关于多项式的友矩阵及其对角化问题

2009年青海师范大学学报(自然科学版)2009

第3期JournalofQinghaiNormalUniversity(NaturalScience)No13

关于多项式的友矩阵及其对角化问题

邓红梅,刘海连

(11青海师范大学数学系,青海西宁 810008;21青海建筑职业技术学院数学教研室,青海西宁 810012)摘要:友矩阵是方阵的有理标准型中起着重要作用的一类矩阵.本文给出了求将友矩阵对角化的变换矩阵的几种方法.关键词:友矩阵,特征多项式,变换矩阵,Vandermonde矩阵,拉格朗日插值公式

中图分类号:O151121 文献标识码:A 文章编号:1001-7542(2009)03-0010-05

1 友矩阵定义:设AIMn(F),若A的特征多项式

nn-1

fA(K)=K+a1K+,+an-1K+an

(1)

则把F上n阶矩阵C=

0,0

-a1-a21

0,0

01,0

001,0

,,,,,

000,1

-an-an-1

-an-2称为A的特征多项式的友矩阵(Companion,-a1

00,0

10,0

,,,,

00,0

00,等1-amatrix)或Forbenius矩阵,多项式(1)的友矩阵也可写为

,-an-1,,,,

00,1

-an0

0或C=,0

-an-an-1,-a2

2 友矩阵的若干性质及相关结论

1.detC=(-1)an

n-1ann-2an

2.当anX0时,A可逆且

,1an-an

10,00

01,00

,,,,,

00,00

00,10

3.设AIMn(F),则A的特征多项式fA(K)就是fA(K)的友矩阵的特征多项式,即fA(K)=fC(K)1

4.每个首1多项式即使它的友矩阵的极小多项式,又是其特征多项式.

收稿日期:2009-06-18

-,女(),,.

第3期邓红梅,刘海连:关于多项式的友矩阵及其对角化问题

5.矩阵AIMn(F)相似于其特征多项式的友矩阵当且仅当A的极小多项式与特征多项式恒等.

6.数域F上的任意n阶矩阵A在F上必相似于它的有理标准形

当然有理标准型的分块要比若当标准形的要粗,但在一般数域F(例如有理数域Q上)是适用的.

3 关于友矩阵的对角化问题

由文[4]中推论2.2.5可知具有代数重数特征根的友矩阵不可以对角化.当然友矩阵C若有n个单根一定可以对角化.以下讨论将友矩阵对角化的变换矩阵T的几种求法.

方法一:常用的方法

nn-1

设CIMn(F)是多项式fA(K)=K+a1K+,+an-1K+an的友矩阵,若C在F内有n个单根K1,K2,,,Kn,则求出相应的齐次线性方程组(KiI-C)X=0的基础解系A1,A2,,,An,令可逆矩阵T=(A1,A2,,,An),

则

T-1CT=

Kn0

例1 设多项式f(K)=K-7K+6的友矩阵为C=

0-0

将C对角化并求变换矩阵T

解 fc(K)=det(KI-C)=K-7K+6=(K-1)(K-2)(K+3)从而C可以对角化

由(KI-C)X=0,分别求出属于特征根1,2,-3的相应的特征向量

TTT

A1=(-6,1,1),A2=(-3,2,1),A3=(2,-3,1)

-6-3T=

-3,TCT=1

-1

2-3

方法二:直接利用矩阵C的多项式来求变换矩阵T

命题:在n向量空间F中,由n+1个n维向量构成的向量组必线性相关.设AIMn(F),eIFn且eX0,则e,Ae,A2e,,,Ane线性相关

令K是使{e,Ae,Ae,,,Ae,,}线性相关的最小正整数,则存在不全为零的数a0,a1,,,akIF,使得

a0e+a1Ae+,+akAe=0

(3)

(4)

令多项式f(x)=a0+a1x+,+akx

如果K0IF是f(x)的一个根,则f(x)=(x-K0)q(x)

又 f(A)=a0I+a1A+,+akA,这样f(A)=(A-K0I)q(A)f(A)e=a0e+a1Ae+,+akAe=0从而(A-K0I)q(A)e=0由于K使(3)式成立的最小正整数,所以q(A)eX0因此,q(A)e是矩阵A的属于特征根K0的一个特征向量

现设C是多项式f(K)=K+a1K+,+an-1K+an的友矩阵且在F内有n个单根K1,K2,,,Kn,设ei=(0 , 0 1 0 , 0) (i=1,2,,,n)为n维单位向量组,容易算得:

