种群数量的变化
第1课时
一、教学目标
1．知识目标
（1）说明构建种群增长模型的方法。
（2）通过探究培养液中酵母菌种群数量的变化，尝试建构种群增长的数学模型。
2．能力目标
（1）学会用数学模型解释种群数量的变化。
（2）关注人类活动对种群数量变化的影响。
（3）通过分析问题→探究数学规律→解决实际问题→建构数学模型的方法，让学生体验由具体到抽象的思维转化过程。
（4）通过和学生一起分析某种细菌的种群数量变化，让学生学会建构种群增长模型的方法。
3．情感、态度及价值观目标
（1）引导学生建构数学模型，有利于培养学生透过现象揭示本质的洞察能力；同时，通过科学与数学的整合，有利于培养学生简约、严密的思维品质。
（2）通过学生一起讨论影响种群数量变化的因素，特别是人为因素的时候，要培养学生热爱大自然的情感，能从一草一木开始保护环境。
二、教学重点难点
重点：
尝试建构种群增长的数学模型，并据此解释种群数量的变化。
难点：
建构种群增长的数学模型。
三、课时安排
2课时。
四、教学过程
导入新课
师：在之前我们学习种群的特征的时候，学习到种群不同于个体具有哪些特征？ 生：种群密度、出生率和死亡率、迁入率和迁出率、年龄组成和性别比例。
师：研究出生率和死亡率、迁入率和迁出率有什么意义？
生：这些都是决定种群大小和种群密度的重要因素。
师：研究年龄组成和性别比例有什么意义？
生：年龄组成对于预测种群数量的变化趋势具有重要意义，性别比例对种群密度也有一定的影响。
师：从中我们可以发现，研究这些特征还主要是为研究种群数量（种群密度）服务的，我们知道种群数量不是恒定不变的，而是不断变化着的，那么种群数量的变化有没有规律可循呢？既然作为种群最基本的特征，研究种群数量应该具有相当大的价值。那么，今天这堂课我们就来研究这个问题。
板书：
种群数量的变化
一、建构种群增长模型的方法
推进新课
师：在我们生活的环境中细菌无处不在，有些细菌的大量繁殖会导致疾病。假如现有一种细菌，我们在无菌培养基上培养，如果营养及各方面条件都适宜的话，细菌就会以非常快的速度在培养基上大量繁殖，数量越来越多。现在我们一起来看一下细菌分裂的录像。
（播放细菌分裂的录像）
师：看来这个录像，大家先判断一下这些细菌个体的总和能否称为一个种群？
生：是一个种群因为这些细菌满足生活在同一地方，都是同种个体的条件。
师：好，那我们就一起来分析一下培养基上的这个细菌种群的数量是怎样变化的。先请同学回忆细菌的繁殖方式。
生：细菌是单细胞生物，主要以二分裂的方式进行繁殖的。
师：如果一个细菌繁殖一代也就是分裂一次，能产生几个后代？
生：两个。
师：是的，那如果一个细菌繁殖两代，三代，n 代以后有多少细菌个体了呢？
生：4个，8个，我们可以把它表示成2n 。
师：大家归纳得非常好。现在我们再来添些条件在里面，细菌繁殖是非常快的，假如繁殖一代需要20分钟，一个细菌一小时以后可以变成多少个？72小时以后呢？
生：一小时繁殖三代可产生8个，72小时可繁殖216代，可产生2216个。
师：这个数据非常大了。假如我一开始接种到培养基上的细菌为N 0，那么繁殖了n 代
后细菌数量为多少？（用N n 来表示）
生：可以表示为N n =N02n 。
师：这个公式揭示了细菌种群数量增长的什么规律？
生：细菌种群的增长是呈指数增长的。
师：根据这个公式请学生算出25个细菌产生的后代在不同时间的数量，并填写到表格中，然后试着画出细菌的种群数量增长曲线。注意表明横坐标和纵坐标的含义。
（学生上黑板填表格、作图）
师：好了，同学们来看一下刚刚大家画出来的细菌增长的曲线图。这样的曲线图和它所对应的数学公式相比有什么优势？同时，有没有局限性呢？
生：曲线图相对数学公式来说能够更直观地反映出种群数量的增长趋势。但是和数学公式相比没有数学公式来得精确。
师：实质上在这过程中，我们已经用数学模型来分析细菌的数量变化了。下面，我们具体来介绍一下有关数学模型的知识。
课件展示：
数学模型
概念：数学模型是用来描述一个系统或它的性质的数学形式。
数学模型并非是近年来才出现的新方法。在科学史上，牛顿等很多伟大的科学家都是建立和应用数学模型的大师，他们将各个不同的科学领域同数学有机地结合起来，在不同的学科中取得了巨大的成就。如力学中的牛顿定律、电磁学中的麦克斯韦方程、化学中的门捷列夫周期表等，都是经典的应用数学模型的光辉范例。在当代，由于计算机的运用，数学模型在生态、地质、航空等方面有了更加广泛和深入的应用。
师：在学过的生物学内容中，有哪些生物学问题也是用数学语言来表示呢？
生：在遗传中所学的孟德尔遗传规律也是用数学语言来表示的。
师：那么如何来建立数学模型呢？有没有一定的方法步骤呢？
课件展示：
建立数学模型一般包括以下步骤：
1．观察研究对象，提出问题。
2．提出合理的假设。
3．根据实验数据，用适当的数学形式对事物的性质进行表达。
4．通过进一步实验或观察等，对模型进行检验或修正。
师：看来这样一个构建数学模型的过程。我们可以将刚刚研究的细菌数量变化过程和这些步骤一一对应起来：
第一步：“细菌每20分钟分裂一次”是通过大量观察和实验得出的规律。这也是建立数学模型的基础，接着就要慢慢把生物学上的问题转化为数学上的问题了。
第二步：提出合理的假设。这是数学模型成立的前提条件，假设不同，所建立的数学模型也不相同。在这儿，我们的假设应该是什么呢？
