山东教育出版社(2006)义务教育课程标准实验教科书数学八年级下册(以下简称“鲁教版(2006)数学八年级下册”)77页“试一试”: 已知:如图1,平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线与AD相交于点P,求证:PD+DC=BC. 这道题的解答过程如下:因为平行四边形ABCD中,AD∥BC,所以∠APB=∠PBC,因为BP平分∠ABC,所以∠ABP=∠PBC,所以∠APB=∠ABP,所以AB=AP……第一步;因为平行四边形ABCD中,AB=CD,BC=AD,所以BC=AD=AP+PD=AB+PD=CD+PD……第二步. 本题实际上是证明“两条较短的线段的和等于一条较长线段”的问题,我们可以简称为“线段和”问题,此题给出了证明“线段和”问题的基本思路:将两条较短线段或较长线段分别用与它们相等的量进行代换,而新的等量关系易于证明. 现行教材中“线段和”问题很多,常用的证明方法有以下三种. 1 从已有条件寻找等量关系,进行等量代换 1.1 “试一试”解答过程有一个基本规律:遇到角平分线和平行线相结合的图形马上得到一个等腰三角形,然后进行等量代换,使命题得证. 这一规律有着广泛的应用. 将“试一试”中平行四边形ABCD的边CD向左平移与AP相交得到: 例1 如图2,在平行四边形ABCD中,如果∠ABC的平分线与AD的延长线相交于点P,猜想PD、DC、BC有何关系?并证明你的结论. (PD+BC=DC) 例2 如图3,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F,过F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E. 求证:BD+EC=DE. 例3 如图4,△ABC中,I是角平分线BE和CF的交点,MN经过I,平行于BC,交AB于点M,交AC于点N. 求证:MN=BM+CN. 例4 如图5,EF是梯形ABCD的中位线,AF平分∠DAB. 求证:AD=2EF(鲁教版(2006)数学八年级下册136页第29题). 这里的“AD=2EF”,可以看作“AD=EF+EF”,先证出AE=EF,因为AD=2AE,所以AD=2EF. 此题还可以改为:如图5,EF是梯形ABCD的中位线,AF平分∠DAB,求证:AB+DC=AD. 改后的题目既具有“线段和”问题的特征,又增加了梯形中位线定理的内容. 1.2 通过全等三角形、等腰直角三角形等知识寻找等量关系,进行等量代换 例5 如图6,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为点E. (1)已知CD=4,求AC的长;(2)求证:AB=AC+CD(鲁教版(2006)数学八年级下册31页例1). 分析 先证出△ACD≌△AED(AAS)得AC=AE,CD=DE,再证△BDE为等腰直角三角形得DE=BE,所以CD=BE,所以AB=AE+BE=AC+CD. 例6 如图7,正方形ABCD中,E是对角线AC上一点,且AE=AB,EF⊥AC交BC于F,求证:AB+BF=AC. 例7 如图8,E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点,AM⊥EF,垂足为M,AM=AB,求证:EF=BE+DF. 证明 连结AE、AF,分别证△ABE≌△AME(HL)和△ADF≌△AMF(HL)得BE=EM,DF=MF,所以EF=EM+MF=BE+DF. 例6是将例5放到正方形ABCD中,等腰直角三角形ABC变成了隐含条件,例7则是将例6进一步改编,通过两组全等三角形找到等量关系,进行等量代换. 2 利用截长补短法,构造等量关系,进行等量代换 将例5去掉条件“DE⊥AB”成为: 例8 已知AB是等腰直角三角形ABC的斜边,AD是角平分线,求证AC+CD=AB. 证法1 如图9,过点D作DE⊥AB于E,就成为上面的例5的第(2)问,这种方法是将较长线段AB截成了AE和BE两段,然后证明这两段分别和等号左边的AC和CD相等,从而命题得证. 我们称这种方法为“截长法”. 证法2 如图10,延长AC至F,使AF=AB,连结FD,先证出△AFD≌△ABD(SAS),得∠F=∠B=45°,再通过△CDF是等腰直角三角形得CF=CD. 