四边形的综合题
1、已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以
AD为边做正方形ADEF，连接CF
（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关
系；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；
①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
②若正方形ADEF的边长为2 2，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．
2、如图，正方形ABCD的边长是3，点P是直线BC上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得
到线段PE，在直线BA上取点F，使BF=BP，且点F与点E在BC同侧，连接EF，CF．
（1）如图 ，当点P在CB延长线上时，求证：四边形PCFE是平行四边形；
（2）如图 ，当点P在线段BC上时，四边形PCFE是否还是平行四边形，说明理由；
（3）在（2）的条件下，四边形PCFE的面积是否有最大值？若有，请求出面积的最大值及此时BP长；若
没有，请说明理由．
3、某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
（1）操作发现：在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，
如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是 （填序号即可）
①AF=AG=1AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME． 2
（2）数学思考：在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所
示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量关系？请给出证明过程；
（3）类比探究：
（i）在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是
BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答： ．
（ii）在三边互不相等的△ABC中（见备用图），仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作（非等腰）直角三角形ABD和（非等腰）直角三角形ACE，M是BC的中点，连接MD和ME，要使（2）中的结论此时仍
然成立，你认为需增加一个什么样的条件？（限用题中字母表示）并说明理由．
∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想AM与AB之间的数量关系．并证明你的猜想．
5、如图1，正方形ABCD中，点E、F分别在边DC、AD上，且AE⊥BF于G．
（1）求证：BF=AE；
（2）如图2，当点E在DC延长线上，点F在AD延长线上时，（1）中结论是否成立？（直接写结论）
（3）在图2中，若点M、N、P、Q分别为四边形AFEB四条边AF、EF、EB、AB的中点，且AF：AD=4：3，求S四边形MNPQ：S正方形ABCD．
四边形的综合题
1、已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以
AD为边做正方形ADEF，连接CF
（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关
系；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；
①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
②若正方形ADEF的边长为2 2，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．
2、如图，正方形ABCD的边长是3，点P是直线BC上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得
到线段PE，在直线BA上取点F，使BF=BP，且点F与点E在BC同侧，连接EF，CF．
（1）如图 ，当点P在CB延长线上时，求证：四边形PCFE是平行四边形；
（2）如图 ，当点P在线段BC上时，四边形PCFE是否还是平行四边形，说明理由；
（3）在（2）的条件下，四边形PCFE的面积是否有最大值？若有，请求出面积的最大值及此时BP长；若
没有，请说明理由．
3、某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
（1）操作发现：在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，
如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是 （填序号即可）
①AF=AG=1AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME． 2
（2）数学思考：在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所
示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量关系？请给出证明过程；
（3）类比探究：
（i）在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是
BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答： ．
（ii）在三边互不相等的△ABC中（见备用图），仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作（非等腰）直角三角形ABD和（非等腰）直角三角形ACE，M是BC的中点，连接MD和ME，要使（2）中的结论此时仍
然成立，你认为需增加一个什么样的条件？（限用题中字母表示）并说明理由．
∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想AM与AB之间的数量关系．并证明你的猜想．
5、如图1，正方形ABCD中，点E、F分别在边DC、AD上，且AE⊥BF于G．
（1）求证：BF=AE；
（2）如图2，当点E在DC延长线上，点F在AD延长线上时，（1）中结论是否成立？（直接写结论）
（3）在图2中，若点M、N、P、Q分别为四边形AFEB四条边AF、EF、EB、AB的中点，且AF：AD=4：3，求S四边形MNPQ：S正方形ABCD．