专题三十三 线面之间的位置关系（二）
【考点分析】
从近两年的高考试题来看，直线与平面垂直的判定，以及平面与平面垂直的判定是高考
的热点，题型既有填空题，也有解答题，难度为中等偏底；本节主要考查方式有：一是线面
垂直的判定与性质，利用线面垂直的性质和判定进行简单的证明．二是面面垂直的判定与性
质．主要考查线⊥线, 线⊥面, 面⊥面的转化思想．三是的有关平行与垂直的综合应用问题，
考查学生的空间想象能力以及逻辑推理能力．
【基础再练】
1．已知l 与m 是两条不同的直线，若直线l ⊥平面α，①若直线m ⊥l ，则m //α；②若m ⊥α，
则m //l ；③若m ⊂α，则m ⊥l ；④m //l ，则m ⊥α．上述判断正确的是 .
解析：①中如m ⊂α，则命题不成立. A
答案：②③④. F 2．已知AH ⊥Rt ∆HEF 所在的平面，且HE ⊥EF ，连结AE 、AF ，
则图中直角三角形的个数是 个. H
解析：Rt △HEF ，Rt △AHF ，Rt △AHE ，Rt △AEF.
答案: 4个.
3．设α，β是空间两个不同的平面，m ，n 是平面α及β外的两条不同直线．从“①m ⊥n ；
②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确
的一个命题： （用代号表示）．
答案：①③④⇒②（或②③④⇒①）.
4．（2011届苏州市高三调研）设α, β为两个不重合的平面，m , n 为两条不重合的直线，给
出下列四个命题：
①若m ⊥n , m ⊥α, n ⊄α则n ∥α；②若α⊥β, α⋂β=m , n ⊂α, n ⊥m , 则n ⊥β；
③若m ⊥n , m ∥α，n ∥β，则α⊥β；④若n ⊂α, m ⊂β, α与β相交且不垂直，则n
与m 不垂直. 其中，所有真命题的序号是 .
解析：③错误，α, β相交或平行；④错误，n 与m 可以垂直，不妨令n =α β，则在β内
存在m ⊥n .
答案：①②．
5．如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧棱P A =a ，
PB =PD
= ，则它的5个面中，互相垂直的面有_____________对.
解析：平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AB ⊥平面P AD ，
平面P AB ⊥平面PBC ，平面P AD ⊥平面PCD . 共有5对.
答案：5
【经典导引】
题型一：线面垂直的判定与性质
【知识回顾】
（1）定义：如果一条直线l 和一个平面α相交，并且和平面α内的 直线都垂直，
我们就说直线l 和平面αl 叫做平面的 ，平面α叫做直线l
的 , 直线与平面的交点叫做垂足．直线l 与平面α垂直记作：l ⊥α．
（2）直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条 都垂直，那么
这条直线垂直于这个平面．
（3）直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面, 那么这两条直线 ．
答案：任意一条，垂线，垂面，相交直线，平行
例1、在几何体ABCDE 中，∠BAC=π，DC ⊥平面ABC ，EB ⊥平面ABC ，F 是BC 的中2
点，AB=AC=BE=2，CD=1
E （1）求证：DC ∥平面ABE ；
（2）求证：AF ⊥平面BCDE ； （3）求证：平面AFD ⊥平面AFE ．
解析：(1) ∵DC ⊥平面ABC ，EB ⊥平面ABC ∴DC//EB， 又∵DC ⊄平面ABE ，EB ⊂平面ABE ，
B
∴DC ∥平面ABE
(2)∵DC ⊥平面ABC ， ∴DC ⊥AF ， 又∵AF ⊥BC ， ∴AF ⊥平面BCDE
(3)由(2)知AF ⊥平面BCDE ，
∴AF ⊥EF ，在三角形DEF 中，由计算知DF ⊥EF ，
∴EF ⊥平面AFD ，又EF ⊂平面AFE ， ∴平面AFD ⊥平面AFE ．
变式：（2010年江苏卷16）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1，
AB=2，AB ∥DC ，∠BCD=900.
(1)求证：PC ⊥BC ；
(2)求点A 到平面PBC 的距离.
解析：（1）证明：因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，
所以PD ⊥BC. 由∠BCD=900，得CD ⊥BC ，
又PD DC=D，PD 、DC ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PCD.
