伴随矩阵的性质

编号 2009011118

毕 业 论 文（设 计）

（ 2013 届本科）

论文题目： 伴随矩阵的性质 学 院： 数学与统计学院 专 业： 数学与应用数学 班 级： 09级本科1班 作者姓名： 魏瑞继 指导教师： 俱鹏岳 职称： 副教授 完成日期： 2013 年 4 月 20 日

目 录

陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 .................................. 3 摘要 .................................................................... 4 关键词 .................................................................. 4 0引言 .................................................................. 4 1主要结论 .............................................................. 4

1.1伴随矩阵的基本性质 ............................................... 4 1.2伴随矩阵的特征值与特征向量的性质 ................................. 8 1.3矩阵与其伴随矩阵的关联性质 ....................................... 9 1.4两伴随矩阵间的关系性质 .......................................... 10 2应用举例 ............................................................. 11

例1 ................................................................ 11 例2 ................................................................ 11 结束语 ................................................................. 12 参考文献 ............................................................... 12 致谢 ................................................................... 13

陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明

本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明应用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。

作者签名：

二〇一二年十二月二十日

伴随矩阵的性质

魏瑞继

（陇东学院 数学与统计学院 甘肃 庆阳 745000）

摘要：伴随矩阵是矩阵理论中一个重要的基本概念，我们对几类矩阵的伴随矩阵进行了研究，得到了一些有价值的结论，并给出了部分应用举例. 关键词：伴随矩阵；分块矩阵；正交矩阵；相似矩阵

0引言

伴随矩阵在高等代数中的作用是极其重要的，在关于伴随矩阵的一些性质可以应用到其他矩阵的计算证明中，在这时候就更需要这一方面的知识了，伴随矩阵的内容深入不仅增加了矩阵的内容，也补充了矩阵计算的不足，在矩阵的证明与应用中也得到广泛的推广.

定义1[1] 设矩阵A(aij)nn,将矩阵A的元素aij所在的第i行第j列元素划去后，剩余的

(n1)2个元素按原来的排列顺序组成的n1阶矩阵所确定的行列式称为元素aij的余子式，记为Mij，称(1)ijMij为元素aij的代数余子式，记为Aij，即

Aij= (1)

ij

Mij(i,j=1,2,……,n).

定义2[2] 方阵A(aij)nn的各元素的代数余子式Aij所构成的如下矩阵

A11

A12

A= 

A1n

A21An1A22An2 



A2nAnn

称为矩阵A的伴随矩阵.

1主要结论

1.1伴随矩阵的基本性质

性质1 若A是n阶方阵(n2),那么

nr(A)n

r(A)= 1r(A)n1.

0r(A)n1

证明 （1））设r(A)n,设r(A)n,则A0，AAAE0 由r(A)n知A为可逆矩阵，从而推得A0，即A为零矩阵. 于是A也为零矩阵，与r(A)n矛盾，所以r(A)n;

(2) ）如果r(A)1,则A中至少有一个元素Aij≠0，即A中至少有一个n1 阶子式不为0，故r(A)n1. 而r(A) =1

(3) ）如果r(A)0,即A为零矩阵，而A中元素均为A中的n1阶代数余子式，从而A中的所有n1阶子式全为0，所以r(A)n1;

性质2[4] 若矩阵A为非奇异阵，k为常数（k≠0），则(kA)kn1A. 证明 由A=AA1及(kA)1

11

A可得 k

1

(kA)kA(kA)1knAA1=kn1AA1kn1A.

k

n1

性质3 （1）无论A是奇异阵还是非奇异阵，等式AA（2）设A为n阶方阵，则(A)A

n2

(n2)成立[5];

A[6].

证明 （1）当A是奇异阵时，A0，因为A=AA10为零阵. 所以 AAA10，从而等式AA

n1

(n2)成立.

n

当A是非奇异阵时，A0，由AAAE得AAAEA. 所以 AA

n1

（n2）.

n1

（2）当A≠0时，(A)=(AA1)A(A1)=A

n1

(A1A)A

n2

A.

当A=0时，知r(A)n1，若r(A)n1，则r(A)1n1. 由性质1知r((A))=0,从而(A)=0=A

n2

A

若r(A)n1，则r(A)=0，即A=0 故(A)=0=A

n2

A.