所以AC+CD=AC+CF=AF=AB,这种方法是将一条较短线段AC补了一块CF后与较长线段AB相等,再证所补的线段CF恰好等于另一条较短线段CD,从而命题得证. 我们称这种方法为“补短法”,在证明“线段和”问题时,如果不能直接找出等量关系,可考虑用“截长法”或用“补短法”构造等量关系,进行等量代换. 本例中由于∠C=90°,∠B=45°所以∠C=2∠B,即其中一个角是另一个角的2倍,将此题扩展为一般形式得: 例9 △ABC中,∠B=2∠C,AD是角平分线,求证:AB+BD=AC. 证明 (1)截长法:如图11,在AC上截取AE=AB,连结DE,先证△ABD≌△AED(SAS)得BD=DE,∠B=∠AED,再由∠AED=∠B=2∠C,证出∠EDC=∠C,所以BD=DE=EC,所以AB+BD=AE+EC=AC. (2)补短法:如图12,延长AB至F,使AF=AC,先证△AFD≌△ACD(SAS)得∠F=∠C,再证∠F=∠BDF,所以BF=BD,所以AB+BD=AB+BF=AF=AC. 将例9中的条件“AD是角平分线”改为“AD是高”,便成为: 例10 如图13,△ABC中,∠B=2∠C,AD是高. 求证:AB+BD=CD. 分析 (1)用截长法:在DC上截取DE=BD,连结AE;(2)用补短法:延长DB至F,使DF=DC证明过程略. 图13例11 在△ABC中,AB=AC,CD是边AB上的高,M是BC上任意一点,ME⊥AB,MF⊥AC,垂足分别是点E、F求证:ME+MF=CD(鲁教版(2006)数学八年级下册136页30题(1)). 证明 (1)截长法:如图14,过点M作MG⊥CD交CD于G,先证四边形DEMG是矩形得DG=EM,再证△MGC≌△CFM(AAS)得MF=CG,所以ME+MF=DG+CG=DC.(2)补短法:如图15,过点C作CH⊥EM交EM延长线于H,先证四边形DEHC是矩形得EH=DC,再证△CHM≌△CFM(AAS)得MF=MH,所以ME+MF=ME+MH=EH=DC. 将例11的条件“△ABC”改为“梯形ABCD”变为: 例12 如图16,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,P为BC上任一点,PE⊥AB,PG⊥CD,CF⊥AB求证:PE+PG=CF. 证明方法同例11. 例13 如图17,△ABC中,AB=AC,∠A=90°,∠ACB的平分线CD交AB于点E,∠BDC=90°,求证:CE=2BD(鲁教版(2006)数学八年级下册134页第10题). 分析 采用补短法,可将结论看作是CE=BD+BD. 延长BD交CA的延长线于点F,分别证明△CEA≌△BFA(ASA)和△BDC≌△FDC(ASA)得CE=BF,BD=DF,所以CE=BF=BD+DF=2BD. 例14 如图18,梯形ABCD中,AB∥DC,E是腰AD的中点,且BE⊥CE求证:AB+DC=BC. 证明 采用补短法,延长CE交BA的延长线于点F,通过全等三角形证出DC=AF,BF=BC,所以AB+DC=AB+AF=BF=BC. 例15 如图19,E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,并且AF平分∠EAD,求证:BE+DF=AE. 分析 采用补短法,延长EB至G,使BG=DF通过全等三角形证出DF=BG,再证明∠GAE=∠BAF=∠AFD=∠G,所以AE=GE,所以BE+DF=BE+BG=GE=AE. 例8~例12都可以用“截长法”和“补短法”两种方法解答,但是例13~例15由于条件所限或考虑解答的难易程度,适宜采用一种方法解答. 因此用“截长补短”法证明“线段和”问题,应根据具体问题具体分析,灵活选用. 3 面积证法 有的“线段和”问题用上述两种思路解答不出来时,还可以考虑采用面积证法,往往起到“事半功倍”的效果. 作者简介:杨永利,男,1975年3月生,山东文登人.中教一级. 主要研究方向为:初中数学课堂教学改革、教材教法、思路方法技巧. 2007年10开始参与两项威海地级课题《家庭教育研究》、《推行赏识化教学,构建生命化课堂》研究,承担重要研究工作. 发表论文多篇. “本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
