１７８
数学的实践与认识３７卷
各类人群在单位时间内的数量变化均具有线性性质．为了建立数学模型方便，引入一些符号：
Ⅳ：人口总数；ｙ：易感人群的人口总数（通过Ⅳ减“已确诊病例累计”和“现有疑似病例”
得到）Ｊ：现有已确诊病例人数（同日期“已确诊病例累计”减去“死亡累积”和“治愈出院累计”）｝Ｈ：现有疑似患病人数；Ｒ：已治愈人数；Ｄ：已死亡人数；ｑ：易感染人群向疑似病人的转
化率；户；易感染人群向患病人群的转化率；ｒ：疑似人群的排除率ｍ疑似人群向确诊人群的
转化率；ｄ：患病人群的死亡率；ｏ：患病人群的治愈率．２．２数学模型的建立
’
根据各类人群的关系建立以下微分方程组；
甏＝ｒＨ“ｐ十ｑｗ
尝＝ｓⅣ＋户ｙ—ｄ，。ｗ警一∥一，Ⅳ一ｓＨ（１）
絮＝ｄＩ
坚一。Ｊ
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要解方程组，关键是确定出方程组中的参数．２．３模型中参数的确定方法
传染病的传播带有一定的随机性，假设模型中的参数是一个随机变量．根据在传染病传播过程中实际数据，画出散点图．通过对实际情况和各个参数的散点图的分析，根据其特点，选择随机变量的分布函数，对参数进行估计，最后确定这些参数的取值．例如ｓＡＲｓ传播过程中这些参数的实际数据的散点图，选择威尔分布．再利用极大似然估计对参数进行估计，从而得到传染病传播数学模型的具体形式．
３实例：ＳＡＲＳ传染扩散模型
３．１实际数据的散点图
图３—１是根据中华人民共和国卫生部２００３年公布的北京市疫情数据绘制的散点图，可以对各类实际数据的分布有个直观的了解．３．２模型中实际数据分析
在ｓＡＲｓ暴发初期，由于没有得到足够的认识，这使得ｓＡＲｓ在早期传播很快．但随着患病人数的增加已及ｓＡＲｓ病情的严重性，人们对其危害的严重性有了一定认识．同时，政府也加大了控制力度，人为因素对ＳＡＲｓ传播的影响占据了主导地位，使ｓＡＲｓ传播得到有
１８０
数学的实践与认识３７卷
到后期，疫情得到控制，疑似人群向确诊人群的转化率是逐渐下降的．矗：逐渐下降
参数确定及模型求解
根据以上分析，我们以疑似排除率ｒ为例，ｒ＝排除疑似病例人数／现有疑似病例人数，依此做出ｒ的散点图３—２．根据此散点图的特点，我们假定，近似服从威布尔分布．利用最大似然估计法对威布尔分布中参数进行估计，求得ｒ的估计值为ｏ．０４１３．为了分析参数取值的合理性，再假定ｒ服从渡松分布，利用最大似然估计法得ｒ的估计值为ｏ．０４５２．可见假定参数服从不同允布得出结果区别不大，而在实际情况中威布尔分布结果更合理，故取ｏ．０４１３为ｒ
，
随着人们对非典理解程度的加深，医疗水平的提高，死亡率下降．
３．４
估计值．
同理，可求出其它几个参数的估计值，如表３～１所示．将这些参数代入方程组，用龙格．库塔法求得从｝；１到ｆ；６５“当日病人数”的数值解，其所对应图如图３—３所示．在同一张图中再绘出实际的患病人数的散点图，以形成对比．
裹３－１各个阶段的参数表
１阶段
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３．５模型的改进
观察图３—３，发现第四阶段拟合曲线在尾部斜率的绝对值（斜率为负）突然减小，使拟合曲线趋于平坦，从而偏离实际曲线．其原因分析如下：
Ｊ
ｒ
微分方程：＊一ｓＨ十户ｙ一以一
