一、平方根 第一课时 【教学目标】 知识与技能：
通过实际生活中的例子理解算术平方根的概念，会求非负数的算术平方根并会用符号表示； 教学重点：算术平方根的概念和求法。 教学难点：算术平方根的求法。 【教学过程】 一、情境引入：
问题：学校要举行美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为25dm 的正方形画布，画上自己得意的作品参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？ 二、探索归纳： 1. 探索：
学生能根据已有的知识即正方形的面积公式：边长的平方等于面积，求出正方形画布的边长为5dm 。
接下来再深入地引导此问题：
2
4
如果正方形的面积分别是1、9、16、36、25，那么正方形的边长分别是多少呢？ 2
求出边长分别是1、3、4、6、5，提问：上面的问题它们有共同点吗？它们的本质是什么
呢？上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题。 2. 归纳：
⑴算术平方根的概念：
一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x2=a那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。 ⑵算术平方根的表示方法：
a 的算术平方根记为a ，读作“根号a ”或“二次很号a ”，a 叫做被开方数。 三、应用：
求下列各数的算术平方根：
497
1
⑴100 ⑵64 ⑶9 ⑷0. 0001 ⑸0
210=100, 所以100的算术平方根是10，即=10； 解：⑴因为
497749497
=() 2=
648； 864648⑵因为，所以的算术平方根是，即
[1**********]74
==1=, () =1
93； 939，所以9的算术平方根是3，即9⑶因为9
2
⑷因为0. 01=0. 0001，所以0. 0001的算术平方根是0. 01，即0. 0001=0. 01； 2
⑸因为0=0，所以0的算术平方根是0，即0=0。
注：①根据算术平方根的定义解题，明确平方与开平方互为逆运算；
②求带分数的算术平方根，需要先把带分数化成假分数，然后根据定义去求解； ③0的算术平方根是0。
由此例题教师可以引导学生思考如下问题：
你能求出－1, －36, －100的算术平方根吗？任意一个负数有算术平方根吗？
归纳：一个正数的算术平方根有1个；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根。 即：只有非负数有算术平方根，如果x =注：
a 有意义，那么a ≥0, x ≥0。
a ≥0且a ≥0这一点对于初学者不太容易理解，教师不要强求，可以在以后的教
学中慢慢渗透。 求下列各式的值：
49
2(-11) 26814（1） （2） （3） （4）
分析：此题本质还是求几个非负数的算术平方根。
497
=2(-11) 2=2=118194=2解：（1） （2） （3） （4）6=6
求下列各数的算术平方根：
12263(-10) 34⑴ ⑵ ⑶ ⑷10
22
3==3； 3=9解：(1)因为，所以32
⑵因为4=64=8，所以4==8；
3
22(-10) 2==10(-10) =100=10⑶因为，所以；
1111
==6633
10101010⑷因为，所以。
根据学生的学习能力和理解能力可进行如下总结：
222
a =a (a ≥0) 3=36=61、由，，可得
2、由
(-11) 2=11
，
(-10) 2=10
2
a =-a (a ≤0)
，可得
教师需强调a =0时对两种情况都成立。 四、随堂练习：
1、算术平方根等于本身的数有＿＿＿＿＿。 2、求下列各式的值：
，
9
25，
52，
(-7) 2
3、求下列各数的算术平方根：
129(-) 1
0. 0025， 121， 42， 2，16
4、已知a +1+b -1=0, 求a +2b 的值。
二、平方根 【教学目标】 知识与技能
了解平方根的概念，会用根号表示正数的平方根； 了解开平方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根 过程与方法
通过学习平方根，进一步建立数感和符号感，发展抽象思维。通过对正数平方根特点的探究，了解平方根与算术平方根的区别和联系，体验类比、化归等问题解决数学思想方法的运用，提高学生对问题的迁移能力。 情感、态度与价值观
通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的。通过探究活动培养动手能力和锻炼克服困难的意志，建立自信心，提高学习热情。
教学重点: 了解开方和乘方互为逆运算，弄懂平方根与算术平方根的区别和联系。 教学难点:平方根与算术平方根的区别和联系。 教学过程 一、情境导入
如果一个数的平方等于9，这个数是多少？
2
()-3=9中括号的作用． 讨论：这样的数有两个，它们是3和－3. 注意
x 2=
又如：
4
25，则x 等于多少呢？
二、探索归纳：
2x 1、平方根的概念：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根．即：如果
=a，那么x 叫做a 的平方根．
求一个数的平方根的运算，叫做开平方．