Ce1=e2,C2e1=Ce2=e3,,,Cne1=Cen-1=enCe1=CC

n-1

n-1k

e1=Cen=-ane1-an-1e2-,-anen=-(anI-an-1C-,-a1C

n-1

)e1

故f(C)e1=(C+a1C+,+an-1C+anI)e1=0 即f(C)e1=0(K=12,n)

青海师范大学学报(自然科学版)

令qi(K)=(K-K1),(K-Ki-1)(K-Ki+1),(K-Kn)

由以上结论,我们有C[qi(C)]=Ki[qi(C)]e1 令Ai=qi(C)e1

2009年

则Ai是C的属于Ki的特征向量,从而得友矩阵C的属于特征根K1,K2,,,Kn的特征向量分别为:

1=(C-K2I)(C-K3I),(C-KnI)e1A

A2=(C-K1I)(C-K3I),(C-KnI)e1

,,,,,,,,,,,,,,,

n=(C-K1I)(C-K2I),(C-Kn-1I)e1A

-1

T=(A1,A2,,,An) 则 TCT=

0-1求变换矩阵T,使T-1CT为1-32

例2 设多项式f(K)=K+K+K-1的友矩阵为C=

对角形矩阵.

解 fc(K)=det(KI-C)=K+K+K-1=(K-1)(K+i)(K-i)由于C有3个不同的特征值,故C可对角化.

A1=[q1(C)]e1=(C+iI)(C-iI)e1=(C+I)e1=e3+e1=(1 0 1)

T A2=[q2(C)]e1=(C-I)(C-iI)e1=(i -i-1 1)

A3=[q3(C)]e1=(C-I)(C+iI)e1=(-i i-1 1)

则所求变换矩阵为T=方法三:利用以下定理

-i

i-1,TCT=

-1

i-i

0-i-111

定理设AIMn(F)有n个不同的特征根K1,K2,,,Kn,矩阵C是A的特征多项式

fA(K)=det(KI-A)=K+a1K+,+an-1K+an

Vandermonde矩阵

1K1

1,K2,,n)=V=V(K,K

K1n

n-1

(5)

的友矩阵,则CT相似于对角矩阵+=diag(K1,K2,,,Kn),而且可取相似矩阵为K1,K2,,,Kn的

1K2

,,,,

1K2

(6)

n-1

n-12

n-1

n,K

且V-1CTV=+ 文[5]

由此定理,如果V容易求得,则使友矩阵对角化的变换矩阵T就容易得到了

设C为多项式f(K)的友矩阵,有n个不同的特征根K1,K2,,,KnIF,则存在非奇异矩阵T,使TCT=+

+=(T-1CT)T=T-1CT(T-1)T((T-1)T)-1CT)(T-1)T 故CT与C相似令 V=(T-1)T 而 V-1CTV=+ VT=T-1 故T=(VT)-1,T-1=VT这样就可求出变换矩阵T及T

V-1

-1

第3期邓红梅,刘海连:关于多项式的友矩阵及其对角化问题

由定理知V是CT的变换矩阵而K1,K2,,,Kn是C同时也是C的n个不同的特征值.

1i-1i+1n令 Li= (7)

(Ki-K1),(Ki-i-1)(Ki-Ki+1),(Ki-Kn)

1 若i=j

则 Li(Ki)= (8)

0 若iXj

设f(x)为任一次数小于n的多项式,则f(x)由它在x=K1,K2,,,Kn上的值f(K1),f(K2),,,

f(Kn)完全确定,由(8)式得

i=1

Ef(K)L

(Kj)=f(K1)L1(Kj)+f(K2)L2(Kj)+,+f(Kj)Lj(Kj)+,+

f(Kn)Ln(Kj)=f(Kj) (j=1,2,,,n)

即,多项式

i=1

Ef(K)L

(Kj)和f(x)在x=K1,K2,,,Kn上的值完全相同,因此,

f(x)=

i=1

Ef(K)L

(x)

特别地,取

f(x)=xk (k=0,1,2,,,n-1)

f(x)=f(K1)L1(x)+f(K2)L2(x)+,+f(Kn)Ln(x)f(x)=x0=1@L1(x)+1@L2(x)+,+1@Ln(x)

1@L1(x)+K2@L2(x)+,+Kn@Ln(x)f(x)=x=K222

f(x)=x2=K1@L1(x)+K2@L2(x)+,+Kn@Ln(x)