性质4 设A，B为n阶方阵，则(AB)BA. 证明 （1）当A0，B≠0时，由A=AA1可得

(AB)=AB(AB)1ABB1A1BB1AA1BA. （2）当A0，B=0时，令A(x)xEA，B(x)xEB

只要x充分大，A(x)，B(x)都可逆，所以(A(x)B(x))(B(x))(A(x))

上式两端矩阵中的元素都是关于x的多项式，由于两端对应元素相等，所以对应元素是相等的多项式，即上式对任意的x都成立. 特别的取x=0，即得(AB)BA. 推论 设A1,A2,,As均为n阶方阵，则 (A1A2As)AsA2A1.



00A

性质5 设A，B均为n阶可逆矩阵，则有n2B0(1)BA

(1)nAB

. 0

2

0A0B-1AA-1

证明 因为-1=

00B0A

-1

0En

=-1BB00

=E2n En

0A0B-10A

所以可逆，且. =-1B00AB0

又有

0A02B2

=(1)n=(1)nBA B00A

A0A0A0n2

==(1)BA-10B0B0A

2

2

0

由A=AA-1可得

B

-1

B-1 0

0(1)nBAB-10

 ==

n2-1n2

(1)BAA0(1)BA推论 设A，B，C均为n阶可逆矩阵，则有

(1)nAB

 . 0

0 0

C0A

B000



0

02

(1)nBCA

0(n10

2

n

(1)



CB

2

AB0

C

0. 



性质6[4] 若A为n阶方阵，则(AT)(A)T.

证明 (1)当A为非奇异矩阵时，有A≠0，AT=A≠0，AA即AT，A也为非奇异阵.

由A=AA1可得(A)T(AA1)TA(A1)T 又 (AT)=AT(AT)1=A(AT)1

T

因为AT(A1)T=（A1A）=ETE TTT

（A1）（A）所以(AT)1= 即(A)=.

n1

0

a11

a21

(2)当A为奇异阵时，设A= 

an1

a12a22an2

a1na2n，则AT的第i行第j列元素为a，(AT)

ij





ann

的第i行第j列元素为Aij，A的第i行第j列元素为Aji，(A)T的第i行第j列元素为 Aij(i,j=1,2,……,n)， 所以(A)T= (AT).

性质7 (1)设A是n阶非奇异阵，则(A1)(A)1

1

A ; A

1T1TT1

(2)设A是n阶非奇异阵，则(A)(A)A. A证明 (1)由A= AA1得 (A)1(AA1)1

1111

(A)A AA

又(A1)A1(A1)1

1

A A1A. A

所以(A1)(A)1 =



T

1T1

(A)(A)(2)由性质6得 11

(A)(A由(1)得).

T

T

又因为AT(A1)T(A1A)TETE, 所以(AT)1(A1)T

1T-1TT

(A)(A)即(A)(A)

T

1



1

1T1T1T1T11T11

又(A)(A)(A)A(A)A A1T1TT1

所以(A)(A)A. A1.2伴随矩阵的特征值与特征向量的性质

性质8 若A是可逆矩阵，是其特征值，是A的属于特征值的特征向量，则 A的特征值为

A



，是A的属于特征值

A



的特征向量.

证明 因为A是可逆矩阵，所以≠0，在A两边左乘A得

AAA





即 AAA.

A

又AAAE， 所以 AEA 即A1AE

A

A



.

所以



为A的特征值，是A的属于特征值



的特征向量.

性质9 设A是不可逆矩阵，若是A的非零特征值，是A的属于的特征向量， 则是A的属于特征值0的特征向量.

证明 由条件可知A(≠0)，两边左乘A得



A 即AEA. AA

由于A=0，≠0，所以A0 即是A的属于特征值0的特征向量.

推论 设A是不可逆矩阵，若是A的非零特征值，是A的属于的特征向量， 则

是A的属于特征值0的特征向量. 1.3矩阵与其伴随矩阵的关联性质

性质10[7] (1)若A是n阶对称矩阵，那么A也是n阶对称矩阵；

(2)若A是n阶反对称矩阵，那么当n是偶数时，A也是n阶反对称矩阵；当n是奇数时，

A是n阶对称矩阵.

证明 (1)因为A是n阶对称矩阵，所以AT=A. 又(A)T(AT)A，所以A是n阶对称矩阵. (2)因为A是n阶反对称矩阵，所以AT=A. 又(A)T(AT)(A)(1)n1A

当n是偶数时，有(1)n1AA，所以A也是n阶反对称矩阵； 当n是奇数时，有(1)n1AA，即(A)TA，所以A是n阶对称矩阵. 性质11[8] 若A是n阶正定矩阵，则A也是n阶正定矩阵 . 证明 若A正定，则A为对称矩阵，由性质10知A也为对称矩阵. 其次可得A的所有特征值均大于0，由性质8知

A的所有特征值也大于0，即A为正定矩阵.

