6.4.1 边坡稳定性分析方法简述
边坡稳定性分析方法很多，目前已形成以下几种：
1、极限平衡法。这是国内外工程界目前广泛应用的最基本方法。
该法将滑体划分若干条块即所谓的条分法，引入摩尔——库伦强度准则，并对条块间作用力方式作出假定，使问题成为静定，根据条块的力或力矩的平衡，建立边坡安全系数表达式（有些是隐式），采用任意形状滑动面的计算模式。极限平衡法便于工程应用，特别是此法能给出边坡稳定性定量评判值——安全系数F s ，因而广为工程界接受。对于已知最危险破坏面的边坡，极限平衡法应用起来
更为方便，但破坏面未知情况下，需要搜索出最危险破坏面，从而求得对应的边坡最小安全系数。
2、极限分析法。该法的理论基础是塑性力学的上、下限定理，极限分析多采用上限定理解。应用此法，通常也需要假设潜在破坏面位臵，并将滑体分成若干刚性块，然后构筑一个协调的位移场。再根据虚功原理求解使结构处于极限平衡的外荷载。极限分析法最大的困难仍是求极值问题，目前没有得到圆满解决，因此该法应用于实际边坡工程受到很大的限制。
3、有限单元法。有限元法可全面分析边坡体应力应变，可以处理复杂的边界条件以及材料的非均匀性和各向异性，还可以有效地模拟材料的非线性应力应变关系。尽管如此，有限单元法并没有成为边坡稳定性分析的首选方法，因为有限元计算成果不能直接给边坡稳定性提供定量评判，不便于工程应用。另外边坡失稳，大部分单元处于塑性破坏状态，材料的本构关系变得极为复杂，同时存在由于刚度矩阵不稳定、不对称引起的数值分析不稳定问题。
4、离散单元法。岩质边坡通常由许多不连续面切割成块体，离散单元法基于牛顿第二运动定律模拟块体的运动过程，但是块体的离散不是一件简单的事，一般简化处理带来理想模型与现实的不一致，最终导致计算结果可信度降低。
5、块体理论。块体理论是基于拓扑学原理，找出关键块体，查明失稳块体的范围大小，寻求支护对策。块体理论已被成功地用于理想节理岩体边坡稳定性分析。但对于非常复杂的岩体边坡如节理非贯通，块体理论便无法应用了，因此它的局限性也是明显的。
6、刚体弹簧模型。这是近来兴起的揉合极限平衡理论和离散单元法思想的岩体稳定性分析方法。该法引入块体变形破坏机制，不过模拟弹簧的参数确定人为因素很大，其结果真实性受到怀疑，工程界也没有普遍接受该法。
总之，边坡稳定性分析方法很多，具体工程必须具体选择，理论界热衷于建立复杂的本构关系，采用先进的数值方法模拟岩土微观破坏的“全过程”、并企盼能象其它工程如结构工程、电力工程那样，进行岩土“仿真”分析。事实上，并非本构关系愈复杂愈好，岩土介质特别是岩体的复杂性导致本构参数难以宏观确定，本构关系与数值方法的努力往往被参数不合理的选择带来的误差所抵消，甚至得不偿失。因此，应当根据所研究的边坡工程特性及研究工作任务目标，审视并确定边坡稳定性分析方法，力求分析模型合理可靠，并考虑工程的实用性。
极限平衡法被广泛应用于国内外边坡工程领域已积累了丰富的经验，方法本身已经成熟，特别是此法能给出边坡稳定性定量评判指标—安全系数F s ，便于工程应用，广为工程界接受。
本次铜矿边坡稳定性研究，运用极限平衡分析方法进行边坡稳定性计算，对设计终了边坡稳定性进行分析评价。
极限平衡分析的方法很多，有Fillenius 法、简化Bishop 法、Janbu 法、Spencetr 法、Morgenstern 法、Sarma 法、余推力法等。这些方法因采用的假定条件不同（见表6.2），它们的计算精度及适用条件也不一样，根据铜矿边坡岩体的工程地质特征，在分析比较的基础上，选择简化Bishop 法和剩余余推力法计算边坡的稳定性，以及不稳定边坡体剩余推力。
表6.2 极限平衡分析的各种主要方法
由于各种方法的力系平衡与假定的不同，各方法的安全系数计算公式不尽相同。目前在工程界关于任意形状滑面边坡稳定性计算方法中。Janbu 法、Sarma 法和余推力法被广泛应用，综合这几种方法，其力学机理如下：
图6.6 计算机理图
某条块受力分析如图6.6示，条块受力如下：
E ——上条块推力的水平分量；
T ——上条块推力的垂直分量；
W ——条块重力；
Kc ——条块水平地震力；
N ——条底有效正应力合力；
T ——条底滑面剪切力；
U ——条底水压力合力；
P ——下条块的反作用力；
关于P 的倾角θ三种方法假定不同：
⎧0; 简化J anbu 法. ⎪⎪θ=⎨ϕ; Sarme 法. ϕ为折减后的条块间内磨擦角
⎪⎪α; 余推力法. α为条块底面倾 角⎩
简化Janbu 法假定条块间推力水平，几乎没有考虑条块间抗剪强度的发挥，因而计算结果偏保守；Sarma 法充分考虑条块间内摩擦角部分的抗剪强度的发挥，如果内磨擦角较高，且滑面相对平缓，这种假设偏于不安全；余推力法认为推力方向与上条块滑面平行，当上条块底滑面很陡，倾角高于内摩擦角时，余推力法假设又违背了强度准则，当条块底滑面为负角时，条块间推力方向朝上倾，有悖于己认识到的滑坡机理。
鉴于以上三种方法的利弊，肯定其推力假设方式，但同时要求推力倾角不大于条块间内摩角（折扣后），不小于零（不出现负角），因此提出一种确定方法：
θ=max[0,min(ϕt , α)]
以上各外力中，E ，T 是前次计算的结果，在本次计算是已知的；W 、K c 、U 也可计算出；P 、N 、T 是未知。由静力平衡时两个方向的平衡方程及摩尔一库伦准则三个方程知此问题是可解且是唯一解。
假定安全系数为F s ，将所有介质强度折减。
' ⎧φ⎪=arctg (tg φ/Fs ) （6－1） ⎨C =C /Fs ⎪⎩
摩尔一库伦准则：
T =N ⋅tg φ' +C ' （6－2）
水平方向平衡方程：
