极限计算方法总结
靳一东
《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。
一、极限定义、运算法则和一些结果
1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。
说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的
b lim =0(a , b 为常数且a ≠0) ；极限严格定义证明，例如：n →∞an |q |
lim (3x -1) =5；lim q =⎨；等等
n →∞x →2
⎩不存在，当|q |≥1时 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。
2．极限运算法则
定理1 已知 lim f (x ) ，lim g (x ) 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）lim[f (x ) ±g (x )]=A ±B
（2）lim f (x ) ⋅g (x ) =A ⋅B
f (x ) g (x )
A B
（3）lim
=
, (此时需B ≠0成立)
说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，
不能用。 3．两个重要极限 （1） lim
sin x x
x →0
=1
1
1x x l i m (1+) =e lim (1+x ) =e （2） ； x x →∞x →0
说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，
作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。
1
例如：lim
sin 3x 3x
x →0
=1，lim (1-2x )
x →0
-2x
=e ，lim (1+
x →∞
) 3=e
；等等。
x
x
4．等价无穷小
定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。
定理3 当x →0时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：
x ～sin
x ～tan x ～arcsin x ～arctan x ～ln(1+x ) ～e x -1 。
说明：当上面每个函数中的自变量x 换成g (x ) 时（g (x ) →0），仍有上面的等价
关系成立，例如：当x →0时，
e
3x
-1 ～ 3x ；ln(1-x 2) ～ -x
2
。
定理4 如果函数f (x ), g (x ), f 1(x ), g 1(x ) 都是x →x 0时的无穷小，且f (x ) ～f 1(x ) ，g (x ) ～g 1(x ) ，则当lim
f 1(x ) g 1(x ) f 1(x ) g 1(x )
x →x 0
存在时，lim
f (x ) g (x )
也存在且等于
x →x 0
f (x ) lim
f 1(x ) g 1(x )
x →x 0
，即lim
f (x ) g (x )
x →x 0
=lim
x →x 0
。
5．洛比达法则
定理5 假设当自变量x 趋近于某一定值（或无穷大）时，函数f (x ) 和g (x ) 满足：
（1）f (x ) 和g (x ) 的极限都是0或都是无穷大；
（2）f (x ) 和g (x ) 都可导，且g (x ) 的导数不为0；
（3）lim
f '(x ) g '(x )
存在（或是无穷大）；
则极限lim
f (x ) g (x )
也一定存在，且等于lim
f '(x ) g '(x )
，即lim
f (x ) g (x )
=lim
f '(x ) g '(x )
。
说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不
满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“
00
”型或“
∞∞
”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕
后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注
意条件。
6．连续性
定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果x 0是函数f (x ) 的定义去间
内的一点，则有lim f (x ) =f (x 0) 。
x →x 0
7．极限存在准则
定理7（准则1） 单调有界数列必有极限。
定理8（准则2） 已知{x n }, {y n }, {z n }为三个数列，且满足：
（1） y n ≤x n ≤z n , (n =1, 2, 3, )
（2） lim y n =a ，lim z n =a
n →∞
n →∞
则极限lim x n →∞
n 一定存在，且极限值也是a ，即lim x n →∞
n =a 。
二、求极限方法举例
1． 用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限 例1 lim
3x +1-2x →1
x -1
3x +1) 2
-2
2
解：原式=lim
(=lim
3x -3
=
3x →1
(x -1)(3x +1+2)
x →1
(x -1)(3x +1+2)
4
。
注：本题也可以用洛比达法则。 例2 lim
n (n +2-
n -1) n →∞
n [(n +2) -(n -1)]分子分母同除以
n
解：原式=lim =
3n →∞
n +2+
n -1
=lim
3n →∞
1+
22
n +
-
1n
n 例3 lim
(-1) +3n
n →∞
2n
+3
n
上下同除以3
n
(-1n
解：原式
=