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

f(x)=x

写成矩阵的形式为:

n-1

=K11x

n-1

@L1(x)+K2

K1K1,

n-1

@L2(x)+,+Kn

KnKn,

n-1

@Ln(x)

K2K2,

,,,

L1(x)L2(x)L3(x)sLn(x)

L1(x)L2(x)L3(x)sLn(xx2=s

x1x

n-1n-1K1K2

11n-1

,Kn,1

,V=

K1,K1

n-12

K2K2,K2

n-12

,,,

Kn,L=,

n-1-12

,Kn

X=VL,故 L=VXn-1

设Li(x)=ai1+ai2x+,+ainx (i=1,2,,,n)则有

1L1(x)

a11a12,a1na11

xL2(X)

a21a22,a2na21

x2=L3(x),V-1=

,,,,,

an1an2,annan1n

xLn(x)即,V

-1

a12a22,an2

j-1

,a1n,a2n,

,,ann

的(i,j)位置上的元素aij是拉格朗日多项式Li(x)的x项的系数T=(VT)-1,T-1=VT,T-1CT=+

T,使T-1CT为

例3 设多项式f(K)=K-2K-K+2

14对角形矩阵.

青海师范大学学报(自然科学版)2009年

解 fc(K)=det(KI-C)=K-2K-K+1=(K-1)(K+1)(K-2)

23令 L1==-(x-2)(x+1)=1+x-x2

1-K2)(K1-K3)2(K22

故 a11=1,a12=,a13=-22

L2=

故

L3=

故

所以,

V-1=

-33

20-213=

(K2-K1)(K2-K3)

(x-1)(x+1)=-+x333

a21=-,a22=0,a23=33

12=

(K3-K1)(K3-K2)

(x-2)(x-1)=--x+x

6326

a31=,a32=-,a33=263-2361

T-1CT=

-1

T-1=VT

T=(V-1)T=

2-2

-303

3-26

参考文献:

[1] 杨胜良,乔占科.Vandermonde矩阵的逆矩阵的一种显式算法[J].兰州理工大学学报,2004,(30),6.[2] 杨志明.代数多项式的友矩阵及其应用[J].甘肃联合大学学报,2005,(19),4.[3] 盛金苗.关于无限维友矩阵若干问题的问题的研究[J].应用数学,2007.[4] 陈景良,陈向晖,著.特殊矩阵[M].北京:清华大学出版社,2001.1.

[5] (美)RogerA.Horn著.杨奇译.矩阵分析[M].北京:机械工业出版社,2005.4.

AboutMultinomialCompanionMatrixandDiaqonalizationQuestion

DENGHong-mie,LIUHai-lian

(QinghaiCommunicationsTechnicalCollege,Xining810003,China)

Abstract:Companionmatrixinthestandardmodelofrationalmatrixplaysanimportantroleina

classofmatrix.Inthispaper,forthecompanionmatrixofthetransformationmatrixdiagonalizationofseveralways.

Keywords:companionmatrix;characteristicpolynomial;transformationalmatrix;Vandermondematrix;Lagraangeinterpolation

2009年青海师范大学学报(自然科学版)2009

第3期JournalofQinghaiNormalUniversity(NaturalScience)No13

关于多项式的友矩阵及其对角化问题

邓红梅,刘海连

中图分类号:O151121 文献标识码:A 文章编号:1001-7542(2009)03-0010-05

1 友矩阵定义:设AIMn(F),若A的特征多项式

nn-1

fA(K)=K+a1K+,+an-1K+an

(1)

则把F上n阶矩阵C=

0,0

-a1-a21

0,0

01,0

001,0

,,,,,

000,1

-an-an-1

-an-2称为A的特征多项式的友矩阵(Companion,-a1

00,0

10,0

,,,,

00,0

00,等1-amatrix)或Forbenius矩阵,多项式(1)的友矩阵也可写为

,-an-1,,,,

00,1

-an0

0或C=,0

-an-an-1,-a2

2 友矩阵的若干性质及相关结论

1.detC=(-1)an

n-1ann-2an

2.当anX0时,A可逆且

,1an-an

10,00

01,00

,,,,,

00,00

00,10

3.设AIMn(F),则A的特征多项式fA(K)就是fA(K)的友矩阵的特征多项式,即fA(K)=fC(K)1

4.每个首1多项式即使它的友矩阵的极小多项式,又是其特征多项式.

收稿日期:2009-06-18

-,女(),,.

第3期邓红梅,刘海连:关于多项式的友矩阵及其对角化问题

5.矩阵AIMn(F)相似于其特征多项式的友矩阵当且仅当A的极小多项式与特征多项式恒等.