P cos θ+T cos α-(N +U ) Sin α-(E +K c ω) =0 （6－3）
垂直方向平衡方程：
P sin θ+T sin α+(N +U ) Cos α-(W +T ) =0 （6－4）
联立（6－1）～（6－４）解方程得：
P =(W +T )(sinα-cos αtg φ' ) +(W -E )(cosα+sin atg φ' ) -c ' l +u ⋅tg φ' （6－5） cos(α-θ) -tg φ' sin(α-θ)
N =(W +T ) cos α-P sin(θ-α) -(K c +E ) Sin α-U （6－6） 滑块分成n 个条块，如图6.7。坡体上方初始推力P 1为己知，剩余推力在
无加固时为零，否则等于加固力。试算安全系数F s ，求P n+1使其接近于0。
当滑面及材料参数不合理时，会出现一些反常现象需解决，否则影响后期计算。
①负角效应
滑面负角一般出现在滑体出口段，当负角较大时，会出现超常的正应力现象，国内外学者对此问题已进行过研究，有学者建议出口段条块底面倾角
2可避免负角效应。
图6.7边坡条块划分
②陡角效应
当主动滑体倾角很陡时，条块也可能出现锁定状态。有学者根据主动区土压力理论推导出滑面倾角正常范围α
2，以免出现陡角效应。
Whitman 和Bailey 建议避免条块锁定的条件
m α=cos α+sin αtg φ' =cos(α-φ' ) >0. 2 （6－7） cos
6.4.2 余推力方法计算原理
图6.8表示任意分条i 上的作用力系。条块界面的反力Di 可写为：
D i =W i sin a i +K c i cos a i -1（6－8) [C i L i +(W i cos a i -U i -K c i sin a i ) tg φi ]+D i -1ψi F s
式中：W i 为条块i 的重量
C i 、φi 为各条块底面粘结力和内摩擦角
L i 为条块i 的底面长度
对最后一条块，当坡面无外力时，应满足：
D n =D n +D n -1ψn =0 (6－12)
计算时先设定一个Fs 值，自上往下逐条计算D i 调整Fs 值直到满足D n ＝0，此时的Fs 便是所求。 0
6.4.3 瑞典法计算原理
瑞典法是圆弧形滑动面最基本的和最常用的稳定性计算方法。瑞典法忽略土条两边的法向力和剪切力。当考虑地震和地下水作用时，其计算公式为：
F s =∑[C b sec α(W i i i
i =1
n n i -U i b i ) cos αi tg φi ] （6－13） e i [W sin α+K ]∑i i c i R i =1
式中：F s ——土坡抗滑稳定安全系数；
W i ——土条自重；
b i ——土条宽度；
αi ——土条底边倾角；
C i ——土的有效粘聚力；
φi ——土的有效内摩擦角；
R ——滑弧半径；
e i ——土条中心至滑动圆心的垂直距离；
U i ——作用于土条底边上的孔隙水压力；
K c ——综合地震系数。
有关符号见图6.9，只是在力系分析中忽略条间剪切力X 和推力E 。
6.4.4 简化Bishop 法计算原理
Bishop 法是圆弧形滑动面的普遍使用的稳定性计算方法，且满足所有条块力的平衡条件，当考虑地震和地下水作用时，其计算公式为： 1∑i =1m ai n {C i ⋅b i +[W i -U i b i +(X i -X i +1)]tan φi }
e i [W sin α+K ]∑i i c i R i =1n F s = （6－14）
m ai =cos αi +tg φ⋅sin α （6－15） s
式中E i 及X i 分别表示法向及切向条间力，W i 为条块自重，K ci 为水平地震作
用力，c i 、φi 分别为材料的有效粘结力和内摩擦角，其他符号见图6.9。
上式中各条块间作用X i 是未知的，通过迭代可求出满足每一条块力平衡条
件的安全系数F s 。精确的Bishop 法计算比较复杂，为此，Bishop 提出了假定X i ＝0简化法。研究表明，简化Bishop 法与精确计算方法的计算成果很接近。因此简化Bishop 法是计算圆弧型破坏最常用的方法，计算精度也较高。
6.5 潜在滑面的优化方法
对于边坡工程稳定性评价，在既定的边坡几何形状下，运用极限平衡分析方法，任何假定的破坏面总存在一个与之对应的安全系数Fs ，而且，在所考虑的随机破坏面中，总存在着一个最小安全系数minFs 的最危险破坏面，相应于最危险破坏面的minFs 即为边坡稳定性极限平衡分析的评价指标，确定最危险破坏面的过程即为边坡可能破坏面优化求解过程。
采用先进可靠的优化方法，快速而准确地搜索并确定边坡最危险破坏面及最小安全系数minFs ，是边坡稳定性分析研究的关键。人们已经发现，无论介质物理力学参数多么准确，如果找不到真正的临界滑动面，计算精度大打折扣；有时找到的临界滑动面远离真实，导致整个分析的失败。
多年来，国内外诸多学者致力于任意形状临界滑动面求解问题的研究。归纳起来有以下几种方法：
①经验试凑法
在主滑面穿过已知的软弱面，滑面其余部分近似假设我直线或圆弧，凭经验
凑出最小安全系数。双滑面法、改良圆弧法便属于此类。经验试凑法要求计算者必须具有相当丰富的近似经验与工程判断能力，另外近似工程繁复，不易编制通用程序，结果可信度较低，如情况稍微复杂，试凑法难以解决。在没有别的有效方法出现时，经验试凑法确也解决了不少工程问题。现代近似技术的发展，已使经验试凑法逐渐退出历史舞台，代之以更科学更理性的求解方法。
②解析法