生：提出的假设：在资源和空间无限多的环境中，细菌种群的增长不会受到种群密度增加的影响。
师：有了假设，有了观察的结果，我们就要进行重要的第三步：对我们所需要研究的问题用数学形式来表达，也就是数学模型的表达形式。分裂N 代后的细菌数量这个生物学上的问题可用数学公式N n =N02n 来表示。在这个公式中，每一个量，我们都应该说出它的生物学意义。
生：N 0表示原有的细菌个数，N 表示细菌数量，n 代表第几代，2表示细菌每一代都是原来的上一代数量的两倍，因为细菌是二分裂的。
师：最后第四步也是非常必要的。还必须通过观察、统计细菌数量，对自己所建立的模型进行检验或修正。在理想状态下细菌种群数量增长的数学模型是比较简单的，而生物学中大量现象与规律是极为复杂的，存在着许多不确定因素和例外的现象，所以对模型进行检验和修正，在科学研究中是必不可少的步骤。
板书：
二、种群增长的“J ”型曲线
师：以上讨论的是在实验条件下种群的数量变化，在自然界中种群的数量变化情况如何？我们一起来看几个实例。
课件展示：
实例一：1859年，一位英国人来到澳大利亚定居。他带来了24只野兔。让他没有想到的是，一个世纪之后，这24只野兔的后代竟达到6亿只以上。漫山遍野的野兔与牛羊争食牧草，啃啮树皮，造成植被破坏，导致水土流失。后来，人们引入了黏液瘤病毒才使野兔的数量得到控制。
实例二：在20世纪30年代曾将环颈雉引入美国华盛顿州海岸附近的一个岛屿，此后环颈雉种群的增长如下图所示。
20世纪30年代美国某岛屿环颈雉种群增长图
实例三：16世纪以来，世界人口表现为指数增长，所以一些学者称为人口爆炸。
2000年来世界人口增长曲线
师：这三个自然界中的实例和在理想条件下细菌的数量变化有什么相似之处吗？ 生：种群数量都是增长较快，而且所画成的增长曲线图类似。
师：由于曲线和字母“J ”相似，所以我们把这样的增长曲线称为“J ”型增长曲线。前面，我们提到细菌呈指数增长是有前提条件的，还记得是什么吗？
生：资源和空间无限多，细菌种群的增长不会受种群密度增加的影响。
师：可以说，细菌是在理想条件下呈指数增长的。那么，这三个实例中，种群呈“J ”型增长的原因有哪些呢？
生：实例一和实例二中，野兔、环颈雉都是被带到一个原来没有该种生物的地方，所以，对于这些种群来说数量比较少，所以食物和空间都是充裕的。
师：再从这些生物的天敌来考虑一下呢？
生：这种野兔原来是澳大利亚所没有的，所以在澳大利亚也没有这些野兔的敌害。环颈雉到了美国的岛屿以后，情况也是一样的。野兔、环颈雉就在一个非常理想的环境中生长繁殖。
师：在这两个实例中，野兔、环颈雉对那些原来没有这些生物的地方来说是“外来物种”。大家也能从介绍中看到，一般外来物种的引入对于当地的环境都会造成一种破坏。所以在引入外来物种的时候一定要慎重！看了实例三中2000年来世界人口增长曲线后，你有些什么想法呢？
生：世界人口呈“J ”型增长，一方面体现了人们生活水平在不断地提高，而且，医疗卫生设施等方面也在不断加强，但是，另一方面如果人口继续呈这一形势增长的话，地球总有一天会“承受”不了的，所以我们必须采取一定的措施来控制人口的增长。
板书：
三、“J ”型增长的数学模型
师：通过上述这些例子可以看出，自然界确实有类似细菌在理想条件下种群数量增长的形式，如果以时间为横坐标，种群数量为纵坐标画出曲线来表示，曲线大致呈“J ”型。那么前面我们对细菌的增长构建了相应的数学模型，我们能不能推而广之，对自然界的呈“J ”型增长的种群也来构建相应的数学模型呢？我们大家一起来试试好不好？
生：好。
师：构建数学模型的第一步先要观察研究的对象和提出相应的问题。首先，对象是什么呢？
生：我们要研究的是自然界呈“J ”型生长的种群。
师：通过观察研究这些对象能获得什么信息？
生：这些种群每年都是按照一定的倍数增长。
师：我们用一字母来表示一下这个倍数，用λ来表示。接下来，第二步就是要进行假设了。
（提示一下，我们在计算细菌种群数量变化时的假设是在资源和空间无限多的环境中，细菌种群的增长不会受到种群密度增加的影响）
生：假设这个自然界的种群也是理想环境，就是食物和空间条件充裕、气候适宜、没有敌害等条件，所以种群的数量每年以一定的倍数增长。
师：假设好以后第三步我们就要用适当的数学形式来表示t 年后种群的数量了，哪位同学上黑板来表示一下呢？
生：（上黑板来书写）N t =N0λt
师：其他同学看一下，和你在下面写的一样吗？
生：相同。
师：建构的这个模型是正确的，我们还要请一位同学来描述一下模型中各参数的意义。 生：N 0为该种群的起始数量，t 为时间，N t 表示t 年后该种群的数量，λ表示该种群数量是一年前种群数量的倍数。
师：很好，从这个种群生长模型也可以看出，影响t 年后种群的数量的因素主要取决于哪些？
生：主要取决于N 0，种群的起始数量，还有λ。
师：这样我们建构种群增长模型是否就完成了呢？
生：还没有。我们必须通过观察、统计每一年种群的数量，对自己所建立的模型进行检验或修正。
师：是的，真理应该是经得起实践的检验的。
板书：
四、种群增长的“S ”型曲线
师：这样的“J ”型增长在自然界中很难维持下去。自然界存在着很多限制种群数量增多的因素。比如食物的量是一定的，气候也不一定是非常合适，还有天敌的存在等等。所以尽管物种具有巨大的增长潜力，在自然界中，种群却不能无限制地增长。因为，随着种群数量的增长，制约因素的作用也在增大，所以在自然界，种群总是在增长到一定限度后达到相对稳定。种群数量不能呈现“J ”型曲线增长。下面我们也来看看科学家所做的实验。