因为PC ⊂平面PCD ，故PC ⊥BC.
（2）（方法一）分别取AB 、PC 的中点E 、F ，连DE 、DF ，则易证DE ∥CB ，
DE ∥平面PBC ，点D 、E 到平面PBC 的距离相等.
又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍.
由（1）知：BC ⊥平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC ，
因为PD=DC，PF=FC，所以DF ⊥PC ，所以DF ⊥平面PBC 于F.
易知
A 到平面PBC
（方法二）体积法：连结AC. 设点A 到平面PBC 的距离为h.
因为AB ∥DC ，∠BCD=900，所以∠ABC=900. 从而AB=2，BC=1，
得∆ABC 的面积S ∆ABC =1. 由PD ⊥平面ABCD 及PD=1，得三棱锥
11P-ABC 的体积V =S ∆ABC ⋅PD =. 33
因为PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，
所以PD ⊥DC. 又PD=DC=1
，所以PC ==由PC ⊥BC ，BC=1，得∆PBC
的面积S ∆PBC =. 11由V A -PBC =V P -ABC ，S PBC ⋅h =V
=，得h A 到平面PBC
33
题型二：面面垂直的判定与性质
【知识回顾】
1、两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面．
2、两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互
相垂直．（线面垂直⇒面面垂直）．
3、两平面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的
直线垂直于另一个平面．（面面垂直⇒线面垂直）．
例2．（2010年辽宁卷）如图，棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，B 1C ⊥A 1B
（1）证明：平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1；
（2）设D 是AC 11上的点，且A 1D :DC 1的值. 1B //平面B 1CD ，求A
解析：（1）因为侧面BCC 1B 1是菱形，所以B 1C ⊥BC 1
又已知B 1C ⊥A 1B , 且A 1B ⋂BC 1=B 所又B 1C ⊥平面A 1BC 1，又B 1C ⊂平面AB 1C ， 所以平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1 .
（2）设BC 1交B 1C 于点E ，连结DE ，
则DE 是平面A 1BC 1与平面B 1CD 的交线，
因为A 1B//平面B 1CD ，所以A 1B//DE.又E 是BC 1的中点，所以D 为A 1C 1的中点.
即A 1D ：DC 1=1.
题型三：平行和垂直的综合问题
例3、如图，四棱锥P —ABCD 中， PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，
CD ⊥AD ，CD=2AB，E 为PC 中点．
(1) 求证：平面PDC ⊥平面PAD ；
(2) 求证：BE//平面PAD ．
⎫CD ⊥面PAD ⎫⎪证明：（1）由PA ⊥平面ABCD ⇒PA ⊥CD ⇒⎬⎬ CD ⊂面PCD ⎭PA ⋂AD =A ⎪⎭CD ⊥AD
⇒平面PDC ⊥平面PAD ； （2）取PD 中点为F ，连结EF 、AF ，由E 为PC 中点， 得EF 为△PDC 的中位线，则EF//CD，CD=2EF．
D C 又CD=2AB，则EF=AB．由AB//CD，则EF ∥AB ．
所以四边形ABEF 为平行四边形，则BE//AF．
由AF ⊂面PAD ，BE ⊄平面PAD ，则BE//面PAD ． B
变式：如图，在三棱锥V -ABC 中，VC ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，1是AB 的中点，且
π⎫⎛AC =BC =a ，∠VDC =θ 0
（2）试确定角θ的值，使得直线BC 与平面VAB 所成的角为π． 6
解：（1）∵AC =BC =a ，∴△ACB 是等腰三角形，又D 是∴AP =(0，0，3) 的中点，
∴CD ⊥AB ，又VC ⊥底面ABC ．∴VC ⊥AB ．于是AB ⊥平面VCD ．
又PAC 平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ．
（2） 过点C 在平面VCD 内作CH ⊥VD 于H ，则由（Ⅰ）知CH ⊥平面VAB ．
连接BH ，于是∠CBH 就是直线BC 与平面VAB 所成的角． πsin θ； ，所以在Rt △CHD
中，CH =6
πa ππ在Rt △BHC 中，CH =a
sin =，∴sin θ= ∵0
ππ故当θ=时，直线BC 与平面VAB 所成的角为． 64
【策略争分】
1．判断有关立体几何的命题时真假时，一要注意依据定理条件才能得出结论，二是否定时
只需举一个反例，三要会寻找恰当的特殊模型进行筛选