边坡安全系数是以滑动面位臵函数为自变量的泛函，变分法是求解泛函极值的经典解析法。变分法需要求解复杂的微分方程（泛函转换过来的欧拉方程），即使边坡介质均匀，只要边坡面形状稍作改变，欧拉方程需要重新求解，在多数情况下，变分法无法取得成功，不便在工程中应用。
③动态规划法
70年代末，国外学者使用动态规划法计算边坡最小安全系数与最危险破坏面。动态规划法作为数学规划的一个重要方法，广泛应用于工程领域，该方法宜解决离散状态下状态方程符合贝尔曼条件如动态寻优问题。边坡滑动面在状态空间内是理想分布的，在计算精度要求不高的情况下，可以近似将连续状态空间离散为一系列状态点，将滑动面人为固定在这些状态点上。动态规划法已解决某些假设条件下如Spcncer 法的临界滑动面求解问题，状态空间的离散化引起的误差是较大的，而加密状态点引起的计算量的增加是难以承受的，因此动态规划解比较粗糙，在工程中的应用也比较有限，但该法开创了临界滑动面与最小安全系数同步求解的先例，具有理论意义。
④随机搜索法
为了搜寻整体极值，应用均匀随机数在状态空间内构筑大量随机自变量，以期捕获最小的目标函数。纯粹随机方法计算工作量极为庞大，结果也不令人满意，方法本质仍不能摆脱盲目搜索的泥潭。有的学者将随机搜索的结果作为优化的初始值，促进优化收敛于整体极值，具有一定的实用性。
综上所述，最危险破坏面的求解是极其困难的。经验试凑法远不够解决实际问题，又缺乏科学性；纯解析法无法付诸实际工程应用；动态规划法又受到各种条件限制；随机搜索法也带有盲目或半盲目性。理论界迫切希望有一种优化求解方法逼近理论解，确保最危险破坏面在理论解附近，误差能控制在一定的限度内；
工程界也希望有一种实用的计算方法，能迅速、准确求解最危险破坏面。
近几十年来，针对这一目标的研究十分活跃，取得了可喜的进展，提出了最优化求解方法――单纯形加速法，此法能摒弃上述方法之不足，能迅速、准确地搜寻出边坡最危险破坏面，边坡最小安全系数在搜寻工程中自动生成。单纯形加速法作为独立的确定边坡最危险破坏面的新手段，具有一定的理论意义和实际工程价值。
6.5.1 单纯形加速法求解基本假定
1、确定圆弧型剪切破坏面的基本假定
确定圆弧型剪切破坏面的基本假定如下：
① 圆弧型破坏面位臵控制随机变量为圆心坐标（x 0，y 0），相应的目标函数
定义为minz=minF(x0，y 0）。
② 由于圆心坐标（x 0，y 0）两随机变量变化的不确定性，避免破坏面与边坡
面不相交，选用另一有效随机变量X c ，相应的目标函数定义为minz=minF(Xc ) 。
X c 为边坡面上任意随机点（x c ，y c ）横坐标，纵坐标y c 可通过边坡几何特征
坐标插值求得。
③ 随机变量x 0，y 0，X c 满足下列目标表达式
(x0-x A ) 2+(y0-y A ) 2=(x0-x c ) 2+(y0-y c ) 2
式中：x A －破坏面下部剪出口横坐标；
y A －破坏面下部剪出口纵坐标；
圆弧型剪切破坏面几何形状如下图所示。
2、确定平面剪切破坏面的基本假定
①直接构成边坡的或临近边坡的岩层接触面、层面或断层可能成为上部顺层滑动的破坏面。考虑到地层的厚度、延深的连贯性及层面强度指标，基于工程判断，边坡上部滑面一般为顺坡向的节理面或以矿体与蛇纹岩（φS ）、片理化蛇纹岩（φSP ）构成的岩层接触面为其主要滑面。
②从宏观上可以认为软弱地层的上下界线是确定的。由于我们承认层理面的连续性，故层理面的较大的起伏形状主要受地层厚度变化的影响。就是说，某一层面的延深形成可以用有限个点L i 连接的折线来描述。如图6.10所示，a i 表示软弱层底界线，b i 表示软弱岩层顶界线，其中i ＝1,2……m 。构成滑动面的层面上各点座标为：
L 1(x L 1, y L 1), L 2(x L 2, y L 2),
, L m (x Lm , y Lm )
y
相对高度m
水平距离m
图6.10 破坏面的几何形状示意图
计算中，相应每个点L i 的y Li 座标（y L1,y L2, …y Lm ）分别视作常量，即x Li 在y Li 水平上平移。于是，在软弱岩层内，变量x Li 可以用下式求得：
x L 1=
x L 1-a 1
(b i -a i ) +a i （6－16）
b 1-a 1
③ 破坏面的下部剪切段，在没有明显发育的不利方向不连续面的情况下，认为剪切方向只能沿剪切阻力最小的面发生，并从坡脚剪出，同样可用有限个点S i 即其与上部滑动面、所穿过岩层界面的交点连接的折线表示（图6.10）它们相应的座标为：
S 1(x s 1, y s 1), S 2(x s 2, y s 1) S n -1(x Sn -1, y Sn -1)
其中x Li 为独立变量。 6.5.2 单纯形加速法求解原理
可见，在强度值和载荷均确定的情况下，边坡状态函数的基本变量仅仅为确定破坏面的座标值，即
Z =F [(x 1y 1), (x 2y 2), (x n y n )] （6－17）
又因y i 为x i 所决定的值，故状态函数值完全由x i 所决定，所以，式（6－17）可写作
Z =F (x 1, x 2 , x n ) （6－18）
这里我们定义状态函数值为安全系数，目标函数则为安全系数最小，则
MinZ =MinF (x 1, x 2 , x n ) （6－19）
对应MinZ 的破坏面则为临界破坏面。
这是一个无约束条件下多变量函数的寻优问题。因为式（6－18）不能写出其显式，若用梯度法求解，只能采用近似计算求目标函数的梯度，不仅增加了计算工作量，而且会影响寻优的收敛性。为此，我们采用单纯形加速法来求解。
单纯形加速法的基本思想是：首先计算出若干滑面对应的安全系数F i (X)，进行比较，从它们的大小关系判断出安全系数F(X)的变化趋势，作为寻找下一次更小安全系数对应的破坏面的参考。