例如：±3的平方等于9，9的平方根是±3，所以平方与开平方互为逆运算． 例4 求下列各数的平方根。
9
（1） 100 （2） 16 （3） 0.25
3、按照平方根的概念，请同学们思考并讨论下列问题：
正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？
一个是正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果，一个是负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算，符号：正数a 的算术平方根可用a 表示；正数a 的负的平方根可用-a 表示． 例5 求下列各式的值。
（1）， （2）－. 81， （3）
±
（4）56
2
)，
2
归纳：平方根和算术平方根两者既有区别又有联系．区别在于正数的平方根有两个，而它的
算术平方根只有一个；联系在于正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。 三、 立方根 【教学目标】 知识与技能：
了解立方根的概念和表示方法，并会求一个数的立方根； 会用计算器求一个数的立方根。 过程与方法：
从具体的计算出发归纳出立方根的概念，然后讨论立方与开立方的关系，研究立方根的特征，最后介绍实用计算器求立方根的方法。 情感态度与价值观： 通过探索立方根的特征，培养学生独立思考和小组交流的能力；通过立方根与平方根的比较使学生学会类比学习的数学思想；通过探讨一个数的立方根与它的相反数的立方根的关系，可以将求负数的立方根转化为求正数的立方根的问题，培养学生的转化思想。 教学重点：立方根的概念和求法 教学难点：立方根的求法。 教学过程： 一、情景引入：
3
27m 要制作一种容积为的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？
二、探索归纳：
1. 探索：设这种包装箱的边长为xm ，则x =27， 这就是要求一个数，使它的立方等于27.
3
3=27，所以 x =3，即这种包装箱的边长应为3m 。 因为
3
2. 归纳：
立方根的概念：
一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。 立方根的表示方法：
3如果x =a ，那么x 叫做a 的立方根。记作x =a ，a 读作三次根号a 。
a 其中是被开方数，3是根指数，a 中的根指数3不能省略。
开立方的概念：
求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方与立方互为逆运算，可以根据这种关系求一个数的立方根。
3、探索立方根的特点：
根据立方根的意义填空，思考正数、0、负数的立方根各有什么特点？ （1）因为2=8 ，所以8的立方根是（ ）；
3
() =0. 125，所以0. 125的立方根是（ ） ； （2）因为
3() =0，所以0的立方根是（ ）（3）因为；
3
(（4）因为) =-8，所以-8 的立方根是（ ）；
() 3=-
88
-
27，所以27的立方根是（ ）。
3
（5）因为
学生独立完成后，教师要引导学生从正、负数和零三方面去归纳总结立方根的特点。
归纳：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0. 4. 探究互为相反数的两个数的立方根的关系：
填空：因为-8=＿＿＿，-=＿＿＿，所以-8＿＿＿-； 因为-27=＿＿＿，-27=＿＿＿，所以-27＿＿＿-27 -a =-a 。 由上面两个例子可归纳出：一般地，
注：这个关系对于正数、负数、零都成立。求负数的立方根时，可以先求出这个负数的
绝对值的立方根，然后再确它的相反数。 三、应用：
求下列各式的值：
（1）64 （2）-125 （3）
-2764
273=-644
分析：根据立方根的意义求解。
=4解：（1） （2）-125=-5 （3）
求下列各式中x 的值：
-（1）x =0. 008 （2）
3
x 3-3=
3
3
8 （3）(x -1) =-8
分析：此题的本质还是求立方根。
3解：（1）∵x =0. 008 ∴x =0. 008 ∴x =0. 2
x 3-3=
（2）∵
3273
x 3=x =
8 ∴8 ∴2
3
(x -1) =-8 ∴x -1=2 ∴x =3 （3）∵
369-3-633
例3、用计算器计算，，，，的值，你发现了什么？并总
结出来。利用你前面发现的规律填空：已知
216=6，则0. 000216=＿＿＿＿，
216000=＿＿＿＿。
分析：在用计算器求立方根时按键顺序是：这样即可显示出计算结果
、被开立方的数字、=，
36293-3-1-6-2=10=10=10=10=10解：，，，，
由此发现：一个数扩大或缩小1000倍时，它的立方根扩大或缩小10倍。
0. 000216=0. 06，216000=60。
四、随堂练习：
立方根等于本身的数是＿＿＿，如果-a =1-a , 则a =＿＿＿。
2、-的立方根是＿＿＿＿，(-4) 的立方根是＿＿＿＿。 3、已知3x +16的立方根是4，求2x +4的算术平方根。
(x -10) 3x +3=44、已知，求的值。
3
5、比较大小：（1）. 2＿＿2. 1，（2）
-23
-3＿＿4，（3）3＿＿7