课件展示：
师：这是生态学家高斯曾经做过的一个实验：在0.5mL 培养液中放入5个大草履虫，然后每隔24小时统计一次大草履虫的数量。经过反复实验，得到如上图所示的结果。你能不能简单地描述一下大草履虫的数量是如何在发生变化的？
生：从图中可以看出，大草履虫的数量在第二天和第三天增长较快，第五天以后基本保持在375个左右。
师：像这样，种群经过一定时间的增长后，数量趋于稳定的增长曲线，称为“S ”型曲线。那么高斯实验的条件与前面“问题探讨”中的条件有何区别？
生：前面细菌的培养条件是完全理想的；高斯实验中没有给大草履虫提供理想条件。 师：了解了条件不一样，能不能来解释为什么大草履虫第二天、第三天增长较快，而第五天以后数量基本稳定，呈“S ”型增长呢？
生：在0.5mL 培养液中，空间和营养都是一定的。随着大草履虫的数量越来越多，有限的资源导致大草履虫之间为了生存，斗争越来越激烈，竞争能力弱的个体就被淘汰掉了，所以数量就只能维持在一定的数值。
师：在高斯实验的基础上，如果要进一步搞清是空间的限制，还是食物的限制，该如何进行实验设计呢？
生：可以进行对照实验。我准备三组实验。把高斯所做的实验作为第一组。第二组其他条件和第一组相同，就改变一个条件：把用来培养大草履虫的容器换成大号的。第三组也是只有一个条件和第一组不同：在培养过程中，不断地为大草履虫添加食物。
师：同学们能不能来预测一下可能的结果，并且根据相应的结果得出相应的结论呢？ 生：如果第二组大草履虫的数量大增，而第三组的数量和第一组差不多，那么在高斯所做的实验中，限制大草履虫数量的主要是空间；如果第三组大草履虫的数量大增，而第二组的数量和第一组差不多，那么在高斯所做的实验中，限制大草履虫数量的主要是食物。
师：这位同学的分析是正确的，但是还不够完整，还可不可能出现其他的实验结果呢？ 生：还有可能第二组和第三组的草履虫数量都增多，那么可以得出：空间和食物都会限制草履虫数量的增长。
师：很好。在自然界中，不论哪一种生物的种群，总是生活在一定的环境中。所以，自然界中，多数种群的增长应该呈“S ”型增长，“S ”型增长的曲线图和“J ”型增长的曲线图区别在哪里？
生：“J ”型增长曲线中数量是无限上升的，而在“S ”型增长曲线中，数量有一个最大值；而且“J ”型增长曲线中增长率一直在增大，而“S ”型增长曲线中增长率是先增大后减小为零。
师：这位同学观察得比较仔细。我们把在“S ”型曲线中生物数量达到最大的数值称为K 值。具体我们来看一下K 值的定义。
课件展示：
K 值：指在环境条件不受破坏的情况下，一定空间中所能维持的种群最大数量称为环境
容纳量，又称K 值。
师：在高斯所做的实验中，该环境容纳大草履虫的数量为多少？
生：为375个。
师：不知大家有没有注意，K 值的概念中有个前提条件：“在环境条件不受破坏的情况下”，如何解释？能不能举例说明呢？
生：也就是说环境容纳量或者说K 值都是针对特定的环境而言的，如果环境破坏或改变，K 值也会发生改变。例如，人类的家园——地球现在能够容纳一定数量的人口，但是由于人类对环境的破坏越来越严重，如果再不改善的话，在地球上能存活的人越来越少，还可能有一天人类会在地球上灭绝。就像恐龙的灭绝也很可能是由于生存环境发生了改变，使得K 值就发生了改变。
师：是啊，所以我们每个人都有义务保护我们的生存环境，这也相当于在保护我们自己。所以，大家想想一个种群的K 值是固定不变的吗？
生：不是的，它会随着环境的改变而发生改变，而不是单单由种群自身的特征来决定的。 师：我们研究种群的K 值有没有现实意义呢？我们来看一个例子。
课件展示：
我们国家的国宝大熊猫由于栖息场所遭到破坏后，由于食物的减少和活动范围的缩小，其K 值就会变小。这是大熊猫种群数量锐减的重要原因。因此，建立自然保护区，给大熊猫更宽广的生活空间，改善它们的栖息环境，从而提高环境容纳量，是保护大熊猫的根本措施。
师：对大熊猫我们应该采取相应的措施进行保护，但对人人见了都喊打的家鼠等有害动物人们平时都采取了什么措施来减少它们的数量呢？
生：经常是在老鼠常出没的地方放置一些捕鼠器，或是老鼠药来减少老鼠的数量。 师：这种方法是可以让它们的数量暂时减少，但是只采取杀死老鼠这一方法，其实效果往往不好。为什么？大家可以分析一下“S ”型增长曲线上每一点的增长速率，从中得到启示。
生：我们将老鼠数量减少的时候，会使得老鼠的增长速率更快。
师：是的。而且如果把老鼠数量减少到一半时，会使存活的老鼠反而降到指数生长期，因而老鼠将按指数增长，很快就恢复到原来数量。难道我们就没有消灭家鼠的方法了吗？如果从环境容纳量的角度考虑呢？
生：可以采取措施降低有害动物种群的环境容纳量的方法。如将食物储藏在安全处，断
绝或减少它们的食物来源；室内采取硬化地面等措施，减少它们挖造巢穴的场所；养殖或释放它们的天敌，等等。
师：看来，有效的灭鼠方法是既杀死老鼠，又要通过清除垃圾，严密储存食物等手段使环境容纳量降低，这才能从根本上限制了老鼠的种群数量。
师：自然界的多数种群都是以“S ”型曲线增长的，当种群数量达到K 值以后，种群数量是否就能够一直维持稳定?