根据式（6－18），安全系数F 由n 个座标是（x 1，x 2，…x n ）决定，则可以首先找出n+1个滑面X 0，X 1…，X n ，X i 代表了一个滑面X i ＝{xi1,x i2, …x in }，则寻优过程为：
1、计算安全系数值F i ＝F(Xi ) (i＝0,1, …,n) ，比较n+1个滑面对应的安全系数F 0,F 1, …,F n 的大小，找出安全系数最大的滑面X H 及最小的滑面X L ，即
⎧F K =F (X H ) =MaxF i
⎨
⎩F L =F (X L ) =MinF i
(i =0, 1, , n )
（6－20）
以及除H 滑面之外的安全系数最大滑面X G
F G =F (X G ) =MaxF i
(i =0, 1, , n i ≠H ) （6－21）
2、计算反射点，即可能安全系数更小的滑面X R ，即
2n
X R =(∑X i -X H ) -X H （6－22）
n i =0
3、若F R ＝F （X R ）≥F （X G ），则压缩步长，令
X S =(1-λ) X H +λX R （6－23）
式中，λ为压缩因子，0
4、若FR
X E =(1-μ) X H +μX R （6－24）
式中，μ为放大因子，μ
＝X R 。
5、若F(XS )
X i =(X i +X L ) /2
6、继续上述过程，直至满足
(i =0, 1, , n ) （6－25）
|
F (X H ) -F (X L )
|≤ε （6－26）
F (X L )
计算中，初始单纯形产生，可取一正数h ，令Xi ＝X0＋hEi ，Ei 为单位向量，E1＝(1,0,0…,0)T ，E2＝(0,1,0…,0)T ，…，En ＝(0,0…,1)T 。h ＝0.5～2。 6.5.3 渗流在稳定性计算中处理方法
对于存在地下水的边坡，水下条块的重量都应按饱和容重计算，同时还要考虑滑动面上的孔隙水压力（静水压力）和作用于坡面上的水压力，地下水边坡稳定性计算力系分析如图6.11所示。
在图6.11中，静水面EF 以下边坡岩体内的孔隙水压力合力为P 1、坡体坡面上的水压力合力为P 2，在重心位臵还作用有孔隙水的重量和岩土浮力的反作用力（其合力大小等于EF 面以下滑动岩土体的同体积水重，以G w 表示），因为是静水，这三个力组成一平衡力系。也就是说，滑动岩土体周界上的水压力P 1和P 2的合力与G w 大小相等，方向相反。因此，在静水条件下周界上的水压力对滑动岩土体的影响就可用静水面以下滑动体所受的浮力来代替，这实际上相当于水下条块重量均按浮容重计算。因此，存在有地下水坡体的安全系数，其计算公式与无地下水边坡完全一样，只要将地下水位以下岩土的容重用浮容重γ代替即可。另外，由于P 1的作用线通过圆心，根据力矩平衡条件，P 2对圆心的力矩也恰好与G W 对圆心的力矩相互抵消。
图6.11 地下水边坡稳定性计算力系分析
6.5.4 张裂缝深度计算
滑体抗滑区允许条块间拉力存在，以便能计算最终剩余推力，滑体下滑区，不应存在条块间拉力，但在滑体上部近地表，由于介质凝聚力C 的作用，顶部几个条块常出现拉力，这种拉力如计入剩余推力的计算，会导致边坡稳定程度的高估，从本质上来说，岩土介质是不抗拉，坡体顶部拉力可用张裂缝消除。实际上，滑体张裂缝是经常可见的，张裂缝深度计算原则是坡顶条块间拉力不再存在或张裂缝以上土体处于极限自稳状态。
取无穷小岩体条块，该条块的最大自稳高度便是张裂缝深度，如图6.12所示。
设土条破裂面倾角α，土条极限平衡条件：
γbZ c sin α=γbZ c cos αtg Φ+Cb /cos α
Zc =
C
1
γcos α(sinα-cos αtg Φ)
由
dZ c
=0得
d α
Zc =
2C Φ
γtg (45︒-)
2
（6－27）
图6.12 张裂缝分析图
如张裂缝充水，图6.13坡体承受初始水压力P 1
P 1=
12γω⋅h ω （6－28） 2
γw 为水容重，h w 为裂缝充水高度
图6.13 张裂缝充水
6.5.5 允许安全系数的确定
边坡安全系数是衡量边坡稳定性的最终定量指标，它与边坡稳定性研究各项工作内容的原理、方法、代表性、可靠性以及各项定量参数的取用、边坡的高陡程度和服务年限、工程的重要性等有关，因此，最小允许安全系数的确定是一个非常复杂的专家系统问题。
在边坡极限平衡分析中，安全系数Fs ＝1时，边坡处于极限平衡状态。在理论上，只要Fs 稍大于1（Fs ＝1+
ε，ε为任意小的正数），边坡就是稳定的；
反之，边坡就失稳。但在现阶段，对于边坡工程实际问题，人们很难做到恰使边坡安全系数Fs ＝1+ε的程度，常使Fs ＝1+ω（ω为小于1的正数），以作安全储备。在具体的稳定性分析验算中，常以强度、水压和地震设防来储备。
由于安全系数的大小与企业的经济效益直接相关，所以在实际工程中，常据不同的研究程度、不同的研究方法、不同的安全要求和不同的工程对象等因素来确定。国内外边坡研究专家对露天矿边坡一般取用最小允许安全系数在Fs ＝1.10～1.50之间，多数场合下取F ＝1.15～1.3(《岩土工程勘察规范》GB50021-2000规定) 。本次研究中，在取值时主要考虑下列因素：
1、边坡的实际暴露情况、研究基础工作深度，基础资料是否准确，试验方法的合理性，试验所获得参数的可靠性。
2、稳定性计算参数取值对安全储备的考虑。
3、稳定性计算工程模型的概化、处理及其计算方法所造成的可能误差的估计。
4、工程的服务年限、规模、边坡的几何形状及其所处空间位臵的重要性，受地质灾害的危害及损失。