一、平方根 第一课时 【教学目标】 知识与技能：
通过实际生活中的例子理解算术平方根的概念，会求非负数的算术平方根并会用符号表示； 教学重点：算术平方根的概念和求法。 教学难点：算术平方根的求法。 【教学过程】 一、情境引入：
问题：学校要举行美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为25dm 的正方形画布，画上自己得意的作品参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？ 二、探索归纳： 1. 探索：
学生能根据已有的知识即正方形的面积公式：边长的平方等于面积，求出正方形画布的边长为5dm 。
接下来再深入地引导此问题：
2
4
如果正方形的面积分别是1、9、16、36、25，那么正方形的边长分别是多少呢？ 2
求出边长分别是1、3、4、6、5，提问：上面的问题它们有共同点吗？它们的本质是什么
呢？上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题。 2. 归纳：
⑴算术平方根的概念：
一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x2=a那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。 ⑵算术平方根的表示方法：
a 的算术平方根记为a ，读作“根号a ”或“二次很号a ”，a 叫做被开方数。 三、应用：
求下列各数的算术平方根：
497
1
⑴100 ⑵64 ⑶9 ⑷0. 0001 ⑸0
210=100, 所以100的算术平方根是10，即=10； 解：⑴因为
497749497
=() 2=
648； 864648⑵因为，所以的算术平方根是，即
[1**********]74
==1=, () =1
93； 939，所以9的算术平方根是3，即9⑶因为9
2
⑷因为0. 01=0. 0001，所以0. 0001的算术平方根是0. 01，即0. 0001=0. 01； 2
⑸因为0=0，所以0的算术平方根是0，即0=0。
注：①根据算术平方根的定义解题，明确平方与开平方互为逆运算；
②求带分数的算术平方根，需要先把带分数化成假分数，然后根据定义去求解； ③0的算术平方根是0。
由此例题教师可以引导学生思考如下问题：
你能求出－1, －36, －100的算术平方根吗？任意一个负数有算术平方根吗？
归纳：一个正数的算术平方根有1个；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根。 即：只有非负数有算术平方根，如果x =注：
a 有意义，那么a ≥0, x ≥0。
a ≥0且a ≥0这一点对于初学者不太容易理解，教师不要强求，可以在以后的教
学中慢慢渗透。 求下列各式的值：
49
2(-11) 26814（1） （2） （3） （4）
分析：此题本质还是求几个非负数的算术平方根。
497
=2(-11) 2=2=118194=2解：（1） （2） （3） （4）6=6
求下列各数的算术平方根：
12263(-10) 34⑴ ⑵ ⑶ ⑷10
22
3==3； 3=9解：(1)因为，所以32
⑵因为4=64=8，所以4==8；
3
22(-10) 2==10(-10) =100=10⑶因为，所以；
1111
==6633
10101010⑷因为，所以。
根据学生的学习能力和理解能力可进行如下总结：
222
a =a (a ≥0) 3=36=61、由，，可得
2、由
(-11) 2=11
，
(-10) 2=10
2
a =-a (a ≤0)
，可得
教师需强调a =0时对两种情况都成立。 四、随堂练习：
1、算术平方根等于本身的数有＿＿＿＿＿。 2、求下列各式的值：
，
9
25，
52，
(-7) 2
3、求下列各数的算术平方根：
129(-) 1
0. 0025， 121， 42， 2，16
4、已知a +1+b -1=0, 求a +2b 的值。
二、平方根 【教学目标】 知识与技能
了解平方根的概念，会用根号表示正数的平方根； 了解开平方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根 过程与方法
通过学习平方根，进一步建立数感和符号感，发展抽象思维。通过对正数平方根特点的探究，了解平方根与算术平方根的区别和联系，体验类比、化归等问题解决数学思想方法的运用，提高学生对问题的迁移能力。 情感、态度与价值观
通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的。通过探究活动培养动手能力和锻炼克服困难的意志，建立自信心，提高学习热情。
教学重点: 了解开方和乘方互为逆运算，弄懂平方根与算术平方根的区别和联系。 教学难点:平方根与算术平方根的区别和联系。 教学过程 一、情境导入
如果一个数的平方等于9，这个数是多少？
2
()-3=9中括号的作用． 讨论：这样的数有两个，它们是3和－3. 注意
x 2=
又如：
4
25，则x 等于多少呢？
二、探索归纳：
2x 1、平方根的概念：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根．即：如果
=a，那么x 叫做a 的平方根．
求一个数的平方根的运算，叫做开平方．