2．在已知面面垂直时，一般要用性质定理，即在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线
面垂直，然后进一步转化为线线垂直，要熟练掌握“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间
的转化条件和转化运用．
3．在证明两平面垂直时，一般方法中先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图
中不存在，则可作辅助线来解决；而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不要随意
添加．
【强化训练】
1．(2011·北京西城模拟) 若l 为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命
题：①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；③l ∥α，l ⊥β⇒α⊥β. 其中正确的命题有 解析：对于①，α与β可能平行，故错．②③正确
答案：②③
2. 如图，在三棱锥D －ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列命题中正确
的有__________(填序号)
①平面ABC ⊥平面ABD ；②平面ABD ⊥平面BCD
③平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ACD ⊥平面BDE
④平面ABC ⊥平面ACD ，且平面ACD ⊥平面BDE
解析：因为AB ＝CB ，且E 是AC 的中点，所以BE ⊥AC ，同理有
DE ⊥AC ，于是AC ⊥平面BDE . 因为AC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥
平面BDE . 又由于AC ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BDE . 故只有③正确．
答案：③
3．(2011·扬州模拟) 已知二面角M －l －N 的平面角是60°，直线a ⊥M ，则直线a 与平面N
所成角的大小为________．
解析：如图，二面角M －l －N 中a ⊥M ，垂足为A ，交平面N 于B ，过
A 作AC ⊥l 垂足为C . 连结BC . 根据三垂线定理有BC ⊥l . 所以∠ACB 为二
面角M －l －N 的平面角．∠ACB ＝60°， 依题意∠CBH =
∵a ⊥M ⎫⇒∠ABC ＝30°. 过A 作AE ⊥BC ，垂足为E . ⎬⇒∠BAC ＝90°AC ⊂M ⎭
l ⊥平面ABC ⎫⎪⎬⇒AE ⊥l ，∴AE ⊥平面N ， ∵⎪AE ⊂平面ABC ⎭
∴∠ABC ＝30°是直线a 与平面N 所成的角．
答案：30°
4．(2010·合肥第一次质检) 设α、β、γ为彼此不重合的三个平面，l 为直线，给出下列命题：
①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ；②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l ，则l ⊥γ；
③若直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则直线l 与平面α垂直；
④若α内存在不共线的三点到β的距离相等，则平面α平行于平面β.
上面命题中，真命题的序号为________(写出所有真命题的序号) ．
解析：由题可知③中无数条直线不能认定为任意一条直线，所以③错，④中的不共线的三点有可能是在平面β的两侧，所以两个平面可能相交可能平行，故填①②.
答案：①②
5．(2010·山东临沂) 在直平行六面体AC 1中，四边形ABCD 是菱形，∠DAB ＝
60°，AC ∩BD ＝O ，AB ＝AA 1.
(1)求证：C 1O ∥平面AB 1D 1；
(2)求证：平面AB 1D 1⊥平面ACC 1A 1.
证明：(1)连接A 1C 1交B 1D 1于O 1，连接AO 1.
在平行四边形AA 1C 1C 中，C 1O 1∥AO ，C 1O 1＝AO ，
∴四边形AOC 1O 1为平行四边形，∴C 1O ∥AO 1.
∵C 1O ⊄平面AB 1D 1，AO 1⊂平面AB 1D 1，
∴C 1O ∥平面AB 1D 1.
(2)在直平行六面体AC 1中，A 1A ⊥平面A 1B 1C 1D 1，∴A 1A ⊥B 1D 1.
∵四边形A 1B 1C 1D 1为菱形，∴B 1D 1⊥A 1C 1.
∵A 1C 1∩AA 1＝A 1，A 1C 1⊂平面ACC 1A 1，AA 1⊂平面ACC 1A 1，
∴B 1D 1⊥平面ACC 1A 1.
∵B 1D 1⊂平面AB 1D 1，∴平面AB 1D 1⊥平面ACC 1A 1.
6．(2010·北京海淀) 如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，
AA 1＝AD ＝2. 点E 为AB 中点．
(1)求三棱锥A 1－ADE 的体积；(2)求证：A 1D ⊥平面ABC 1D 1；
(3)求证：BD 1∥平面A 1DE .