口￡——（１）在第四阶段，减小，而。明显增加，此时再用一个小的常数代替ｄ＋口不符合实际情况．解决方法：在此阶段把（ｄ＋。）看成时间的函数，设Ｇ；（ｄ＋口）一，０）；＾＊ｅ“一１），４十ｆ——（１），其中＾，ｊ，口，ｆ为待定常数，则方程（１）变为：
（细线一模型的解，散点一实际曲线）
图３司模型求解的患病人数，宴际人数对比图
警＝ｓＨ十户ｙ—ｃ，一＾＊ｅ“一”～＊，
（２）
由于方程（１）在第四阶段首部有较好拟合性，所以我们可以假设在ｊ＜＾；４０时有（１）≈（２）即：一ｃ，一五＊ｅ“＿“４＊Ｊ一一ｄ，一移，（ｄ，口在第４阶段分别取ｏ．００２３和ｏ．０２８）．于是我们可以令：ｃ＝ｄ＋＿从而有＾＊ｅ。““＊，≈Ｏ．取ｃ—ｄ＋口一ｏ．００２３＋ｏ．０２８＝ｏ．０３０３，＾＝４０．当ｆ＞４０后，首先给出＾，ｄ的一个初值（例如女＝ｏ．００５，ｄ。＝３），求出方程
Ｈ期
杨玉华；传染病模型的研究及应用１８１
的数值解，再经多次调整两个参数来拟合曲线，最终得到＾，口的较优值分别是ｔ＝ｏ．０１．ｄ＝５．最后用这些参数得出较好拟合的图形（图３，４）．
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（细线——所求曲线）（散点线——实际曲线，图３—４患病人数与实际人数
三角点线图（上）是晚５天控制的患病人数曲线圆点线图（下）是早５夭控制的患病人数曲线星点线图（中）是实际情况的患病人数曲线３—５不同时间采取控制措施对患病人数影响图
３．６模型的应用
以五天为例，假设把各阶段（第１阶段除外）都提前五天，即提前五天采取严格的隔离措施遏制疫情传播，那么每天的患者人数最多达到１６００人左右，累计患者（累计患者数；患者人数十累计出院人数＋累计死亡人数）不会超过２０００；
相反，假设把各阶段（第１阶段除外）都推后五天，即推后五天采取严格的隔离措施，那么每天的患者人数可多达２３００人左右，累计患者可达３０００．
由以上讨论可知，立即果断的采取控制措施对于遏制疫情甫着至关重要的意义．从图
３—５可以清晰地看出提前或推后５天采取控制措麓对患病人数的影响．
４结
论
通过对模型的分析，发现ｐ（易感染人群向患病人群的转化率）对累计患者数的尽快减少有很大作用，所以应该加强对ｐ的控制．早期控制降低传染率，对阻止ｓＡＲｓ传播具有极其重要的意义．传染病模型不仅能用于传染病研究本身，还能应用到其他种类的社会和自然科学问题，如生物的群体分布，新技术的传播，社会上谣言的传播等等“－８］．同时，其他研究领域使用的方法也能被传染病学所利用．本模型适用性强，它将传播过程分成了４个阶段．更加接近于实际．这个模型不仅能模拟出ｓＡＲｓ传播的不同阶段（开始的加速上升，人们逐渐意识到严重性并开始防范，政府采取严格控制措施使疫情缓冲，疫情在有效控制下快速而略有起伏的衰退），而且提供了在给定模型参数下对传染病持续时间和全部病人数的定量估计，拟含曲线很好的表现了实际情况．此模型的累计患者数是收敛的，并且模型中的参数是几个离散的常数，能为疾病预测、预防和控制提供参考信息．
参考文献：
［Ｉ］石耀霖．ｓＡＲｓ传染扩散的动力学随机模型［Ｊ］．科学通报，２００３．４８（１３）。１３７ｊ一１３７７
蠢ｂ≤鄹｝Ｉ目靛
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端嚣壅萋譬誊篓垂量舀照潭＝篝蜊蠹曼肇犁璎Ｊｌ器湛萤墓酗囊ｊ零蠹鬻薹擎亳妻蘸童～强蓥静蔷蠹望；黧缓茹ｊ