lim 3
) +1=1n →∞ 。 (2n
3
) +12． 利用函数的连续性（定理6）求极限
1
例4 lim x 2
e x
x →2
1
解：因为x x 2
e x
0=2是函数f (x ) =的一个连续点，
1
所以 原式=22
e 2=4e 。 3． 利用两个重要极限求极限 例5 lim
1-cos x x →0
3x
2
2sin
2
x 2sin
2
x
解：原式=lim x →0
3x
2
=lim
=1
x →0 。
12⋅(x 26
2
)
注：本题也可以用洛比达法则。
。
2
例6 lim (1-3sin x ) x
x →0
1-6sin x
1
-6sin x
解：原式=lim (1-3sin x )
-3sin x ⋅
x
=lim [(1-3sin x ) -3sin x ]
x →0
x →0
例7 lim (
n -2n
n →∞
n +1
)
-3n +1-3n
n +1
-3n 解：原式=lim (1+
-3⋅
n +1
+
-33
]n +1
=e
-3
n →∞
n +1
) =lim [(1n →∞
n +1
)
-4． 利用定理2求极限 例8 lim x 2
sin
1x →0
x
解：原式=0 （定理2的结果）。 5． 利用等价无穷小代换（定理4）求极限 例9 l i m
x l n(1+3x ) x →0
arctan(
x 2
)
解： x →0时，ln(1+3x ) ～3x ，arctan(x 2) ～x 2
，
∴ 原式=lim
x ⋅3x x
2
=3 。
x →0
例10 lim
e x -e
sin x
x →0
x -sin x
e
sin x
(e x -sin x
-1)
sin x
解：原式=lim
(x -sin x )
x →0
x -sin x
=lim
e x →0
x -sin x
=1 。
注：下面的解法是错误的： x sin x
原式=lim
(e -1) -(e
-1)
x -sin x x →0
x -sin x
=lim
=1x →0
x -sin x
。
正如下面例题解法错误一样： lim
tan x -sin x
x
=lim
x -x =0x →0
3
x →0
x
3
。
tan(x 2
sin
1例11 lim
x
)
x →0
sin x
=e
-6
。
。
解： 当x →0时，x 2sin
2
1x
是无穷小，∴tan(x sin
2
1x
) 与x sin
2
1x
等价，
x sin
所以， 原式=lim
x →0
1
x =lim x sin 1=0
。（最后一步用到定理2）
x →0x x
6． 利用洛比达法则求极限
说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。 例12 lim
1-cos x 3x
2
x →0
（例4）
解：原式=lim
sin x 6x
x →0
=
16
。（最后一步用到了重要极限）
cos
例13 lim
x →1
πx
2
x -1-
π
sin 1
πx
=-π
。 2
解：原式=lim
x →1
例14 lim
x -sin x x
3
x →0
解：原式=lim
1-cos x 3x
2
x →0
=lim
sin x 6x
x →0
=
16
。（连续用洛比达法则，最后用重要极限）
例15 lim 解：
sin x -x cos x
x sin x
2
x →0
原式=lim
=lim
sin x -x cos x
x ⋅x x sin x 3x
22
x →0
=lim
cos x -(cosx -x sin x )
3x
2
x →0
x →0
=
13
例18 lim [
x →0
1x
-
1ln(1+x )
]
1x
1x
解：错误解法：原式=lim [
x →0
-
]=0 。
正确解法：
原式=lim
ln(1+x ) -x x ln(1+x ) 11+x 2x
-1
x →0
=lim
x →0
ln(1+x ) -x
x ⋅x
=lim
x →0
=lim
x 2x (1+x )
x →0
=
12
。
应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。 例19 lim
x -2sin x 3x +cos x
x →∞
解：易见：该极限是“
00
”型，但用洛比达法则后得到：lim
1-2cos x 3-sin x
x →∞
，此极限
不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：
1-
原式=lim
x →∞
2sin x
x
（分子、分母同时除以x ） cos x x
3+
=
13
（利用定理1和定理2）
7． 利用极限存在准则求极限
例20 已知x 1=
2, x n +1=
2+x n , (n =1, 2, ) ，求lim x n
n →∞
解：易证：数列{x n }单调递增，且有界（0
x n
n →∞
lim x n =a 。对已知的递推公式 x n +1=
n →∞
2+x n 两边求极限，得：
a =所以
2+a ，解得：a =2或a =-1（不合题意，舍去）
lim x n =2。 n →∞
1n +1n n +n
22
n →∞
例21 lim (+
1n +2
1
2
+ +
1n +n
2
)
1n +n
2
解： 易见：
n +1
2
+
1n +2
2
+ +
n n +1
2
因为 lim n →∞
n n +n
2
=1，lim
1
n n +1
+
1
2
n →∞
=1
1n +n
2
所以由准则2得：lim (
n →∞
n +1
2
n +2
2
+ +
) =1 。
上面对求极限的常用方法进行了比较全面的总结，由此可以看出，求极限方法灵活多样，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习，在练习中体会。另外，求极限还有其它一些方法，如用定积分求极限等，由于不常用，这里不作介绍。
