2015年江西省中考数学冲刺卷(3)
说明：本卷共有六个大题，24个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟.
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项. 1．－6的绝对值是（ ）．
11
A ．－6 B ．6 C D ．
66
2．如图，图中的几何体是圆柱沿竖直方向切掉一半后得到的，则该几何体的左视图是（ ）．
3．下列运算正确的是（ ）． A ．2x +3y =5xy C ．a -(a -b ) =-b
B ．a 3-a 2=a
D ．（a -1）(a +2) =a 2+a -2
4．已知一元二次方程 x 2 + x ─ 1 = 0，下列判断正确的是（ ）． A . 该方程有两个相等的实数根 B . 该方程有一个根为1 C . 该方程没有实数根 D . 该方程有一个根为负数
5．如图，□ABCD 中，∠C =120°，AB =AE =5， AC 与BD 交于点F ，AF =2EF ，则BC 的长为（ ）．
A ．6 B ．8 C ．10 D ．12
6．已知y =
ax
2+bx
的图象如图所示，则y =ax -b 的图象一定过（ ）． A ．第一、二、三象限 C ．第二、三、四象限
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 7．计算：2-7=． 8．函数y =
B ．第一、二、四象限 D ．第一、三、四象限
x +3
自变量的取值范围是． x
9．有一组数据：30，10， 50， 70，50．它们的中位数是
10．如图，点B 是AD 的延长线上一点，DE ∥AC ，AE 平分∠CAB ，∠C =50︒，∠E =30︒，则∠CDA 的度数等于 ．
11．n 边形的一条对角线，将这个n 边形分成内角和分别为180°和720°的两个多边形，则
n
12．如图，直线l 与⊙O 相切于点C ，A 、B 、D 均在⊙O 上，OA ∥l ，∠BDC =85°，则∠
BAO 的度数为
13．已知P 1（x 1，2），P 2（x 2，3）是同一个反比例函数图象上的两点，若则这个反比例函数的表达式为 ．
14．如图，五边形ABCDE 中，AB=BC=CD=AE=2，∠A =∠B =∠BCD =120°，点P 在五边形上，若∠CPD =30°，则CP 的长为 ． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 15．已知x -1=
16．如图，矩形ABCD 中，点E 在BC 上，AE=CE，试分别在下列两个图中按要求使用无
刻度的直尺画图．
（1）在图1中，画出∠DAE 的平分线； （2）在图2中，画出∠AEC 的平分线．
111+=，x 1x 23
2，求代数式(x +1) 2-2(x +1) +1的值．
17．如图所示，有一电路AB 是由图示的开关控制，同时闭合a ，b ，c ，d 四个开关中的任
意两个开关，求使电路形成通路的概率.
18．某地出租车公司规定：出租车起步价（含燃油费）允许行驶的最远路程为1.5千米，超
过1.5千米的部分按每千米另收费. 小张说：“我乘这种出租车行驶了10.5千米，付了25.7元”；老刘说：“我花51元钱乘这种出租车行驶了21.5千米”.
试求这种出租车的起步价（含燃油费）是多少元？以及超过1.5千米后，每千米收费是多少元？
四、（本大题共4小题，每小题8分，共32分）
19．如图，已知A(n，-2) ，B(1，4) 是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=两个交点，直线AB 与y 轴交于点C ． (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)求△AOC 的面积； (3)求不等式kx +b －
m
的图象的x
m
a
20．如图，一书架上的方格中放置四本厚度和长度相同的书，其中左边两本书紧贴书架方格内侧竖放，右边两本书自然向左斜放，支撑点为C ，E ，右侧书角正好靠在方格内侧上，若书架方格长BF =40，∠DCE =30°．
（1）设一本书的厚度为，则EF
（2）若书的长度AB =20cm ，求一本书的厚度（精确到0.1cm ，可用科学计算器）． （参考数据：2=1. 414，=1. 732）
21．某校为了了解初中各年级学生每天的平均睡眠时间（单位：h ，精确到1h ），抽样调查了部分学生，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图．
请你根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）求出扇形统计图中百分数a 的值为 ，所抽查的学生人数为 ； （2）求出平均睡眠时间为8小时的人数，并补全频数直方图； （3）求出这部分学生的平均睡眠时间的众数和平均数；
（4）如果该校共有学生1200名，请你估计睡眠不足（少于8小时）的学生数.