6.数域F上的任意n阶矩阵A在F上必相似于它的有理标准形

当然有理标准型的分块要比若当标准形的要粗,但在一般数域F(例如有理数域Q上)是适用的.

3 关于友矩阵的对角化问题

方法一:常用的方法

nn-1

设CIMn(F)是多项式fA(K)=K+a1K+,+an-1K+an的友矩阵,若C在F内有n个单根K1,K2,,,Kn,则求出相应的齐次线性方程组(KiI-C)X=0的基础解系A1,A2,,,An,令可逆矩阵T=(A1,A2,,,An),

则

T-1CT=

Kn0

例1 设多项式f(K)=K-7K+6的友矩阵为C=

0-0

将C对角化并求变换矩阵T

解 fc(K)=det(KI-C)=K-7K+6=(K-1)(K-2)(K+3)从而C可以对角化

由(KI-C)X=0,分别求出属于特征根1,2,-3的相应的特征向量

TTT

A1=(-6,1,1),A2=(-3,2,1),A3=(2,-3,1)

-6-3T=

-3,TCT=1

-1

2-3

方法二:直接利用矩阵C的多项式来求变换矩阵T

命题:在n向量空间F中,由n+1个n维向量构成的向量组必线性相关.设AIMn(F),eIFn且eX0,则e,Ae,A2e,,,Ane线性相关

令K是使{e,Ae,Ae,,,Ae,,}线性相关的最小正整数,则存在不全为零的数a0,a1,,,akIF,使得

a0e+a1Ae+,+akAe=0

(3)

(4)

令多项式f(x)=a0+a1x+,+akx

如果K0IF是f(x)的一个根,则f(x)=(x-K0)q(x)

现设C是多项式f(K)=K+a1K+,+an-1K+an的友矩阵且在F内有n个单根K1,K2,,,Kn,设ei=(0 , 0 1 0 , 0) (i=1,2,,,n)为n维单位向量组,容易算得:

Ce1=e2,C2e1=Ce2=e3,,,Cne1=Cen-1=enCe1=CC

n-1

n-1k

e1=Cen=-ane1-an-1e2-,-anen=-(anI-an-1C-,-a1C

n-1

)e1

故f(C)e1=(C+a1C+,+an-1C+anI)e1=0 即f(C)e1=0(K=12,n)

青海师范大学学报(自然科学版)

令qi(K)=(K-K1),(K-Ki-1)(K-Ki+1),(K-Kn)

由以上结论,我们有C[qi(C)]=Ki[qi(C)]e1 令Ai=qi(C)e1

2009年

则Ai是C的属于Ki的特征向量,从而得友矩阵C的属于特征根K1,K2,,,Kn的特征向量分别为:

1=(C-K2I)(C-K3I),(C-KnI)e1A

A2=(C-K1I)(C-K3I),(C-KnI)e1

,,,,,,,,,,,,,,,

n=(C-K1I)(C-K2I),(C-Kn-1I)e1A

-1

T=(A1,A2,,,An) 则 TCT=

0-1求变换矩阵T,使T-1CT为1-32

例2 设多项式f(K)=K+K+K-1的友矩阵为C=

对角形矩阵.

解 fc(K)=det(KI-C)=K+K+K-1=(K-1)(K+i)(K-i)由于C有3个不同的特征值,故C可对角化.

A1=[q1(C)]e1=(C+iI)(C-iI)e1=(C+I)e1=e3+e1=(1 0 1)

T A2=[q2(C)]e1=(C-I)(C-iI)e1=(i -i-1 1)

A3=[q3(C)]e1=(C-I)(C+iI)e1=(-i i-1 1)

则所求变换矩阵为T=方法三:利用以下定理

-i

i-1,TCT=

-1

i-i

0-i-111

定理设AIMn(F)有n个不同的特征根K1,K2,,,Kn,矩阵C是A的特征多项式

fA(K)=det(KI-A)=K+a1K+,+an-1K+an

Vandermonde矩阵

1K1

1,K2,,n)=V=V(K,K

K1n

n-1

(5)

的友矩阵,则CT相似于对角矩阵+=diag(K1,K2,,,Kn),而且可取相似矩阵为K1,K2,,,Kn的

1K2

,,,,

1K2

(6)

n-1

n-12

n-1

n,K

且V-1CTV=+ 文[5]

由此定理,如果V容易求得,则使友矩阵对角化的变换矩阵T就容易得到了

设C为多项式f(K)的友矩阵,有n个不同的特征根K1,K2,,,KnIF,则存在非奇异矩阵T,使TCT=+

+=(T-1CT)T=T-1CT(T-1)T((T-1)T)-1CT)(T-1)T 故CT与C相似令 V=(T-1)T 而 V-1CTV=+ VT=T-1 故T=(VT)-1,T-1=VT这样就可求出变换矩阵T及T

V-1

-1

第3期邓红梅,刘海连:关于多项式的友矩阵及其对角化问题

由定理知V是CT的变换矩阵而K1,K2,,,Kn是C同时也是C的n个不同的特征值.