极限计算方法总结
靳一东
《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。
一、极限定义、运算法则和一些结果
1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。
说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的
b lim =0(a , b 为常数且a ≠0) ；极限严格定义证明，例如：n →∞an |q |
lim (3x -1) =5；lim q =⎨；等等
n →∞x →2
⎩不存在，当|q |≥1时 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。
2．极限运算法则
定理1 已知 lim f (x ) ，lim g (x ) 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）lim[f (x ) ±g (x )]=A ±B
（2）lim f (x ) ⋅g (x ) =A ⋅B
f (x ) g (x )
A B
（3）lim
=
, (此时需B ≠0成立)
说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，
不能用。 3．两个重要极限 （1） lim
sin x x
x →0
=1
1
1x x l i m (1+) =e lim (1+x ) =e （2） ； x x →∞x →0
说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，
作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。
1
例如：lim
sin 3x 3x
x →0
=1，lim (1-2x )
x →0
-2x
=e ，lim (1+
x →∞
) 3=e
；等等。
x
x
4．等价无穷小
定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。
定理3 当x →0时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：
x ～sin
x ～tan x ～arcsin x ～arctan x ～ln(1+x ) ～e x -1 。
说明：当上面每个函数中的自变量x 换成g (x ) 时（g (x ) →0），仍有上面的等价
关系成立，例如：当x →0时，
e
3x
-1 ～ 3x ；ln(1-x 2) ～ -x
2
。
定理4 如果函数f (x ), g (x ), f 1(x ), g 1(x ) 都是x →x 0时的无穷小，且f (x ) ～f 1(x ) ，g (x ) ～g 1(x ) ，则当lim
f 1(x ) g 1(x ) f 1(x ) g 1(x )
x →x 0
存在时，lim
f (x ) g (x )
也存在且等于
x →x 0
f (x ) lim
f 1(x ) g 1(x )
x →x 0
，即lim
f (x ) g (x )
x →x 0
=lim
x →x 0
。
5．洛比达法则
定理5 假设当自变量x 趋近于某一定值（或无穷大）时，函数f (x ) 和g (x ) 满足：
（1）f (x ) 和g (x ) 的极限都是0或都是无穷大；
（2）f (x ) 和g (x ) 都可导，且g (x ) 的导数不为0；
（3）lim
f '(x ) g '(x )
存在（或是无穷大）；
则极限lim
f (x ) g (x )
也一定存在，且等于lim
f '(x ) g '(x )
，即lim
f (x ) g (x )
=lim
f '(x ) g '(x )
。
说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不
满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“
00
”型或“
∞∞
”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕
后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注
意条件。
6．连续性
定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果x 0是函数f (x ) 的定义去间
内的一点，则有lim f (x ) =f (x 0) 。
x →x 0
7．极限存在准则
定理7（准则1） 单调有界数列必有极限。
定理8（准则2） 已知{x n }, {y n }, {z n }为三个数列，且满足：
（1） y n ≤x n ≤z n , (n =1, 2, 3, )
（2） lim y n =a ，lim z n =a
n →∞
n →∞
则极限lim x n →∞
n 一定存在，且极限值也是a ，即lim x n →∞
n =a 。
二、求极限方法举例
1． 用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限 例1 lim
3x +1-2x →1
x -1
3x +1) 2
-2
2
解：原式=lim
(=lim
3x -3
=
3x →1
(x -1)(3x +1+2)
x →1
(x -1)(3x +1+2)
4
。
注：本题也可以用洛比达法则。 例2 lim
n (n +2-
n -1) n →∞
n [(n +2) -(n -1)]分子分母同除以
n
解：原式=lim =
3n →∞
n +2+
n -1
=lim
3n →∞
1+
22
n +
-
1n
n 例3 lim
(-1) +3n
n →∞
2n
+3
n
上下同除以3
n
(-1n
解：原式
=