0) ，22．如图，将△AOB 置于平面直角坐标系中，其中点O 为坐标原点，点A 的坐标为(3，∠ABO =60．
（1）若△AOB 的外接圆与y 轴交于点D ，求D 点坐标；
，0) ，试猜想过D ，C 的直线与△AOB 的外接圆的位置关系，并（2）若点C 的坐标为(-1
加以说明．
五、（本大题共10分）
23．如图，抛物线y =x 2+bx +3顶点为P ，且与坐标轴交于A ，B 两点，点A 在x 轴的负半轴上，点B 在y 轴的正半轴上，tan ∠ABO =
1
． 3
（1）求抛物线的对称轴和函数的最小值；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点D ，使△ABD 为直角三角形? 如果存在，求点D 的坐标；如果不存在，说明理由．
六、（本大题共12分）
24．如图1所示，△ABC 中，∠ACB =90°，AC=8，BC=6，D 为AB 的中点．如图2所示，将△ACD 沿射线AD 方向平移，得到△A′C′D′ 当点D′与点B 重合时，停止平移．在平移过程中，CB 与C′D′交于点E ，A′C′与CD 、CB 分别交于点F 、P ，阴影部分为两个三角形的重叠部分．
（1）在如图2中，猜想FD 与ED ′的数量关系，并证明你的猜想；
（2）设平移距离DD ′=x ，重叠部分面积为y ，请写出y 与x 的函数关系式，以及自变量的取值范围；
（3）对于（2）中的结论，是否存在这样的x 的值，使得阴影部分的面积是原△ABC 面积的
1
；若存在，求此时x 的值；若不存在，说明理由． 4
2015年中考数学冲刺卷（3）参考答案
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项. 1．B 【解析】根据绝对值的定义可直接得到结果为6．
2．A 【解析】圆柱体的左视图为矩形，切去一半应仍为矩形．
3．D 【解析】根据每个选项的特点，应用相应的运算法则，可知只有D 正确． 4．D 【解析】由方程的特点，结合根的判别式可知，方程有两个不相等的实数根，再根据求根公式可得方程的两个根都是无理数，且一个正根和一个负数，故D 正确． 5．C 【解析】 根据条件可知△ABE 是等边三角形，得到BE=5，再由AF =2EF ，利用相似形的性质即可求得BC 长为BE 的2倍．
6．C 【解析】 由已知二次函数的图象，可知a ＜0，b ＞0，故直线y =ax -b 一定过第二、三、四象限．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 7．—5 8．x ≥－3，且x ≠0 9．50 10．70° 11．7 12．50° 13．y =
15
14．2，2，4 x
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
15．解：(x +1) 2-2(x +1) +1=(x +1-1) 2=x 2，„„„„„„„„„„„„„„2分 ∴由x -1=
2，得(x +1) 2-2(x +1) +1=x 2=(2+1) 2=3+22．„„„„6分
16．画对图1得2分，画对图2得4分
17．解：所有等可能结果用树状图表示如下：
„„„„„„„„„„3分
共12种情况，其中能使电路形成通路的有ac , ad , bc , bd , ca , cb , da , db 共八种， 所以使电路形成通路的概率为
82
=. „„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 123
18．解：设起步价是x 元，超过1.5千米后每千米收费y 元，„„„„„„„„„„1分
根据题意得⎨
⎧x +(10. 5-1. 5) y =25. 7
„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分
⎩x +(21. 5-1. 5) y =51
解得 ⎨
⎧x =5
．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分
⎩y =2. 3
答：这种出租车的起步价是5元，超过1.5千米后每千米收费2.3元. „„„6分 四、（本大题共4小题，每小题8分，共32分） 19．解：（1）将B （1，4）代入y =∵A(n，-2) 也在反比例函数y =
m 4
中，得m =4，∴y =．„„„„„„„„1分 x x
4
的图象上， x
∴n =－2．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分 将A(-2，-2) ，B(1，4) 代入一次函数y=kx+b， 得⎨
⎧-2k +b =-2⎧k =2
，解得⎨，
⎩k +b =4⎩b =2
∴y=2x+2．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分 （2）∵当x =0时，y=2，∴OC=2．
1
⨯2⨯2=2．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 2
（3）x ＜-2或0＜x ＜1．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分
∴S ∆AOC =20. 解：（1）
4a „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分 3
（2）∵AB =CE =20cm ，∠DCE =30°，
∴DE =10cm ．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分 由（1）中的结论可得，BF =BD+DE+EF=2a +10+ 化为(6+4) a =90，a ≈7.0cm ．