山东教育出版社(2006)义务教育课程标准实验教科书数学八年级下册(以下简称“鲁教版(2006)数学八年级下册”)77页“试一试”: 已知:如图1,平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线与AD相交于点P,求证:PD+DC=BC. 这道题的解答过程如下:因为平行四边形ABCD中,AD∥BC,所以∠APB=∠PBC,因为BP平分∠ABC,所以∠ABP=∠PBC,所以∠APB=∠ABP,所以AB=AP……第一步;因为平行四边形ABCD中,AB=CD,BC=AD,所以BC=AD=AP+PD=AB+PD=CD+PD……第二步. 本题实际上是证明“两条较短的线段的和等于一条较长线段”的问题,我们可以简称为“线段和”问题,此题给出了证明“线段和”问题的基本思路:将两条较短线段或较长线段分别用与它们相等的量进行代换,而新的等量关系易于证明. 现行教材中“线段和”问题很多,常用的证明方法有以下三种. 1 从已有条件寻找等量关系,进行等量代换 1.1 “试一试”解答过程有一个基本规律:遇到角平分线和平行线相结合的图形马上得到一个等腰三角形,然后进行等量代换,使命题得证. 这一规律有着广泛的应用. 将“试一试”中平行四边形ABCD的边CD向左平移与AP相交得到: 例1 如图2,在平行四边形ABCD中,如果∠ABC的平分线与AD的延长线相交于点P,猜想PD、DC、BC有何关系?并证明你的结论. (PD+BC=DC) 例2 如图3,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F,过F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E. 求证:BD+EC=DE. 例3 如图4,△ABC中,I是角平分线BE和CF的交点,MN经过I,平行于BC,交AB于点M,交AC于点N. 求证:MN=BM+CN. 例4 如图5,EF是梯形ABCD的中位线,AF平分∠DAB. 求证:AD=2EF(鲁教版(2006)数学八年级下册136页第29题). 这里的“AD=2EF”,可以看作“AD=EF+EF”,先证出AE=EF,因为AD=2AE,所以AD=2EF. 此题还可以改为:如图5,EF是梯形ABCD的中位线,AF平分∠DAB,求证:AB+DC=AD. 改后的题目既具有“线段和”问题的特征,又增加了梯形中位线定理的内容. 1.2 通过全等三角形、等腰直角三角形等知识寻找等量关系,进行等量代换 例5 如图6,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为点E. (1)已知CD=4,求AC的长;(2)求证:AB=AC+CD(鲁教版(2006)数学八年级下册31页例1). 分析 先证出△ACD≌△AED(AAS)得AC=AE,CD=DE,再证△BDE为等腰直角三角形得DE=BE,所以CD=BE,所以AB=AE+BE=AC+CD. 例6 如图7,正方形ABCD中,E是对角线AC上一点,且AE=AB,EF⊥AC交BC于F,求证:AB+BF=AC. 例7 如图8,E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点,AM⊥EF,垂足为M,AM=AB,求证:EF=BE+DF. 证明 连结AE、AF,分别证△ABE≌△AME(HL)和△ADF≌△AMF(HL)得BE=EM,DF=MF,所以EF=EM+MF=BE+DF. 例6是将例5放到正方形ABCD中,等腰直角三角形ABC变成了隐含条件,例7则是将例6进一步改编,通过两组全等三角形找到等量关系,进行等量代换. 2 利用截长补短法,构造等量关系,进行等量代换 将例5去掉条件“DE⊥AB”成为: 例8 已知AB是等腰直角三角形ABC的斜边,AD是角平分线,求证AC+CD=AB. 证法1 如图9,过点D作DE⊥AB于E,就成为上面的例5的第(2)问,这种方法是将较长线段AB截成了AE和BE两段,然后证明这两段分别和等号左边的AC和CD相等,从而命题得证. 我们称这种方法为“截长法”. 证法2 如图10,延长AC至F,使AF=AB,连结FD,先证出△AFD≌△ABD(SAS),得∠F=∠B=45°,再通过△CDF是等腰直角三角形得CF=CD. 