解：(1)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，
1因为AB ＝1，E 为AB 的中点，所以，AE ＝. 又因为AD ＝2， 2
1111所以S △ADE ＝AD ·AE ＝×2×＝. 又AA 1⊥底面ABCD ，AA 1＝2， 2222
1111所以三棱锥A 1－ADE 的体积V ＝S △ADE ·AA 1＝×2＝. 3323
(2)证明：因为AB ⊥平面ADD 1A 1，A 1D ⊂平面ADD 1A 1，所以AB ⊥A 1D .
因为ADD 1A 1为正方形，所以AD 1⊥A 1D . 又AD 1∩AB ＝A ，
AD 1⊂平面ABC 1D 1，AB ⊂平面ABC 1D 1，所以A 1D ⊥平面ABC 1D 1.
(3)证明：设AD 1，A 1D 的交点为O ，连结OE . 因为ADD 1A 1为正方形，
所以O 是AD 1的中点，在△AD 1B 中，OE 为中位线，所以OE ∥BD 1.
又OE ⊂平面A 1DE ，BD 1⊄平面A 1DE ，所以BD 1∥平面A 1DE .
7．(2010·茂名模拟) 如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠B ＝90°，DC ∥AB ，CD 1＝AB ，G 为线段AB 的中点，将 △ADG 沿GD 折起，使平面ADG ⊥平面BCDG ，2
得到几何体A －BCDG .
(1)若E ，F 分别为线段AC ，AD 的中点，求证：EF ∥平面ABG ；
(2)求证：AG ⊥平面BCDG
.
证明：(1)依题意，折叠前后CD 、BG 的位置关系不改变，
∴CD ∥BG .
∵E 、F 分别为线段AC 、AD 的中点，
∴在△ACD 中，EF ∥CD ，∴EF ∥BG .
又EF ⊄平面ABG ，BG ⊂平面ABG ，∴EF ∥平面ABG .
(2)将△ADG 沿GD 折起后，AG 、GD 的位置关系不改变，∴AG ⊥GD .
又平面ADG ⊥平面BCDG ，平面ADG ∩平面BCDG ＝GD ，AG ⊂平面AGD ， ∴AG ⊥平面BCDG .
专题三十三 线面之间的位置关系（二）
【考点分析】
从近两年的高考试题来看，直线与平面垂直的判定，以及平面与平面垂直的判定是高考
的热点，题型既有填空题，也有解答题，难度为中等偏底；本节主要考查方式有：一是线面
垂直的判定与性质，利用线面垂直的性质和判定进行简单的证明．二是面面垂直的判定与性
质．主要考查线⊥线, 线⊥面, 面⊥面的转化思想．三是的有关平行与垂直的综合应用问题，
考查学生的空间想象能力以及逻辑推理能力．
【基础再练】
1．已知l 与m 是两条不同的直线，若直线l ⊥平面α，①若直线m ⊥l ，则m //α；②若m ⊥α，
则m //l ；③若m ⊂α，则m ⊥l ；④m //l ，则m ⊥α．上述判断正确的是 .
解析：①中如m ⊂α，则命题不成立. A
答案：②③④. F 2．已知AH ⊥Rt ∆HEF 所在的平面，且HE ⊥EF ，连结AE 、AF ，
则图中直角三角形的个数是 个. H
解析：Rt △HEF ，Rt △AHF ，Rt △AHE ，Rt △AEF.
答案: 4个.
3．设α，β是空间两个不同的平面，m ，n 是平面α及β外的两条不同直线．从“①m ⊥n ；
②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确
的一个命题： （用代号表示）．
答案：①③④⇒②（或②③④⇒①）.
4．（2011届苏州市高三调研）设α, β为两个不重合的平面，m , n 为两条不重合的直线，给
出下列四个命题：
①若m ⊥n , m ⊥α, n ⊄α则n ∥α；②若α⊥β, α⋂β=m , n ⊂α, n ⊥m , 则n ⊥β；
③若m ⊥n , m ∥α，n ∥β，则α⊥β；④若n ⊂α, m ⊂β, α与β相交且不垂直，则n
与m 不垂直. 其中，所有真命题的序号是 .
解析：③错误，α, β相交或平行；④错误，n 与m 可以垂直，不妨令n =α β，则在β内
存在m ⊥n .