4a =40，„„„„„„„6分 3
答:书的厚度约为7.0cm ．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分
21．解：（1）45% 60人；„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分 （2）平均睡眠时间为8小时的人数为60×30%=18人，„„„„„„„„„„„„3分
„„„„„„„„„„„„„„„„4分
（3）这部分学生的平均睡眠时间的众数是7小时，„„„„„„„„„„„„„„5分 平均数为
12⨯6+27⨯7+8⨯18+9⨯3
=7.2小时；„„„„„„„„„„„„6分
60
39
×1200=780人．„„„„„„„„„„„„„„8分 60
（4）∵抽取的60名学生中，睡眠时间在8小时以下的有12+27=39人， ∴1200名学生中睡眠不足的有
22．解：（1）连结AD ，则∠ADO ＝∠B ＝600, „„„„„„„„„„„„„„„„„1分
0) ， 在Rt △ADO 中，∠ADO ＝600，点A 的坐标为(3，
∴OD ＝OA ÷tan ∠ODA ＝3÷＝．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分 ∴D 点的坐标是（0，）．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分 （2）猜想是CD 与圆相切，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分 ∴∠AOD 是直角，∴AD 是圆的直径．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分
，0) ， 又∵若点C 的坐标为(-1
∴tan ∠CDO=
CO
=, ∠CDO ＝300．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分 OD
∴∠CDA=∠CDO+∠ADO=900，即CD ⊥AD ．
∴CD 切外接圆于点D ．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分 五、（本大题共10分）
3) ，OB =3． ·23．解：（1）令x =0，则y =3．∴B 点坐标为(0，································ 1分
tan ∠AOB =
OA OA 1
==， AB 33
∴AO =1．由点A 在x 轴的负半轴上，得A 点坐标为(-1，0) ． ···································· 2分
∴0=(-1) 2+b (-1) +3，解得b =4．
···································································· 3分 ∴所求的抛物线解析式为y =x 2+4x +3． ·配方，得y =(x +2) -1．
2
∴其对称轴为x =-2． ······································································································ 4分 且函数的最小值为－1． ····································································································· 5分 （3）存在这样的点D ，使△ABD 为直角三角形．„„„„„„„„„„„„„„„„6分 如图，设点D 的坐标为（-2，a ），对称轴与x 轴的交点为E （-2，0）．
过点B 作BF 与对称轴垂直，垂足为F ， 则有BF =2，DE =a ，OE =1，DF =3－a ．
2
∴DA=a 2+1，BD =(3-a ) +4=
a 2-6a +13，AB =．
在图1中，若∠DAB=90°，
22222
则有BD =AD +AB ，a -6a +13=a +1+10，解得a =
1
；„„„„„„7分 3
在图2中，若∠ADB=90°，
22222
则有BD +AD =AB ，a -6a +13+a +1=10，解得a =1或2；„„„„„8分
在图3中，若∠DBA=90°，
AD 2=BD 2+AB 2，a 2+1=a 2-6a +13+10，解得a =
综上可知，存在这样的点D ，使△ABD 为直角三角形， 且点D 的坐标为（-2，
11
．„„„„„„„„9分 3
111），（-2，1），（-2，2），（-2，）．„„„„„„„„„„10分 33
六、（本大题共12分） 24．（1）FD 与ED ′．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分 ∵CD ∥C ′D ′，∴∠2=∠C ′=∠1，∠5=∠C . 又因为∠ACB =90︒，CD 是斜边上的中线，
∴在图1中，DC =DA =DB ，即在图2中，C ′D ′=AD ′．
∴∠B =∠C =∠5，∠A ′=∠C ′=∠2．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分 ∴A ′D =DF ，B D′=ED ′．
由△ACD 沿射线AD 方向平移，得到△A′C′D′，可知A ′D =D′ B．
∴DF =ED ′．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分
（2）因为在Rt ∆ABC 中，AC =8, BC =6，
∴AB =10.