所以AC+CD=AC+CF=AF=AB,这种方法是将一条较短线段AC补了一块CF后与较长线段AB相等,再证所补的线段CF恰好等于另一条较短线段CD,从而命题得证. 我们称这种方法为“补短法”,在证明“线段和”问题时,如果不能直接找出等量关系,可考虑用“截长法”或用“补短法”构造等量关系,进行等量代换. 本例中由于∠C=90°,∠B=45°所以∠C=2∠B,即其中一个角是另一个角的2倍,将此题扩展为一般形式得: 例9 △ABC中,∠B=2∠C,AD是角平分线,求证:AB+BD=AC. 证明 (1)截长法:如图11,在AC上截取AE=AB,连结DE,先证△ABD≌△AED(SAS)得BD=DE,∠B=∠AED,再由∠AED=∠B=2∠C,证出∠EDC=∠C,所以BD=DE=EC,所以AB+BD=AE+EC=AC. (2)补短法:如图12,延长AB至F,使AF=AC,先证△AFD≌△ACD(SAS)得∠F=∠C,再证∠F=∠BDF,所以BF=BD,所以AB+BD=AB+BF=AF=AC. 将例9中的条件“AD是角平分线”改为“AD是高”,便成为: 例10 如图13,△ABC中,∠B=2∠C,AD是高. 求证:AB+BD=CD. 分析 (1)用截长法:在DC上截取DE=BD,连结AE;(2)用补短法:延长DB至F,使DF=DC证明过程略. 图13例11 在△ABC中,AB=AC,CD是边AB上的高,M是BC上任意一点,ME⊥AB,MF⊥AC,垂足分别是点E、F求证:ME+MF=CD(鲁教版(2006)数学八年级下册136页30题(1)). 证明 (1)截长法:如图14,过点M作MG⊥CD交CD于G,先证四边形DEMG是矩形得DG=EM,再证△MGC≌△CFM(AAS)得MF=CG,所以ME+MF=DG+CG=DC.(2)补短法:如图15,过点C作CH⊥EM交EM延长线于H,先证四边形DEHC是矩形得EH=DC,再证△CHM≌△CFM(AAS)得MF=MH,所以ME+MF=ME+MH=EH=DC. 将例11的条件“△ABC”改为“梯形ABCD”变为: 例12 如图16,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,P为BC上任一点,PE⊥AB,PG⊥CD,CF⊥AB求证:PE+PG=CF. 证明方法同例11. 例13 如图17,△ABC中,AB=AC,∠A=90°,∠ACB的平分线CD交AB于点E,∠BDC=90°,求证:CE=2BD(鲁教版(2006)数学八年级下册134页第10题). 分析 采用补短法,可将结论看作是CE=BD+BD. 延长BD交CA的延长线于点F,分别证明△CEA≌△BFA(ASA)和△BDC≌△FDC(ASA)得CE=BF,BD=DF,所以CE=BF=BD+DF=2BD. 例14 如图18,梯形ABCD中,AB∥DC,E是腰AD的中点,且BE⊥CE求证:AB+DC=BC. 证明 采用补短法,延长CE交BA的延长线于点F,通过全等三角形证出DC=AF,BF=BC,所以AB+DC=AB+AF=BF=BC. 例15 如图19,E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,并且AF平分∠EAD,求证:BE+DF=AE. 分析 采用补短法,延长EB至G,使BG=DF通过全等三角形证出DF=BG,再证明∠GAE=∠BAF=∠AFD=∠G,所以AE=GE,所以BE+DF=BE+BG=GE=AE. 例8~例12都可以用“截长法”和“补短法”两种方法解答,但是例13~例15由于条件所限或考虑解答的难易程度,适宜采用一种方法解答. 因此用“截长补短”法证明“线段和”问题,应根据具体问题具体分析,灵活选用. 3 面积证法 有的“线段和”问题用上述两种思路解答不出来时,还可以考虑采用面积证法,往往起到“事半功倍”的效果. 作者简介:杨永利,男,1975年3月生,山东文登人.中教一级. 主要研究方向为:初中数学课堂教学改革、教材教法、思路方法技巧. 2007年10开始参与两项威海地级课题《家庭教育研究》、《推行赏识化教学,构建生命化课堂》研究,承担重要研究工作. 发表论文多篇. “本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”