转轴公式的复数法及半径不变法推导
张莉
(机电学院 01016108) 指导教师：隋允康
摘要: 本文用复数法及半径不变的两种方法分别推导出平面转轴公式。 关键词：复数方法；半径不变法；转轴公式
1 引言
当一对坐标轴绕原点转动时，截面对于不同坐标轴的惯性矩或惯性积之间有一定的关系，即所谓的转轴公式。用它可以确定截面的主惯性轴及计算轴面的主惯性矩。
图1所示任意截面图形，在z −y 坐标系中的惯性矩I z 、I y 及惯性积I yz 均为已知。将这一坐标系绕O 点旋转α角（规定α角以逆时针转向为正，反之为负）至z 1、y 1位置，则该截面对于z 1、 y 1这对新坐标轴的惯性矩和惯性积分别为I z 1、I y 1和I y 1z 1，它们都可利用I z ，I y 和 I yz 及α角来表达。
2 按复数法进行推导
如图1，在截面上取任一微面积dA ，设z 轴为实数轴，y 轴为虚数轴。则C =z +iy , C 1=z 1+iy 1
由复数性质可知C 1=Ce −i α，根据欧拉公式 e
i α=cos α+i sin α 可得：
C 1=C (cosα−i sin α) =(z +iy )(cosα−i sin α) =z cos α+y sin α+i (y cos α−z sin α)
代入 C 1=z 1+iy 1 得
z 1=z cos α+y sin α，y 1=y cos α−z sin α
该截面对于坐标轴z 1的惯性矩I z 1为：
I z 1=∫A y 1dA =∫A (y cos α−z sin α) 2dA
=cos 2α∫A y 2dA +sin 2α∫A z 2dA −2sin αcos α∫A yzdA （1） =I z cos 2α+I y sin 2α−2I zy sin αcos α
y y 2
图 1
z
z
图2
以cos 2α=(1+cos 2α) /2，sin 2α=(1−sin 2α) /2 代入(1)式，整理得 I z 1=
I z +I y
2
+I z −I y
2−
cos 2α−I zy sin 2α （2）2
cos 2α+I zy sin 2α
同理：I y 1=
I z +I y
22
I z −I y
（3）
I z 1y 1=
I z −I y
sin 2α+I zy cos 2α （4）
（2）（3）（4）即转轴公式。
3 按半径不变法进行推导
如图2所示，在截面上取任一微面积dA ，设到原点O 的距离为ρ，与坐标轴的夹角为β。 则
y 1=ρsin(β−α)
该截面对于坐标轴z 1的惯性矩I z 1为
I z 1=∫A y 1dA =∫A ρ2sin 2(β−α) =∫A (ρsin βcos α−ρsin αcos β) 2dA
=∫A cos 2α(ρsin β)dA +∫A sin α(ρcos β)dA −∫A 2sin αcos α(ρsin β)(ρcos β)dA
2
2
2
=cos 2α∫A y 2dA +sin 2α∫A z 2dA −sin 2α∫A yzdA =I z +I y
2
+I z −I y
2
cos 2α−I zy sin 2α
又 z 1=
ρcos(β−α) ，进而推得：
I z +I y
2I z −I y
2−I z −I y
2
cos 2α+I zy sin 2α
I y 1=
I z 1y 1=
sin 2α+I zy cos 2α
同样得到转轴公式。
4 结论
无论坐标轴旋转幅度多大，成正向或成反向旋转，此推导过程都将成立。当然还有更多更好的推导方法存在，这将有待于我们继续研究。科学问题的解决并不是唯一的，这就需要我们本着求实创新的精神，更加努力的去研究！
致谢：在此感谢我的导师隋允康教授及本班材料力学课的助教，谢谢他们的指导与关心。
（责任编辑：白海波 张立新）
参 考 文 献
1 郑承沛. 材料力学. 北京：北京工业大学出版社，1999.12
