cos x =1+2sin 2x =1+2⋅
19. 解:(1)f(x)的定义域：
(2).函数f (x ) 的值域：
(3).函数f (x ) 的单调递减区间:
20. 解: (1).由数形结合有：(2). ∵，是方程的两根
∴sin α+cos α+a=0，且sin β+两式相减得：2sin(α+∴α+∵
„„„„„„„„„„„„„6分
cos β+a=0„„„„„„„„„„„„„„„2分
π
3
) =2sin(β+
π
3
) „„„„„„„„„„„„„„„„„
π
3
=2k π+π-(β+
π
3
) ，k ∈Z 或α+
∴
α
+
β
π
3
=2k π+β+
=
π
3
，k ∈Z „„„4分
α
+
β
=
π
3
or
7π
3
=„„„„„„„„„„„„6分
21. 解：（1）若取m =
π
2
时，
正格点坐标(1,1)(5,1), (9,1)等（答案不唯一） （2）作出两个函数图像，
可知函数f (x ) =sin mx , x ∈R ，与函数g (x ) =lg x 的图像有正格点交点只有一个点为
(10,1)，∴2k π+2=10m , m =
m ∈(1,2) 可得m =
9π
． 20
π
4k +1
π, (k ∈Z ) 20
根据图像可知：两个函数图像的所有交点个数为5个． （3）由（2）知f (x ) =sin
9π⎡5⎤x , x ∈⎢0, ⎥， 20⎣9⎦
ⅰ）当a >1时，不等式log a x >sin mx 不能成立
5π2⎛5⎫
ⅱ）当0sin =∴ ⎪
942⎝9⎭
高一数学试卷（人教版）
一、填空题
1．已知log 23=a , log 37=b ，用含a , b 的式子表示log 214= 。 2． 方程lg x =lg 12-lg(x +4) 的解集为 。 3． 设α是第四象限角，tan α=-4． 函数y =
3
，则sin 2α=____________________． 4
2sin x -1的定义域为__________。
5． 函数y =2cos 2x +sin 2x ，x ∈R 的最大值是6． 把-6sin α+2cos α化为A sin(α+φ)(其中A >0, φ∈(0, 2π) ）的形式是 。 7． 函数f (x )=(
1｜cos x ｜
) 在［－π，π］上的单调减区间为__ _。 3
8． 函数y =-2sin(2x +9．
，且
π
3
) 与y 轴距离最近的对称中心的坐标是＿＿＿＿。
，则
。
10. 设函数f(x)是以2为周期的奇函数，且 ，若
4c o s 2) α的值．，则f (
11. 已知函
数，
求
12. 设函数y =sin (ωx +ϕ) ω>0, ϕ∈ -
⎛⎝⎛ππ⎫⎫
, ⎪⎪⎪的最小正周期为π，且其图像关于直线22⎝⎭⎭
⎛π⎫⎛π⎫
, 0⎪对称；(2) 图像关于点 , 0⎪对⎝4⎭⎝3⎭
x =
π
12
对称，则在下面四个结论中：(1)图像关于点
称；(3)在⎢0,
⎡π⎤⎡π⎤
上是增函数；（4）在⎥⎢-6, 0⎥上是增函数，那么所有正确结论的编号为____ 6⎣⎦⎣⎦
二、选择题
13. 已知正弦曲线y =A sin(ωx +φ) ，(A >0，ω>0)上一个最高点的坐标是(2，3) ，由这个
最高点到相邻的最低点，曲线交x 轴于(6，0) 点，则这条曲线的解析式是 ( )
ππ
x +) 84π
(C) y =sin(x +2)
8
(A) y =sin( 14．函数y=sin(2x+
(A) 向左平移(C) 向左平移
π
x -2) 8
ππ
(D) y =sin(x -)
84
(B) y =sin(
π
) 的图象是由函数y=sin2x的图像 （ ） 3
π
单位 35π
单位 6
(B) 向左平移
π
单位2． 65π
单位 6
(D) 向右平移
15. 在三角形△ABC 中, a =36, b =21, A =60, 不解三角形判断三角形解的情况( ).
