资本市场工具
之一：固定收益证券
固定收益证券（Fixed-income security)，是承诺固定的或根据 特定公式计算现金流的证券。由于固定收益证券的支付方式 事先已经确定，只要发行人有足够的信誉，这类证券的风险 就是最小的。债券是最基本的固定收益证券类型，也是这一 部分介绍的核心。
2012-9-10
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本讲所要解决的问题： 债券的价格与收益率 一、债券的特征[债券的定义、分类] 二、债券的定价[收入资本化方法] 三、债券收益率[到期收益率等] 四、债券的违约风险[债券评级、安全性决定因素、债券契约] 五、收益率曲线
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固定收益投资的管理 六、利率风险[债券价格与收益率之间的关系] 七、久期和凸性 [定义、计算、估算收益率变动所引起的 债券价格的变动] 八、消极债券管理 [免疫策略] 九、积极债券管理 [互换策略]
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一、债券的特征
1. 债券的定义
债券[bond]是以借贷契约形式发行的证券。该契约规定 发行人在特定的时间向债券持有人支付特定金额的货币。 债券契约[bond indenture]的构成要素包括面值、息票率、 到期日、内含选择权以及为保护债券持有人利益对发行人 的一系列限制性条款。 息票债券[coupon bond]：发行人在债券有效期内按指定日 期向持有人支付利息，年支付利息额等于息票率[coupon rate] 乘以债券的面值[face value或par value]；当到期时，发行人 向投资者支付债券面值； 例2-1：某30年期，面值为1000美元，息票率为8%的息票债 券，半年付息一次。每年向投资者支付80美元的利息，一年 分两次支付，每次40美元，到期时支付1000美元的面值。 零息债券[zero-Coupon bond]：息票率为零的息票债券； 永续年金[perpetuity]：无到期日的支付固定利息的债权。
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美国的国债品种
2.债券的分类
（1）政府债券 政府债券是指中央政府、地方政府及政府机构发行的债券。 A.中央政府债券 短期国债[1年以内]； 中期国债[1-10年]； 长期国债[10-30年]。 国库券[Treasury bills]：是由财政部发行、由政府提供信 用担保的短期零息债券；期限为1年以内；最小面值1000 美元。货币市场中所有金融工具中变现能力最强、信用风 险最小的工具，被认为是最安全的证券。 国库票据[Treasury notes]和国库债券[Treasury bonds]：财 政部发行、由政府提供信用担保的息票债券。国库票据的 期限不超过10年，国库债券的期限为10-30年；最小面值 1000美元；半年付息一次。
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中国的国债
品种
我国国债的品种：无记名国债、凭证式国债、记帐式国 债和储蓄国债等 无记名国债:以实物券的形式记录债权而发行的国债。 凭证式国债:利用填制“凭证式国债收款凭证”形式发行的 国债。 记账式国债：投资者持有的国债登记于证券账户或在商 业银行开立的债券账户中的一种国债。 储蓄国债：向个人投资者发行的，是以电子方式记录债 权的，不可流通转让的国债。
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B.市政债券[Municipal Bonds] 美国的市政债券是由州或者地方政府发行的债券，分 为责任债券[完全受发行者的信用支撑,如缴税能力]和收益 债券[为特定项目融资而发行，并由该项目的收入或运作该 项目的机构提供担保]两种类型。我国2009年首发了2000亿 的地方政府债。 C.政府机构债券[Federal Agency Debt]
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（2）公司债券 公司债券是企业或公司为筹措资金向公众发行的债务 型金融工具。可划分为： 可赎回债券[callable bond]； 可转换债券[convertible bond]； 卖权债券[put bond]； 浮动利率债券[floating-rate bond]； 优先股[preferred stock]。
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可赎回债券和卖权债券:允许发行人在到期日之前按照 事先约定的回购价格收回债券；典型的可赎回债券有一 个赎回保护期，因此也被称为递延可赎回债券[deferred callable bond]；卖权债券则赋予债券持有人这种权利。 可转换债券：允许债券持有人用该债券交换发行债券 公司特定数量的普通股。
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例2-2：假设一张可转换债券面值为1000美元，目前的市场 价格为950美元，可转换40股该公司股票。当股票价格每 股为20美元时，债券的转换价值为800美元；如果之后每 股价格上升为30美元，则转换价值为1200美元。债券价值 超出其转换价值的部分称为转换溢价。 浮动利率债券：利息支付与某种市场利率指标相联系的。 例2-3：某浮动利率债券的息票率根据国库券利率加2%， 每年调整一次。
（3）国际债券[International bonds] 外国债券[Foreign bonds] 欧洲债券[Euro-bonds] （4）债券市场上的创新 支付选择债券[pay in kind bonds] 资产支持债券[Asset-backed bonds] 反向浮动债券[reverse floaters] 巨灾债券[Catastrophe bonds] 指数化债券[Indexed bonds]
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二、债券定价
例2-3：[通胀指数化债券]某债券的期限为3年，面值为 1000美元，息票率为4%，利息按年支付，假定接下来三年 的通胀率为2%、3%和1%，则该债券的现金流为：
时间 0 1 2 3
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贴现现金流估价方法[收入资本化]：任何债券的内在 价值等于投资者持有该债券预期的未来现金流现值之和。
通胀率
面值 1000
利息
本金偿还
总支付
贴现率的影响因素：无风险利率、通货膨胀率；违约
2% 3% 1% 1020 1050.6 1061.11 40.8 42.02 42.44 0 0 1061.11 40.8 42.02 1103.55
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风险、流动性风险、赎回风险、纳税属性等。
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1.息票债券[coupon bond] 投资者未来的现金流由两个部分构成：本金A与利息 cA，因此息票债券的内在价值为：
V
0
图2-1，债券价值与利率之间的关系
减函数； 凸向原点； 息票率与利率的关系。
=
∑ (1 + r )
t =1
T
cA
t
+
A (1 + r
)
T
例2-4：某种债券面值为1000美元、息票率为8%，期限为 30年，半年付息一次。如果利率r为10%[6个月利率为 5%]，该债券的内在价值为：
V0 =
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(1 + 5 % )
40
+L +
(1 + 5 % )60
40
+
(1 + 5 % )60
1000
= 810 . 71
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三、债券收益率
2.零息债券[zero-coupon bond] 假定零息债券到期要偿还的面值为A，则其内在价值为： 1.到期收益率[yield-to-maturity] 到期收益率是使得债券支付额的现值等于债券市场价 格的贴现率。以息票债券为例，那么债券的市场价格与债 券本身的到期收益率y之间存在如下关系：
V
0
=
(1
A + r
)T
3. 永续年金[perpetuity] 若持有人定期可获得c的利息流，那么其内在价值为：
P0 =
cA cA cA A + +L + + 2 T 1 + y (1 + y ) (1 + y ) (1 + y )T
[*]
V0 =
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∑ (1 + r )
t =1
∞
c
t
=
c r
该指标被视为债券有效期内平均收益率的度量。零 息债券和优先股同理。
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2. 回购收益率[yield-to-call] 例2-5：息票率为8%，半年付息一次，面值为1000美元， 30年期到期的债券目前的售价为1276.76美元。我们可以得 到该债券的到期收益率： 下图为面值为1000美元息票率为8%的30年期不可赎 回与可赎回债券[赎回价为1100美元]不同利率水平下的 价值：
1276
. 76 =
∑
60
t =1
40 + (1 + y ) t
(1
1000 + y
)60
解得半年期到期收益率为y=3%。 用单利的方法将半年期的收益率转化为年收益率[即年 百分比收益率,annual percentage rate] 为6%；而运用复利方 法转换[有效年收益率,effective annual yield]为6.09%。
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3.到期收益率V.S实际复利收益率[Realized Compound Yield] 回购收益率计算方法与到期收益率相同，以回购时间 长度代替了距离到期的时间长度，用回购价格代替了面 值。 例2-6：假定息票率为8%的30年期债券的价格为1150美 元，10年后可以以1100美元的价格被回购，请计算债券 的到期收益率与回购收益率。
1150 1150 = =
实际复利收益率是指有效期内使投资的终值的贴现值等于初 始值的复利计息的贴现率。
当满足:A.所有息票收入都能够在相当于到期收益率的利率进 行再投资；B.持有到期；C.不出现违约时，两者才相等。 例2-7：某两年期债券以面值1000美元出售，每年付息一次，息 票率为10%，其到期收益率为10%。如果息票收入能够以10%的 利率再投资，无违约，则持有债券到期的实际复利收益率为：
1000 × 10 % × (1 + 10 %) + 1000 × 10 % + 1000 1 / 2 ) − 1 = 10 % 1000
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∑ ∑
20
60
t =1
40 (1 + y )
t
1000 + (1 + y
t
)60 )20
t =1
40 ( 1 + y call )
1100 + (1 + y call
y Re alized = (
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4. 到期收益率V.S持有期收益率 持有期收益率是持有期间的收入[包括利息收入和资本利得 或损失]与期初债券价格的比值，两者不能等同。 例2-8：某30年期面值为1000美元，息票率为8%的债券，按面 值出售，则其到期收益率为8%。假设持有期为一年，如果在 整年内收益率保持8%不变，其持有期收益率为8%；如果收益 率下降,价格增加到1050美元，那么持有期回报率为13%，高 于8%。