6.4.1 边坡稳定性分析方法简述
边坡稳定性分析方法很多，目前已形成以下几种：
1、极限平衡法。这是国内外工程界目前广泛应用的最基本方法。
该法将滑体划分若干条块即所谓的条分法，引入摩尔——库伦强度准则，并对条块间作用力方式作出假定，使问题成为静定，根据条块的力或力矩的平衡，建立边坡安全系数表达式（有些是隐式），采用任意形状滑动面的计算模式。极限平衡法便于工程应用，特别是此法能给出边坡稳定性定量评判值——安全系数F s ，因而广为工程界接受。对于已知最危险破坏面的边坡，极限平衡法应用起来
更为方便，但破坏面未知情况下，需要搜索出最危险破坏面，从而求得对应的边坡最小安全系数。
2、极限分析法。该法的理论基础是塑性力学的上、下限定理，极限分析多采用上限定理解。应用此法，通常也需要假设潜在破坏面位臵，并将滑体分成若干刚性块，然后构筑一个协调的位移场。再根据虚功原理求解使结构处于极限平衡的外荷载。极限分析法最大的困难仍是求极值问题，目前没有得到圆满解决，因此该法应用于实际边坡工程受到很大的限制。
3、有限单元法。有限元法可全面分析边坡体应力应变，可以处理复杂的边界条件以及材料的非均匀性和各向异性，还可以有效地模拟材料的非线性应力应变关系。尽管如此，有限单元法并没有成为边坡稳定性分析的首选方法，因为有限元计算成果不能直接给边坡稳定性提供定量评判，不便于工程应用。另外边坡失稳，大部分单元处于塑性破坏状态，材料的本构关系变得极为复杂，同时存在由于刚度矩阵不稳定、不对称引起的数值分析不稳定问题。
4、离散单元法。岩质边坡通常由许多不连续面切割成块体，离散单元法基于牛顿第二运动定律模拟块体的运动过程，但是块体的离散不是一件简单的事，一般简化处理带来理想模型与现实的不一致，最终导致计算结果可信度降低。
5、块体理论。块体理论是基于拓扑学原理，找出关键块体，查明失稳块体的范围大小，寻求支护对策。块体理论已被成功地用于理想节理岩体边坡稳定性分析。但对于非常复杂的岩体边坡如节理非贯通，块体理论便无法应用了，因此它的局限性也是明显的。
6、刚体弹簧模型。这是近来兴起的揉合极限平衡理论和离散单元法思想的岩体稳定性分析方法。该法引入块体变形破坏机制，不过模拟弹簧的参数确定人为因素很大，其结果真实性受到怀疑，工程界也没有普遍接受该法。
总之，边坡稳定性分析方法很多，具体工程必须具体选择，理论界热衷于建立复杂的本构关系，采用先进的数值方法模拟岩土微观破坏的“全过程”、并企盼能象其它工程如结构工程、电力工程那样，进行岩土“仿真”分析。事实上，并非本构关系愈复杂愈好，岩土介质特别是岩体的复杂性导致本构参数难以宏观确定，本构关系与数值方法的努力往往被参数不合理的选择带来的误差所抵消，甚至得不偿失。因此，应当根据所研究的边坡工程特性及研究工作任务目标，审视并确定边坡稳定性分析方法，力求分析模型合理可靠，并考虑工程的实用性。
极限平衡法被广泛应用于国内外边坡工程领域已积累了丰富的经验，方法本身已经成熟，特别是此法能给出边坡稳定性定量评判指标—安全系数F s ，便于工程应用，广为工程界接受。
本次铜矿边坡稳定性研究，运用极限平衡分析方法进行边坡稳定性计算，对设计终了边坡稳定性进行分析评价。
极限平衡分析的方法很多，有Fillenius 法、简化Bishop 法、Janbu 法、Spencetr 法、Morgenstern 法、Sarma 法、余推力法等。这些方法因采用的假定条件不同（见表6.2），它们的计算精度及适用条件也不一样，根据铜矿边坡岩体的工程地质特征，在分析比较的基础上，选择简化Bishop 法和剩余余推力法计算边坡的稳定性，以及不稳定边坡体剩余推力。
表6.2 极限平衡分析的各种主要方法
由于各种方法的力系平衡与假定的不同，各方法的安全系数计算公式不尽相同。目前在工程界关于任意形状滑面边坡稳定性计算方法中。Janbu 法、Sarma 法和余推力法被广泛应用，综合这几种方法，其力学机理如下：
图6.6 计算机理图
某条块受力分析如图6.6示，条块受力如下：
E ——上条块推力的水平分量；
T ——上条块推力的垂直分量；
W ——条块重力；
Kc ——条块水平地震力；
N ——条底有效正应力合力；
T ——条底滑面剪切力；
U ——条底水压力合力；
P ——下条块的反作用力；
关于P 的倾角θ三种方法假定不同：
⎧0; 简化J anbu 法. ⎪⎪θ=⎨ϕ; Sarme 法. ϕ为折减后的条块间内磨擦角
⎪⎪α; 余推力法. α为条块底面倾 角⎩
简化Janbu 法假定条块间推力水平，几乎没有考虑条块间抗剪强度的发挥，因而计算结果偏保守；Sarma 法充分考虑条块间内摩擦角部分的抗剪强度的发挥，如果内磨擦角较高，且滑面相对平缓，这种假设偏于不安全；余推力法认为推力方向与上条块滑面平行，当上条块底滑面很陡，倾角高于内摩擦角时，余推力法假设又违背了强度准则，当条块底滑面为负角时，条块间推力方向朝上倾，有悖于己认识到的滑坡机理。
鉴于以上三种方法的利弊，肯定其推力假设方式，但同时要求推力倾角不大于条块间内摩角（折扣后），不小于零（不出现负角），因此提出一种确定方法：
θ=max[0,min(ϕt , α)]
以上各外力中，E ，T 是前次计算的结果，在本次计算是已知的；W 、K c 、U 也可计算出；P 、N 、T 是未知。由静力平衡时两个方向的平衡方程及摩尔一库伦准则三个方程知此问题是可解且是唯一解。
假定安全系数为F s ，将所有介质强度折减。
' ⎧φ⎪=arctg (tg φ/Fs ) （6－1） ⎨C =C /Fs ⎪⎩
摩尔一库伦准则：
T =N ⋅tg φ' +C ' （6－2）
水平方向平衡方程：