生：一般都是不可以的。
师：自然界中多数生物种群都已达到稳定期，总体上看，许多种群的种群数量一般不再增长，而是波动或变动。
板书：
五、种群数量的波动和下降
师：对种群数量有决定作用的因素有哪些？
生：是种群的出生率和死亡率、迁入率和迁出率。
师：那么，在自然界中，影响种群数量变动的因素有哪些呢？我们先来看两个例子。 课件展示：
事例一：
东亚飞蝗种群数量的波动
事例二：第二次世界大战时，捕鲸业停了下来，鲸的数量恢复到较高水平。战后捕鲸船的吨位不断上升，鲸的捕获量越来越大，导致许多鲸的种群数量急剧下降，有的鲸濒临绝灭。
师：东亚飞蝗种群数量的变动主要是和气候有关的，那么第二个事例，影响种群数量变化的因素是什么？
生：是由于我们人类的不断捕捞导致的。
师：除了这些影响因素，你还能想到其他影响种群数量变化的因素吗？
生1 生物要能存活，必须要有足够的食物才行，所以我觉得食物肯定是一个重要的因素。
生3 养鸡场有时会因为传染病导致大数量的鸡死亡。传染病也是一个因素。
师：其实在自然界中，有很多因素会影响着种群数量，比如刚刚同学所列举的气候、食物、天敌、传染病等。所以，大多数种群的数量总是在波动中；在不利的条件下，种群数量还会急剧下降甚至消亡。近些年来，随着人口的增长，科技水平的提高，人类活动范围的扩大，人类活动对自然界种群数量变化的影响越来越大，有时甚至成为决定因素。你对这方面了解吗？
生1 人类大量砍伐森林，捕猎动物使得野生生物的种群数量急剧减少。
师：人类也是有使种群数量增加的时候的，比如，随着农牧业和养殖业的发展，受人工控制的种群数量不断增加。为了我们人类的可持续发展，我们该怎样做呢？
生：我们应该减少对环境的污染。
师：怎样做才能减少对环境的污染呢？
生1 在发展工业的同时，要节约能源，而且可以寻找新的洁净能源。
生2 我们在获取各种自然资源的时候，应该做到适量取材，不能破坏原有的种群。 师：这位同学提到要适量取材，那我们今天研究种群数量变化后，大家想想该怎么适量法？是在种群快速增长时捕捞，增长开始减慢时可以捕捞，还是一定要种群数量达到K 值时才能捕捞？捕捞量又为多少呢？
生1 我觉得在到了K 值后进行捕捞。
（学生的讨论开始越来越激烈）
生2 我认为应该在增长开始减慢时就可以进行捕捞。
生3 我赞同后一种看法，因为种群增长减慢的话，说明种群数量的增多已经开始阻碍种群数量的增长了。这时进行捕捞的话反而可以加快种群的增长。
师：这位同学分析得很好。一般认为种群数量在K/2值时，种群增长是最快的，所以，我们可以在过K/2值时进行捕捞。捕捞量为多大呢？
生：捕捞量应该使剩余的在K/2左右。
师：这样就对了。从我们的讨论中大家觉得我们研究种群增长曲线对实际生活有没有意义啊？
生：有，可以决定养鱼时的捕捞时间和捕捞量。
师：其实，我们在对森林中树木进行砍伐时也应该注意这样的问题。除了这方面的意义还有没有其他方面的意义呢？前面我们在讲种群数量的波动时提到了东亚飞蝗。有关蝗虫我们先来看一段资料，看完后，再来说说研究种群数量变化有什么意义。
师：通过研究数量变化来找出数量增多的原因。 所以，还可以对害虫预测及防治提供
科学依据。
课堂小结
我们总结一下研究数量变化的意义：研究种群的变化规律以及影响种群数量变化的因素，对于有害动物的防治、野生生物资源的保护和利用，以及濒危动物种群的拯救和恢复，都有重要意义。
五、板书设计：
种群数量的变化
一、种群数量的变化（包括增长、波动、稳定和下降）
1．建构种群增长模型的方法
2．种群增长的“J ”型曲线
（1）产生条件：食物和空间条件充裕、气候适宜、没有敌害等条件下。
（2）特点：种群数量连续增长，呈“J ”型。
（3）产生情形：①实验室条件下
②当一个种群刚迁入一个新的适宜环境时
3．“J ”型增长的数学模型
种群数量增长公式：N t =N0λt
4．种群增长的“S ”型曲线
（1）产生条件：资源和空间有限，而且存在天敌的条件下。
（2）特点：种群数量达到环境条件所允许的最大值（K 值）后将停止生长，有时在K 值左右保持相对稳定。
5．种群数量的波动和下降
二、影响种群数量变化的因素
1．决定因素：出生率和死亡率、迁入率和迁出率。
2．影响因素：
（1）环境因素：水分、温度、食物、天敌等。
（2）人为因素。
3．研究意义：有利于野生生物资源的合理利用和保护、害虫的防治等。
种群数量的变化
第1课时
一、教学目标
1．知识目标
（1）说明构建种群增长模型的方法。
（2）通过探究培养液中酵母菌种群数量的变化，尝试建构种群增长的数学模型。
2．能力目标
（1）学会用数学模型解释种群数量的变化。
（2）关注人类活动对种群数量变化的影响。
（3）通过分析问题→探究数学规律→解决实际问题→建构数学模型的方法，让学生体验由具体到抽象的思维转化过程。
（4）通过和学生一起分析某种细菌的种群数量变化，让学生学会建构种群增长模型的方法。
3．情感、态度及价值观目标
（1）引导学生建构数学模型，有利于培养学生透过现象揭示本质的洞察能力；同时，通过科学与数学的整合，有利于培养学生简约、严密的思维品质。