性质12[9] 若A是正交矩阵，则A也是正交矩阵 . 证明 设A是正交矩阵，则有ATAAATE

又A(A)T= A(AT)(ATA)EEE1E 所以A也是正交矩阵.

性质13 若A是上(下)三角矩阵，则A也是上(下)三角矩阵. 证明 设A=(aij)是上三角矩阵，则当i>j时，有aij=0.

当i

故A也为上三角矩阵.

同理可证，若A是下三角矩阵，则A也为下三角矩阵. 推论 当A是对角矩阵时，A也是对角矩阵. 1.4两伴随矩阵间的关系性质

性质14 若方阵A等价于B，则A等价于B .

证明 因为A等价于B，则存在可逆矩阵P，Q使得PAQB 两边取伴随矩阵得(PAQ)B 即有QAPB.

因为P,Q可逆，所以P，Q也可逆，因此A等价于B. 性质15[10] 若A与B相似，则A与B也相似.

证明 当A可逆时，因为A与B相似，则存在可逆矩阵P，使得P1AP=B. 两边取行列式得AB，所以B也可逆，即P1A1PB1. 上式两边分别乘以A,B得P1AA1PBB1. 即P1APB，所以A与B相似.

性质16 若A与B合同，且A与B可逆，则A与B也合同.

证明 因为A与B合同，所以存在可逆矩阵P，使得PTAPB. 又A与B可逆，上式两边取逆，得 P1A1(PT)1B1 即P1A1(P1)TB1.

令(P1)T=C，则P1CT，所以CTA1CB1. 又由P1A1(P1)TB1得 PAB

所以PACTA1CBB1 即(PC)TA(PC)B. 令Q=PC，则QTAQB

2

2

所以A与B合同.

2应用举例

例1 设A、B、C均为3阶可逆矩阵，且A=3，B=2，C=5

1104005000 A=0120

，B=110，C=050，求0B

110092

001C

解 由性质5的推论可得

0

0A

0(1)93(2)C

0

B

0=0

0(1)935B

0



C

0



(1)9(2)5A

0

000000300000000030000

06C000000000600000 =0

15B

0

=00015150

10A0

000

000301515001010000000010200

0000009000000



100例2 设A=1

30

2

，A是A的伴随矩阵，求(A)T1

. 

25

012

1

00

解 因A=0

13

2214≠0，所以A可逆

1

52

由性质7可得

A

0. 0

0060

00 .

00

0

111TT (A)AA400

00

040

1024 . 12

06103522

结束语

这篇论文在伴随矩阵的基本性质的基础上，较为详细地归纳并讨论了伴随矩阵的性质，尤其是将矩阵与其伴随矩阵的秩之间的关系做成了充要条件，并给出了相应的证明，而关于伴随矩阵秩的其它性质还很多，限于篇幅，在此就不一一赘述.但我的学识有限，所做工作仍有许多不足之处.

参考文献

[1]李明.伴随矩阵秩的研究[J].陕西理工学院学报，2008.6.7-8.

[2]张禾瑞，郝鈵新.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2007.6. 第五版. [3]张禾瑞.高等代数同步辅导及习题全解[M].徐州：中国矿业大学出版社，2008.4.

[4]陈艳凌，许杰.矩阵A的伴随矩阵A的性质[J].齐齐哈尔师范高等专科学校学报，2007年第2期， 2007.2.151-153.

[5]肖翔，许伯生.伴随矩阵的性质[J].上海工程技术大学教育研究，2007.3.52-53.

[6]郑群珍，封平华.伴随矩阵的性质及应用研究[J].河南教育学院学报（自然科学版），第20卷第3期，2011.9.13-14. [7]王航平.伴随矩阵的若干性质[J].中国计量学院学报，2004.3.246-247.

[8]朱焕，关丽杰，范慧玲.有关伴随矩阵的性质[J].高师理科学刊，第28卷 第3期，2008.5.22-23. [9]任化民.伴随矩阵的性质[J].工科数学，第14 卷第1期，1998.2.155-157.

[10]孙红伟.伴随矩阵性质的探讨[J].高等函授学报（自然科学版），第20卷第3期，2006.6.37-38.