P cos θ+T cos α-(N +U ) Sin α-(E +K c ω) =0 （6－3）
垂直方向平衡方程：
P sin θ+T sin α+(N +U ) Cos α-(W +T ) =0 （6－4）
联立（6－1）～（6－４）解方程得：
P =(W +T )(sinα-cos αtg φ' ) +(W -E )(cosα+sin atg φ' ) -c ' l +u ⋅tg φ' （6－5） cos(α-θ) -tg φ' sin(α-θ)
N =(W +T ) cos α-P sin(θ-α) -(K c +E ) Sin α-U （6－6） 滑块分成n 个条块，如图6.7。坡体上方初始推力P 1为己知，剩余推力在
无加固时为零，否则等于加固力。试算安全系数F s ，求P n+1使其接近于0。
当滑面及材料参数不合理时，会出现一些反常现象需解决，否则影响后期计算。
①负角效应
滑面负角一般出现在滑体出口段，当负角较大时，会出现超常的正应力现象，国内外学者对此问题已进行过研究，有学者建议出口段条块底面倾角
2可避免负角效应。
图6.7边坡条块划分
②陡角效应
当主动滑体倾角很陡时，条块也可能出现锁定状态。有学者根据主动区土压力理论推导出滑面倾角正常范围α
2，以免出现陡角效应。
Whitman 和Bailey 建议避免条块锁定的条件
m α=cos α+sin αtg φ' =cos(α-φ' ) >0. 2 （6－7） cos
6.4.2 余推力方法计算原理
图6.8表示任意分条i 上的作用力系。条块界面的反力Di 可写为：
D i =W i sin a i +K c i cos a i -1（6－8) [C i L i +(W i cos a i -U i -K c i sin a i ) tg φi ]+D i -1ψi F s
式中：W i 为条块i 的重量
C i 、φi 为各条块底面粘结力和内摩擦角
L i 为条块i 的底面长度
对最后一条块，当坡面无外力时，应满足：
D n =D n +D n -1ψn =0 (6－12)
计算时先设定一个Fs 值，自上往下逐条计算D i 调整Fs 值直到满足D n ＝0，此时的Fs 便是所求。 0
6.4.3 瑞典法计算原理
瑞典法是圆弧形滑动面最基本的和最常用的稳定性计算方法。瑞典法忽略土条两边的法向力和剪切力。当考虑地震和地下水作用时，其计算公式为：
F s =∑[C b sec α(W i i i
i =1
n n i -U i b i ) cos αi tg φi ] （6－13） e i [W sin α+K ]∑i i c i R i =1
式中：F s ——土坡抗滑稳定安全系数；
W i ——土条自重；
b i ——土条宽度；
αi ——土条底边倾角；
C i ——土的有效粘聚力；
φi ——土的有效内摩擦角；
R ——滑弧半径；
e i ——土条中心至滑动圆心的垂直距离；
U i ——作用于土条底边上的孔隙水压力；
K c ——综合地震系数。
有关符号见图6.9，只是在力系分析中忽略条间剪切力X 和推力E 。
6.4.4 简化Bishop 法计算原理
Bishop 法是圆弧形滑动面的普遍使用的稳定性计算方法，且满足所有条块力的平衡条件，当考虑地震和地下水作用时，其计算公式为： 1∑i =1m ai n {C i ⋅b i +[W i -U i b i +(X i -X i +1)]tan φi }
e i [W sin α+K ]∑i i c i R i =1n F s = （6－14）
m ai =cos αi +tg φ⋅sin α （6－15） s
式中E i 及X i 分别表示法向及切向条间力，W i 为条块自重，K ci 为水平地震作
用力，c i 、φi 分别为材料的有效粘结力和内摩擦角，其他符号见图6.9。
上式中各条块间作用X i 是未知的，通过迭代可求出满足每一条块力平衡条
件的安全系数F s 。精确的Bishop 法计算比较复杂，为此，Bishop 提出了假定X i ＝0简化法。研究表明，简化Bishop 法与精确计算方法的计算成果很接近。因此简化Bishop 法是计算圆弧型破坏最常用的方法，计算精度也较高。
6.5 潜在滑面的优化方法
对于边坡工程稳定性评价，在既定的边坡几何形状下，运用极限平衡分析方法，任何假定的破坏面总存在一个与之对应的安全系数Fs ，而且，在所考虑的随机破坏面中，总存在着一个最小安全系数minFs 的最危险破坏面，相应于最危险破坏面的minFs 即为边坡稳定性极限平衡分析的评价指标，确定最危险破坏面的过程即为边坡可能破坏面优化求解过程。
采用先进可靠的优化方法，快速而准确地搜索并确定边坡最危险破坏面及最小安全系数minFs ，是边坡稳定性分析研究的关键。人们已经发现，无论介质物理力学参数多么准确，如果找不到真正的临界滑动面，计算精度大打折扣；有时找到的临界滑动面远离真实，导致整个分析的失败。
多年来，国内外诸多学者致力于任意形状临界滑动面求解问题的研究。归纳起来有以下几种方法：
①经验试凑法
在主滑面穿过已知的软弱面，滑面其余部分近似假设我直线或圆弧，凭经验
凑出最小安全系数。双滑面法、改良圆弧法便属于此类。经验试凑法要求计算者必须具有相当丰富的近似经验与工程判断能力，另外近似工程繁复，不易编制通用程序，结果可信度较低，如情况稍微复杂，试凑法难以解决。在没有别的有效方法出现时，经验试凑法确也解决了不少工程问题。现代近似技术的发展，已使经验试凑法逐渐退出历史舞台，代之以更科学更理性的求解方法。
②解析法