lim 3
) +1=1n →∞ 。 (2n
3
) +12． 利用函数的连续性（定理6）求极限
1
例4 lim x 2
e x
x →2
1
解：因为x x 2
e x
0=2是函数f (x ) =的一个连续点，
1
所以 原式=22
e 2=4e 。 3． 利用两个重要极限求极限 例5 lim
1-cos x x →0
3x
2
2sin
2
x 2sin
2
x
解：原式=lim x →0
3x
2
=lim
=1
x →0 。
12⋅(x 26
2
)
注：本题也可以用洛比达法则。
。
2
例6 lim (1-3sin x ) x
x →0
1-6sin x
1
-6sin x
解：原式=lim (1-3sin x )
-3sin x ⋅
x
=lim [(1-3sin x ) -3sin x ]
x →0
x →0
例7 lim (
n -2n
n →∞
n +1
)
-3n +1-3n
n +1
-3n 解：原式=lim (1+
-3⋅
n +1
+
-33
]n +1
=e
-3
n →∞
n +1
) =lim [(1n →∞
n +1
)
-4． 利用定理2求极限 例8 lim x 2
sin
1x →0
x
解：原式=0 （定理2的结果）。 5． 利用等价无穷小代换（定理4）求极限 例9 l i m
x l n(1+3x ) x →0
arctan(
x 2
)
解： x →0时，ln(1+3x ) ～3x ，arctan(x 2) ～x 2
，
∴ 原式=lim
x ⋅3x x
2
=3 。
x →0
例10 lim
e x -e
sin x
x →0
x -sin x
e
sin x
(e x -sin x
-1)
sin x
解：原式=lim
(x -sin x )
x →0
x -sin x
=lim
e x →0
x -sin x
=1 。
注：下面的解法是错误的： x sin x
原式=lim
(e -1) -(e
-1)
x -sin x x →0
x -sin x
=lim
=1x →0
x -sin x
。
正如下面例题解法错误一样： lim
tan x -sin x
x
=lim
x -x =0x →0
3
x →0
x
3
。
tan(x 2
sin
1例11 lim
x
)
x →0
sin x
=e
-6
。
。
解： 当x →0时，x 2sin
2
1x
是无穷小，∴tan(x sin
2
1x
) 与x sin
2
1x
等价，
x sin
所以， 原式=lim
x →0
1
x =lim x sin 1=0
。（最后一步用到定理2）
x →0x x
6． 利用洛比达法则求极限
说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。 例12 lim
1-cos x 3x
2
x →0
（例4）
解：原式=lim
sin x 6x
x →0
=
16
。（最后一步用到了重要极限）
cos
例13 lim
x →1
πx
2
x -1-
π
sin 1
πx
=-π
。 2
解：原式=lim
x →1
例14 lim
x -sin x x
3
x →0
解：原式=lim
1-cos x 3x
2
x →0
=lim
sin x 6x
x →0
=
16
。（连续用洛比达法则，最后用重要极限）
例15 lim 解：
sin x -x cos x
x sin x
2
x →0
原式=lim
=lim
sin x -x cos x
x ⋅x x sin x 3x
22
x →0
=lim
cos x -(cosx -x sin x )
3x
2
x →0
x →0
=
13
例18 lim [
x →0
1x
-
1ln(1+x )
]
1x
1x
解：错误解法：原式=lim [
x →0
-
]=0 。
正确解法：
原式=lim
ln(1+x ) -x x ln(1+x ) 11+x 2x
-1
x →0
=lim
x →0
ln(1+x ) -x
x ⋅x
=lim
x →0
=lim
x 2x (1+x )
x →0
=
12
。
应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。 例19 lim
x -2sin x 3x +cos x
x →∞
解：易见：该极限是“
00
”型，但用洛比达法则后得到：lim
1-2cos x 3-sin x
x →∞
，此极限
不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：
1-
原式=lim
x →∞
2sin x
x
（分子、分母同时除以x ） cos x x
3+
=
13
（利用定理1和定理2）
7． 利用极限存在准则求极限
例20 已知x 1=
2, x n +1=
2+x n , (n =1, 2, ) ，求lim x n
n →∞
解：易证：数列{x n }单调递增，且有界（0
x n
n →∞
lim x n =a 。对已知的递推公式 x n +1=
n →∞
2+x n 两边求极限，得：
a =所以
2+a ，解得：a =2或a =-1（不合题意，舍去）
lim x n =2。 n →∞
1n +1n n +n
22
n →∞
例21 lim (+
1n +2
1
2
+ +
1n +n
2
)
1n +n
2
解： 易见：
n +1
2
+
1n +2
2
+ +
n n +1
2
因为 lim n →∞
n n +n
2
=1，lim
1
n n +1
+
1
2
n →∞
=1
1n +n
2
所以由准则2得：lim (
n →∞
n +1
2
n +2
2
+ +
) =1 。
上面对求极限的常用方法进行了比较全面的总结，由此可以看出，求极限方法灵活多样，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习，在练习中体会。另外，求极限还有其它一些方法，如用定积分求极限等，由于不常用，这里不作介绍。