四、违约风险
1.债券评级 债券的违约风险[default risk] ，也称为信用风险[credit risk]，穆迪投资公司、标准普尔公司、惠誉国际等进行测定。 信用等级为BBB或者更高的债券[标准普尔公司、惠誉国 际]，等级为Baa以及更高的债券[穆迪公司]都被认为是投资 级债券[investment-grade bonds]。反之，信用等级较低的则被 称为投机级债券[speculative-grade bonds]或者垃圾债券[junk bonds]。
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表2-1 债券等级
极高信用 高信用 投机性 极低信用
2.债券安全性的决定因素 债券评级机构主要根据发行公司的一些财务比率水平和趋 势分析，对其所发行的债权信用状况进行评级。关键的财务指 标包括以下几个方面： 债务保障比率[coverage ratio]:公司收益与固定成本的比率[+] 杠杆比率[leverage ratio]：债务与权益的比率[-] 流动性比率[liquidity ratio]：流动比率与速动比率[+]
标准 普尔
AAA
AA
A
BBB
BB
B
CCC
D
穆迪
Aaa
Aa
A
Baa
Ba
B
Caa
C
评级机构还会不时对信用等级加以调整。标准普尔使用加减号：A+和A分别是A级信用中的最高和最低级。穆迪适用1、2、3标记：1代表信用等 级中的最高级。
盈利率比率[profitability ratios]：资产收益率[ROA][+] 现金流量/债务比率[ cash flow to debt ratio][+]
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3.债券契约（Bond indenture) 债券以契约形式发行，契约是债券发行方与持有方 间的协议。契约的部分内容是为了保护持有方的权利对 发行方设置的一些限制性措施，这些限制性措施也对债 券的安全性产生很大影响。 偿债基金[sinking
fund] 从属条款[subordination clauses] 股利限制[Dividend restrictions] 抵押品[collateral]
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4.到期收益率V.S违约风险 例2-9 某面值为1000美元，20年期，息票率为9%的债券还有 10年到期，如果目前公司出现了财务困难。承诺的到期收益 率为13.7%，预期到期收益率为11.6%，低于前者：
预期的到期收益 利息支付额 半年支付期的次数 到期时的支付 价格 45 20 700 750 承诺的到期收益 45 20 1000 750
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五、 收益率曲线
违约溢价[default premium]是公司债券所承诺的收益率与类 似的无违约风险政府债券收益率之差[下图2-2]。 1.收益率曲线[yield curve] 债券的到期收益率[yield to maturity]与债券期限[the term to maturity]之间的关系，同时又被称为利率的期限结构[term structure of interest rate] 。见图2-3：
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2. 远期利率 考虑假想的确定性条件下的情况，假设未来三年的短 期利率如下表，在确定性条件下，不同的债权投资策略获 得的收益应该相等，因此，可以据此推导不同期限无风险 零息债券到期收益率[即期利率]和收益率曲线：
年份 1 2 3 第1年 R1=5％
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期限 1 2 3
零息债券的到期收益率
1 + y1 = 1 + r1 ⇒ y1 = r1 = 5%
(1 + y 2 ) 2 = (1 + y1 )(1 + r2 ) ⇒ y2 = [(1 + y1 )(1 + r2 )]1/ 2 − 1 = 5.5%
(1 + y3 )3 = (1 + y1 )(1 + r2 )(1 + r3 ) ⇒ y3 = [(1 + y1 )(1 + r2 )(1 + r3 )]1/ 3 −1 = 6%
未来短期利率 5％ 6％ 7% 第2年 R2=6％
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第1年 R1=5％ Y1=5％
第2年 R2=6％
第3年 R3=7%
第3年 R3=7%
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Y2=5.5％ Y3=6％
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反过来，也可以通过不同期限的零息债券的到期收益率 和收益率曲线来推算未来的短期利率，具体方法如下：
(1 + y n ) n = (1 + y n − 1 ) n − 1 × ( 1 + r n )
第1年 R1=5％ Y1=5％ Y2=6％ Y2=7％ Y2=8％
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第2年 R2=7.01％
第3年 R3=9.025%
第4年 R4=11.06%
但是现实中未来的利率具有不确定性，因此，在现 实中根据上述方法推断出的利率并非是“真正”和“确定” 的未来短期利率。因此，在现实中不确定的条件下，把 用上述方法推断出的利率称为远期利率，用fn表示：
(1 + y n ) n = (1 + y n − 1 ) n − 1 × ( 1 + f n )
例2-10 假定两年期零息债券的到期收益率为6%，三年 期零息债券的到期收益率为7%，那么，请计算第三年的 远期利率为多少？ 1 × (1 . 06 ) 2 × (1 + f 3 ) = 1 × (1 . 07 ) 3 = 1 . 2250
f 3 = 9 . 02 %
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2. 利率期限结构的决定理论之一：期望假说
该理论认为远期利率等于市场对未来短期利率的预期[该理 论基本思想是投资者选择不同的投资策略预期收益相等] ：
f n = E (rn )
1 + y1 = 1 + r1 (1 + y 2 ) 2 = (1 + y1 )(1 + f 2 ) = (1 + r1 )(1 + E (r2 )) (1 + y 3 ) 3 = (1 + y 2 ) 2 (1 + f 3 ) = (1 + y 2 ) 2 (1 + E (r3 )) = (1 + r1 )(1 + E (r2 ))(1 + E (r3 )) M (1 + y n ) n = (1 + y n −1 ) n −1 (1 + f n ) = (1 + y n −1 ) n −1 (1 + E (rn )) = (1 + r1 )(1 + E (r2 ))(1 + E (r3 ))...(1 + E (rn ))
预期理论的支持者常常逆向使用收益率 曲线推算出预期的未来短期利率。
根据该理论假说，长期债券收益率较高因为预期未来 利率上升；反之则反是。
y 1 = r1 y 2 = [( 1 + r1 )( 1 + E ( r2 ))] 1 / 2 − 1 y 3 = [( 1 + r1 )( 1 + E ( r2 ))( 1 + E ( r3 ))] 1 / 3 − 1 M y n = [( 1 + r1 )( 1 + E ( r2 )) K (1 + E ( rn ))] 1 / n − 1
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3. 利率期限结构的决定理论之二：流动性偏好假说
我们通过一个例子来看期望理论的基本思想： 例2-11 当前市场利率为8%，预期下一年的利率会上升到10%。 考虑两个投资计划:A.购买一年期零息债券，在下一年再将本 息投入另一个一年期债券 B.投资于两年期零息债券。 期望假说认为，上述两种投资策略的收益率应相当。前 者预期的收益率为1×1.08 ×1.10=1.188，年增长率为 考虑这样一个两时期决策的问题： 假设目前市场利率为r1=y1，预期下一年的利率为E(r2) 。 长期投资者：A.购买一年期零息债券，在下一年再将本息 投入另一个一年期债券 B.投资于两年期零息债券。 短期投资者:A.购买一年期零息债券；B.投资于两年期零息 债券，第一年年末变现。 由于风险的存在，短期风险厌恶的投资者除非远期利率超 过未来短期利率的预期，否则不会持有长期债券；长期风险 厌恶的投资者正好相反。不一致程度与投资者风险偏好有关。
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8.995%；因此，两年期零息债券的到期收益率应为8.995%。
由于预期未来利率会上升，因此，收益率曲线向上倾斜。
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流动性偏好理论的支持者认为用收益率 曲线推算出的远期利率则不是对未来市 场利率的准确预测。
图2-5 流动性溢价、预期未来短期利率与收益率曲线
流动性偏好理论认为短期的、风险厌恶的投资者占有统 治地位，因此，长期债券必须提供更高的到期收益率以吸 引投资者，因此，远期利率会超过未来短期利率的预期。 超过部分被称为流动性溢价[liquidity premium]。收益率曲 线形状则由两者共同决定[图2-4] 。 y1 = r1
y2 = [(1 + r1 )(1 + E (r2 ) + l2 )]1/ 2 − 1 y3 = [(1 + r1 )(1 + E (r2 ) + l2 )(1 + E (r3 ) + l3 )]1/ 3 − 1 M yn = [(1 + r1 )(1 + E ( r2 ) + l2 ) K (1 + E (rn ) + ln )]1/ n − 1
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4. 利率期限结构与债券估值
下面的例子说明了两种理论假说的
区别： 例2-12 假定r1=5%，E(r2)=5%, E(r3)=5%,流动性溢价为1%： 如果利率期限结构不是水平的，那么最好的方法是 将不同时期的现金流作为单独的零息债券进行估值。 假设1~3年期零息债券的到期收益率分别为y1= 5%、
A.根据预期假说， y2= y3=5% B.根据流动性偏好假说，y2= 5.5%；y3=5.67%
y2= 6%；y3=7%。三年期息票率为10%，一年付息一
次，面值为1000美元的国库债券的价值为：
PV = 100 100 + 1 . 05 (1 + 0 . 06
)2
+
(1 + 0 . 07 )3
1100
= 1082 . 71
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六、利率风险
为了清楚地说明问题，以息票债券为例，我们假设了4 只债券。这4只假想的债券面值均为100元，且每半年付息 一次。4只债券的具体细节如下，我们计算了不同到期收益 率水平下债券的价格[表2-2]：
表2-3 4只假想债券的价格—收益率关系
到期收益率 6.00 7.00 8.00 8 .50 8 .90 8.99 9.00 9.01 9.10 9.50 10.00 11.00 12.00 9%/5 112.7953 108.3166 104.0554 102.0027 100.3966 100.0395 100.0000 99.9604 99.6053 98.0459 96.1391 92.4624 88.9599 9%/25 138.5946 123.4556 110.7410 105.1482 100.9961 100.0988 100.0000 99.9013 99.0199 95.2539 90.8720 83.0685 76.3572
