解析几何中焦点相关的常用结论
解析几何中跟焦点及焦半径(椭圆、双曲线、抛物线上的一点与焦点的连线)、焦点弦(经过焦点的弦)有关的的问题是一类基本的、常见的问题,这于这类问题,我们一般利用第一、第二定
则与C 1而的距离等于⊙C 的半径,∴⊙C 与y 轴相切。
结论3、以抛物线y 2=2px (p>0)的焦点弦AB 为直径的圆与抛物线的准线相切,且A 、B 两点的横坐标之积,纵坐标之积为定值(图3)。
证明:分别过点A 、B 、C 向抛物线的准线l 作垂线,垂足记为A 1、B 1、C 1,与y 轴交于A 2、
B 2,C 2,则C 到l 轴的距离|CC1|=|AA1|+|BB1|=|AB|,∴|CC1|=
|AA 1|+|BB 1|
,由第二定义得:|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,∴
2
|AB |
,即点C 到准线l 的距离等于⊙C 的半径,∴⊙C 与准线相切。 2
p
当直线AB 斜率存在时,设AB 的方程为:y=k(x-
), 代入
|y1B 4tg 2
x 1x 2y 22b 2
结论5、设AB 是椭圆2+2=1的焦点弦,则当AB 垂直x 轴时|AB|min =。
c a b
证明略。
想一想:在抛物线及椭圆的焦点弦中,当该弦垂直于抛物线的对称(或椭圆的长轴)时,弦|AB|取得最小值,那么在双曲线中是否有相同的结论?
结论6、过抛物线y 2=2px (p>0)的焦点F 作倾斜角为θ(θ≠0)的直线,且与抛物线交于A 、
B
⎧|⎨⎩x 2y 2-1
结论8、我们把离心率等于黄金比的椭圆称为“优美椭圆”,设2+2=1是优美椭
2a b
圆,F 、A 分别是它的左焦点和右顶点,B 是它的短轴的一个端点,则∠ABF=
证明略。
π
。 2
x 2y 2
结论9、设P 是椭圆+2=1上的一动点,F 1、F 2为椭圆的两焦点,当P 位于短轴端点2
a b
时,∠F 1PF 2取到最大值。
证明:设|PF1|、|PF2|的长分别为m,n ,则m+n=2a,在△F 1PF 2中,由余弦定理得cos ∠
F 1
mn 2+B K co
解析几何中焦点相关的常用结论
解析几何中跟焦点及焦半径(椭圆、双曲线、抛物线上的一点与焦点的连线)、焦点弦(经过焦点的弦)有关的的问题是一类基本的、常见的问题,这于这类问题,我们一般利用第一、第二定
则与C 1而的距离等于⊙C 的半径,∴⊙C 与y 轴相切。
结论3、以抛物线y 2=2px (p>0)的焦点弦AB 为直径的圆与抛物线的准线相切,且A 、B 两点的横坐标之积,纵坐标之积为定值(图3)。
证明:分别过点A 、B 、C 向抛物线的准线l 作垂线,垂足记为A 1、B 1、C 1,与y 轴交于A 2、
B 2,C 2,则C 到l 轴的距离|CC1|=|AA1|+|BB1|=|AB|,∴|CC1|=
|AA 1|+|BB 1|
,由第二定义得:|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,∴
2
|AB |
,即点C 到准线l 的距离等于⊙C 的半径,∴⊙C 与准线相切。 2
p
当直线AB 斜率存在时,设AB 的方程为:y=k(x-
), 代入
|y1B 4tg 2
x 1x 2y 22b 2
结论5、设AB 是椭圆2+2=1的焦点弦,则当AB 垂直x 轴时|AB|min =。
c a b
证明略。
想一想:在抛物线及椭圆的焦点弦中,当该弦垂直于抛物线的对称(或椭圆的长轴)时,弦|AB|取得最小值,那么在双曲线中是否有相同的结论?
结论6、过抛物线y 2=2px (p>0)的焦点F 作倾斜角为θ(θ≠0)的直线,且与抛物线交于A 、
B
⎧|⎨⎩x 2y 2-1
结论8、我们把离心率等于黄金比的椭圆称为“优美椭圆”,设2+2=1是优美椭
2a b
圆,F 、A 分别是它的左焦点和右顶点,B 是它的短轴的一个端点,则∠ABF=
证明略。
π
。 2
x 2y 2
结论9、设P 是椭圆+2=1上的一动点,F 1、F 2为椭圆的两焦点,当P 位于短轴端点2
a b
时,∠F 1PF 2取到最大值。
证明:设|PF1|、|PF2|的长分别为m,n ,则m+n=2a,在△F 1PF 2中,由余弦定理得cos ∠
F 1
mn 2+B K co