边坡安全系数是以滑动面位臵函数为自变量的泛函，变分法是求解泛函极值的经典解析法。变分法需要求解复杂的微分方程（泛函转换过来的欧拉方程），即使边坡介质均匀，只要边坡面形状稍作改变，欧拉方程需要重新求解，在多数情况下，变分法无法取得成功，不便在工程中应用。
③动态规划法
70年代末，国外学者使用动态规划法计算边坡最小安全系数与最危险破坏面。动态规划法作为数学规划的一个重要方法，广泛应用于工程领域，该方法宜解决离散状态下状态方程符合贝尔曼条件如动态寻优问题。边坡滑动面在状态空间内是理想分布的，在计算精度要求不高的情况下，可以近似将连续状态空间离散为一系列状态点，将滑动面人为固定在这些状态点上。动态规划法已解决某些假设条件下如Spcncer 法的临界滑动面求解问题，状态空间的离散化引起的误差是较大的，而加密状态点引起的计算量的增加是难以承受的，因此动态规划解比较粗糙，在工程中的应用也比较有限，但该法开创了临界滑动面与最小安全系数同步求解的先例，具有理论意义。
④随机搜索法
为了搜寻整体极值，应用均匀随机数在状态空间内构筑大量随机自变量，以期捕获最小的目标函数。纯粹随机方法计算工作量极为庞大，结果也不令人满意，方法本质仍不能摆脱盲目搜索的泥潭。有的学者将随机搜索的结果作为优化的初始值，促进优化收敛于整体极值，具有一定的实用性。
综上所述，最危险破坏面的求解是极其困难的。经验试凑法远不够解决实际问题，又缺乏科学性；纯解析法无法付诸实际工程应用；动态规划法又受到各种条件限制；随机搜索法也带有盲目或半盲目性。理论界迫切希望有一种优化求解方法逼近理论解，确保最危险破坏面在理论解附近，误差能控制在一定的限度内；
工程界也希望有一种实用的计算方法，能迅速、准确求解最危险破坏面。
近几十年来，针对这一目标的研究十分活跃，取得了可喜的进展，提出了最优化求解方法――单纯形加速法，此法能摒弃上述方法之不足，能迅速、准确地搜寻出边坡最危险破坏面，边坡最小安全系数在搜寻工程中自动生成。单纯形加速法作为独立的确定边坡最危险破坏面的新手段，具有一定的理论意义和实际工程价值。
6.5.1 单纯形加速法求解基本假定
1、确定圆弧型剪切破坏面的基本假定
确定圆弧型剪切破坏面的基本假定如下：
① 圆弧型破坏面位臵控制随机变量为圆心坐标（x 0，y 0），相应的目标函数
定义为minz=minF(x0，y 0）。
② 由于圆心坐标（x 0，y 0）两随机变量变化的不确定性，避免破坏面与边坡
面不相交，选用另一有效随机变量X c ，相应的目标函数定义为minz=minF(Xc ) 。
X c 为边坡面上任意随机点（x c ，y c ）横坐标，纵坐标y c 可通过边坡几何特征
坐标插值求得。
③ 随机变量x 0，y 0，X c 满足下列目标表达式
(x0-x A ) 2+(y0-y A ) 2=(x0-x c ) 2+(y0-y c ) 2
式中：x A －破坏面下部剪出口横坐标；
y A －破坏面下部剪出口纵坐标；
圆弧型剪切破坏面几何形状如下图所示。
2、确定平面剪切破坏面的基本假定
①直接构成边坡的或临近边坡的岩层接触面、层面或断层可能成为上部顺层滑动的破坏面。考虑到地层的厚度、延深的连贯性及层面强度指标，基于工程判断，边坡上部滑面一般为顺坡向的节理面或以矿体与蛇纹岩（φS ）、片理化蛇纹岩（φSP ）构成的岩层接触面为其主要滑面。
②从宏观上可以认为软弱地层的上下界线是确定的。由于我们承认层理面的连续性，故层理面的较大的起伏形状主要受地层厚度变化的影响。就是说，某一层面的延深形成可以用有限个点L i 连接的折线来描述。如图6.10所示，a i 表示软弱层底界线，b i 表示软弱岩层顶界线，其中i ＝1,2……m 。构成滑动面的层面上各点座标为：
L 1(x L 1, y L 1), L 2(x L 2, y L 2),
, L m (x Lm , y Lm )
y
相对高度m
水平距离m
图6.10 破坏面的几何形状示意图
计算中，相应每个点L i 的y Li 座标（y L1,y L2, …y Lm ）分别视作常量，即x Li 在y Li 水平上平移。于是，在软弱岩层内，变量x Li 可以用下式求得：
x L 1=
x L 1-a 1
(b i -a i ) +a i （6－16）
b 1-a 1
③ 破坏面的下部剪切段，在没有明显发育的不利方向不连续面的情况下，认为剪切方向只能沿剪切阻力最小的面发生，并从坡脚剪出，同样可用有限个点S i 即其与上部滑动面、所穿过岩层界面的交点连接的折线表示（图6.10）它们相应的座标为：
S 1(x s 1, y s 1), S 2(x s 2, y s 1) S n -1(x Sn -1, y Sn -1)
其中x Li 为独立变量。 6.5.2 单纯形加速法求解原理
可见，在强度值和载荷均确定的情况下，边坡状态函数的基本变量仅仅为确定破坏面的座标值，即
Z =F [(x 1y 1), (x 2y 2), (x n y n )] （6－17）
又因y i 为x i 所决定的值，故状态函数值完全由x i 所决定，所以，式（6－17）可写作
Z =F (x 1, x 2 , x n ) （6－18）
这里我们定义状态函数值为安全系数，目标函数则为安全系数最小，则
MinZ =MinF (x 1, x 2 , x n ) （6－19）
对应MinZ 的破坏面则为临界破坏面。
这是一个无约束条件下多变量函数的寻优问题。因为式（6－18）不能写出其显式，若用梯度法求解，只能采用近似计算求目标函数的梯度，不仅增加了计算工作量，而且会影响寻优的收敛性。为此，我们采用单纯形加速法来求解。
单纯形加速法的基本思想是：首先计算出若干滑面对应的安全系数F i (X)，进行比较，从它们的大小关系判断出安全系数F(X)的变化趋势，作为寻找下一次更小安全系数对应的破坏面的参考。
