勾股定理中四种重要的数学思想
1 方程思想
1.1 求距离长度问题
例１：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺. 如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面. 水的深度与这根芦苇
的长度分别是多少？ 分析：在Rt △ABC 中，只有BC 边的长度，利用勾股定理求一边的长度，还要知道另一边的长度. 因此可以通过设立未知量，建立方程求解.
解:
设：水的深度为AB 为x 尺，则芦苇的长度AC(AD)为（x+1）尺. 依题意可以得到如图1所示的图形
∵在Rt △ABC 中，BC=5尺，根据勾股定理可得方程
（x+1）²=x²+5²
解得 x=12 ∴ x+1=13
则水的深度为12尺，芦苇的长度为13尺. 图1
1.2 折纸问题
例2 如图所示，把一个长方形（四个角都是直角，对边相等）折叠，恰好点D 落边BC 上，交BC 与点F. 已知AB=8cm，BC=10cm，求EC 的长.
A D 分析：Rt △AEF, 是Rt △AED 沿边AE 边折叠的，所以就可以通
过折叠中对称的性质得到许多的等量，在矩形中的折叠可以得到许多的直角三角形. 要求EC 边长，构造直角三角形，找出EC 边所
E 在的直角三角形，在根据勾股定理，找出所需的量以及各个量之
间的关系. 在已知量与为质量之间建立方程关系.
解：由题意，得AF=AD,DE=EF.
C 在Rt △ABF 中，AB=8cm，AF=AD=10cm，
B
∴
=6(cm).
图2
F
∵BC=10cm，∴CF=10－6=4(cm).
设CE=xcm，则DE=(8－x)cm ，
∴EF=DE=(8－x)cm ，在Rt △CEF 中，根据勾股定理可得方程 4²+x²=（8－x ）²
解得 x=3，故EC 的长为3cm 2 数形结合思想
2.1 方位问题：方位问题是勾股定理实际运用的重要体现. 也是数形结合的典型列子.
例3：台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏性. 如图所示，据气象部门观测，距沿海某城市A 的正南方向220km B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20km ，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15km/h的速度沿北偏东30°方向往C 处移动，且台风中心风力不变. 若城市所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响.
分析：根据图形找出距离A 点最近的台风中心的位置, 求出距离就可以判断是否收到影响, 影响的风力. 根据题意可以在图形上直观得找到所受影响的范围, 构造直角三角形, 根据勾股定理就可以求出范围及影响的时间.
(1)该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由；
(2)若会受到台风影响，则台风影响该城市持续时间有多长. (3)该城市受到台风影响的最大风力为几级. 解：（1）作AD ⊥BC 于D,AD 为城市A 距台风中心的最短距离，在Rt △ABD 中， ∠B=30°，AB=220km.
- 1 -
∴AD=
1
AB=110km. 2
由题意知，当点A 距离台风（12－4）×20=160（km ）时，将会受到台风的影响，故该城市会受到台风的影响.
（2）由题意知，当A 点距台风中心不超过160km 时，将会受到台风的影响，则以A 点为圆心，以160km 长为半径画弧，交BC 于E 、F 两点，此时AE=AF=160km，当台风中心从E 移到F 处时，该城市都会受到台风影响，由勾股定理得
==
EF=2DE=
=h ）. （3）当台风中心位于D 时A 市受这次台风影响的风力最大，最大风力为12－
110
=6.5（级）.
20
3 分类思想
例4 在△ABC 中，AB=13,AC=15,高AD=12,则△ABC 的周长为多少. 分析:可以对三角形的形状进行分类, 不同的形状高线的位置不同:锐角三角形的高线在三角形的内部，钝角三角形的高线在三角形的外部，而BC 求解随高线位置的不同而不同. 所以必须分类来讨论三角形的形状.
解：(1)如图4，如果该三角形是锐角三角形时当BC 边上的高线在△ABC 内部时，如图所示：
∵AD ⊥BC
∴∠ADB=∠ADC=90°，
图4
∴△ADB 与△ADC 为直角三角形.
在Rt △ADB 中,AB=13,AD=12，根据勾股定理得
BD ²=AB²－AD ² ∴==5
在Rt △ADC 中，AC=13,AD=12,根据勾股定理得 DC ²=AC²－AD ²
- 2 -
C
∴
=∴BC=BD+DC=5+9=14.