萄曼薷嚆；薷霉鹾曼ｆ牵生摩藕霉
螽娶圆装璺蕈蒸禹霪堑Ｈ～霆囊希ｊ雾鐾蚕冀薷蠹嚣塑蕊｝释鐾ｉ矬晤；嚣篱。者萌蓄鹫魏ｌ醺蘑蓦銎朝嚣鼙髫鬟
ｔｒｏｌｌｉｎｇｔｈｅｐｒｏｐ８９８ｔｉｏｎｏｆｔｈｅ
；ｉｎｆｅｃｔｉｏｕｓｉ！；ｒｏｄｉｓ目目ｓｅＩｗｙｅＫ．ｄ计；ｉｒｅｎｔｉａｌｉ：ｍｅｅｑｕｄｊｐｅ
ｉ爨蠢羹挚搴聪辩慧羹萋簧
ｌｊ｜辇萋掣囊鲞嘲羹袭
节枣，。垂妻矗翻量；鏊岛誉銎事鞋睡萋麓羹蠡茸爱；冀鼯㈤蔷型菁蠢裂嚣墅薯巍髂攀童甄翼；鞋钵麓秦荔篓：奘群鞠龋鲤罄馨美霪，嚣嚣黉蕾露燮妻蓊鞋瓣菇羹．囊譬囊罄型攀娃萄嚣，精蕈鞋羹鬈酮基瑟静㈤囊鬟麓；鏊皋羹塞魏群鄹醒。藩崮蕊翳葡擘囊蔷，“，＃墓鹑莓鑫墨囊箧魏弱
传染病模型的研究及应用
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
杨玉华， YANG Yu-hua
华北电力大学,数理系,河北,保定,071003数学的实践与认识
MATHEMATICS IN PRACTICE AND THEORY2007,37(14)6次
参考文献(8条)
1.石耀霖 SARS传染扩散的动力学随机模型[期刊论文]-科学通报 2003(13)
2.赵楠楠;谢文艺;魏诚 SARS传播的数学模型[期刊论文]-大连海事大学学报 2005(01)
3.靳桢;马知恩 具有连续和脉冲预防接种的SIRS传染病模型[期刊论文]-华北工学院学报 2003(04)4.中华人民共和国卫生部非典疫情发布地理信息系统 20035.中华人民共和国卫生部公布北京市疫情的数据
6.胡中功;叶春生 新技术扩散的传染病模型及实证分析[期刊论文]-武汉工业大学学报 1998(02)7.Dye C;Gay N Modeling the SAPS epidemic[外文期刊] 2003(20)
8.Zhang S D;Hao H;Zhang X H Dynamic model of epidemics with latent period[期刊论文]-Journal ofMathematical Medicine 2002(05)
本文读者也读过(5条)
1. 邓梦薇 几种传染病模型的建立与研究[学位论文]2005
2. 莫嘉琪.何铭.谢峰.MO Jia-qi.HE Ming.XIE Feng 传染病动力学生态模型的渐近分析[期刊论文]-吉林大学学报（理学版）2006,44(6)
3. 刘俊先.石秀文.LIU Jun-xian.SHI Xiu-wen 流行性感冒的微分方程模型及数据分析[期刊论文]-数学的实践与认识2009,39(14)
4. 杜瑜.DU Yu 传染病的SI微分方程模型及稳定性分析[期刊论文]-四川教育学院学报2007,23(3)
5. 赵楠楠.谢文艺.魏诚.ZHAO Nan-nan.XIE Wen-yi.Wei Cheng SARS传播的数学模型[期刊论文]-大连海事大学学报2005,31(1)
引证文献(6条)
1.谭欣欣.戴钦武.史鹏燕.王丽燕.刚家泰 基于元胞自动机的个体移动异质性传染病传播模型[期刊论文]-大连理工大学学报 2013(6)
2.晋守博.肖志涛 甲型H1N1流感早期传播的数学模型[期刊论文]-数学的实践与认识 2012(9)