The properties of adjoint matrix

WEI Ruiji

（School of Mathematics and Statistics,Longdong University Gansu Qingyang 745000） Abstract: Adjoint matrix is an important basic concepts in matrix theory, we studied the several classes of adjoint matrix of the matrix, obtain some valuable conclusions and give some applied examples.

Key words: Adjoint matrix; Partitioned matrix; Orthogonal matrix; Similar matrix

致谢

我的论文是在我的指导老师俱鹏岳副教授悉心指导下完成的，在论文的选题、资料查询及定稿过程中，给予我无私的帮助和悉心的指导，他的教诲将使我终身受益.

编号 2009011118

毕 业 论 文（设 计）

（ 2013 届本科）

论文题目： 伴随矩阵的性质 学 院： 数学与统计学院 专 业： 数学与应用数学 班 级： 09级本科1班 作者姓名： 魏瑞继 指导教师： 俱鹏岳 职称： 副教授 完成日期： 2013 年 4 月 20 日

目 录

陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 .................................. 3 摘要 .................................................................... 4 关键词 .................................................................. 4 0引言 .................................................................. 4 1主要结论 .............................................................. 4

1.1伴随矩阵的基本性质 ............................................... 4 1.2伴随矩阵的特征值与特征向量的性质 ................................. 8 1.3矩阵与其伴随矩阵的关联性质 ....................................... 9 1.4两伴随矩阵间的关系性质 .......................................... 10 2应用举例 ............................................................. 11

例1 ................................................................ 11 例2 ................................................................ 11 结束语 ................................................................. 12 参考文献 ............................................................... 12 致谢 ................................................................... 13

陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明

本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明应用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。

作者签名：

二〇一二年十二月二十日

伴随矩阵的性质

魏瑞继

（陇东学院 数学与统计学院 甘肃 庆阳 745000）

摘要：伴随矩阵是矩阵理论中一个重要的基本概念，我们对几类矩阵的伴随矩阵进行了研究，得到了一些有价值的结论，并给出了部分应用举例. 关键词：伴随矩阵；分块矩阵；正交矩阵；相似矩阵

0引言

伴随矩阵在高等代数中的作用是极其重要的，在关于伴随矩阵的一些性质可以应用到其他矩阵的计算证明中，在这时候就更需要这一方面的知识了，伴随矩阵的内容深入不仅增加了矩阵的内容，也补充了矩阵计算的不足，在矩阵的证明与应用中也得到广泛的推广.

定义1[1] 设矩阵A(aij)nn,将矩阵A的元素aij所在的第i行第j列元素划去后，剩余的

(n1)2个元素按原来的排列顺序组成的n1阶矩阵所确定的行列式称为元素aij的余子式，记为Mij，称(1)ijMij为元素aij的代数余子式，记为Aij，即

Aij= (1)

ij

Mij(i,j=1,2,……,n).

定义2[2] 方阵A(aij)nn的各元素的代数余子式Aij所构成的如下矩阵

A11

A12

A= 

A1n

A21An1A22An2 



A2nAnn

称为矩阵A的伴随矩阵.

1主要结论

1.1伴随矩阵的基本性质

性质1 若A是n阶方阵(n2),那么

nr(A)n

r(A)= 1r(A)n1.

0r(A)n1

证明 （1））设r(A)n,设r(A)n,则A0，AAAE0 由r(A)n知A为可逆矩阵，从而推得A0，即A为零矩阵. 于是A也为零矩阵，与r(A)n矛盾，所以r(A)n;

(2) ）如果r(A)1,则A中至少有一个元素Aij≠0，即A中至少有一个n1 阶子式不为0，故r(A)n1. 而r(A) =1

(3) ）如果r(A)0,即A为零矩阵，而A中元素均为A中的n1阶代数余子式，从而A中的所有n1阶子式全为0，所以r(A)n1;

性质2[4] 若矩阵A为非奇异阵，k为常数（k≠0），则(kA)kn1A. 证明 由A=AA1及(kA)1

11

A可得 k

1

(kA)kA(kA)1knAA1=kn1AA1kn1A.

k

n1

性质3 （1）无论A是奇异阵还是非奇异阵，等式AA（2）设A为n阶方阵，则(A)A

n2

(n2)成立[5];

A[6].

证明 （1）当A是奇异阵时，A0，因为A=AA10为零阵. 所以 AAA10，从而等式AA

n1

(n2)成立.

n

当A是非奇异阵时，A0，由AAAE得AAAEA. 所以 AA

n1

（n2）.

n1

（2）当A≠0时，(A)=(AA1)A(A1)=A

n1

(A1A)A

n2

A.