图5 △ABC 的周长=AB+BC+CA=13+15+14=42
（2）如图5，如果该三角形是钝角三角形时,BC 边上的高线在△ABC 外部时，同理可得：
BC=BD－DC=9－5=4
△ABC 的周长=AB+BC+CA=13+15+4=32.
例5 有一个面积为160m ²的等腰三角形草地，测得它的一边长为20m. 现要给这块三角形草四周围上低矮栅栏，则栅栏的长度为____m.
分析：要完整的给出答案就要根据不同的情况进行分类. 避免造成漏解. 本题只给出了等腰三角形的一条边长, 结果随已知边位置的不同而不同, 所以，可以先对已知的边长进行分类：该边可以为等腰三角形的底，也可以为等腰三角形的腰; 其次，对三角形的形状进行分类：当已知边为等腰三角形的腰时，这边上的高既可以在形内，也可以在形外. 要完整的给出答案就要根据不同的情况进行分类. 避免造成漏解.
解:(1)如图6，当已知边为等腰三角形的底时，BC=20m. 作AD ⊥BC 于D ，∵S ∆ABC =160m²，
∴ 高AD=16(m). 图6
1
BC=10(m)，在Rt △ADB 中，由勾股定理可求得:
2
AB=
20+∵ BD=
(2)当已知边为等腰三角形的腰时，①若腰上的高在形内， 如图7，AB=AC=20 m， ∵S ∆ABC =160m²,
∴高BD=16m，在Rt △ABD 中，由勾股定理可求得AD=12m， ∴ CD=8m，在Rt △BCD 中，由勾股定理有
BC= 从而栅栏的长为
40+②若腰上的高在形外，如图8，AB=AC=20m， ∵S ∆ABC =160m²，
∴高BD=16m，在Rt △ABD 中，由勾股定理知AD=12m,从而DC=32m. ∴在Rt △BCD 中，由勾股定理有
BC=，所以栅栏的长度为
40+图7
B
综上所述，答案应填入
20+40
十
40+图8
4 转换思想
例6 一长方体礼盒如图9所示，其中A A 'B 'B,C C 'D 'D 面为边长为10的正方形,BC=20.在底部A 处有壁虎，C '处有一蚊子，壁虎急于捕捉到坟子充饥.
(l)试确定壁虎所走的最短路线;
(2)若立方体礼盒的棱长为10cm ，壁虎要在半分钟内捕捉到坟子，求壁虎的每分钟至少 爬行多少厘米(保留整数)?
分析：求长方体表面两点间的最短距离时，就可以应用转换的思想通将长方体表面展开，把立体图形转换成平面图形，就可以利用平面几何的知识于进行求解.
解：(1)若把礼盒的上底面A ，B ', C ', D '竖立起来，如图9所示，使它与立方体的正面(ABBC ') 在同一平面内，然后连结A C '，根据“两点间线段最短”知，线段A C '就是壁虎捕捉蚊子所走的最短路线.
（2）由（1）得，△AB C '是直角三角形，且AB=10,BC '=15， 根据勾股定理，得
A C '
≈26.93（cm ）
壁虎要在半分钟内捕捉到蚊子，它至少每分钟爬行约54厘米.
- 3 -
C'
C
A'
B'
C 图 9
例7 有一圆柱物体，如图所示，一只蚂蚁要从A 点绕物体的
外壁爬行，正好到A 的正上方相对的B 点处，问蚂蚁爬行的最短
路径是多少. （已知物体的地面半径是2m ，高是4m. ）
分析：解此题的关键是利用转换思想，把圆柱体的侧面展开，得到一个矩形，找出对应的A,B 点在展开图中的位置利用两点间的线段最短与勾股定理知识作答.
解：把圆柱体沿AD 边展开，形成一个矩形，A,B 点在矩形中的位置如图所示. 连接AB ，根据“两点间线段最短”，则线段AB 就是蚂蚁爬行的最短路径.