（2）通过学生一起讨论影响种群数量变化的因素，特别是人为因素的时候，要培养学生热爱大自然的情感，能从一草一木开始保护环境。
二、教学重点难点
重点：
尝试建构种群增长的数学模型，并据此解释种群数量的变化。
难点：
建构种群增长的数学模型。
三、课时安排
2课时。
四、教学过程
导入新课
师：在之前我们学习种群的特征的时候，学习到种群不同于个体具有哪些特征？ 生：种群密度、出生率和死亡率、迁入率和迁出率、年龄组成和性别比例。
师：研究出生率和死亡率、迁入率和迁出率有什么意义？
生：这些都是决定种群大小和种群密度的重要因素。
师：研究年龄组成和性别比例有什么意义？
生：年龄组成对于预测种群数量的变化趋势具有重要意义，性别比例对种群密度也有一定的影响。
师：从中我们可以发现，研究这些特征还主要是为研究种群数量（种群密度）服务的，我们知道种群数量不是恒定不变的，而是不断变化着的，那么种群数量的变化有没有规律可循呢？既然作为种群最基本的特征，研究种群数量应该具有相当大的价值。那么，今天这堂课我们就来研究这个问题。
板书：
种群数量的变化
一、建构种群增长模型的方法
推进新课
师：在我们生活的环境中细菌无处不在，有些细菌的大量繁殖会导致疾病。假如现有一种细菌，我们在无菌培养基上培养，如果营养及各方面条件都适宜的话，细菌就会以非常快的速度在培养基上大量繁殖，数量越来越多。现在我们一起来看一下细菌分裂的录像。
（播放细菌分裂的录像）
师：看来这个录像，大家先判断一下这些细菌个体的总和能否称为一个种群？
生：是一个种群因为这些细菌满足生活在同一地方，都是同种个体的条件。
师：好，那我们就一起来分析一下培养基上的这个细菌种群的数量是怎样变化的。先请同学回忆细菌的繁殖方式。
生：细菌是单细胞生物，主要以二分裂的方式进行繁殖的。
师：如果一个细菌繁殖一代也就是分裂一次，能产生几个后代？
生：两个。
师：是的，那如果一个细菌繁殖两代，三代，n 代以后有多少细菌个体了呢？
生：4个，8个，我们可以把它表示成2n 。
师：大家归纳得非常好。现在我们再来添些条件在里面，细菌繁殖是非常快的，假如繁殖一代需要20分钟，一个细菌一小时以后可以变成多少个？72小时以后呢？
生：一小时繁殖三代可产生8个，72小时可繁殖216代，可产生2216个。
师：这个数据非常大了。假如我一开始接种到培养基上的细菌为N 0，那么繁殖了n 代
后细菌数量为多少？（用N n 来表示）
生：可以表示为N n =N02n 。
师：这个公式揭示了细菌种群数量增长的什么规律？
生：细菌种群的增长是呈指数增长的。
师：根据这个公式请学生算出25个细菌产生的后代在不同时间的数量，并填写到表格中，然后试着画出细菌的种群数量增长曲线。注意表明横坐标和纵坐标的含义。
（学生上黑板填表格、作图）
师：好了，同学们来看一下刚刚大家画出来的细菌增长的曲线图。这样的曲线图和它所对应的数学公式相比有什么优势？同时，有没有局限性呢？
生：曲线图相对数学公式来说能够更直观地反映出种群数量的增长趋势。但是和数学公式相比没有数学公式来得精确。
师：实质上在这过程中，我们已经用数学模型来分析细菌的数量变化了。下面，我们具体来介绍一下有关数学模型的知识。
课件展示：
数学模型
概念：数学模型是用来描述一个系统或它的性质的数学形式。
数学模型并非是近年来才出现的新方法。在科学史上，牛顿等很多伟大的科学家都是建立和应用数学模型的大师，他们将各个不同的科学领域同数学有机地结合起来，在不同的学科中取得了巨大的成就。如力学中的牛顿定律、电磁学中的麦克斯韦方程、化学中的门捷列夫周期表等，都是经典的应用数学模型的光辉范例。在当代，由于计算机的运用，数学模型在生态、地质、航空等方面有了更加广泛和深入的应用。
师：在学过的生物学内容中，有哪些生物学问题也是用数学语言来表示呢？
生：在遗传中所学的孟德尔遗传规律也是用数学语言来表示的。
师：那么如何来建立数学模型呢？有没有一定的方法步骤呢？
课件展示：
建立数学模型一般包括以下步骤：
1．观察研究对象，提出问题。
2．提出合理的假设。
3．根据实验数据，用适当的数学形式对事物的性质进行表达。
4．通过进一步实验或观察等，对模型进行检验或修正。
师：看来这样一个构建数学模型的过程。我们可以将刚刚研究的细菌数量变化过程和这些步骤一一对应起来：
第一步：“细菌每20分钟分裂一次”是通过大量观察和实验得出的规律。这也是建立数学模型的基础，接着就要慢慢把生物学上的问题转化为数学上的问题了。
第二步：提出合理的假设。这是数学模型成立的前提条件，假设不同，所建立的数学模型也不相同。在这儿，我们的假设应该是什么呢？
生：提出的假设：在资源和空间无限多的环境中，细菌种群的增长不会受到种群密度增加的影响。
师：有了假设，有了观察的结果，我们就要进行重要的第三步：对我们所需要研究的问题用数学形式来表达，也就是数学模型的表达形式。分裂N 代后的细菌数量这个生物学上的问题可用数学公式N n =N02n 来表示。在这个公式中，每一个量，我们都应该说出它的生物学意义。
生：N 0表示原有的细菌个数，N 表示细菌数量，n 代表第几代，2表示细菌每一代都是原来的上一代数量的两倍，因为细菌是二分裂的。