当A=0时，知r(A)n1，若r(A)n1，则r(A)1n1. 由性质1知r((A))=0,从而(A)=0=A

n2

A

若r(A)n1，则r(A)=0，即A=0 故(A)=0=A

n2

A.

性质4 设A，B为n阶方阵，则(AB)BA. 证明 （1）当A0，B≠0时，由A=AA1可得

(AB)=AB(AB)1ABB1A1BB1AA1BA. （2）当A0，B=0时，令A(x)xEA，B(x)xEB

只要x充分大，A(x)，B(x)都可逆，所以(A(x)B(x))(B(x))(A(x))

上式两端矩阵中的元素都是关于x的多项式，由于两端对应元素相等，所以对应元素是相等的多项式，即上式对任意的x都成立. 特别的取x=0，即得(AB)BA. 推论 设A1,A2,,As均为n阶方阵，则 (A1A2As)AsA2A1.



00A

性质5 设A，B均为n阶可逆矩阵，则有n2B0(1)BA

(1)nAB

. 0

2

0A0B-1AA-1

证明 因为-1=

00B0A

-1

0En

=-1BB00

=E2n En

0A0B-10A

所以可逆，且. =-1B00AB0

又有

0A02B2

=(1)n=(1)nBA B00A

A0A0A0n2

==(1)BA-10B0B0A

2

2

0

由A=AA-1可得

B

-1

B-1 0

0(1)nBAB-10

 ==

n2-1n2

(1)BAA0(1)BA推论 设A，B，C均为n阶可逆矩阵，则有

(1)nAB

 . 0

0 0

C0A

B000



0

02

(1)nBCA

0(n10

2

n

(1)



CB

2

AB0

C

0. 



性质6[4] 若A为n阶方阵，则(AT)(A)T.

证明 (1)当A为非奇异矩阵时，有A≠0，AT=A≠0，AA即AT，A也为非奇异阵.

由A=AA1可得(A)T(AA1)TA(A1)T 又 (AT)=AT(AT)1=A(AT)1

T

因为AT(A1)T=（A1A）=ETE TTT

（A1）（A）所以(AT)1= 即(A)=.

n1

0

a11

a21

(2)当A为奇异阵时，设A= 

an1

a12a22an2

a1na2n，则AT的第i行第j列元素为a，(AT)

ij





ann

的第i行第j列元素为Aij，A的第i行第j列元素为Aji，(A)T的第i行第j列元素为 Aij(i,j=1,2,……,n)， 所以(A)T= (AT).

性质7 (1)设A是n阶非奇异阵，则(A1)(A)1

1

A ; A

1T1TT1

(2)设A是n阶非奇异阵，则(A)(A)A. A证明 (1)由A= AA1得 (A)1(AA1)1

1111

(A)A AA

又(A1)A1(A1)1

1

A A1A. A

所以(A1)(A)1 =



T

1T1

(A)(A)(2)由性质6得 11

(A)(A由(1)得).

T

T

又因为AT(A1)T(A1A)TETE, 所以(AT)1(A1)T

1T-1TT

(A)(A)即(A)(A)

T

1



1

1T1T1T1T11T11

又(A)(A)(A)A(A)A A1T1TT1

所以(A)(A)A. A1.2伴随矩阵的特征值与特征向量的性质

性质8 若A是可逆矩阵，是其特征值，是A的属于特征值的特征向量，则 A的特征值为

A



，是A的属于特征值

A



的特征向量.

证明 因为A是可逆矩阵，所以≠0，在A两边左乘A得

AAA





即 AAA.

A

又AAAE， 所以 AEA 即A1AE

A

A



.

所以



为A的特征值，是A的属于特征值



的特征向量.

性质9 设A是不可逆矩阵，若是A的非零特征值，是A的属于的特征向量， 则是A的属于特征值0的特征向量.

证明 由条件可知A(≠0)，两边左乘A得



A 即AEA. AA

由于A=0，≠0，所以A0 即是A的属于特征值0的特征向量.

推论 设A是不可逆矩阵，若是A的非零特征值，是A的属于的特征向量， 则

是A的属于特征值0的特征向量. 1.3矩阵与其伴随矩阵的关联性质

性质10[7] (1)若A是n阶对称矩阵，那么A也是n阶对称矩阵；

(2)若A是n阶反对称矩阵，那么当n是偶数时，A也是n阶反对称矩阵；当n是奇数时，

A是n阶对称矩阵.