答案：①②．
5．如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧棱P A =a ，
PB =PD
= ，则它的5个面中，互相垂直的面有_____________对.
解析：平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AB ⊥平面P AD ，
平面P AB ⊥平面PBC ，平面P AD ⊥平面PCD . 共有5对.
答案：5
【经典导引】
题型一：线面垂直的判定与性质
【知识回顾】
（1）定义：如果一条直线l 和一个平面α相交，并且和平面α内的 直线都垂直，
我们就说直线l 和平面αl 叫做平面的 ，平面α叫做直线l
的 , 直线与平面的交点叫做垂足．直线l 与平面α垂直记作：l ⊥α．
（2）直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条 都垂直，那么
这条直线垂直于这个平面．
（3）直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面, 那么这两条直线 ．
答案：任意一条，垂线，垂面，相交直线，平行
例1、在几何体ABCDE 中，∠BAC=π，DC ⊥平面ABC ，EB ⊥平面ABC ，F 是BC 的中2
点，AB=AC=BE=2，CD=1
E （1）求证：DC ∥平面ABE ；
（2）求证：AF ⊥平面BCDE ； （3）求证：平面AFD ⊥平面AFE ．
解析：(1) ∵DC ⊥平面ABC ，EB ⊥平面ABC ∴DC//EB， 又∵DC ⊄平面ABE ，EB ⊂平面ABE ，
B
∴DC ∥平面ABE
(2)∵DC ⊥平面ABC ， ∴DC ⊥AF ， 又∵AF ⊥BC ， ∴AF ⊥平面BCDE
(3)由(2)知AF ⊥平面BCDE ，
∴AF ⊥EF ，在三角形DEF 中，由计算知DF ⊥EF ，
∴EF ⊥平面AFD ，又EF ⊂平面AFE ， ∴平面AFD ⊥平面AFE ．
变式：（2010年江苏卷16）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1，
AB=2，AB ∥DC ，∠BCD=900.
(1)求证：PC ⊥BC ；
(2)求点A 到平面PBC 的距离.
解析：（1）证明：因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，
所以PD ⊥BC. 由∠BCD=900，得CD ⊥BC ，
又PD DC=D，PD 、DC ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PCD.
因为PC ⊂平面PCD ，故PC ⊥BC.
（2）（方法一）分别取AB 、PC 的中点E 、F ，连DE 、DF ，则易证DE ∥CB ，
DE ∥平面PBC ，点D 、E 到平面PBC 的距离相等.
又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍.
由（1）知：BC ⊥平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC ，
因为PD=DC，PF=FC，所以DF ⊥PC ，所以DF ⊥平面PBC 于F.
易知
A 到平面PBC
（方法二）体积法：连结AC. 设点A 到平面PBC 的距离为h.
因为AB ∥DC ，∠BCD=900，所以∠ABC=900. 从而AB=2，BC=1，
得∆ABC 的面积S ∆ABC =1. 由PD ⊥平面ABCD 及PD=1，得三棱锥
11P-ABC 的体积V =S ∆ABC ⋅PD =. 33
因为PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，
所以PD ⊥DC. 又PD=DC=1
，所以PC ==由PC ⊥BC ，BC=1，得∆PBC
的面积S ∆PBC =. 11由V A -PBC =V P -ABC ，S PBC ⋅h =V
=，得h A 到平面PBC
33
题型二：面面垂直的判定与性质
【知识回顾】
1、两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面．
2、两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互
相垂直．（线面垂直⇒面面垂直）．
3、两平面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的
直线垂直于另一个平面．（面面垂直⇒线面垂直）．
例2．（2010年辽宁卷）如图，棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，B 1C ⊥A 1B
（1）证明：平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1；
（2）设D 是AC 11上的点，且A 1D :DC 1的值. 1B //平面B 1CD ，求A
解析：（1）因为侧面BCC 1B 1是菱形，所以B 1C ⊥BC 1
又已知B 1C ⊥A 1B , 且A 1B ⋂BC 1=B 所又B 1C ⊥平面A 1BC 1，又B 1C ⊂平面AB 1C ， 所以平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1 .
（2）设BC 1交B 1C 于点E ，连结DE ，
则DE 是平面A 1BC 1与平面B 1CD 的交线，
因为A 1B//平面B 1CD ，所以A 1B//DE.又E 是BC 1的中点，所以D 为A 1C 1的中点.