∴在Rt △DAB 中,AD=4m,BC=2π, 根据勾股定理 AB=AD²+BC²=16+4π²≈5.34m
- 4 -
B
图 10
勾股定理中四种重要的数学思想
1 方程思想
1.1 求距离长度问题
例１：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺. 如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面. 水的深度与这根芦苇
的长度分别是多少？ 分析：在Rt △ABC 中，只有BC 边的长度，利用勾股定理求一边的长度，还要知道另一边的长度. 因此可以通过设立未知量，建立方程求解.
解:
设：水的深度为AB 为x 尺，则芦苇的长度AC(AD)为（x+1）尺. 依题意可以得到如图1所示的图形
∵在Rt △ABC 中，BC=5尺，根据勾股定理可得方程
（x+1）²=x²+5²
解得 x=12 ∴ x+1=13
则水的深度为12尺，芦苇的长度为13尺. 图1
1.2 折纸问题
例2 如图所示，把一个长方形（四个角都是直角，对边相等）折叠，恰好点D 落边BC 上，交BC 与点F. 已知AB=8cm，BC=10cm，求EC 的长.
A D 分析：Rt △AEF, 是Rt △AED 沿边AE 边折叠的，所以就可以通
过折叠中对称的性质得到许多的等量，在矩形中的折叠可以得到许多的直角三角形. 要求EC 边长，构造直角三角形，找出EC 边所
E 在的直角三角形，在根据勾股定理，找出所需的量以及各个量之
间的关系. 在已知量与为质量之间建立方程关系.
解：由题意，得AF=AD,DE=EF.
C 在Rt △ABF 中，AB=8cm，AF=AD=10cm，
B
∴
=6(cm).
图2
F
∵BC=10cm，∴CF=10－6=4(cm).
设CE=xcm，则DE=(8－x)cm ，
∴EF=DE=(8－x)cm ，在Rt △CEF 中，根据勾股定理可得方程 4²+x²=（8－x ）²
解得 x=3，故EC 的长为3cm 2 数形结合思想
2.1 方位问题：方位问题是勾股定理实际运用的重要体现. 也是数形结合的典型列子.
例3：台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏性. 如图所示，据气象部门观测，距沿海某城市A 的正南方向220km B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20km ，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15km/h的速度沿北偏东30°方向往C 处移动，且台风中心风力不变. 若城市所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响.
分析：根据图形找出距离A 点最近的台风中心的位置, 求出距离就可以判断是否收到影响, 影响的风力. 根据题意可以在图形上直观得找到所受影响的范围, 构造直角三角形, 根据勾股定理就可以求出范围及影响的时间.
(1)该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由；
(2)若会受到台风影响，则台风影响该城市持续时间有多长. (3)该城市受到台风影响的最大风力为几级. 解：（1）作AD ⊥BC 于D,AD 为城市A 距台风中心的最短距离，在Rt △ABD 中， ∠B=30°，AB=220km.
- 1 -
∴AD=
1
AB=110km. 2
由题意知，当点A 距离台风（12－4）×20=160（km ）时，将会受到台风的影响，故该城市会受到台风的影响.
（2）由题意知，当A 点距台风中心不超过160km 时，将会受到台风的影响，则以A 点为圆心，以160km 长为半径画弧，交BC 于E 、F 两点，此时AE=AF=160km，当台风中心从E 移到F 处时，该城市都会受到台风影响，由勾股定理得
==
EF=2DE=
=h ）. （3）当台风中心位于D 时A 市受这次台风影响的风力最大，最大风力为12－
110
=6.5（级）.
20
3 分类思想
例4 在△ABC 中，AB=13,AC=15,高AD=12,则△ABC 的周长为多少. 分析:可以对三角形的形状进行分类, 不同的形状高线的位置不同:锐角三角形的高线在三角形的内部，钝角三角形的高线在三角形的外部，而BC 求解随高线位置的不同而不同. 所以必须分类来讨论三角形的形状.
解：(1)如图4，如果该三角形是锐角三角形时当BC 边上的高线在△ABC 内部时，如图所示：
∵AD ⊥BC
∴∠ADB=∠ADC=90°，
图4
∴△ADB 与△ADC 为直角三角形.
在Rt △ADB 中,AB=13,AD=12，根据勾股定理得
BD ²=AB²－AD ² ∴==5
在Rt △ADC 中，AC=13,AD=12,根据勾股定理得 DC ²=AC²－AD ²
- 2 -
C
∴
=∴BC=BD+DC=5+9=14.
