充分条件与必要条件教学案

充分条件与必要条件教学案

（1）定义法：

① p是q的充分不必要条件pq qp

pq② p是q的必要不充分条件 pq

③ p是q的充要条件pq

qp

pq ④ p是q的既不充分也不必要条件 pq（2）集合法： 设P={p}, Q={q},

① 若__ PQ, 则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.

② 若___ P=Q _______，则p是q的充要条件（q也是p的充要条件）. ③ 若______ P Q且

Q P _______， 则p是q的既不充分也不必要条件. 第一组题：

（1）

（2）“四边形为平行四边形”是“这个四边形为菱形”的（必要不充分）条件。

（3）“设集合A=x|x3，B=x|x4”，则“xA”或“xB”是

a（4）

第二组题：

（1）写出x2的一个必要不充分条件（可答x22）。

（2）写出ab>0的一个充分不必要条件(可答a0且b0)。

（3）二次函数yax2bxc当字母a,c满足(可答a0且c0)条件，是函数图象

与x轴有交点的充分不必要条件。

●精讲点拨

例1(补)如图1，有一个圆A，在其内又含有一个圆B. 请回答：

⑴命题：若“A为绿色”，则“B为绿色”中，“A为绿色”是“B为绿色”的什么条件；“B为绿色”又是“A为绿色”的什么条件.

⑵命题：若“红点在B内”，则“红点一定在A内”中，“红点在B内”是“红点在A内”的什么条件；“红点在A内”又是“红点在B内”的什么条件.

解法1(直接判断)：⑴∵“A为绿色B为绿色”是真的，∴由定义知，“A

为绿色”是“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件.

⑵如图2⑴，∵“红点在B内红点在A内”是真的，∴由定义知，“红点在

B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必

要条件.

小结：先说充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的.例如，说“A为绿色”是“B为绿色”的一个充分条件，就是说“A为绿色”，它足以保证“B为绿色”.它符合上述的“若p则q”为真（即pq）的形式.

再说必要性：必要就是必须，必不可少.从例2的图可以看出，如果“B为绿色”，A可能为绿色，A也可能不为绿色.但如果“B不为绿色”，那么“A不可能为绿色”.因此，必要条件简单说就是：有它不一定，没它可不行.它满足上述的“若非q则非p”为真（即┐q┐p）的形式.

x12，q：(x1m)(x1m)0(m0) 3

且q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围。 x1x112解：由1 2  233

即p为：[2,10]  2x10例2已知p：1

而q为：[1m,1m]，

又q是p的必要不充分条件， 即pq

1m2所以   m9

1m10

即实数m的取值范围为[9,)。

例3函数f(x)lg21的定义域为集合A，函数g

x的定义域为集合x1

B． （1）判定函数fx的奇偶性，并说明理由．

（2）问：a2是AB的什么条件（充分非必要条件 、必要非充分条件、充要条件、

既非充分也非必要条件）？ 并证明你的结论．

15. 解：A={x|210} x1

2x1100(x1)(x1)0 ∴ -1

∴A=（-1，1），定义域关于原点对称

f（-x）=lg1x11x1x)= lg= lg(， ∴f（x）是奇函数. x1x1x1

（2）B={x|1|xa|0}|xa|11xa11ax1a

B=[-1-a，1-a] 当a 2时， -1-a-3， 1-a-1，

由A=（-1，1）， B=[-1-a，1-a]， 有AB

反之，若AB，可取-a-1=2，则a=-3，a小于2. （注：反例不唯一）

所以，a 2是AB的充分非必要条件。

●巩固案

1．用“充分”或“必要”填空，并说明理由：

①“a和b都是偶数”是“a+b也是偶数”的 条件；

②“x＞5”是“x＞3”的 条件；

③“x3”是“|x|3”的 条件；

④““个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的 条件；

⑤“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等”的 条件；

⑥对于一元二次方程ax+bx+c=0（其中a,b,c都不为0）来说，“b-4ac0”是“这个方程有22

两个正根”的 条件；

2．设命题甲为0＜x＜5，命题乙为|x－2|＜3，那么甲是乙的（ ）条件

3．已知真命题“a≥b

4．c＞d”和“a＜be≤f”，则“c≤d”是“e≤f”的________条件． 42是的什么条件?并说明理由. 42

2225．已知p∶x-8x-20＞0，q∶x-2x+1-a＞0。若p是q的充分而不必要条件，求正实数a的取

值范围.

6．xy，xy0是

11的充分条件，还是必要条件？充要条件？

八、参考答案：

1．①充分 ②充分 ③充分 ④充分 ⑤必要 ⑥必要 2．A 3．充分

4．解：244 但反之却不一定成立。例如取α=1,β=5,显然满足 244

242所以是的必要但不充分条件.

242但不满足

5．解：p∶A=｛x｜x＜-2，或x＞10｝，q∶B=｛x｜x＜1-a，或x＞1+a，a＞0}

如图，依题意，pq，但q不能推出p，说明AB，则有

a0,1a2, 解得0＜a≤3.

1a10.