即A 1D ：DC 1=1.
题型三：平行和垂直的综合问题
例3、如图，四棱锥P —ABCD 中， PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，
CD ⊥AD ，CD=2AB，E 为PC 中点．
(1) 求证：平面PDC ⊥平面PAD ；
(2) 求证：BE//平面PAD ．
⎫CD ⊥面PAD ⎫⎪证明：（1）由PA ⊥平面ABCD ⇒PA ⊥CD ⇒⎬⎬ CD ⊂面PCD ⎭PA ⋂AD =A ⎪⎭CD ⊥AD
⇒平面PDC ⊥平面PAD ； （2）取PD 中点为F ，连结EF 、AF ，由E 为PC 中点， 得EF 为△PDC 的中位线，则EF//CD，CD=2EF．
D C 又CD=2AB，则EF=AB．由AB//CD，则EF ∥AB ．
所以四边形ABEF 为平行四边形，则BE//AF．
由AF ⊂面PAD ，BE ⊄平面PAD ，则BE//面PAD ． B
变式：如图，在三棱锥V -ABC 中，VC ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，1是AB 的中点，且
π⎫⎛AC =BC =a ，∠VDC =θ 0
（2）试确定角θ的值，使得直线BC 与平面VAB 所成的角为π． 6
解：（1）∵AC =BC =a ，∴△ACB 是等腰三角形，又D 是∴AP =(0，0，3) 的中点，
∴CD ⊥AB ，又VC ⊥底面ABC ．∴VC ⊥AB ．于是AB ⊥平面VCD ．
又PAC 平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ．
（2） 过点C 在平面VCD 内作CH ⊥VD 于H ，则由（Ⅰ）知CH ⊥平面VAB ．
连接BH ，于是∠CBH 就是直线BC 与平面VAB 所成的角． πsin θ； ，所以在Rt △CHD
中，CH =6
πa ππ在Rt △BHC 中，CH =a
sin =，∴sin θ= ∵0
ππ故当θ=时，直线BC 与平面VAB 所成的角为． 64
【策略争分】
1．判断有关立体几何的命题时真假时，一要注意依据定理条件才能得出结论，二是否定时
只需举一个反例，三要会寻找恰当的特殊模型进行筛选
2．在已知面面垂直时，一般要用性质定理，即在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线
面垂直，然后进一步转化为线线垂直，要熟练掌握“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间
的转化条件和转化运用．
3．在证明两平面垂直时，一般方法中先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图
中不存在，则可作辅助线来解决；而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不要随意
添加．
【强化训练】
1．(2011·北京西城模拟) 若l 为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命
题：①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；③l ∥α，l ⊥β⇒α⊥β. 其中正确的命题有 解析：对于①，α与β可能平行，故错．②③正确
答案：②③
2. 如图，在三棱锥D －ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列命题中正确
的有__________(填序号)
①平面ABC ⊥平面ABD ；②平面ABD ⊥平面BCD
③平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ACD ⊥平面BDE
④平面ABC ⊥平面ACD ，且平面ACD ⊥平面BDE
解析：因为AB ＝CB ，且E 是AC 的中点，所以BE ⊥AC ，同理有
DE ⊥AC ，于是AC ⊥平面BDE . 因为AC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥
平面BDE . 又由于AC ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BDE . 故只有③正确．
答案：③
3．(2011·扬州模拟) 已知二面角M －l －N 的平面角是60°，直线a ⊥M ，则直线a 与平面N
所成角的大小为________．
解析：如图，二面角M －l －N 中a ⊥M ，垂足为A ，交平面N 于B ，过
A 作AC ⊥l 垂足为C . 连结BC . 根据三垂线定理有BC ⊥l . 所以∠ACB 为二
面角M －l －N 的平面角．∠ACB ＝60°， 依题意∠CBH =
∵a ⊥M ⎫⇒∠ABC ＝30°. 过A 作AE ⊥BC ，垂足为E . ⎬⇒∠BAC ＝90°AC ⊂M ⎭
l ⊥平面ABC ⎫⎪⎬⇒AE ⊥l ，∴AE ⊥平面N ， ∵⎪AE ⊂平面ABC ⎭
∴∠ABC ＝30°是直线a 与平面N 所成的角．
答案：30°
4．(2010·合肥第一次质检) 设α、β、γ为彼此不重合的三个平面，l 为直线，给出下列命题：
①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ；②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l ，则l ⊥γ；
③若直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则直线l 与平面α垂直；
④若α内存在不共线的三点到β的距离相等，则平面α平行于平面β.