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6%/5 100.0000 95.8417 91.8891 89.9864 88.4983 88.1676 88.1309 88.0943 87.7654 86.3214 84.5565 81.1559 77.9197
6%/25 100.0000 88.2722 78.5178 74.2587 71.1105 70.4318 70.3570 70.2824 69.6164 66.7773 63.4881 57.6712 52.7144
5年期票面利率为9%的债券； 25年期票面利率为9%的债券； 5年期票面利率为6%的债券； 25年期票面利率为6%的债券；
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表2-4 4只假想债券价格变动百分比 单位：%
到期收益率
6.00 7.00 8.00 8 .50 8 .90 8.99 9.01 9.10 9.50 10.00 11.00 12.00
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变动基点
-300 -200 -100 -50 -10 -1 1 10 50 100 200 300
9%/5
12.80 8.32 4.06 2.00 0.40 0.04 -0.04 -0.39 -1.95 -3.86 -7.54 -11.04
9%/25
38.59 23.46 10.74 5.15 1.00 0.10 -0.10 -0.98 -4.75 -9.13 -16.93 -23.64
6%/5
13.47 8.75 4.26 2.11 0.42 0.04 -0.04 -0.41 -2.05 -4.06 -7.91 -11.59
6%/25
42.13 25.46 11.60 5.55 1.07 0.11 -0.11 -1.05 -5.09 -9.76 -18.03 -25.08
从表中可以发现债券价格和收益率之间关系的6个特 征。前五项是Malkiel[1962]提出的，称为Malkiel债券定价 关系，第六项则是由Homer和Liebowitz[1972]提出的。 债券价格与债券的到期收益率呈负相关关系； 到期收益率的微小变化所导致的债券价格的变动幅度大 致相同；但收益率变动较大时，债券价格在收益率上升时 的变动幅度与在收益率下降时的变动幅度不同，上升的百 分比大于价格下降的百分比；
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长期债券的价格比短期债券的价格对收益率变动更敏感； 随着期限的增加，债券价格对收益率变动的敏感程度以一 个下降的速率
增加。 [如，尽管债券“9%/25”是“9%/5”到期 时间的5倍，但其利率敏感性之比小于5]；
利率风险与债券的息票利率呈负相关关系。高息票利 率债券的价格与低息票利率债券的价格相比，后者对利 率更为敏感[如，比较“9%/5”和“6%/5”两种债券即可看 出这一关系]； 债券价格对收益率变动的敏感性与债券当期出售时的 到期收益率成反向关系[如，9%/5的债券，分别以9%、
8%和7%的初始到期收益率出售时，利率下降1%，债券
价格分别上涨4.06%、4.1%和4.13%]。
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七、久期和凸性
1.久期 [duration] 1938年,Macaulay定义了久期的概念；
久期揭示了债券价格对收益率变动的敏感性，即利率 风险大小； 久期也测度了债券承诺支付现金流的平均期限。
A.久期定义及其由来
D =
1 P0
∑ t (1 + y )
t =1
T
CF t
t
[1]
t：债券产生现金流的各个时期；T：债券到期期限；y： 债券的到期收益率；CFt：债券在第t期产生的现金流； P0：债券的市场价格:
P0 =
∑ (1 + y )
t t =1
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T
CF
t
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久期概念是如何由来的呢？我们简要推导如下：
Q P0 =
∑ (1 + y )
t t =1
T
CF
t
dP 0 1 1 1CF 1 2 CF 2 TCF T 1 = − + +L + dy P0 1 + y (1 + y ) (1 + y )2 (1 + y )T P0
定义： D ≡
T 1CF CFt 1 + 2CF2 + L + TCFT 1 = 1 t T P (1 + y ) (1 + y )2 P0 (1 + y ) 0 (1 + y )t t =1
dP 0 − 1 CF 1 − 2 CF 2 − TCF T ∴ = + +L + dy (1 + y )2 (1 + y )3 (1 + y )T + 1 = − 1 1 CF 1 2 CF 2 TCF T + +L + 1 + y (1 + y ) (1 + y )2 (1 + y )T
∑
即久期。带入得到：
dP D 0 / dy = − P 1+ y 0
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[2]
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B.久期的内涵
对于久期，我们可以从时间角度和久期的功能角度两 个方面来理解： 从时间角度考察，债券的久期是以各期现金流现值占总 现值的比例 加权平均。
P0 (1 + y )t CFt
现 金 流
为权重，对各期现金流发生的时间进行
D=∑
t =1
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T
(1 + y )t t
P0
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CFt
1
2
3
4
5
6
年份
久期：现金流现值天平借以平衡的支点
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在实际运用中，经常对上述久期值进行修正，即得到所谓 的修正久期[modified duration]，定义为： 从久期的功能考察，久期本质上反映了债券价格变 动对收益率变动的敏感程度，也即是衡量了债券的利 率风险。因此，久期越长，债券的利率风险也就越大。
D* =
D 1+ y
有了修正的久期定义之后，根据[2]式从而我们得到：
dP0 / dy = − D * P0
[3]
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有了久期的定义之后，我们可以运
用久期定义来近似 地估算债券到期收益率水平变化所导致的债券价格的 波动。根据久期定义，我们可以得到债券价格变动的 近似百分比为，根据[2]和[3]，
C.久期的计算
步骤一：计算各期现金流的现值； 步骤二：计算各期现金流现值总和； 步骤三：计算各期现金流现值占现值总和的比重； 步骤四：以比重为权重，以时间为乘数，加权平均时间， 即久期；
∆P0 D =− ∆y = − D*∆y P0 1+ y
债券价格的近似变动额为，
∆P0 = −
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D ∆yP0 = − D *∆yP0 1+ y
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例2-13：考虑某面值为100，息票利率为10%的3年期 债券，息票每半年付息一次[每半年付息5]。假定该债券的 年到期收益率为12%[半年为6%]。试计算该债券的久期。
时间
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 合计
例2-14：4只假想债券的久期与修正久期[到期收益率为9%]
债券 息票率为9%的5年期债券 息票率为9%的25年期债券 息票率为6%的5年期债券 息票率为6%的25年期债券 久期[年] 4.13 10.33 4.35 11.10 修正久期 3.96 9.88 4.16 10.62
现金流
5 5 5 5 5 105 130
现金流现值
4.716981 4.449982 4.198096 3.960468 3.736291 74.02086 95.08268
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权重
0.049609 0.046801 0.044152 0.041653 0.039295 0.778489 1
时间×权重
0.0248046 0.0468012 0.0662281 0.0833058 0.0982379 2.3354681 2.6548458
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E.是什么决定了久期？ D.债券价格波动估算：久期近似方法
例2-15：我们考虑前面4只假想债券中的“票面利率6%的25 年期”债券在9%收益率水平上以70.3570价格出售时的情况。 由前面的计算知道，该债券的修正久期为10.62。如果收益 率从9%上升到9.10%，即收益率变动了10个基点。那么我 们可以利用公式∆P0/P0=-D*∆y得到债券价格变动百分比的 近似值为， ∆P0 = −10.62 × (0.10%) = −1.06% P0
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零息债券的久期等于其到期时间； 证明：显然，对零息债券而言，其久期就等于其到期 期限。因为贴现债券只有到期时才会发生现金流。即，
CF = CF = L= CF −1 = 0 1 2 T
因此，
P0 = PV =
∑ (1 + y )
CFt
t =1
T
t
=
(1 + y )T
CFT
∴D =
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T −1 1 0 CFT t+ T =T t T P0 (1 + y ) t =1 (1 + y )
∑
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息票债券的久期小于其到期时间。只有仅剩最后一期就 要期满的息票债券的久期等于其到期时间，并等于1； 永续年金的久期等于(1+y)/y； 证明：由永续年金定义知:
D= 1 P0
∞
在到期收益率和息票率不变时，债券无论是以面值出售 还是以面值的溢价出售，久期总是随到期时间的增长而增 加。但是，处于严重折价状态的债券，到期时间越长，久 期可能反而越短；
∑ (1 + y)
t CFt
t =1
T
t
=
y c
∑ (1 + y)
tc
t =1
t
=
1+ y y
其 中，
∑ (1 + y) =
tc
t =1 t
∞
1+ y y2
c
在到期时间与息票率不变时，债券的到期收益率与其久 期负相关。
在到期时间和到期收益率既定时，息票率与久期负相关 ；
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F.久期的缺陷
收益率微小变动时，修正久期可以比较好地给出债券 价格变动百分比的近似值。但是，当收益率波动比较大 时，这种方法就难以与实际情况相吻合了。如下例： 例2-16：接例2-15。假定收益率上升了200个基点，譬 如从9%上升到11%，那么利用公式我们得到债券价格变动 百分比近似值为，