师：最后第四步也是非常必要的。还必须通过观察、统计细菌数量，对自己所建立的模型进行检验或修正。在理想状态下细菌种群数量增长的数学模型是比较简单的，而生物学中大量现象与规律是极为复杂的，存在着许多不确定因素和例外的现象，所以对模型进行检验和修正，在科学研究中是必不可少的步骤。
板书：
二、种群增长的“J ”型曲线
师：以上讨论的是在实验条件下种群的数量变化，在自然界中种群的数量变化情况如何？我们一起来看几个实例。
课件展示：
实例一：1859年，一位英国人来到澳大利亚定居。他带来了24只野兔。让他没有想到的是，一个世纪之后，这24只野兔的后代竟达到6亿只以上。漫山遍野的野兔与牛羊争食牧草，啃啮树皮，造成植被破坏，导致水土流失。后来，人们引入了黏液瘤病毒才使野兔的数量得到控制。
实例二：在20世纪30年代曾将环颈雉引入美国华盛顿州海岸附近的一个岛屿，此后环颈雉种群的增长如下图所示。
20世纪30年代美国某岛屿环颈雉种群增长图
实例三：16世纪以来，世界人口表现为指数增长，所以一些学者称为人口爆炸。
2000年来世界人口增长曲线
师：这三个自然界中的实例和在理想条件下细菌的数量变化有什么相似之处吗？ 生：种群数量都是增长较快，而且所画成的增长曲线图类似。
师：由于曲线和字母“J ”相似，所以我们把这样的增长曲线称为“J ”型增长曲线。前面，我们提到细菌呈指数增长是有前提条件的，还记得是什么吗？
生：资源和空间无限多，细菌种群的增长不会受种群密度增加的影响。
师：可以说，细菌是在理想条件下呈指数增长的。那么，这三个实例中，种群呈“J ”型增长的原因有哪些呢？
生：实例一和实例二中，野兔、环颈雉都是被带到一个原来没有该种生物的地方，所以，对于这些种群来说数量比较少，所以食物和空间都是充裕的。
师：再从这些生物的天敌来考虑一下呢？
生：这种野兔原来是澳大利亚所没有的，所以在澳大利亚也没有这些野兔的敌害。环颈雉到了美国的岛屿以后，情况也是一样的。野兔、环颈雉就在一个非常理想的环境中生长繁殖。
师：在这两个实例中，野兔、环颈雉对那些原来没有这些生物的地方来说是“外来物种”。大家也能从介绍中看到，一般外来物种的引入对于当地的环境都会造成一种破坏。所以在引入外来物种的时候一定要慎重！看了实例三中2000年来世界人口增长曲线后，你有些什么想法呢？
生：世界人口呈“J ”型增长，一方面体现了人们生活水平在不断地提高，而且，医疗卫生设施等方面也在不断加强，但是，另一方面如果人口继续呈这一形势增长的话，地球总有一天会“承受”不了的，所以我们必须采取一定的措施来控制人口的增长。
板书：
三、“J ”型增长的数学模型
师：通过上述这些例子可以看出，自然界确实有类似细菌在理想条件下种群数量增长的形式，如果以时间为横坐标，种群数量为纵坐标画出曲线来表示，曲线大致呈“J ”型。那么前面我们对细菌的增长构建了相应的数学模型，我们能不能推而广之，对自然界的呈“J ”型增长的种群也来构建相应的数学模型呢？我们大家一起来试试好不好？
生：好。
师：构建数学模型的第一步先要观察研究的对象和提出相应的问题。首先，对象是什么呢？
生：我们要研究的是自然界呈“J ”型生长的种群。
师：通过观察研究这些对象能获得什么信息？
生：这些种群每年都是按照一定的倍数增长。
师：我们用一字母来表示一下这个倍数，用λ来表示。接下来，第二步就是要进行假设了。
（提示一下，我们在计算细菌种群数量变化时的假设是在资源和空间无限多的环境中，细菌种群的增长不会受到种群密度增加的影响）
生：假设这个自然界的种群也是理想环境，就是食物和空间条件充裕、气候适宜、没有敌害等条件，所以种群的数量每年以一定的倍数增长。
师：假设好以后第三步我们就要用适当的数学形式来表示t 年后种群的数量了，哪位同学上黑板来表示一下呢？
生：（上黑板来书写）N t =N0λt
师：其他同学看一下，和你在下面写的一样吗？
生：相同。
师：建构的这个模型是正确的，我们还要请一位同学来描述一下模型中各参数的意义。 生：N 0为该种群的起始数量，t 为时间，N t 表示t 年后该种群的数量，λ表示该种群数量是一年前种群数量的倍数。
师：很好，从这个种群生长模型也可以看出，影响t 年后种群的数量的因素主要取决于哪些？
生：主要取决于N 0，种群的起始数量，还有λ。
师：这样我们建构种群增长模型是否就完成了呢？
生：还没有。我们必须通过观察、统计每一年种群的数量，对自己所建立的模型进行检验或修正。
师：是的，真理应该是经得起实践的检验的。
板书：
四、种群增长的“S ”型曲线
师：这样的“J ”型增长在自然界中很难维持下去。自然界存在着很多限制种群数量增多的因素。比如食物的量是一定的，气候也不一定是非常合适，还有天敌的存在等等。所以尽管物种具有巨大的增长潜力，在自然界中，种群却不能无限制地增长。因为，随着种群数量的增长，制约因素的作用也在增大，所以在自然界，种群总是在增长到一定限度后达到相对稳定。种群数量不能呈现“J ”型曲线增长。下面我们也来看看科学家所做的实验。
课件展示：