证明 (1)因为A是n阶对称矩阵，所以AT=A. 又(A)T(AT)A，所以A是n阶对称矩阵. (2)因为A是n阶反对称矩阵，所以AT=A. 又(A)T(AT)(A)(1)n1A

当n是偶数时，有(1)n1AA，所以A也是n阶反对称矩阵； 当n是奇数时，有(1)n1AA，即(A)TA，所以A是n阶对称矩阵. 性质11[8] 若A是n阶正定矩阵，则A也是n阶正定矩阵 . 证明 若A正定，则A为对称矩阵，由性质10知A也为对称矩阵. 其次可得A的所有特征值均大于0，由性质8知

A的所有特征值也大于0，即A为正定矩阵.

性质12[9] 若A是正交矩阵，则A也是正交矩阵 . 证明 设A是正交矩阵，则有ATAAATE

又A(A)T= A(AT)(ATA)EEE1E 所以A也是正交矩阵.

性质13 若A是上(下)三角矩阵，则A也是上(下)三角矩阵. 证明 设A=(aij)是上三角矩阵，则当i>j时，有aij=0.

当i

故A也为上三角矩阵.

同理可证，若A是下三角矩阵，则A也为下三角矩阵. 推论 当A是对角矩阵时，A也是对角矩阵. 1.4两伴随矩阵间的关系性质

性质14 若方阵A等价于B，则A等价于B .

证明 因为A等价于B，则存在可逆矩阵P，Q使得PAQB 两边取伴随矩阵得(PAQ)B 即有QAPB.

因为P,Q可逆，所以P，Q也可逆，因此A等价于B. 性质15[10] 若A与B相似，则A与B也相似.

证明 当A可逆时，因为A与B相似，则存在可逆矩阵P，使得P1AP=B. 两边取行列式得AB，所以B也可逆，即P1A1PB1. 上式两边分别乘以A,B得P1AA1PBB1. 即P1APB，所以A与B相似.

性质16 若A与B合同，且A与B可逆，则A与B也合同.

证明 因为A与B合同，所以存在可逆矩阵P，使得PTAPB. 又A与B可逆，上式两边取逆，得 P1A1(PT)1B1 即P1A1(P1)TB1.

令(P1)T=C，则P1CT，所以CTA1CB1. 又由P1A1(P1)TB1得 PAB

所以PACTA1CBB1 即(PC)TA(PC)B. 令Q=PC，则QTAQB

2

2

所以A与B合同.

2应用举例

例1 设A、B、C均为3阶可逆矩阵，且A=3，B=2，C=5

1104005000 A=0120

，B=110，C=050，求0B

110092

001C

解 由性质5的推论可得

0

0A

0(1)93(2)C

0

B

0=0

0(1)935B

0



C

0



(1)9(2)5A

0

000000300000000030000

06C000000000600000 =0

15B

0

=00015150

10A0

000

000301515001010000000010200

0000009000000



100例2 设A=1

30

2

，A是A的伴随矩阵，求(A)T1

. 

25

012

1

00

解 因A=0

13

2214≠0，所以A可逆

1

52

由性质7可得

A

0. 0

0060

00 .

00

0

111TT (A)AA400

00

040

1024 . 12

06103522

结束语

这篇论文在伴随矩阵的基本性质的基础上，较为详细地归纳并讨论了伴随矩阵的性质，尤其是将矩阵与其伴随矩阵的秩之间的关系做成了充要条件，并给出了相应的证明，而关于伴随矩阵秩的其它性质还很多，限于篇幅，在此就不一一赘述.但我的学识有限，所做工作仍有许多不足之处.

参考文献

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[5]肖翔，许伯生.伴随矩阵的性质[J].上海工程技术大学教育研究，2007.3.52-53.

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[10]孙红伟.伴随矩阵性质的探讨[J].高等函授学报（自然科学版），第20卷第3期，2006.6.37-38.

The properties of adjoint matrix

WEI Ruiji

（School of Mathematics and Statistics,Longdong University Gansu Qingyang 745000） Abstract: Adjoint matrix is an important basic concepts in matrix theory, we studied the several classes of adjoint matrix of the matrix, obtain some valuable conclusions and give some applied examples.

Key words: Adjoint matrix; Partitioned matrix; Orthogonal matrix; Similar matrix

致谢

我的论文是在我的指导老师俱鹏岳副教授悉心指导下完成的，在论文的选题、资料查询及定稿过程中，给予我无私的帮助和悉心的指导，他的教诲将使我终身受益.