∆P0 = −10.62 × (2% ) = −21.24% P0
表2-4 4只假想债券价格变动百分比 单位：%
到期收益率
6.00 7.00 8.00 8 .50 8 .90 8.99 9.01 9.10 9.50 10.00 11.00 12.00
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变动基点
-300 -200 -100 -50 -10 -1 1 10 50 100 200 300
9%/5
12.80 8.32 4.06 2.00 0.40 0.04 -0.04 -0.39 -1.95 -3.86 -7.54 -11.04
9%/25
38.59 23.46 10.74 5.15 1.00 0.10 -0.10 -0.98 -4.75 -9.13 -16.93 -23.64
6%/5
13.47 8.75 4.26 2.11 0.42 0.04 -0.04 -0.41 -2.05 -4.06 -7.91 -11.59
6%/25
42.13 25.46 11.60 5.55 1.07 0.11 -0.11 -1.05 -5.09 -9.76 -18.03 -25.08
这显然与表2-4所列出的结果-18.03%相差很远，这 样，我们就不得不寻找更为精确的刻画债券价格波动的方 法，因此，我们引入凸性的概念。
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图2-6 久期方法估计与真实变动的区别
2.凸性 A.凸性的定义
c=
1 P0
∑
t =1
T
t (t + 1)CFt (1 + y ) t + 2
B.用久期和凸性估算利率变动引起的债券价格的变动
1 ∆P0 ≈ − D * ∆y + c ( ∆y ) 2 P0 2
∆P0 ∆P dP / P dP = − D * P0 ⇒ 0 = 0 0 P0 = 0 ∆y dy ∆y dy
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C.凸性的由来
首先我们利用泰勒展开式[Taylor expansion]来计算由 于收益率或利率变动而引起的债券价格变动，然后，我们 再引入凸性的定义。 由债券定价公式可知，P0=P0(CFt,T,y) 为计算简便，不妨假设债券价格仅受收益率或利率影 响[这不会影响我们的结论的] ，于是有，
在y*处，利用泰勒展开得到，
2 dP 1 d 2 P0 P0 = P0 y* + 0 y − y* + y − y * + o( y ) dy 2 dy 2
( )
(
)
(
)
其中，一阶导数和二阶导数在y*取值。
2 dP 1 d 2 P0 ∴ P0 − P0 y* ≈ 0 y − y* + y − y* dy 2 dy 2
( )
(
)
(
)
定义，∆P0=P0-P0(y*)
P0=P0(y)
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∆y= y - y*
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∆P0 ≈
dP0 1 d 2 P0 ∆y + ( ∆y ) 2 dy 2 dy 2
定义， ≡ c
d 2 P0 1 dy 2 P0
∴ ∆P0 1 ≈ − D *∆y + c(∆y ) 2 P0 2
该式两边同除以债券价格得到，
∆P0 dP0 1 d P0 1 ≈ ∆y + ( ∆y ) 2 P0 dyP0 2 dy 2 P0
2
最后，我们将价格公式带入计算得到凸性为：
dP * 因为， 0 = −D P0
dy
所以，
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c=
∆P0 1 d 2 P0 1 ≈ − D * ∆y + ( ∆y ) 2 P0 2 dy 2 P0
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d 2 P0 1 1 = dy 2 P0 P0
∑
t =1
T
t (t + 1)CFt (1 + y )t + 2
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D. 债券价格波动估算：凸性近似方法
例2-17：4只假想债券的凸性[9%的收益率水平上]
债券 息票率9%的5年期债券 息票率9%的25年期债券 息票率6%的5年期债券 息票率6%的25年期债券 凸性[年]
例2-18[接例2-15]：该“25年期票面利率为6%”且收益 率为9%的债券的修正久期为10.62，其凸性为182.92。若收 益率增加200个基点，即从基准水平9%上升到11%，那么 债券价格变动的近似百分比值为， 首先计算由久期方法得到的近似值为，
∆P0 = −10.62 × (2%) = −21.24% P0
19.45 160.72 20.85 182.92
其次计算凸性的影响或对价格波动的贡献为，
1 1 c(∆y ) 2 = × 182.92 × (0.02) 2 = 3.66% 2 2
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八、消极债券管理
将二者相加，得到由于收益率变动而引起的债券价格 变化百分比的比较精确的近似值为， ∆P0 1 ≈ − MD∆y + c(∆y ) 2 = −21.24% + 3.66% = −17.58% P0 2 由表2-4可以看出，实际变动值为-18.03%。可见在收 益率变动幅度较大的情况下，同时使用久期和凸性来估计 债券价格波动幅度要更为精确。 消极的管理者通常认为债券的市场价格已是公平的价格， 因而他们只把目光集中于控制固定收益组合的风险。 免疫策略[immune]：使资产和负债的利率敏感性相匹配。
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例2-19：构建免疫组合 一家保险公司在7年后支付19487美元。市场利率为 10%，所以债务的现值为10000美元。公司资产组合管理 者希望通过持有3年期零息债券和年付息一次的永续债券 对其负债的支付进行利率免疫。那么管理者怎么进行免 疫呢？ 免疫要求资产组合的久期等于负债的久期。我们的 计算包括以下四步：
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步骤1：计算负债的久期。在本例中，负债的久期很 容易计算。它是单一支付流的债务，久期为7年。 步骤2：计算资产组合的久期。每一种资产要素的久 期的加权平均值为组合的久期，权重等于每一种资产在基 金中所占的比重。零息债券的久期等于其3年的到期期限。 永续债券的久期为1.10/0.10=11年。因此，如果组合投资 中零息债券的比重为w，投资于永续债券的比重为1-w， 组合的久期为 资产的久期=3w+11(1-w) 步骤3：令资产的久期等于负债的7年期久期，从而计 算出资产组合中的各种债券所占的比例。这要求解出下面 公式中的w的数值：
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假定一年已经过去，利率仍保持在10%的水平。例219中的组合管理者
需要重新检查他所建立的头寸。债务头
3w+11(1-w)=7 解得w=1/2。所以管理者应把一半的资金投资于零息 债券，另一半的资金投资于永续债券。这样资产组合的久 期为7年。 步骤4：由于债务现值为10000美元，资金必须等份地 投资于零息债券和永续债券，因而管理者必须购买5000美 元的零息债券和5000美元的永续债券[面值为6655] 。 注意：“即使头寸已得到免疫，但是管理者还是不能
稍有松懈。这是因为存在根据利率变动进行再平衡 [rebalancing]的需要。而且，即使利率没有变动，时间的 消逝也会影响久期，从而要求再平衡。”
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寸是否还能得到完全的偿付？是否得到完全的免疫？如果 没有，那应采取什么行动？ 步骤1：检查债务情况。由于到期日又近了一年，债 务的现值增加至11000美元。随着时间的推移，零息债券 的价值已从5000美元增至5500美元，而永续债券已支付 500美元的年息，仍值5000美元。因此，债务可以被完全 偿付。 步骤2：再平衡。但是资产组合的构成比例必须改变。 零息债券现在久期为2年，而永续债券的久期仍为11年， 债务还要过6年才到期。新的权重必须满足下面的等式：
九、积极的债券管理
1. 互换策略 2w+11(1-w)=6
这意味着w=5/9。为了使组合再平衡并且保持久期的 匹配，管理者必须将11000×5/9=6111.11美元投资于零息债 券，这需要将年息票利息500美元全部投资于零息债券， 再通过出售部分永续债券以获得111.11美元的资金投资于 零息债券。 霍默（Homer)与利伯维茨（Leibowitz）将证券组合的各 种再平衡活动归为四种债券互换活动[加上税收互换]： 替代互换[Substitution swap] 市场间利差互换[intermarket spread swap] 利率预测互换[rate anticipation swap] 纯收益率增长互换[pure yield pickup swap] 税收互换[tax swap]
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“当然，资产组合的再平衡会带来买卖资产的交易成 本，所以不可能不断地进行资产组合的再平衡。实际上， 资产组合的管理者要在需要不断地再平衡以获得很好的免 疫功能和调整频率尽可能的低以控制交易成本之间寻求一 个适当的折衷方案。”
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2. 或有免疫[contingent immunization]
例2-20：息票率为9%的20年期福特公司债券，五年后可赎回
[1050],到期收益率为9.05%；信用级别相同，条款相同的通用
公司债券，到期收益率为9%。 例2-21：10年期长期国债和Baa的10年期公司债券收益率差为
利伯维茨和温伯格（Leibowitz & Weinberger,1982)提 出的或有免疫技术是一种介于积极策略和消极策略之间 的技术。该技术的思想是允许固定收益管理者积极地管 理组合，直到表现不好的市场威胁到
获得最低可接受的 组合收益率的前景为止，之后将采取免疫技术。
3%，而历史上平均差异为2%。
例2-22：预期利率下降，卖出5年期国债，买进25年期国债； 例2-23：持有更高收益的债券。 例2-24：利用债券税收属性不同进行互换。
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例2-25：或有免疫策略 假定两年期投资计划的管理者负责1000万美元的组 合 。管理者希望两年期的累积性收益率至少为10%，也 就是说，可接受的组合最终价值的最小值为1100万美元。 如果当前的市场利率为10%，那么，需要投资于免疫组 合的909万美元就可以保证1100万美元最终价值。
由于管理者的初始投资为1000万美元，一开始他就 可以承受一些风险损失，因此可以采取一些积极的策 略，而不用立即采取免疫策略。 如果T表示剩余的投资时间，r表示在特定时间的市 场利率，那么所需基金的价值来保证能够达到最小可接 受的最终价值为1000/(1+r)T万美元，因为如果免疫的 话，这个资产组合在投资期结束时能增加到1100万美元。 这个值就是触发点，即当实际资产组合价值降到触发点 时，积极管理就会终止（图2-7）。
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图2-7 或有免疫