师：这是生态学家高斯曾经做过的一个实验：在0.5mL 培养液中放入5个大草履虫，然后每隔24小时统计一次大草履虫的数量。经过反复实验，得到如上图所示的结果。你能不能简单地描述一下大草履虫的数量是如何在发生变化的？
生：从图中可以看出，大草履虫的数量在第二天和第三天增长较快，第五天以后基本保持在375个左右。
师：像这样，种群经过一定时间的增长后，数量趋于稳定的增长曲线，称为“S ”型曲线。那么高斯实验的条件与前面“问题探讨”中的条件有何区别？
生：前面细菌的培养条件是完全理想的；高斯实验中没有给大草履虫提供理想条件。 师：了解了条件不一样，能不能来解释为什么大草履虫第二天、第三天增长较快，而第五天以后数量基本稳定，呈“S ”型增长呢？
生：在0.5mL 培养液中，空间和营养都是一定的。随着大草履虫的数量越来越多，有限的资源导致大草履虫之间为了生存，斗争越来越激烈，竞争能力弱的个体就被淘汰掉了，所以数量就只能维持在一定的数值。
师：在高斯实验的基础上，如果要进一步搞清是空间的限制，还是食物的限制，该如何进行实验设计呢？
生：可以进行对照实验。我准备三组实验。把高斯所做的实验作为第一组。第二组其他条件和第一组相同，就改变一个条件：把用来培养大草履虫的容器换成大号的。第三组也是只有一个条件和第一组不同：在培养过程中，不断地为大草履虫添加食物。
师：同学们能不能来预测一下可能的结果，并且根据相应的结果得出相应的结论呢？ 生：如果第二组大草履虫的数量大增，而第三组的数量和第一组差不多，那么在高斯所做的实验中，限制大草履虫数量的主要是空间；如果第三组大草履虫的数量大增，而第二组的数量和第一组差不多，那么在高斯所做的实验中，限制大草履虫数量的主要是食物。
师：这位同学的分析是正确的，但是还不够完整，还可不可能出现其他的实验结果呢？ 生：还有可能第二组和第三组的草履虫数量都增多，那么可以得出：空间和食物都会限制草履虫数量的增长。
师：很好。在自然界中，不论哪一种生物的种群，总是生活在一定的环境中。所以，自然界中，多数种群的增长应该呈“S ”型增长，“S ”型增长的曲线图和“J ”型增长的曲线图区别在哪里？
生：“J ”型增长曲线中数量是无限上升的，而在“S ”型增长曲线中，数量有一个最大值；而且“J ”型增长曲线中增长率一直在增大，而“S ”型增长曲线中增长率是先增大后减小为零。
师：这位同学观察得比较仔细。我们把在“S ”型曲线中生物数量达到最大的数值称为K 值。具体我们来看一下K 值的定义。
课件展示：
K 值：指在环境条件不受破坏的情况下，一定空间中所能维持的种群最大数量称为环境
容纳量，又称K 值。
师：在高斯所做的实验中，该环境容纳大草履虫的数量为多少？
生：为375个。
师：不知大家有没有注意，K 值的概念中有个前提条件：“在环境条件不受破坏的情况下”，如何解释？能不能举例说明呢？
生：也就是说环境容纳量或者说K 值都是针对特定的环境而言的，如果环境破坏或改变，K 值也会发生改变。例如，人类的家园——地球现在能够容纳一定数量的人口，但是由于人类对环境的破坏越来越严重，如果再不改善的话，在地球上能存活的人越来越少，还可能有一天人类会在地球上灭绝。就像恐龙的灭绝也很可能是由于生存环境发生了改变，使得K 值就发生了改变。
师：是啊，所以我们每个人都有义务保护我们的生存环境，这也相当于在保护我们自己。所以，大家想想一个种群的K 值是固定不变的吗？
生：不是的，它会随着环境的改变而发生改变，而不是单单由种群自身的特征来决定的。 师：我们研究种群的K 值有没有现实意义呢？我们来看一个例子。
课件展示：
我们国家的国宝大熊猫由于栖息场所遭到破坏后，由于食物的减少和活动范围的缩小，其K 值就会变小。这是大熊猫种群数量锐减的重要原因。因此，建立自然保护区，给大熊猫更宽广的生活空间，改善它们的栖息环境，从而提高环境容纳量，是保护大熊猫的根本措施。
师：对大熊猫我们应该采取相应的措施进行保护，但对人人见了都喊打的家鼠等有害动物人们平时都采取了什么措施来减少它们的数量呢？
生：经常是在老鼠常出没的地方放置一些捕鼠器，或是老鼠药来减少老鼠的数量。 师：这种方法是可以让它们的数量暂时减少，但是只采取杀死老鼠这一方法，其实效果往往不好。为什么？大家可以分析一下“S ”型增长曲线上每一点的增长速率，从中得到启示。
生：我们将老鼠数量减少的时候，会使得老鼠的增长速率更快。
师：是的。而且如果把老鼠数量减少到一半时，会使存活的老鼠反而降到指数生长期，因而老鼠将按指数增长，很快就恢复到原来数量。难道我们就没有消灭家鼠的方法了吗？如果从环境容纳量的角度考虑呢？
生：可以采取措施降低有害动物种群的环境容纳量的方法。如将食物储藏在安全处，断
绝或减少它们的食物来源；室内采取硬化地面等措施，减少它们挖造巢穴的场所；养殖或释放它们的天敌，等等。
师：看来，有效的灭鼠方法是既杀死老鼠，又要通过清除垃圾，严密储存食物等手段使环境容纳量降低，这才能从根本上限制了老鼠的种群数量。
师：自然界的多数种群都是以“S ”型曲线增长的，当种群数量达到K 值以后，种群数量是否就能够一直维持稳定?