即AD ′=C ′D ′=CD =DB =5．
又∵DD ′=x ，
∴A ′D =DF =D ′E =D ′B =5－x ．∴CF=C′E= x．„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分 在△BCD 中，点C 到BD 的距离就是∆ABC 的AB 边上的高，为24. 5
设△EBD′ 的边BD ′边上的高为h ，由D′E，得△E D′ B∽△CDB ， 24(5-x ) h 5-x , h =. =255
5
112/(5-x ) 2. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 ∴S ∆ED /B =⨯BD ⨯h =225∴
又∵∠A ′+∠B =90°, ∴∠A ′PB =90°.
又∵∠C =∠B ，∴sin B =sin C =
∴CP =43, cos B =cos C =. 5534x , PF =x . 55
162x . „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分 ∴S ∆CPF =⨯PC ⋅PF =225
11262(5-x ) 2-x . 即y =S ∆CDB -S ∆CFP -S ∆ED /B =S ∆ABC -22525
18224x +x (0≤x ≤5) . „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„9分 所以y =-255
（1） 存在. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分
（2） 当y =11824S ∆ABC 时，即-x 2+x =6, 4255
52整理，得3x -20x +25=0. 解得，x 1=, x 2=5. 3
51即当x =或x =5时，重叠部分的面积等于原∆ABC 面积的. „„„„„„„„12分 34
2015年江西省中考数学冲刺卷(3)
说明：本卷共有六个大题，24个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟.
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项. 1．－6的绝对值是（ ）．
11
A ．－6 B ．6 C D ．
66
2．如图，图中的几何体是圆柱沿竖直方向切掉一半后得到的，则该几何体的左视图是（ ）．
3．下列运算正确的是（ ）． A ．2x +3y =5xy C ．a -(a -b ) =-b
B ．a 3-a 2=a
D ．（a -1）(a +2) =a 2+a -2
4．已知一元二次方程 x 2 + x ─ 1 = 0，下列判断正确的是（ ）． A . 该方程有两个相等的实数根 B . 该方程有一个根为1 C . 该方程没有实数根 D . 该方程有一个根为负数
5．如图，□ABCD 中，∠C =120°，AB =AE =5， AC 与BD 交于点F ，AF =2EF ，则BC 的长为（ ）．
A ．6 B ．8 C ．10 D ．12
6．已知y =
ax
2+bx
的图象如图所示，则y =ax -b 的图象一定过（ ）． A ．第一、二、三象限 C ．第二、三、四象限
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 7．计算：2-7=． 8．函数y =
B ．第一、二、四象限 D ．第一、三、四象限
x +3
自变量的取值范围是． x
9．有一组数据：30，10， 50， 70，50．它们的中位数是
10．如图，点B 是AD 的延长线上一点，DE ∥AC ，AE 平分∠CAB ，∠C =50︒，∠E =30︒，则∠CDA 的度数等于 ．
11．n 边形的一条对角线，将这个n 边形分成内角和分别为180°和720°的两个多边形，则
n
12．如图，直线l 与⊙O 相切于点C ，A 、B 、D 均在⊙O 上，OA ∥l ，∠BDC =85°，则∠
BAO 的度数为
13．已知P 1（x 1，2），P 2（x 2，3）是同一个反比例函数图象上的两点，若则这个反比例函数的表达式为 ．
14．如图，五边形ABCDE 中，AB=BC=CD=AE=2，∠A =∠B =∠BCD =120°，点P 在五边形上，若∠CPD =30°，则CP 的长为 ． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 15．已知x -1=
16．如图，矩形ABCD 中，点E 在BC 上，AE=CE，试分别在下列两个图中按要求使用无
刻度的直尺画图．
（1）在图1中，画出∠DAE 的平分线； （2）在图2中，画出∠AEC 的平分线．
111+=，x 1x 23
2，求代数式(x +1) 2-2(x +1) +1的值．
17．如图所示，有一电路AB 是由图示的开关控制，同时闭合a ，b ，c ，d 四个开关中的任
意两个开关，求使电路形成通路的概率.