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资本市场工具
之一：固定收益证券
固定收益证券（Fixed-income security)，是承诺固定的或根据 特定公式计算现金流的证券。由于固定收益证券的支付方式 事先已经确定，只要发行人有足够的信誉，这类证券的风险 就是最小的。债券是最基本的固定收益证券类型，也是这一 部分介绍的核心。
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本讲所要解决的问题： 债券的价格与收益率 一、债券的特征[债券的定义、分类] 二、债券的定价[收入资本化方法] 三、债券收益率[到期收益率等] 四、债券的违约风险[债券评级、安全性决定因素、债券契约] 五、收益率曲线
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固定收益投资的管理 六、利率风险[债券价格与收益率之间的关系] 七、久期和凸性 [定义、计算、估算收益率变动所引起的 债券价格的变动] 八、消极债券管理 [免疫策略] 九、积极债券管理 [互换策略]
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一、债券的特征
1. 债券的定义
债券[bond]是以借贷契约形式发行的证券。该契约规定 发行人在特定的时间向债券持有人支付特定金额的货币。 债券契约[bond indenture]的构成要素包括面值、息票率、 到期日、内含选择权以及为保护债券持有人利益对发行人 的一系列限制性条款。 息票债券[coupon bond]：发行人在债券有效期内按指定日 期向持有人支付利息，年支付利息额等于息票率[coupon rate] 乘以债券的面值[face value或par value]；当到期时，发行人 向投资者支付债券面值； 例2-1：某30年期，面值为1000美元，息票率为8%的息票债 券，半年付息一次。每年向投资者支付80美元的利息，一年 分两次支付，每次40美元，到期时支付1000美元的面值。 零息债券[zero-Coupon bond]：息票率为零的息票债券； 永续年金[perpetuity]：无到期日的支付固定利息的债权。
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美国的国债品种
2.债券的分类
（1）政府债券 政府债券是指中央政府、地方政府及政府机构发行的债券。 A.中央政府债券 短期国债[1年以内]； 中期国债[1-10年]； 长期国债[10-30年]。 国库券[Treasury bills]：是由财政部发行、由政府提供信 用担保的短期零息债券；期限为1年以内；最小面值1000 美元。货币市场中所有金融工具中变现能力最强、信用风 险最小的工具，被认为是最安全的证券。 国库票据[Treasury notes]和国库债券[Treasury bonds]：财 政部发行、由政府提供信用担保的息票债券。国库票据的 期限不超过10年，国库债券的期限为10-30年；最小面值 1000美元；半年付息一次。
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中国的国债
品种
我国国债的品种：无记名国债、凭证式国债、记帐式国 债和储蓄国债等 无记名国债:以实物券的形式记录债权而发行的国债。 凭证式国债:利用填制“凭证式国债收款凭证”形式发行的 国债。 记账式国债：投资者持有的国债登记于证券账户或在商 业银行开立的债券账户中的一种国债。 储蓄国债：向个人投资者发行的，是以电子方式记录债 权的，不可流通转让的国债。
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B.市政债券[Municipal Bonds] 美国的市政债券是由州或者地方政府发行的债券，分 为责任债券[完全受发行者的信用支撑,如缴税能力]和收益 债券[为特定项目融资而发行，并由该项目的收入或运作该 项目的机构提供担保]两种类型。我国2009年首发了2000亿 的地方政府债。 C.政府机构债券[Federal Agency Debt]
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（2）公司债券 公司债券是企业或公司为筹措资金向公众发行的债务 型金融工具。可划分为： 可赎回债券[callable bond]； 可转换债券[convertible bond]； 卖权债券[put bond]； 浮动利率债券[floating-rate bond]； 优先股[preferred stock]。
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可赎回债券和卖权债券:允许发行人在到期日之前按照 事先约定的回购价格收回债券；典型的可赎回债券有一 个赎回保护期，因此也被称为递延可赎回债券[deferred callable bond]；卖权债券则赋予债券持有人这种权利。 可转换债券：允许债券持有人用该债券交换发行债券 公司特定数量的普通股。
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例2-2：假设一张可转换债券面值为1000美元，目前的市场 价格为950美元，可转换40股该公司股票。当股票价格每 股为20美元时，债券的转换价值为800美元；如果之后每 股价格上升为30美元，则转换价值为1200美元。债券价值 超出其转换价值的部分称为转换溢价。 浮动利率债券：利息支付与某种市场利率指标相联系的。 例2-3：某浮动利率债券的息票率根据国库券利率加2%， 每年调整一次。
（3）国际债券[International bonds] 外国债券[Foreign bonds] 欧洲债券[Euro-bonds] （4）债券市场上的创新 支付选择债券[pay in kind bonds] 资产支持债券[Asset-backed bonds] 反向浮动债券[reverse floaters] 巨灾债券[Catastrophe bonds] 指数化债券[Indexed bonds]
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二、债券定价
例2-3：[通胀指数化债券]某债券的期限为3年，面值为 1000美元，息票率为4%，利息按年支付，假定接下来三年 的通胀率为2%、3%和1%，则该债券的现金流为：
时间 0 1 2 3
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贴现现金流估价方法[收入资本化]：任何债券的内在 价值等于投资者持有该债券预期的未来现金流现值之和。
通胀率
面值 1000
利息
本金偿还
总支付
贴现率的影响因素：无风险利率、通货膨胀率；违约
2% 3% 1% 1020 1050.6 1061.11 40.8 42.02 42.44 0 0 1061.11 40.8 42.02 1103.55
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风险、流动性风险、赎回风险、纳税属性等。
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1.息票债券[coupon bond] 投资者未来的现金流由两个部分构成：本金A与利息 cA，因此息票债券的内在价值为：
V
0
图2-1，债券价值与利率之间的关系
减函数； 凸向原点； 息票率与利率的关系。
=
∑ (1 + r )
t =1
T
cA
t
+
A (1 + r
)
T
例2-4：某种债券面值为1000美元、息票率为8%，期限为 30年，半年付息一次。如果利率r为10%[6个月利率为 5%]，该债券的内在价值为：
V0 =
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(1 + 5 % )
40
+L +
(1 + 5 % )60
40
+
(1 + 5 % )60
1000
= 810 . 71
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三、债券收益率
2.零息债券[zero-coupon bond] 假定零息债券到期要偿还的面值为A，则其内在价值为： 1.到期收益率[yield-to-maturity] 到期收益率是使得债券支付额的现值等于债券市场价 格的贴现率。以息票债券为例，那么债券的市场价格与债 券本身的到期收益率y之间存在如下关系：
V
0
=
(1
A + r
)T
3. 永续年金[perpetuity] 若持有人定期可获得c的利息流，那么其内在价值为：
P0 =
cA cA cA A + +L + + 2 T 1 + y (1 + y ) (1 + y ) (1 + y )T
[*]
V0 =
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∑ (1 + r )
t =1
∞
c
t
=
c r
该指标被视为债券有效期内平均收益率的度量。零 息债券和优先股同理。
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2. 回购收益率[yield-to-call] 例2-5：息票率为8%，半年付息一次，面值为1000美元， 30年期到期的债券目前的售价为1276.76美元。我们可以得 到该债券的到期收益率： 下图为面值为1000美元息票率为8%的30年期不可赎 回与可赎回债券[赎回价为1100美元]不同利率水平下的 价值：
1276
. 76 =
∑
60
t =1
40 + (1 + y ) t
(1
1000 + y
)60
解得半年期到期收益率为y=3%。 用单利的方法将半年期的收益率转化为年收益率[即年 百分比收益率,annual percentage rate] 为6%；而运用复利方 法转换[有效年收益率,effective annual yield]为6.09%。
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3.到期收益率V.S实际复利收益率[Realized Compound Yield] 回购收益率计算方法与到期收益率相同，以回购时间 长度代替了距离到期的时间长度，用回购价格代替了面 值。 例2-6：假定息票率为8%的30年期债券的价格为1150美 元，10年后可以以1100美元的价格被回购，请计算债券 的到期收益率与回购收益率。
1150 1150 = =
实际复利收益率是指有效期内使投资的终值的贴现值等于初 始值的复利计息的贴现率。
当满足:A.所有息票收入都能够在相当于到期收益率的利率进 行再投资；B.持有到期；C.不出现违约时，两者才相等。 例2-7：某两年期债券以面值1000美元出售，每年付息一次，息 票率为10%，其到期收益率为10%。如果息票收入能够以10%的 利率再投资，无违约，则持有债券到期的实际复利收益率为：
1000 × 10 % × (1 + 10 %) + 1000 × 10 % + 1000 1 / 2 ) − 1 = 10 % 1000
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∑ ∑
20
60
t =1
40 (1 + y )
t
1000 + (1 + y
t
)60 )20
t =1
40 ( 1 + y call )
1100 + (1 + y call
y Re alized = (
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4. 到期收益率V.S持有期收益率 持有期收益率是持有期间的收入[包括利息收入和资本利得 或损失]与期初债券价格的比值，两者不能等同。 例2-8：某30年期面值为1000美元，息票率为8%的债券，按面 值出售，则其到期收益率为8%。假设持有期为一年，如果在 整年内收益率保持8%不变，其持有期收益率为8%；如果收益 率下降,价格增加到1050美元，那么持有期回报率为13%，高 于8%。