上面命题中，真命题的序号为________(写出所有真命题的序号) ．
解析：由题可知③中无数条直线不能认定为任意一条直线，所以③错，④中的不共线的三点有可能是在平面β的两侧，所以两个平面可能相交可能平行，故填①②.
答案：①②
5．(2010·山东临沂) 在直平行六面体AC 1中，四边形ABCD 是菱形，∠DAB ＝
60°，AC ∩BD ＝O ，AB ＝AA 1.
(1)求证：C 1O ∥平面AB 1D 1；
(2)求证：平面AB 1D 1⊥平面ACC 1A 1.
证明：(1)连接A 1C 1交B 1D 1于O 1，连接AO 1.
在平行四边形AA 1C 1C 中，C 1O 1∥AO ，C 1O 1＝AO ，
∴四边形AOC 1O 1为平行四边形，∴C 1O ∥AO 1.
∵C 1O ⊄平面AB 1D 1，AO 1⊂平面AB 1D 1，
∴C 1O ∥平面AB 1D 1.
(2)在直平行六面体AC 1中，A 1A ⊥平面A 1B 1C 1D 1，∴A 1A ⊥B 1D 1.
∵四边形A 1B 1C 1D 1为菱形，∴B 1D 1⊥A 1C 1.
∵A 1C 1∩AA 1＝A 1，A 1C 1⊂平面ACC 1A 1，AA 1⊂平面ACC 1A 1，
∴B 1D 1⊥平面ACC 1A 1.
∵B 1D 1⊂平面AB 1D 1，∴平面AB 1D 1⊥平面ACC 1A 1.
6．(2010·北京海淀) 如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，
AA 1＝AD ＝2. 点E 为AB 中点．
(1)求三棱锥A 1－ADE 的体积；(2)求证：A 1D ⊥平面ABC 1D 1；
(3)求证：BD 1∥平面A 1DE .
解：(1)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，
1因为AB ＝1，E 为AB 的中点，所以，AE ＝. 又因为AD ＝2， 2
1111所以S △ADE ＝AD ·AE ＝×2×＝. 又AA 1⊥底面ABCD ，AA 1＝2， 2222
1111所以三棱锥A 1－ADE 的体积V ＝S △ADE ·AA 1＝×2＝. 3323
(2)证明：因为AB ⊥平面ADD 1A 1，A 1D ⊂平面ADD 1A 1，所以AB ⊥A 1D .
因为ADD 1A 1为正方形，所以AD 1⊥A 1D . 又AD 1∩AB ＝A ，
AD 1⊂平面ABC 1D 1，AB ⊂平面ABC 1D 1，所以A 1D ⊥平面ABC 1D 1.
(3)证明：设AD 1，A 1D 的交点为O ，连结OE . 因为ADD 1A 1为正方形，
所以O 是AD 1的中点，在△AD 1B 中，OE 为中位线，所以OE ∥BD 1.
又OE ⊂平面A 1DE ，BD 1⊄平面A 1DE ，所以BD 1∥平面A 1DE .
7．(2010·茂名模拟) 如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠B ＝90°，DC ∥AB ，CD 1＝AB ，G 为线段AB 的中点，将 △ADG 沿GD 折起，使平面ADG ⊥平面BCDG ，2
得到几何体A －BCDG .
(1)若E ，F 分别为线段AC ，AD 的中点，求证：EF ∥平面ABG ；
(2)求证：AG ⊥平面BCDG
.
证明：(1)依题意，折叠前后CD 、BG 的位置关系不改变，
∴CD ∥BG .
∵E 、F 分别为线段AC 、AD 的中点，
∴在△ACD 中，EF ∥CD ，∴EF ∥BG .
又EF ⊄平面ABG ，BG ⊂平面ABG ，∴EF ∥平面ABG .
(2)将△ADG 沿GD 折起后，AG 、GD 的位置关系不改变，∴AG ⊥GD .
又平面ADG ⊥平面BCDG ，平面ADG ∩平面BCDG ＝GD ，AG ⊂平面AGD ， ∴AG ⊥平面BCDG .