例如：±3的平方等于9，9的平方根是±3，所以平方与开平方互为逆运算． 例4 求下列各数的平方根。
9
（1） 100 （2） 16 （3） 0.25
3、按照平方根的概念，请同学们思考并讨论下列问题：
正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？
一个是正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果，一个是负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算，符号：正数a 的算术平方根可用a 表示；正数a 的负的平方根可用-a 表示． 例5 求下列各式的值。
（1）， （2）－. 81， （3）
±
（4）56
2
)，
2
归纳：平方根和算术平方根两者既有区别又有联系．区别在于正数的平方根有两个，而它的
算术平方根只有一个；联系在于正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。 三、 立方根 【教学目标】 知识与技能：
了解立方根的概念和表示方法，并会求一个数的立方根； 会用计算器求一个数的立方根。 过程与方法：
从具体的计算出发归纳出立方根的概念，然后讨论立方与开立方的关系，研究立方根的特征，最后介绍实用计算器求立方根的方法。 情感态度与价值观： 通过探索立方根的特征，培养学生独立思考和小组交流的能力；通过立方根与平方根的比较使学生学会类比学习的数学思想；通过探讨一个数的立方根与它的相反数的立方根的关系，可以将求负数的立方根转化为求正数的立方根的问题，培养学生的转化思想。 教学重点：立方根的概念和求法 教学难点：立方根的求法。 教学过程： 一、情景引入：
3
27m 要制作一种容积为的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？
二、探索归纳：
1. 探索：设这种包装箱的边长为xm ，则x =27， 这就是要求一个数，使它的立方等于27.
3
3=27，所以 x =3，即这种包装箱的边长应为3m 。 因为
3
2. 归纳：
立方根的概念：
一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。 立方根的表示方法：
3如果x =a ，那么x 叫做a 的立方根。记作x =a ，a 读作三次根号a 。
a 其中是被开方数，3是根指数，a 中的根指数3不能省略。
开立方的概念：
求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方与立方互为逆运算，可以根据这种关系求一个数的立方根。
3、探索立方根的特点：
根据立方根的意义填空，思考正数、0、负数的立方根各有什么特点？ （1）因为2=8 ，所以8的立方根是（ ）；
3
() =0. 125，所以0. 125的立方根是（ ） ； （2）因为
3() =0，所以0的立方根是（ ）（3）因为；
3
(（4）因为) =-8，所以-8 的立方根是（ ）；
() 3=-
88
-
27，所以27的立方根是（ ）。
3
（5）因为
学生独立完成后，教师要引导学生从正、负数和零三方面去归纳总结立方根的特点。
归纳：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0. 4. 探究互为相反数的两个数的立方根的关系：
填空：因为-8=＿＿＿，-=＿＿＿，所以-8＿＿＿-； 因为-27=＿＿＿，-27=＿＿＿，所以-27＿＿＿-27 -a =-a 。 由上面两个例子可归纳出：一般地，
注：这个关系对于正数、负数、零都成立。求负数的立方根时，可以先求出这个负数的
绝对值的立方根，然后再确它的相反数。 三、应用：
求下列各式的值：
（1）64 （2）-125 （3）
-2764
273=-644
分析：根据立方根的意义求解。
=4解：（1） （2）-125=-5 （3）
求下列各式中x 的值：
-（1）x =0. 008 （2）
3
x 3-3=
3
3
8 （3）(x -1) =-8
分析：此题的本质还是求立方根。
3解：（1）∵x =0. 008 ∴x =0. 008 ∴x =0. 2
x 3-3=
（2）∵
3273
x 3=x =
8 ∴8 ∴2
3
(x -1) =-8 ∴x -1=2 ∴x =3 （3）∵
369-3-633
例3、用计算器计算，，，，的值，你发现了什么？并总
结出来。利用你前面发现的规律填空：已知
216=6，则0. 000216=＿＿＿＿，
216000=＿＿＿＿。
分析：在用计算器求立方根时按键顺序是：这样即可显示出计算结果
、被开立方的数字、=，
36293-3-1-6-2=10=10=10=10=10解：，，，，
由此发现：一个数扩大或缩小1000倍时，它的立方根扩大或缩小10倍。
0. 000216=0. 06，216000=60。
四、随堂练习：
立方根等于本身的数是＿＿＿，如果-a =1-a , 则a =＿＿＿。
2、-的立方根是＿＿＿＿，(-4) 的立方根是＿＿＿＿。 3、已知3x +16的立方根是4，求2x +4的算术平方根。
(x -10) 3x +3=44、已知，求的值。
3
5、比较大小：（1）. 2＿＿2. 1，（2）
-23
-3＿＿4，（3）3＿＿7