生：一般都是不可以的。
师：自然界中多数生物种群都已达到稳定期，总体上看，许多种群的种群数量一般不再增长，而是波动或变动。
板书：
五、种群数量的波动和下降
师：对种群数量有决定作用的因素有哪些？
生：是种群的出生率和死亡率、迁入率和迁出率。
师：那么，在自然界中，影响种群数量变动的因素有哪些呢？我们先来看两个例子。 课件展示：
事例一：
东亚飞蝗种群数量的波动
事例二：第二次世界大战时，捕鲸业停了下来，鲸的数量恢复到较高水平。战后捕鲸船的吨位不断上升，鲸的捕获量越来越大，导致许多鲸的种群数量急剧下降，有的鲸濒临绝灭。
师：东亚飞蝗种群数量的变动主要是和气候有关的，那么第二个事例，影响种群数量变化的因素是什么？
生：是由于我们人类的不断捕捞导致的。
师：除了这些影响因素，你还能想到其他影响种群数量变化的因素吗？
生1 生物要能存活，必须要有足够的食物才行，所以我觉得食物肯定是一个重要的因素。
生3 养鸡场有时会因为传染病导致大数量的鸡死亡。传染病也是一个因素。
师：其实在自然界中，有很多因素会影响着种群数量，比如刚刚同学所列举的气候、食物、天敌、传染病等。所以，大多数种群的数量总是在波动中；在不利的条件下，种群数量还会急剧下降甚至消亡。近些年来，随着人口的增长，科技水平的提高，人类活动范围的扩大，人类活动对自然界种群数量变化的影响越来越大，有时甚至成为决定因素。你对这方面了解吗？
生1 人类大量砍伐森林，捕猎动物使得野生生物的种群数量急剧减少。
师：人类也是有使种群数量增加的时候的，比如，随着农牧业和养殖业的发展，受人工控制的种群数量不断增加。为了我们人类的可持续发展，我们该怎样做呢？
生：我们应该减少对环境的污染。
师：怎样做才能减少对环境的污染呢？
生1 在发展工业的同时，要节约能源，而且可以寻找新的洁净能源。
生2 我们在获取各种自然资源的时候，应该做到适量取材，不能破坏原有的种群。 师：这位同学提到要适量取材，那我们今天研究种群数量变化后，大家想想该怎么适量法？是在种群快速增长时捕捞，增长开始减慢时可以捕捞，还是一定要种群数量达到K 值时才能捕捞？捕捞量又为多少呢？
生1 我觉得在到了K 值后进行捕捞。
（学生的讨论开始越来越激烈）
生2 我认为应该在增长开始减慢时就可以进行捕捞。
生3 我赞同后一种看法，因为种群增长减慢的话，说明种群数量的增多已经开始阻碍种群数量的增长了。这时进行捕捞的话反而可以加快种群的增长。
师：这位同学分析得很好。一般认为种群数量在K/2值时，种群增长是最快的，所以，我们可以在过K/2值时进行捕捞。捕捞量为多大呢？
生：捕捞量应该使剩余的在K/2左右。
师：这样就对了。从我们的讨论中大家觉得我们研究种群增长曲线对实际生活有没有意义啊？
生：有，可以决定养鱼时的捕捞时间和捕捞量。
师：其实，我们在对森林中树木进行砍伐时也应该注意这样的问题。除了这方面的意义还有没有其他方面的意义呢？前面我们在讲种群数量的波动时提到了东亚飞蝗。有关蝗虫我们先来看一段资料，看完后，再来说说研究种群数量变化有什么意义。
师：通过研究数量变化来找出数量增多的原因。 所以，还可以对害虫预测及防治提供
科学依据。
课堂小结
我们总结一下研究数量变化的意义：研究种群的变化规律以及影响种群数量变化的因素，对于有害动物的防治、野生生物资源的保护和利用，以及濒危动物种群的拯救和恢复，都有重要意义。
五、板书设计：
种群数量的变化
一、种群数量的变化（包括增长、波动、稳定和下降）
1．建构种群增长模型的方法
2．种群增长的“J ”型曲线
（1）产生条件：食物和空间条件充裕、气候适宜、没有敌害等条件下。
（2）特点：种群数量连续增长，呈“J ”型。
（3）产生情形：①实验室条件下
②当一个种群刚迁入一个新的适宜环境时
3．“J ”型增长的数学模型
种群数量增长公式：N t =N0λt
4．种群增长的“S ”型曲线
（1）产生条件：资源和空间有限，而且存在天敌的条件下。
（2）特点：种群数量达到环境条件所允许的最大值（K 值）后将停止生长，有时在K 值左右保持相对稳定。
5．种群数量的波动和下降
二、影响种群数量变化的因素
1．决定因素：出生率和死亡率、迁入率和迁出率。
2．影响因素：
（1）环境因素：水分、温度、食物、天敌等。
（2）人为因素。
3．研究意义：有利于野生生物资源的合理利用和保护、害虫的防治等。