1i-1i+1n令 Li= (7)

(Ki-K1),(Ki-i-1)(Ki-Ki+1),(Ki-Kn)

1 若i=j

则 Li(Ki)= (8)

0 若iXj

设f(x)为任一次数小于n的多项式,则f(x)由它在x=K1,K2,,,Kn上的值f(K1),f(K2),,,

f(Kn)完全确定,由(8)式得

i=1

Ef(K)L

(Kj)=f(K1)L1(Kj)+f(K2)L2(Kj)+,+f(Kj)Lj(Kj)+,+

f(Kn)Ln(Kj)=f(Kj) (j=1,2,,,n)

即,多项式

i=1

Ef(K)L

(Kj)和f(x)在x=K1,K2,,,Kn上的值完全相同,因此,

f(x)=

i=1

Ef(K)L

(x)

特别地,取

f(x)=xk (k=0,1,2,,,n-1)

f(x)=f(K1)L1(x)+f(K2)L2(x)+,+f(Kn)Ln(x)f(x)=x0=1@L1(x)+1@L2(x)+,+1@Ln(x)

1@L1(x)+K2@L2(x)+,+Kn@Ln(x)f(x)=x=K222

f(x)=x2=K1@L1(x)+K2@L2(x)+,+Kn@Ln(x)

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

f(x)=x

写成矩阵的形式为:

n-1

=K11x

n-1

@L1(x)+K2

K1K1,

n-1

@L2(x)+,+Kn

KnKn,

n-1

@Ln(x)

K2K2,

,,,

L1(x)L2(x)L3(x)sLn(x)

L1(x)L2(x)L3(x)sLn(xx2=s

x1x

n-1n-1K1K2

11n-1

,Kn,1

,V=

K1,K1

n-12

K2K2,K2

n-12

,,,

Kn,L=,

n-1-12

,Kn

X=VL,故 L=VXn-1

设Li(x)=ai1+ai2x+,+ainx (i=1,2,,,n)则有

1L1(x)

a11a12,a1na11

xL2(X)

a21a22,a2na21

x2=L3(x),V-1=

,,,,,

an1an2,annan1n

xLn(x)即,V

-1

a12a22,an2

j-1

,a1n,a2n,

,,ann

的(i,j)位置上的元素aij是拉格朗日多项式Li(x)的x项的系数T=(VT)-1,T-1=VT,T-1CT=+

T,使T-1CT为

例3 设多项式f(K)=K-2K-K+2

14对角形矩阵.

青海师范大学学报(自然科学版)2009年

解 fc(K)=det(KI-C)=K-2K-K+1=(K-1)(K+1)(K-2)

23令 L1==-(x-2)(x+1)=1+x-x2

1-K2)(K1-K3)2(K22

故 a11=1,a12=,a13=-22

L2=

故

L3=

故

所以,

V-1=

-33

20-213=

(K2-K1)(K2-K3)

(x-1)(x+1)=-+x333

a21=-,a22=0,a23=33

12=

(K3-K1)(K3-K2)

(x-2)(x-1)=--x+x

6326

a31=,a32=-,a33=263-2361

T-1CT=

-1

T-1=VT

T=(V-1)T=

2-2

-303

3-26

参考文献:

[5] (美)RogerA.Horn著.杨奇译.矩阵分析[M].北京:机械工业出版社,2005.4.

AboutMultinomialCompanionMatrixandDiaqonalizationQuestion

DENGHong-mie,LIUHai-lian

(QinghaiCommunicationsTechnicalCollege,Xining810003,China)

Abstract:Companionmatrixinthestandardmodelofrationalmatrixplaysanimportantroleina

classofmatrix.Inthispaper,forthecompanionmatrixofthetransformationmatrixdiagonalizationofseveralways.

Keywords:companionmatrix;characteristicpolynomial;transformationalmatrix;Vandermondematrix;Lagraangeinterpolation

关于多项式的友矩阵及其对角化问题

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