3.李小薇.蒋姗姗.袁宏俊 碎片化趋势下商业广告传播效益的定量评估[期刊论文]-重庆科技学院学报（自然科学版） 2013(5)
4.付长贺.邓甦 马尔科夫链在传染病预测中的应用[期刊论文]-沈阳师范大学学报(自然科学版) 2009(1)5.姜德民 SIR传染病模型参数的伴随同化最优估计[期刊论文]-青岛农业大学学报（自然科学版） 2010(3)6.蒋寅俊 外商直接投资技术溢出效应研究-基于SIR传染病模型分析[期刊论文]-商场现代化 2011(20)
引用本文格式：杨玉华.YANG Yu-hua 传染病模型的研究及应用[期刊论文]-数学的实践与认识 2007(14)
１７８
数学的实践与认识３７卷
各类人群在单位时间内的数量变化均具有线性性质．为了建立数学模型方便，引入一些符号：
Ⅳ：人口总数；ｙ：易感人群的人口总数（通过Ⅳ减“已确诊病例累计”和“现有疑似病例”
得到）Ｊ：现有已确诊病例人数（同日期“已确诊病例累计”减去“死亡累积”和“治愈出院累计”）｝Ｈ：现有疑似患病人数；Ｒ：已治愈人数；Ｄ：已死亡人数；ｑ：易感染人群向疑似病人的转
化率；户；易感染人群向患病人群的转化率；ｒ：疑似人群的排除率ｍ疑似人群向确诊人群的
转化率；ｄ：患病人群的死亡率；ｏ：患病人群的治愈率．２．２数学模型的建立
’
根据各类人群的关系建立以下微分方程组；
甏＝ｒＨ“ｐ十ｑｗ
尝＝ｓⅣ＋户ｙ—ｄ，。ｗ警一∥一，Ⅳ一ｓＨ（１）
絮＝ｄＩ
坚一。Ｊ
ｄ￡
要解方程组，关键是确定出方程组中的参数．２．３模型中参数的确定方法
传染病的传播带有一定的随机性，假设模型中的参数是一个随机变量．根据在传染病传播过程中实际数据，画出散点图．通过对实际情况和各个参数的散点图的分析，根据其特点，选择随机变量的分布函数，对参数进行估计，最后确定这些参数的取值．例如ｓＡＲｓ传播过程中这些参数的实际数据的散点图，选择威尔分布．再利用极大似然估计对参数进行估计，从而得到传染病传播数学模型的具体形式．
３实例：ＳＡＲＳ传染扩散模型
３．１实际数据的散点图
图３—１是根据中华人民共和国卫生部２００３年公布的北京市疫情数据绘制的散点图，可以对各类实际数据的分布有个直观的了解．３．２模型中实际数据分析
在ｓＡＲｓ暴发初期，由于没有得到足够的认识，这使得ｓＡＲｓ在早期传播很快．但随着患病人数的增加已及ｓＡＲｓ病情的严重性，人们对其危害的严重性有了一定认识．同时，政府也加大了控制力度，人为因素对ＳＡＲｓ传播的影响占据了主导地位，使ｓＡＲｓ传播得到有
１８０
数学的实践与认识３７卷
到后期，疫情得到控制，疑似人群向确诊人群的转化率是逐渐下降的．矗：逐渐下降
参数确定及模型求解
根据以上分析，我们以疑似排除率ｒ为例，ｒ＝排除疑似病例人数／现有疑似病例人数，依此做出ｒ的散点图３—２．根据此散点图的特点，我们假定，近似服从威布尔分布．利用最大似然估计法对威布尔分布中参数进行估计，求得ｒ的估计值为ｏ．０４１３．为了分析参数取值的合理性，再假定ｒ服从渡松分布，利用最大似然估计法得ｒ的估计值为ｏ．０４５２．可见假定参数服从不同允布得出结果区别不大，而在实际情况中威布尔分布结果更合理，故取ｏ．０４１３为ｒ
，
随着人们对非典理解程度的加深，医疗水平的提高，死亡率下降．
３．４
估计值．