6． 充分不必要条件

充分条件与必要条件教学案

（1）定义法：

① p是q的充分不必要条件pq qp

pq② p是q的必要不充分条件 pq

③ p是q的充要条件pq

qp

pq ④ p是q的既不充分也不必要条件 pq（2）集合法： 设P={p}, Q={q},

① 若__ PQ, 则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.

② 若___ P=Q _______，则p是q的充要条件（q也是p的充要条件）. ③ 若______ P Q且

Q P _______， 则p是q的既不充分也不必要条件. 第一组题：

（1）

（2）“四边形为平行四边形”是“这个四边形为菱形”的（必要不充分）条件。

（3）“设集合A=x|x3，B=x|x4”，则“xA”或“xB”是

a（4）

第二组题：

（1）写出x2的一个必要不充分条件（可答x22）。

（2）写出ab>0的一个充分不必要条件(可答a0且b0)。

（3）二次函数yax2bxc当字母a,c满足(可答a0且c0)条件，是函数图象

与x轴有交点的充分不必要条件。

●精讲点拨

例1(补)如图1，有一个圆A，在其内又含有一个圆B. 请回答：

⑴命题：若“A为绿色”，则“B为绿色”中，“A为绿色”是“B为绿色”的什么条件；“B为绿色”又是“A为绿色”的什么条件.

⑵命题：若“红点在B内”，则“红点一定在A内”中，“红点在B内”是“红点在A内”的什么条件；“红点在A内”又是“红点在B内”的什么条件.

解法1(直接判断)：⑴∵“A为绿色B为绿色”是真的，∴由定义知，“A

为绿色”是“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件.

⑵如图2⑴，∵“红点在B内红点在A内”是真的，∴由定义知，“红点在

B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必

要条件.

小结：先说充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的.例如，说“A为绿色”是“B为绿色”的一个充分条件，就是说“A为绿色”，它足以保证“B为绿色”.它符合上述的“若p则q”为真（即pq）的形式.

再说必要性：必要就是必须，必不可少.从例2的图可以看出，如果“B为绿色”，A可能为绿色，A也可能不为绿色.但如果“B不为绿色”，那么“A不可能为绿色”.因此，必要条件简单说就是：有它不一定，没它可不行.它满足上述的“若非q则非p”为真（即┐q┐p）的形式.

x12，q：(x1m)(x1m)0(m0) 3

且q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围。 x1x112解：由1 2  233

即p为：[2,10]  2x10例2已知p：1

而q为：[1m,1m]，

又q是p的必要不充分条件， 即pq

1m2所以   m9

1m10

即实数m的取值范围为[9,)。

例3函数f(x)lg21的定义域为集合A，函数g

x的定义域为集合x1

B． （1）判定函数fx的奇偶性，并说明理由．

（2）问：a2是AB的什么条件（充分非必要条件 、必要非充分条件、充要条件、

既非充分也非必要条件）？ 并证明你的结论．

15. 解：A={x|210} x1

2x1100(x1)(x1)0 ∴ -1

∴A=（-1，1），定义域关于原点对称

f（-x）=lg1x11x1x)= lg= lg(， ∴f（x）是奇函数. x1x1x1

（2）B={x|1|xa|0}|xa|11xa11ax1a

B=[-1-a，1-a] 当a 2时， -1-a-3， 1-a-1，

由A=（-1，1）， B=[-1-a，1-a]， 有AB

反之，若AB，可取-a-1=2，则a=-3，a小于2. （注：反例不唯一）

所以，a 2是AB的充分非必要条件。

●巩固案

1．用“充分”或“必要”填空，并说明理由：

①“a和b都是偶数”是“a+b也是偶数”的 条件；

②“x＞5”是“x＞3”的 条件；

③“x3”是“|x|3”的 条件；

④““个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的 条件；

⑤“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等”的 条件；

⑥对于一元二次方程ax+bx+c=0（其中a,b,c都不为0）来说，“b-4ac0”是“这个方程有22

两个正根”的 条件；

2．设命题甲为0＜x＜5，命题乙为|x－2|＜3，那么甲是乙的（ ）条件

3．已知真命题“a≥b

4．c＞d”和“a＜be≤f”，则“c≤d”是“e≤f”的________条件． 42是的什么条件?并说明理由. 42

2225．已知p∶x-8x-20＞0，q∶x-2x+1-a＞0。若p是q的充分而不必要条件，求正实数a的取

值范围.

6．xy，xy0是

11的充分条件，还是必要条件？充要条件？

八、参考答案：

1．①充分 ②充分 ③充分 ④充分 ⑤必要 ⑥必要 2．A 3．充分

4．解：244 但反之却不一定成立。例如取α=1,β=5,显然满足 244

242所以是的必要但不充分条件.

242但不满足

5．解：p∶A=｛x｜x＜-2，或x＞10｝，q∶B=｛x｜x＜1-a，或x＞1+a，a＞0}

如图，依题意，pq，但q不能推出p，说明AB，则有

a0,1a2, 解得0＜a≤3.

1a10.

6． 充分不必要条件