18．某地出租车公司规定：出租车起步价（含燃油费）允许行驶的最远路程为1.5千米，超
过1.5千米的部分按每千米另收费. 小张说：“我乘这种出租车行驶了10.5千米，付了25.7元”；老刘说：“我花51元钱乘这种出租车行驶了21.5千米”.
试求这种出租车的起步价（含燃油费）是多少元？以及超过1.5千米后，每千米收费是多少元？
四、（本大题共4小题，每小题8分，共32分）
19．如图，已知A(n，-2) ，B(1，4) 是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=两个交点，直线AB 与y 轴交于点C ． (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)求△AOC 的面积； (3)求不等式kx +b －
m
的图象的x
m
a
20．如图，一书架上的方格中放置四本厚度和长度相同的书，其中左边两本书紧贴书架方格内侧竖放，右边两本书自然向左斜放，支撑点为C ，E ，右侧书角正好靠在方格内侧上，若书架方格长BF =40，∠DCE =30°．
（1）设一本书的厚度为，则EF
（2）若书的长度AB =20cm ，求一本书的厚度（精确到0.1cm ，可用科学计算器）． （参考数据：2=1. 414，=1. 732）
21．某校为了了解初中各年级学生每天的平均睡眠时间（单位：h ，精确到1h ），抽样调查了部分学生，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图．
请你根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）求出扇形统计图中百分数a 的值为 ，所抽查的学生人数为 ； （2）求出平均睡眠时间为8小时的人数，并补全频数直方图； （3）求出这部分学生的平均睡眠时间的众数和平均数；
（4）如果该校共有学生1200名，请你估计睡眠不足（少于8小时）的学生数.
0) ，22．如图，将△AOB 置于平面直角坐标系中，其中点O 为坐标原点，点A 的坐标为(3，∠ABO =60．
（1）若△AOB 的外接圆与y 轴交于点D ，求D 点坐标；
，0) ，试猜想过D ，C 的直线与△AOB 的外接圆的位置关系，并（2）若点C 的坐标为(-1
加以说明．
五、（本大题共10分）
23．如图，抛物线y =x 2+bx +3顶点为P ，且与坐标轴交于A ，B 两点，点A 在x 轴的负半轴上，点B 在y 轴的正半轴上，tan ∠ABO =
1
． 3
（1）求抛物线的对称轴和函数的最小值；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点D ，使△ABD 为直角三角形? 如果存在，求点D 的坐标；如果不存在，说明理由．
六、（本大题共12分）
24．如图1所示，△ABC 中，∠ACB =90°，AC=8，BC=6，D 为AB 的中点．如图2所示，将△ACD 沿射线AD 方向平移，得到△A′C′D′ 当点D′与点B 重合时，停止平移．在平移过程中，CB 与C′D′交于点E ，A′C′与CD 、CB 分别交于点F 、P ，阴影部分为两个三角形的重叠部分．
（1）在如图2中，猜想FD 与ED ′的数量关系，并证明你的猜想；
（2）设平移距离DD ′=x ，重叠部分面积为y ，请写出y 与x 的函数关系式，以及自变量的取值范围；
（3）对于（2）中的结论，是否存在这样的x 的值，使得阴影部分的面积是原△ABC 面积的
1
；若存在，求此时x 的值；若不存在，说明理由． 4
2015年中考数学冲刺卷（3）参考答案
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项. 1．B 【解析】根据绝对值的定义可直接得到结果为6．
2．A 【解析】圆柱体的左视图为矩形，切去一半应仍为矩形．
3．D 【解析】根据每个选项的特点，应用相应的运算法则，可知只有D 正确． 4．D 【解析】由方程的特点，结合根的判别式可知，方程有两个不相等的实数根，再根据求根公式可得方程的两个根都是无理数，且一个正根和一个负数，故D 正确． 5．C 【解析】 根据条件可知△ABE 是等边三角形，得到BE=5，再由AF =2EF ，利用相似形的性质即可求得BC 长为BE 的2倍．
6．C 【解析】 由已知二次函数的图象，可知a ＜0，b ＞0，故直线y =ax -b 一定过第二、三、四象限．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 7．—5 8．x ≥－3，且x ≠0 9．50 10．70° 11．7 12．50° 13．y =
15
14．2，2，4 x
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
15．解：(x +1) 2-2(x +1) +1=(x +1-1) 2=x 2，„„„„„„„„„„„„„„2分 ∴由x -1=
2，得(x +1) 2-2(x +1) +1=x 2=(2+1) 2=3+22．„„„„6分
16．画对图1得2分，画对图2得4分