四、违约风险
1.债券评级 债券的违约风险[default risk] ，也称为信用风险[credit risk]，穆迪投资公司、标准普尔公司、惠誉国际等进行测定。 信用等级为BBB或者更高的债券[标准普尔公司、惠誉国 际]，等级为Baa以及更高的债券[穆迪公司]都被认为是投资 级债券[investment-grade bonds]。反之，信用等级较低的则被 称为投机级债券[speculative-grade bonds]或者垃圾债券[junk bonds]。
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表2-1 债券等级
极高信用 高信用 投机性 极低信用
2.债券安全性的决定因素 债券评级机构主要根据发行公司的一些财务比率水平和趋 势分析，对其所发行的债权信用状况进行评级。关键的财务指 标包括以下几个方面： 债务保障比率[coverage ratio]:公司收益与固定成本的比率[+] 杠杆比率[leverage ratio]：债务与权益的比率[-] 流动性比率[liquidity ratio]：流动比率与速动比率[+]
标准 普尔
AAA
AA
A
BBB
BB
B
CCC
D
穆迪
Aaa
Aa
A
Baa
Ba
B
Caa
C
评级机构还会不时对信用等级加以调整。标准普尔使用加减号：A+和A分别是A级信用中的最高和最低级。穆迪适用1、2、3标记：1代表信用等 级中的最高级。
盈利率比率[profitability ratios]：资产收益率[ROA][+] 现金流量/债务比率[ cash flow to debt ratio][+]
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3.债券契约（Bond indenture) 债券以契约形式发行，契约是债券发行方与持有方 间的协议。契约的部分内容是为了保护持有方的权利对 发行方设置的一些限制性措施，这些限制性措施也对债 券的安全性产生很大影响。 偿债基金[sinking
fund] 从属条款[subordination clauses] 股利限制[Dividend restrictions] 抵押品[collateral]
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4.到期收益率V.S违约风险 例2-9 某面值为1000美元，20年期，息票率为9%的债券还有 10年到期，如果目前公司出现了财务困难。承诺的到期收益 率为13.7%，预期到期收益率为11.6%，低于前者：
预期的到期收益 利息支付额 半年支付期的次数 到期时的支付 价格 45 20 700 750 承诺的到期收益 45 20 1000 750
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五、 收益率曲线
违约溢价[default premium]是公司债券所承诺的收益率与类 似的无违约风险政府债券收益率之差[下图2-2]。 1.收益率曲线[yield curve] 债券的到期收益率[yield to maturity]与债券期限[the term to maturity]之间的关系，同时又被称为利率的期限结构[term structure of interest rate] 。见图2-3：
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2. 远期利率 考虑假想的确定性条件下的情况，假设未来三年的短 期利率如下表，在确定性条件下，不同的债权投资策略获 得的收益应该相等，因此，可以据此推导不同期限无风险 零息债券到期收益率[即期利率]和收益率曲线：
年份 1 2 3 第1年 R1=5％
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期限 1 2 3
零息债券的到期收益率
1 + y1 = 1 + r1 ⇒ y1 = r1 = 5%
(1 + y 2 ) 2 = (1 + y1 )(1 + r2 ) ⇒ y2 = [(1 + y1 )(1 + r2 )]1/ 2 − 1 = 5.5%
(1 + y3 )3 = (1 + y1 )(1 + r2 )(1 + r3 ) ⇒ y3 = [(1 + y1 )(1 + r2 )(1 + r3 )]1/ 3 −1 = 6%
未来短期利率 5％ 6％ 7% 第2年 R2=6％
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第1年 R1=5％ Y1=5％
第2年 R2=6％
第3年 R3=7%
第3年 R3=7%
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Y2=5.5％ Y3=6％
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反过来，也可以通过不同期限的零息债券的到期收益率 和收益率曲线来推算未来的短期利率，具体方法如下：
(1 + y n ) n = (1 + y n − 1 ) n − 1 × ( 1 + r n )
第1年 R1=5％ Y1=5％ Y2=6％ Y2=7％ Y2=8％
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第2年 R2=7.01％
第3年 R3=9.025%
第4年 R4=11.06%
但是现实中未来的利率具有不确定性，因此，在现 实中根据上述方法推断出的利率并非是“真正”和“确定” 的未来短期利率。因此，在现实中不确定的条件下，把 用上述方法推断出的利率称为远期利率，用fn表示：
(1 + y n ) n = (1 + y n − 1 ) n − 1 × ( 1 + f n )
例2-10 假定两年期零息债券的到期收益率为6%，三年 期零息债券的到期收益率为7%，那么，请计算第三年的 远期利率为多少？ 1 × (1 . 06 ) 2 × (1 + f 3 ) = 1 × (1 . 07 ) 3 = 1 . 2250
f 3 = 9 . 02 %
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2. 利率期限结构的决定理论之一：期望假说
该理论认为远期利率等于市场对未来短期利率的预期[该理 论基本思想是投资者选择不同的投资策略预期收益相等] ：
f n = E (rn )
1 + y1 = 1 + r1 (1 + y 2 ) 2 = (1 + y1 )(1 + f 2 ) = (1 + r1 )(1 + E (r2 )) (1 + y 3 ) 3 = (1 + y 2 ) 2 (1 + f 3 ) = (1 + y 2 ) 2 (1 + E (r3 )) = (1 + r1 )(1 + E (r2 ))(1 + E (r3 )) M (1 + y n ) n = (1 + y n −1 ) n −1 (1 + f n ) = (1 + y n −1 ) n −1 (1 + E (rn )) = (1 + r1 )(1 + E (r2 ))(1 + E (r3 ))...(1 + E (rn ))
预期理论的支持者常常逆向使用收益率 曲线推算出预期的未来短期利率。
根据该理论假说，长期债券收益率较高因为预期未来 利率上升；反之则反是。
y 1 = r1 y 2 = [( 1 + r1 )( 1 + E ( r2 ))] 1 / 2 − 1 y 3 = [( 1 + r1 )( 1 + E ( r2 ))( 1 + E ( r3 ))] 1 / 3 − 1 M y n = [( 1 + r1 )( 1 + E ( r2 )) K (1 + E ( rn ))] 1 / n − 1
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3. 利率期限结构的决定理论之二：流动性偏好假说
我们通过一个例子来看期望理论的基本思想： 例2-11 当前市场利率为8%，预期下一年的利率会上升到10%。 考虑两个投资计划:A.购买一年期零息债券，在下一年再将本 息投入另一个一年期债券 B.投资于两年期零息债券。 期望假说认为，上述两种投资策略的收益率应相当。前 者预期的收益率为1×1.08 ×1.10=1.188，年增长率为 考虑这样一个两时期决策的问题： 假设目前市场利率为r1=y1，预期下一年的利率为E(r2) 。 长期投资者：A.购买一年期零息债券，在下一年再将本息 投入另一个一年期债券 B.投资于两年期零息债券。 短期投资者:A.购买一年期零息债券；B.投资于两年期零息 债券，第一年年末变现。 由于风险的存在，短期风险厌恶的投资者除非远期利率超 过未来短期利率的预期，否则不会持有长期债券；长期风险 厌恶的投资者正好相反。不一致程度与投资者风险偏好有关。
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8.995%；因此，两年期零息债券的到期收益率应为8.995%。
由于预期未来利率会上升，因此，收益率曲线向上倾斜。
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流动性偏好理论的支持者认为用收益率 曲线推算出的远期利率则不是对未来市 场利率的准确预测。
图2-5 流动性溢价、预期未来短期利率与收益率曲线
流动性偏好理论认为短期的、风险厌恶的投资者占有统 治地位，因此，长期债券必须提供更高的到期收益率以吸 引投资者，因此，远期利率会超过未来短期利率的预期。 超过部分被称为流动性溢价[liquidity premium]。收益率曲 线形状则由两者共同决定[图2-4] 。 y1 = r1
y2 = [(1 + r1 )(1 + E (r2 ) + l2 )]1/ 2 − 1 y3 = [(1 + r1 )(1 + E (r2 ) + l2 )(1 + E (r3 ) + l3 )]1/ 3 − 1 M yn = [(1 + r1 )(1 + E ( r2 ) + l2 ) K (1 + E (rn ) + ln )]1/ n − 1
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4. 利率期限结构与债券估值
下面的例子说明了两种理论假说的
区别： 例2-12 假定r1=5%，E(r2)=5%, E(r3)=5%,流动性溢价为1%： 如果利率期限结构不是水平的，那么最好的方法是 将不同时期的现金流作为单独的零息债券进行估值。 假设1~3年期零息债券的到期收益率分别为y1= 5%、
A.根据预期假说， y2= y3=5% B.根据流动性偏好假说，y2= 5.5%；y3=5.67%
y2= 6%；y3=7%。三年期息票率为10%，一年付息一
次，面值为1000美元的国库债券的价值为：
PV = 100 100 + 1 . 05 (1 + 0 . 06
)2
+
(1 + 0 . 07 )3
1100
= 1082 . 71
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六、利率风险
为了清楚地说明问题，以息票债券为例，我们假设了4 只债券。这4只假想的债券面值均为100元，且每半年付息 一次。4只债券的具体细节如下，我们计算了不同到期收益 率水平下债券的价格[表2-2]：
表2-3 4只假想债券的价格—收益率关系
到期收益率 6.00 7.00 8.00 8 .50 8 .90 8.99 9.00 9.01 9.10 9.50 10.00 11.00 12.00 9%/5 112.7953 108.3166 104.0554 102.0027 100.3966 100.0395 100.0000 99.9604 99.6053 98.0459 96.1391 92.4624 88.9599 9%/25 138.5946 123.4556 110.7410 105.1482 100.9961 100.0988 100.0000 99.9013 99.0199 95.2539 90.8720 83.0685 76.3572