图5 △ABC 的周长=AB+BC+CA=13+15+14=42
（2）如图5，如果该三角形是钝角三角形时,BC 边上的高线在△ABC 外部时，同理可得：
BC=BD－DC=9－5=4
△ABC 的周长=AB+BC+CA=13+15+4=32.
例5 有一个面积为160m ²的等腰三角形草地，测得它的一边长为20m. 现要给这块三角形草四周围上低矮栅栏，则栅栏的长度为____m.
分析：要完整的给出答案就要根据不同的情况进行分类. 避免造成漏解. 本题只给出了等腰三角形的一条边长, 结果随已知边位置的不同而不同, 所以，可以先对已知的边长进行分类：该边可以为等腰三角形的底，也可以为等腰三角形的腰; 其次，对三角形的形状进行分类：当已知边为等腰三角形的腰时，这边上的高既可以在形内，也可以在形外. 要完整的给出答案就要根据不同的情况进行分类. 避免造成漏解.
解:(1)如图6，当已知边为等腰三角形的底时，BC=20m. 作AD ⊥BC 于D ，∵S ∆ABC =160m²，
∴ 高AD=16(m). 图6
1
BC=10(m)，在Rt △ADB 中，由勾股定理可求得:
2
AB=
20+∵ BD=
(2)当已知边为等腰三角形的腰时，①若腰上的高在形内， 如图7，AB=AC=20 m， ∵S ∆ABC =160m²,
∴高BD=16m，在Rt △ABD 中，由勾股定理可求得AD=12m， ∴ CD=8m，在Rt △BCD 中，由勾股定理有
BC= 从而栅栏的长为
40+②若腰上的高在形外，如图8，AB=AC=20m， ∵S ∆ABC =160m²，
∴高BD=16m，在Rt △ABD 中，由勾股定理知AD=12m,从而DC=32m. ∴在Rt △BCD 中，由勾股定理有
BC=，所以栅栏的长度为
40+图7
B
综上所述，答案应填入
20+40
十
40+图8
4 转换思想
例6 一长方体礼盒如图9所示，其中A A 'B 'B,C C 'D 'D 面为边长为10的正方形,BC=20.在底部A 处有壁虎，C '处有一蚊子，壁虎急于捕捉到坟子充饥.
(l)试确定壁虎所走的最短路线;
(2)若立方体礼盒的棱长为10cm ，壁虎要在半分钟内捕捉到坟子，求壁虎的每分钟至少 爬行多少厘米(保留整数)?
分析：求长方体表面两点间的最短距离时，就可以应用转换的思想通将长方体表面展开，把立体图形转换成平面图形，就可以利用平面几何的知识于进行求解.
解：(1)若把礼盒的上底面A ，B ', C ', D '竖立起来，如图9所示，使它与立方体的正面(ABBC ') 在同一平面内，然后连结A C '，根据“两点间线段最短”知，线段A C '就是壁虎捕捉蚊子所走的最短路线.
（2）由（1）得，△AB C '是直角三角形，且AB=10,BC '=15， 根据勾股定理，得
A C '
≈26.93（cm ）
壁虎要在半分钟内捕捉到蚊子，它至少每分钟爬行约54厘米.
- 3 -
C'
C
A'
B'
C 图 9
例7 有一圆柱物体，如图所示，一只蚂蚁要从A 点绕物体的
外壁爬行，正好到A 的正上方相对的B 点处，问蚂蚁爬行的最短
路径是多少. （已知物体的地面半径是2m ，高是4m. ）
分析：解此题的关键是利用转换思想，把圆柱体的侧面展开，得到一个矩形，找出对应的A,B 点在展开图中的位置利用两点间的线段最短与勾股定理知识作答.
解：把圆柱体沿AD 边展开，形成一个矩形，A,B 点在矩形中的位置如图所示. 连接AB ，根据“两点间线段最短”，则线段AB 就是蚂蚁爬行的最短路径.
∴在Rt △DAB 中,AD=4m,BC=2π, 根据勾股定理 AB=AD²+BC²=16+4π²≈5.34m
- 4 -
B
图 10