17．解：所有等可能结果用树状图表示如下：
„„„„„„„„„„3分
共12种情况，其中能使电路形成通路的有ac , ad , bc , bd , ca , cb , da , db 共八种， 所以使电路形成通路的概率为
82
=. „„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 123
18．解：设起步价是x 元，超过1.5千米后每千米收费y 元，„„„„„„„„„„1分
根据题意得⎨
⎧x +(10. 5-1. 5) y =25. 7
„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分
⎩x +(21. 5-1. 5) y =51
解得 ⎨
⎧x =5
．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分
⎩y =2. 3
答：这种出租车的起步价是5元，超过1.5千米后每千米收费2.3元. „„„6分 四、（本大题共4小题，每小题8分，共32分） 19．解：（1）将B （1，4）代入y =∵A(n，-2) 也在反比例函数y =
m 4
中，得m =4，∴y =．„„„„„„„„1分 x x
4
的图象上， x
∴n =－2．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分 将A(-2，-2) ，B(1，4) 代入一次函数y=kx+b， 得⎨
⎧-2k +b =-2⎧k =2
，解得⎨，
⎩k +b =4⎩b =2
∴y=2x+2．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分 （2）∵当x =0时，y=2，∴OC=2．
1
⨯2⨯2=2．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 2
（3）x ＜-2或0＜x ＜1．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分
∴S ∆AOC =20. 解：（1）
4a „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分 3
（2）∵AB =CE =20cm ，∠DCE =30°，
∴DE =10cm ．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分 由（1）中的结论可得，BF =BD+DE+EF=2a +10+ 化为(6+4) a =90，a ≈7.0cm ．
4a =40，„„„„„„„6分 3
答:书的厚度约为7.0cm ．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分
21．解：（1）45% 60人；„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分 （2）平均睡眠时间为8小时的人数为60×30%=18人，„„„„„„„„„„„„3分
„„„„„„„„„„„„„„„„4分
（3）这部分学生的平均睡眠时间的众数是7小时，„„„„„„„„„„„„„„5分 平均数为
12⨯6+27⨯7+8⨯18+9⨯3
=7.2小时；„„„„„„„„„„„„6分
60
39
×1200=780人．„„„„„„„„„„„„„„8分 60
（4）∵抽取的60名学生中，睡眠时间在8小时以下的有12+27=39人， ∴1200名学生中睡眠不足的有
22．解：（1）连结AD ，则∠ADO ＝∠B ＝600, „„„„„„„„„„„„„„„„„1分
0) ， 在Rt △ADO 中，∠ADO ＝600，点A 的坐标为(3，
∴OD ＝OA ÷tan ∠ODA ＝3÷＝．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分 ∴D 点的坐标是（0，）．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分 （2）猜想是CD 与圆相切，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分 ∴∠AOD 是直角，∴AD 是圆的直径．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分
，0) ， 又∵若点C 的坐标为(-1
∴tan ∠CDO=
CO
=, ∠CDO ＝300．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分 OD
∴∠CDA=∠CDO+∠ADO=900，即CD ⊥AD ．
∴CD 切外接圆于点D ．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分 五、（本大题共10分）
3) ，OB =3． ·23．解：（1）令x =0，则y =3．∴B 点坐标为(0，································ 1分
tan ∠AOB =
OA OA 1