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6%/5 100.0000 95.8417 91.8891 89.9864 88.4983 88.1676 88.1309 88.0943 87.7654 86.3214 84.5565 81.1559 77.9197
6%/25 100.0000 88.2722 78.5178 74.2587 71.1105 70.4318 70.3570 70.2824 69.6164 66.7773 63.4881 57.6712 52.7144
5年期票面利率为9%的债券； 25年期票面利率为9%的债券； 5年期票面利率为6%的债券； 25年期票面利率为6%的债券；
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表2-4 4只假想债券价格变动百分比 单位：%
到期收益率
6.00 7.00 8.00 8 .50 8 .90 8.99 9.01 9.10 9.50 10.00 11.00 12.00
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变动基点
-300 -200 -100 -50 -10 -1 1 10 50 100 200 300
9%/5
12.80 8.32 4.06 2.00 0.40 0.04 -0.04 -0.39 -1.95 -3.86 -7.54 -11.04
9%/25
38.59 23.46 10.74 5.15 1.00 0.10 -0.10 -0.98 -4.75 -9.13 -16.93 -23.64
6%/5
13.47 8.75 4.26 2.11 0.42 0.04 -0.04 -0.41 -2.05 -4.06 -7.91 -11.59
6%/25
42.13 25.46 11.60 5.55 1.07 0.11 -0.11 -1.05 -5.09 -9.76 -18.03 -25.08
从表中可以发现债券价格和收益率之间关系的6个特 征。前五项是Malkiel[1962]提出的，称为Malkiel债券定价 关系，第六项则是由Homer和Liebowitz[1972]提出的。 债券价格与债券的到期收益率呈负相关关系； 到期收益率的微小变化所导致的债券价格的变动幅度大 致相同；但收益率变动较大时，债券价格在收益率上升时 的变动幅度与在收益率下降时的变动幅度不同，上升的百 分比大于价格下降的百分比；
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长期债券的价格比短期债券的价格对收益率变动更敏感； 随着期限的增加，债券价格对收益率变动的敏感程度以一 个下降的速率
增加。 [如，尽管债券“9%/25”是“9%/5”到期 时间的5倍，但其利率敏感性之比小于5]；
利率风险与债券的息票利率呈负相关关系。高息票利 率债券的价格与低息票利率债券的价格相比，后者对利 率更为敏感[如，比较“9%/5”和“6%/5”两种债券即可看 出这一关系]； 债券价格对收益率变动的敏感性与债券当期出售时的 到期收益率成反向关系[如，9%/5的债券，分别以9%、
8%和7%的初始到期收益率出售时，利率下降1%，债券
价格分别上涨4.06%、4.1%和4.13%]。
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七、久期和凸性
1.久期 [duration] 1938年,Macaulay定义了久期的概念；
久期揭示了债券价格对收益率变动的敏感性，即利率 风险大小； 久期也测度了债券承诺支付现金流的平均期限。
A.久期定义及其由来
D =
1 P0
∑ t (1 + y )
t =1
T
CF t
t
[1]
t：债券产生现金流的各个时期；T：债券到期期限；y： 债券的到期收益率；CFt：债券在第t期产生的现金流； P0：债券的市场价格:
P0 =
∑ (1 + y )
t t =1
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T
CF
t
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久期概念是如何由来的呢？我们简要推导如下：
Q P0 =
∑ (1 + y )
t t =1
T
CF
t
dP 0 1 1 1CF 1 2 CF 2 TCF T 1 = − + +L + dy P0 1 + y (1 + y ) (1 + y )2 (1 + y )T P0
定义： D ≡
T 1CF CFt 1 + 2CF2 + L + TCFT 1 = 1 t T P (1 + y ) (1 + y )2 P0 (1 + y ) 0 (1 + y )t t =1
dP 0 − 1 CF 1 − 2 CF 2 − TCF T ∴ = + +L + dy (1 + y )2 (1 + y )3 (1 + y )T + 1 = − 1 1 CF 1 2 CF 2 TCF T + +L + 1 + y (1 + y ) (1 + y )2 (1 + y )T
∑
即久期。带入得到：
dP D 0 / dy = − P 1+ y 0
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[2]
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B.久期的内涵
对于久期，我们可以从时间角度和久期的功能角度两 个方面来理解： 从时间角度考察，债券的久期是以各期现金流现值占总 现值的比例 加权平均。
P0 (1 + y )t CFt
现 金 流
为权重，对各期现金流发生的时间进行
D=∑
t =1
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T
(1 + y )t t
P0
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CFt
1
2
3
4
5
6
年份
久期：现金流现值天平借以平衡的支点
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在实际运用中，经常对上述久期值进行修正，即得到所谓 的修正久期[modified duration]，定义为： 从久期的功能考察，久期本质上反映了债券价格变 动对收益率变动的敏感程度，也即是衡量了债券的利 率风险。因此，久期越长，债券的利率风险也就越大。
D* =
D 1+ y
有了修正的久期定义之后，根据[2]式从而我们得到：
dP0 / dy = − D * P0
[3]
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有了久期的定义之后，我们可以运
用久期定义来近似 地估算债券到期收益率水平变化所导致的债券价格的 波动。根据久期定义，我们可以得到债券价格变动的 近似百分比为，根据[2]和[3]，
C.久期的计算
步骤一：计算各期现金流的现值； 步骤二：计算各期现金流现值总和； 步骤三：计算各期现金流现值占现值总和的比重； 步骤四：以比重为权重，以时间为乘数，加权平均时间， 即久期；
∆P0 D =− ∆y = − D*∆y P0 1+ y
债券价格的近似变动额为，
∆P0 = −
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D ∆yP0 = − D *∆yP0 1+ y
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例2-13：考虑某面值为100，息票利率为10%的3年期 债券，息票每半年付息一次[每半年付息5]。假定该债券的 年到期收益率为12%[半年为6%]。试计算该债券的久期。
时间
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 合计
例2-14：4只假想债券的久期与修正久期[到期收益率为9%]
债券 息票率为9%的5年期债券 息票率为9%的25年期债券 息票率为6%的5年期债券 息票率为6%的25年期债券 久期[年] 4.13 10.33 4.35 11.10 修正久期 3.96 9.88 4.16 10.62
现金流
5 5 5 5 5 105 130
现金流现值
4.716981 4.449982 4.198096 3.960468 3.736291 74.02086 95.08268
金融学院金融学系
权重
0.049609 0.046801 0.044152 0.041653 0.039295 0.778489 1
时间×权重
0.0248046 0.0468012 0.0662281 0.0833058 0.0982379 2.3354681 2.6548458
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E.是什么决定了久期？ D.债券价格波动估算：久期近似方法
例2-15：我们考虑前面4只假想债券中的“票面利率6%的25 年期”债券在9%收益率水平上以70.3570价格出售时的情况。 由前面的计算知道，该债券的修正久期为10.62。如果收益 率从9%上升到9.10%，即收益率变动了10个基点。那么我 们可以利用公式∆P0/P0=-D*∆y得到债券价格变动百分比的 近似值为， ∆P0 = −10.62 × (0.10%) = −1.06% P0
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零息债券的久期等于其到期时间； 证明：显然，对零息债券而言，其久期就等于其到期 期限。因为贴现债券只有到期时才会发生现金流。即，
CF = CF = L= CF −1 = 0 1 2 T
因此，
P0 = PV =
∑ (1 + y )
CFt
t =1
T
t
=
(1 + y )T
CFT
∴D =
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T −1 1 0 CFT t+ T =T t T P0 (1 + y ) t =1 (1 + y )
∑
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息票债券的久期小于其到期时间。只有仅剩最后一期就 要期满的息票债券的久期等于其到期时间，并等于1； 永续年金的久期等于(1+y)/y； 证明：由永续年金定义知:
D= 1 P0
∞
在到期收益率和息票率不变时，债券无论是以面值出售 还是以面值的溢价出售，久期总是随到期时间的增长而增 加。但是，处于严重折价状态的债券，到期时间越长，久 期可能反而越短；
∑ (1 + y)
t CFt
t =1
T
t
=
y c
∑ (1 + y)
tc
t =1
t
=
1+ y y
其 中，
∑ (1 + y) =
tc
t =1 t
∞
1+ y y2
c
在到期时间与息票率不变时，债券的到期收益率与其久 期负相关。
在到期时间和到期收益率既定时，息票率与久期负相关 ；
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F.久期的缺陷
收益率微小变动时，修正久期可以比较好地给出债券 价格变动百分比的近似值。但是，当收益率波动比较大 时，这种方法就难以与实际情况相吻合了。如下例： 例2-16：接例2-15。假定收益率上升了200个基点，譬 如从9%上升到11%，那么利用公式我们得到债券价格变动 百分比近似值为，