(A) 一解 （B ） 两解 (C) 无解 (D) 以上都不对 16. 函数f (x )=cos2x +sin(
π
+x ) 是 ( ). 2
(B) 仅有最小值的奇函数
(D) 既有最大值又有最小值的偶函数
(A) 非奇非偶函数 (C) 仅有最大值的偶函数 三、解答题
17．（8分）设函数f (x ) =log 2(x +1), (x >-1) （1）求其反函数f
（2）解方程f
18．（10分）已知
-1
-1
(x ) ；
(x ) =4x -7.
sin x -cos x
=2.
sin x +cos x
（1）求tan x 的值；
（2）若sin x , cos x 是方程x 2-mx +n =0的两个根，求m 2+2n 的值. 19．（
分）已知函数
；
(1).求f(x)的定义域；
(2).写出函数f (x ) 的值域；
(3).求函数f (x ) 的单调递减区间；
20. （12分）设关于的方程(1).求的取值范围； (2).求
的值。
在
内有两相异解，；
21．（12分）我们把平面直角坐标系中，函数y =f (x ), x ∈D 上的点P (x , y )，满足． x ∈N *, y ∈N *的点称为函数y =f (x ) 的“正格点”
⑴请你选取一个m 的值，使对函数f (x ) =sin mx , x ∈R 的图像上有正格点，并写出函数的一个正格点坐标．
⑵若函数f (x ) =sin mx , x ∈R ，m ∈(1,2)与函数g (x ) =lg x 的图像有正格点交点，求m 的值，并写出两个函数图像的所有交点个数．
⑶对于⑵中的m 值，函数f (x ) =sin mx , x ∈⎢0, ⎥时，不等式
9
⎡5⎤⎣⎦
log a x >sin mx 恒成立，求实数a 的取值范围．
高一期末数学试卷答案
1、1+ab 2、{2} 3、-
24π5⎤⎡
4、⎢2k π+, 2k π+π⎥(k ∈Z ) 5
1 2566⎦⎣
ππ
,0］及［, π］ 8、（22
9、
10、
6、 7、［－
11、
12、(２) (４) 13、A 14、B 15、A 16、D
-1
17. 解：（1） f
(x ) =2x -1, (x ∈R ) ；--------------------------------4分
x x
（2）由已知⇒2-1=4-7⇒(2x -3)(2x +2) =0
⇒2x -3=0⇒x =log 23-----------------------------------------------------4分
18. 解： (1)tan x =-3； (2)m =sin x +cos x ,
-----------------------------------------4分
n =sin x ⋅cos x ---------------------------------2分
2tan x 1
=----4分
51+tan 2x
sin x -cos x 21-sin 2x 3
) =4⇒=4⇒sin 2x =-） （另解：已知⇒(
sin x +cos x 1+sin 2x 5⇒m 2+2n =1+4sin x ⋅cos x =1+2sin 2x =1+2⋅
19. 解:(1)f(x)的定义域：
(2).函数f (x ) 的值域：
(3).函数f (x ) 的单调递减区间:
20. 解: (1).由数形结合有：(2). ∵，是方程的两根
∴sin α+cos α+a=0，且sin β+两式相减得：2sin(α+∴α+∵
„„„„„„„„„„„„„6分
cos β+a=0„„„„„„„„„„„„„„„2分
π
3
) =2sin(β+
π
3
) „„„„„„„„„„„„„„„„„
π
3
=2k π+π-(β+
π
3
) ，k ∈Z 或α+
∴
α
+
β
π
3
=2k π+β+
=
π
3
，k ∈Z „„„4分
α
+
β
=
π
3
or
7π
3
=„„„„„„„„„„„„6分
21. 解：（1）若取m =
π
2
时，
正格点坐标(1,1)(5,1), (9,1)等（答案不唯一） （2）作出两个函数图像，
可知函数f (x ) =sin mx , x ∈R ，与函数g (x ) =lg x 的图像有正格点交点只有一个点为
(10,1)，∴2k π+2=10m , m =
m ∈(1,2) 可得m =
9π
． 20
π
4k +1
π, (k ∈Z ) 20
根据图像可知：两个函数图像的所有交点个数为5个． （3）由（2）知f (x ) =sin
9π⎡5⎤x , x ∈⎢0, ⎥， 20⎣9⎦
ⅰ）当a >1时，不等式log a x >sin mx 不能成立
5π2⎛5⎫
ⅱ）当0sin =∴ ⎪
942⎝9⎭