==， AB 33
∴AO =1．由点A 在x 轴的负半轴上，得A 点坐标为(-1，0) ． ···································· 2分
∴0=(-1) 2+b (-1) +3，解得b =4．
···································································· 3分 ∴所求的抛物线解析式为y =x 2+4x +3． ·配方，得y =(x +2) -1．
2
∴其对称轴为x =-2． ······································································································ 4分 且函数的最小值为－1． ····································································································· 5分 （3）存在这样的点D ，使△ABD 为直角三角形．„„„„„„„„„„„„„„„„6分 如图，设点D 的坐标为（-2，a ），对称轴与x 轴的交点为E （-2，0）．
过点B 作BF 与对称轴垂直，垂足为F ， 则有BF =2，DE =a ，OE =1，DF =3－a ．
2
∴DA=a 2+1，BD =(3-a ) +4=
a 2-6a +13，AB =．
在图1中，若∠DAB=90°，
22222
则有BD =AD +AB ，a -6a +13=a +1+10，解得a =
1
；„„„„„„7分 3
在图2中，若∠ADB=90°，
22222
则有BD +AD =AB ，a -6a +13+a +1=10，解得a =1或2；„„„„„8分
在图3中，若∠DBA=90°，
AD 2=BD 2+AB 2，a 2+1=a 2-6a +13+10，解得a =
综上可知，存在这样的点D ，使△ABD 为直角三角形， 且点D 的坐标为（-2，
11
．„„„„„„„„9分 3
111），（-2，1），（-2，2），（-2，）．„„„„„„„„„„10分 33
六、（本大题共12分） 24．（1）FD 与ED ′．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分 ∵CD ∥C ′D ′，∴∠2=∠C ′=∠1，∠5=∠C . 又因为∠ACB =90︒，CD 是斜边上的中线，
∴在图1中，DC =DA =DB ，即在图2中，C ′D ′=AD ′．
∴∠B =∠C =∠5，∠A ′=∠C ′=∠2．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分 ∴A ′D =DF ，B D′=ED ′．
由△ACD 沿射线AD 方向平移，得到△A′C′D′，可知A ′D =D′ B．
∴DF =ED ′．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分
（2）因为在Rt ∆ABC 中，AC =8, BC =6，
∴AB =10.
即AD ′=C ′D ′=CD =DB =5．
又∵DD ′=x ，
∴A ′D =DF =D ′E =D ′B =5－x ．∴CF=C′E= x．„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分 在△BCD 中，点C 到BD 的距离就是∆ABC 的AB 边上的高，为24. 5
设△EBD′ 的边BD ′边上的高为h ，由D′E，得△E D′ B∽△CDB ， 24(5-x ) h 5-x , h =. =255
5
112/(5-x ) 2. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 ∴S ∆ED /B =⨯BD ⨯h =225∴
又∵∠A ′+∠B =90°, ∴∠A ′PB =90°.
又∵∠C =∠B ，∴sin B =sin C =
∴CP =43, cos B =cos C =. 5534x , PF =x . 55
162x . „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分 ∴S ∆CPF =⨯PC ⋅PF =225
11262(5-x ) 2-x . 即y =S ∆CDB -S ∆CFP -S ∆ED /B =S ∆ABC -22525
18224x +x (0≤x ≤5) . „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„9分 所以y =-255
（1） 存在. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分
（2） 当y =11824S ∆ABC 时，即-x 2+x =6, 4255
52整理，得3x -20x +25=0. 解得，x 1=, x 2=5. 3
51即当x =或x =5时，重叠部分的面积等于原∆ABC 面积的. „„„„„„„„12分 34