∆P0 = −10.62 × (2% ) = −21.24% P0
表2-4 4只假想债券价格变动百分比 单位：%
到期收益率
6.00 7.00 8.00 8 .50 8 .90 8.99 9.01 9.10 9.50 10.00 11.00 12.00
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变动基点
-300 -200 -100 -50 -10 -1 1 10 50 100 200 300
9%/5
12.80 8.32 4.06 2.00 0.40 0.04 -0.04 -0.39 -1.95 -3.86 -7.54 -11.04
9%/25
38.59 23.46 10.74 5.15 1.00 0.10 -0.10 -0.98 -4.75 -9.13 -16.93 -23.64
6%/5
13.47 8.75 4.26 2.11 0.42 0.04 -0.04 -0.41 -2.05 -4.06 -7.91 -11.59
6%/25
42.13 25.46 11.60 5.55 1.07 0.11 -0.11 -1.05 -5.09 -9.76 -18.03 -25.08
这显然与表2-4所列出的结果-18.03%相差很远，这 样，我们就不得不寻找更为精确的刻画债券价格波动的方 法，因此，我们引入凸性的概念。
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图2-6 久期方法估计与真实变动的区别
2.凸性 A.凸性的定义
c=
1 P0
∑
t =1
T
t (t + 1)CFt (1 + y ) t + 2
B.用久期和凸性估算利率变动引起的债券价格的变动
1 ∆P0 ≈ − D * ∆y + c ( ∆y ) 2 P0 2
∆P0 ∆P dP / P dP = − D * P0 ⇒ 0 = 0 0 P0 = 0 ∆y dy ∆y dy
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C.凸性的由来
首先我们利用泰勒展开式[Taylor expansion]来计算由 于收益率或利率变动而引起的债券价格变动，然后，我们 再引入凸性的定义。 由债券定价公式可知，P0=P0(CFt,T,y) 为计算简便，不妨假设债券价格仅受收益率或利率影 响[这不会影响我们的结论的] ，于是有，
在y*处，利用泰勒展开得到，
2 dP 1 d 2 P0 P0 = P0 y* + 0 y − y* + y − y * + o( y ) dy 2 dy 2
( )
(
)
(
)
其中，一阶导数和二阶导数在y*取值。
2 dP 1 d 2 P0 ∴ P0 − P0 y* ≈ 0 y − y* + y − y* dy 2 dy 2
( )
(
)
(
)
定义，∆P0=P0-P0(y*)
P0=P0(y)
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∆y= y - y*
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∆P0 ≈
dP0 1 d 2 P0 ∆y + ( ∆y ) 2 dy 2 dy 2
定义， ≡ c
d 2 P0 1 dy 2 P0
∴ ∆P0 1 ≈ − D *∆y + c(∆y ) 2 P0 2
该式两边同除以债券价格得到，
∆P0 dP0 1 d P0 1 ≈ ∆y + ( ∆y ) 2 P0 dyP0 2 dy 2 P0
2
最后，我们将价格公式带入计算得到凸性为：
dP * 因为， 0 = −D P0
dy
所以，
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c=
∆P0 1 d 2 P0 1 ≈ − D * ∆y + ( ∆y ) 2 P0 2 dy 2 P0
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d 2 P0 1 1 = dy 2 P0 P0
∑
t =1
T
t (t + 1)CFt (1 + y )t + 2
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D. 债券价格波动估算：凸性近似方法
例2-17：4只假想债券的凸性[9%的收益率水平上]
债券 息票率9%的5年期债券 息票率9%的25年期债券 息票率6%的5年期债券 息票率6%的25年期债券 凸性[年]
例2-18[接例2-15]：该“25年期票面利率为6%”且收益 率为9%的债券的修正久期为10.62，其凸性为182.92。若收 益率增加200个基点，即从基准水平9%上升到11%，那么 债券价格变动的近似百分比值为， 首先计算由久期方法得到的近似值为，
∆P0 = −10.62 × (2%) = −21.24% P0
19.45 160.72 20.85 182.92
其次计算凸性的影响或对价格波动的贡献为，
1 1 c(∆y ) 2 = × 182.92 × (0.02) 2 = 3.66% 2 2
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八、消极债券管理
将二者相加，得到由于收益率变动而引起的债券价格 变化百分比的比较精确的近似值为， ∆P0 1 ≈ − MD∆y + c(∆y ) 2 = −21.24% + 3.66% = −17.58% P0 2 由表2-4可以看出，实际变动值为-18.03%。可见在收 益率变动幅度较大的情况下，同时使用久期和凸性来估计 债券价格波动幅度要更为精确。 消极的管理者通常认为债券的市场价格已是公平的价格， 因而他们只把目光集中于控制固定收益组合的风险。 免疫策略[immune]：使资产和负债的利率敏感性相匹配。
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例2-19：构建免疫组合 一家保险公司在7年后支付19487美元。市场利率为 10%，所以债务的现值为10000美元。公司资产组合管理 者希望通过持有3年期零息债券和年付息一次的永续债券 对其负债的支付进行利率免疫。那么管理者怎么进行免 疫呢？ 免疫要求资产组合的久期等于负债的久期。我们的 计算包括以下四步：
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步骤1：计算负债的久期。在本例中，负债的久期很 容易计算。它是单一支付流的债务，久期为7年。 步骤2：计算资产组合的久期。每一种资产要素的久 期的加权平均值为组合的久期，权重等于每一种资产在基 金中所占的比重。零息债券的久期等于其3年的到期期限。 永续债券的久期为1.10/0.10=11年。因此，如果组合投资 中零息债券的比重为w，投资于永续债券的比重为1-w， 组合的久期为 资产的久期=3w+11(1-w) 步骤3：令资产的久期等于负债的7年期久期，从而计 算出资产组合中的各种债券所占的比例。这要求解出下面 公式中的w的数值：
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假定一年已经过去，利率仍保持在10%的水平。例219中的组合管理者
需要重新检查他所建立的头寸。债务头
3w+11(1-w)=7 解得w=1/2。所以管理者应把一半的资金投资于零息 债券，另一半的资金投资于永续债券。这样资产组合的久 期为7年。 步骤4：由于债务现值为10000美元，资金必须等份地 投资于零息债券和永续债券，因而管理者必须购买5000美 元的零息债券和5000美元的永续债券[面值为6655] 。 注意：“即使头寸已得到免疫，但是管理者还是不能
稍有松懈。这是因为存在根据利率变动进行再平衡 [rebalancing]的需要。而且，即使利率没有变动，时间的 消逝也会影响久期，从而要求再平衡。”
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寸是否还能得到完全的偿付？是否得到完全的免疫？如果 没有，那应采取什么行动？ 步骤1：检查债务情况。由于到期日又近了一年，债 务的现值增加至11000美元。随着时间的推移，零息债券 的价值已从5000美元增至5500美元，而永续债券已支付 500美元的年息，仍值5000美元。因此，债务可以被完全 偿付。 步骤2：再平衡。但是资产组合的构成比例必须改变。 零息债券现在久期为2年，而永续债券的久期仍为11年， 债务还要过6年才到期。新的权重必须满足下面的等式：
九、积极的债券管理
1. 互换策略 2w+11(1-w)=6
这意味着w=5/9。为了使组合再平衡并且保持久期的 匹配，管理者必须将11000×5/9=6111.11美元投资于零息债 券，这需要将年息票利息500美元全部投资于零息债券， 再通过出售部分永续债券以获得111.11美元的资金投资于 零息债券。 霍默（Homer)与利伯维茨（Leibowitz）将证券组合的各 种再平衡活动归为四种债券互换活动[加上税收互换]： 替代互换[Substitution swap] 市场间利差互换[intermarket spread swap] 利率预测互换[rate anticipation swap] 纯收益率增长互换[pure yield pickup swap] 税收互换[tax swap]
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“当然，资产组合的再平衡会带来买卖资产的交易成 本，所以不可能不断地进行资产组合的再平衡。实际上， 资产组合的管理者要在需要不断地再平衡以获得很好的免 疫功能和调整频率尽可能的低以控制交易成本之间寻求一 个适当的折衷方案。”
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2. 或有免疫[contingent immunization]
例2-20：息票率为9%的20年期福特公司债券，五年后可赎回
[1050],到期收益率为9.05%；信用级别相同，条款相同的通用
公司债券，到期收益率为9%。 例2-21：10年期长期国债和Baa的10年期公司债券收益率差为
利伯维茨和温伯格（Leibowitz & Weinberger,1982)提 出的或有免疫技术是一种介于积极策略和消极策略之间 的技术。该技术的思想是允许固定收益管理者积极地管 理组合，直到表现不好的市场威胁到
获得最低可接受的 组合收益率的前景为止，之后将采取免疫技术。
3%，而历史上平均差异为2%。
例2-22：预期利率下降，卖出5年期国债，买进25年期国债； 例2-23：持有更高收益的债券。 例2-24：利用债券税收属性不同进行互换。
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例2-25：或有免疫策略 假定两年期投资计划的管理者负责1000万美元的组 合 。管理者希望两年期的累积性收益率至少为10%，也 就是说，可接受的组合最终价值的最小值为1100万美元。 如果当前的市场利率为10%，那么，需要投资于免疫组 合的909万美元就可以保证1100万美元最终价值。
由于管理者的初始投资为1000万美元，一开始他就 可以承受一些风险损失，因此可以采取一些积极的策 略，而不用立即采取免疫策略。 如果T表示剩余的投资时间，r表示在特定时间的市 场利率，那么所需基金的价值来保证能够达到最小可接 受的最终价值为1000/(1+r)T万美元，因为如果免疫的 话，这个资产组合在投资期结束时能增加到1100万美元。 这个值就是触发点，即当实际资产组合价值降到触发点 时，积极管理就会终止（图2-7）。
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图2-7 或有免疫
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