转轴公式的复数法及半径不变法推导
张莉
(机电学院 01016108) 指导教师：隋允康
摘要: 本文用复数法及半径不变的两种方法分别推导出平面转轴公式。 关键词：复数方法；半径不变法；转轴公式
1 引言
当一对坐标轴绕原点转动时，截面对于不同坐标轴的惯性矩或惯性积之间有一定的关系，即所谓的转轴公式。用它可以确定截面的主惯性轴及计算轴面的主惯性矩。
图1所示任意截面图形，在z −y 坐标系中的惯性矩I z 、I y 及惯性积I yz 均为已知。将这一坐标系绕O 点旋转α角（规定α角以逆时针转向为正，反之为负）至z 1、y 1位置，则该截面对于z 1、 y 1这对新坐标轴的惯性矩和惯性积分别为I z 1、I y 1和I y 1z 1，它们都可利用I z ，I y 和 I yz 及α角来表达。
2 按复数法进行推导
如图1，在截面上取任一微面积dA ，设z 轴为实数轴，y 轴为虚数轴。则C =z +iy , C 1=z 1+iy 1
由复数性质可知C 1=Ce −i α，根据欧拉公式 e
i α=cos α+i sin α 可得：
C 1=C (cosα−i sin α) =(z +iy )(cosα−i sin α) =z cos α+y sin α+i (y cos α−z sin α)
代入 C 1=z 1+iy 1 得
z 1=z cos α+y sin α，y 1=y cos α−z sin α
该截面对于坐标轴z 1的惯性矩I z 1为：
I z 1=∫A y 1dA =∫A (y cos α−z sin α) 2dA
=cos 2α∫A y 2dA +sin 2α∫A z 2dA −2sin αcos α∫A yzdA （1） =I z cos 2α+I y sin 2α−2I zy sin αcos α
y y 2
图 1
z
z
图2
以cos 2α=(1+cos 2α) /2，sin 2α=(1−sin 2α) /2 代入(1)式，整理得 I z 1=
I z +I y
2
+I z −I y
2−
cos 2α−I zy sin 2α （2）2
cos 2α+I zy sin 2α
同理：I y 1=
I z +I y
22
I z −I y
（3）
I z 1y 1=
I z −I y
sin 2α+I zy cos 2α （4）
（2）（3）（4）即转轴公式。
3 按半径不变法进行推导
如图2所示，在截面上取任一微面积dA ，设到原点O 的距离为ρ，与坐标轴的夹角为β。 则
y 1=ρsin(β−α)
该截面对于坐标轴z 1的惯性矩I z 1为
I z 1=∫A y 1dA =∫A ρ2sin 2(β−α) =∫A (ρsin βcos α−ρsin αcos β) 2dA
=∫A cos 2α(ρsin β)dA +∫A sin α(ρcos β)dA −∫A 2sin αcos α(ρsin β)(ρcos β)dA
2
2
2
=cos 2α∫A y 2dA +sin 2α∫A z 2dA −sin 2α∫A yzdA =I z +I y
2
+I z −I y
2
cos 2α−I zy sin 2α
又 z 1=
ρcos(β−α) ，进而推得：
I z +I y
2I z −I y
2−I z −I y
2
cos 2α+I zy sin 2α
I y 1=
I z 1y 1=
sin 2α+I zy cos 2α
同样得到转轴公式。
4 结论
无论坐标轴旋转幅度多大，成正向或成反向旋转，此推导过程都将成立。当然还有更多更好的推导方法存在，这将有待于我们继续研究。科学问题的解决并不是唯一的，这就需要我们本着求实创新的精神，更加努力的去研究！
致谢：在此感谢我的导师隋允康教授及本班材料力学课的助教，谢谢他们的指导与关心。
（责任编辑：白海波 张立新）
参 考 文 献
1 郑承沛. 材料力学. 北京：北京工业大学出版社，1999.12