根据式（6－18），安全系数F 由n 个座标是（x 1，x 2，…x n ）决定，则可以首先找出n+1个滑面X 0，X 1…，X n ，X i 代表了一个滑面X i ＝{xi1,x i2, …x in }，则寻优过程为：
1、计算安全系数值F i ＝F(Xi ) (i＝0,1, …,n) ，比较n+1个滑面对应的安全系数F 0,F 1, …,F n 的大小，找出安全系数最大的滑面X H 及最小的滑面X L ，即
⎧F K =F (X H ) =MaxF i
⎨
⎩F L =F (X L ) =MinF i
(i =0, 1, , n )
（6－20）
以及除H 滑面之外的安全系数最大滑面X G
F G =F (X G ) =MaxF i
(i =0, 1, , n i ≠H ) （6－21）
2、计算反射点，即可能安全系数更小的滑面X R ，即
2n
X R =(∑X i -X H ) -X H （6－22）
n i =0
3、若F R ＝F （X R ）≥F （X G ），则压缩步长，令
X S =(1-λ) X H +λX R （6－23）
式中，λ为压缩因子，0
4、若FR
X E =(1-μ) X H +μX R （6－24）
式中，μ为放大因子，μ
＝X R 。
5、若F(XS )
X i =(X i +X L ) /2
6、继续上述过程，直至满足
(i =0, 1, , n ) （6－25）
|
F (X H ) -F (X L )
|≤ε （6－26）
F (X L )
计算中，初始单纯形产生，可取一正数h ，令Xi ＝X0＋hEi ，Ei 为单位向量，E1＝(1,0,0…,0)T ，E2＝(0,1,0…,0)T ，…，En ＝(0,0…,1)T 。h ＝0.5～2。 6.5.3 渗流在稳定性计算中处理方法
对于存在地下水的边坡，水下条块的重量都应按饱和容重计算，同时还要考虑滑动面上的孔隙水压力（静水压力）和作用于坡面上的水压力，地下水边坡稳定性计算力系分析如图6.11所示。
在图6.11中，静水面EF 以下边坡岩体内的孔隙水压力合力为P 1、坡体坡面上的水压力合力为P 2，在重心位臵还作用有孔隙水的重量和岩土浮力的反作用力（其合力大小等于EF 面以下滑动岩土体的同体积水重，以G w 表示），因为是静水，这三个力组成一平衡力系。也就是说，滑动岩土体周界上的水压力P 1和P 2的合力与G w 大小相等，方向相反。因此，在静水条件下周界上的水压力对滑动岩土体的影响就可用静水面以下滑动体所受的浮力来代替，这实际上相当于水下条块重量均按浮容重计算。因此，存在有地下水坡体的安全系数，其计算公式与无地下水边坡完全一样，只要将地下水位以下岩土的容重用浮容重γ代替即可。另外，由于P 1的作用线通过圆心，根据力矩平衡条件，P 2对圆心的力矩也恰好与G W 对圆心的力矩相互抵消。
图6.11 地下水边坡稳定性计算力系分析
6.5.4 张裂缝深度计算
滑体抗滑区允许条块间拉力存在，以便能计算最终剩余推力，滑体下滑区，不应存在条块间拉力，但在滑体上部近地表，由于介质凝聚力C 的作用，顶部几个条块常出现拉力，这种拉力如计入剩余推力的计算，会导致边坡稳定程度的高估，从本质上来说，岩土介质是不抗拉，坡体顶部拉力可用张裂缝消除。实际上，滑体张裂缝是经常可见的，张裂缝深度计算原则是坡顶条块间拉力不再存在或张裂缝以上土体处于极限自稳状态。
取无穷小岩体条块，该条块的最大自稳高度便是张裂缝深度，如图6.12所示。
设土条破裂面倾角α，土条极限平衡条件：
γbZ c sin α=γbZ c cos αtg Φ+Cb /cos α
Zc =
C
1
γcos α(sinα-cos αtg Φ)
由
dZ c
=0得
d α
Zc =
2C Φ
γtg (45︒-)
2
（6－27）
图6.12 张裂缝分析图
如张裂缝充水，图6.13坡体承受初始水压力P 1
P 1=
12γω⋅h ω （6－28） 2
γw 为水容重，h w 为裂缝充水高度
图6.13 张裂缝充水
6.5.5 允许安全系数的确定
边坡安全系数是衡量边坡稳定性的最终定量指标，它与边坡稳定性研究各项工作内容的原理、方法、代表性、可靠性以及各项定量参数的取用、边坡的高陡程度和服务年限、工程的重要性等有关，因此，最小允许安全系数的确定是一个非常复杂的专家系统问题。
在边坡极限平衡分析中，安全系数Fs ＝1时，边坡处于极限平衡状态。在理论上，只要Fs 稍大于1（Fs ＝1+
ε，ε为任意小的正数），边坡就是稳定的；
反之，边坡就失稳。但在现阶段，对于边坡工程实际问题，人们很难做到恰使边坡安全系数Fs ＝1+ε的程度，常使Fs ＝1+ω（ω为小于1的正数），以作安全储备。在具体的稳定性分析验算中，常以强度、水压和地震设防来储备。
由于安全系数的大小与企业的经济效益直接相关，所以在实际工程中，常据不同的研究程度、不同的研究方法、不同的安全要求和不同的工程对象等因素来确定。国内外边坡研究专家对露天矿边坡一般取用最小允许安全系数在Fs ＝1.10～1.50之间，多数场合下取F ＝1.15～1.3(《岩土工程勘察规范》GB50021-2000规定) 。本次研究中，在取值时主要考虑下列因素：
1、边坡的实际暴露情况、研究基础工作深度，基础资料是否准确，试验方法的合理性，试验所获得参数的可靠性。
2、稳定性计算参数取值对安全储备的考虑。
3、稳定性计算工程模型的概化、处理及其计算方法所造成的可能误差的估计。
4、工程的服务年限、规模、边坡的几何形状及其所处空间位臵的重要性，受地质灾害的危害及损失。