同理，可求出其它几个参数的估计值，如表３～１所示．将这些参数代入方程组，用龙格．库塔法求得从｝；１到ｆ；６５“当日病人数”的数值解，其所对应图如图３—３所示．在同一张图中再绘出实际的患病人数的散点图，以形成对比．
裹３－１各个阶段的参数表
１阶段
ｏ．０１６ｌｍ仉
１￥ｌＯｅ～５仉仉仉
＊
ｌ＊ｌ盹～６
仉仉仉
ｎ
０４１３ｏ．０２３ｚ
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∞弛∞札∞札
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３．５模型的改进
观察图３—３，发现第四阶段拟合曲线在尾部斜率的绝对值（斜率为负）突然减小，使拟合曲线趋于平坦，从而偏离实际曲线．其原因分析如下：
Ｊ
ｒ
微分方程：＊一ｓＨ十户ｙ一以一
口￡——（１）在第四阶段，减小，而。明显增加，此时再用一个小的常数代替ｄ＋口不符合实际情况．解决方法：在此阶段把（ｄ＋。）看成时间的函数，设Ｇ；（ｄ＋口）一，０）；＾＊ｅ“一１），４十ｆ——（１），其中＾，ｊ，口，ｆ为待定常数，则方程（１）变为：
（细线一模型的解，散点一实际曲线）
图３司模型求解的患病人数，宴际人数对比图
警＝ｓＨ十户ｙ—ｃ，一＾＊ｅ“一”～＊，
（２）
由于方程（１）在第四阶段首部有较好拟合性，所以我们可以假设在ｊ＜＾；４０时有（１）≈（２）即：一ｃ，一五＊ｅ“＿“４＊Ｊ一一ｄ，一移，（ｄ，口在第４阶段分别取ｏ．００２３和ｏ．０２８）．于是我们可以令：ｃ＝ｄ＋＿从而有＾＊ｅ。““＊，≈Ｏ．取ｃ—ｄ＋口一ｏ．００２３＋ｏ．０２８＝ｏ．０３０３，＾＝４０．当ｆ＞４０后，首先给出＾，ｄ的一个初值（例如女＝ｏ．００５，ｄ。＝３），求出方程
Ｈ期
杨玉华；传染病模型的研究及应用１８１
的数值解，再经多次调整两个参数来拟合曲线，最终得到＾，口的较优值分别是ｔ＝ｏ．０１．ｄ＝５．最后用这些参数得出较好拟合的图形（图３，４）．
：∥。１
Ｋ…－．．÷
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（细线——所求曲线）（散点线——实际曲线，图３—４患病人数与实际人数
三角点线图（上）是晚５天控制的患病人数曲线圆点线图（下）是早５夭控制的患病人数曲线星点线图（中）是实际情况的患病人数曲线３—５不同时间采取控制措施对患病人数影响图
３．６模型的应用
以五天为例，假设把各阶段（第１阶段除外）都提前五天，即提前五天采取严格的隔离措施遏制疫情传播，那么每天的患者人数最多达到１６００人左右，累计患者（累计患者数；患者人数十累计出院人数＋累计死亡人数）不会超过２０００；
相反，假设把各阶段（第１阶段除外）都推后五天，即推后五天采取严格的隔离措施，那么每天的患者人数可多达２３００人左右，累计患者可达３０００．
由以上讨论可知，立即果断的采取控制措施对于遏制疫情甫着至关重要的意义．从图
３—５可以清晰地看出提前或推后５天采取控制措麓对患病人数的影响．
４结
论
通过对模型的分析，发现ｐ（易感染人群向患病人群的转化率）对累计患者数的尽快减少有很大作用，所以应该加强对ｐ的控制．早期控制降低传染率，对阻止ｓＡＲｓ传播具有极其重要的意义．传染病模型不仅能用于传染病研究本身，还能应用到其他种类的社会和自然科学问题，如生物的群体分布，新技术的传播，社会上谣言的传播等等“－８］．同时，其他研究领域使用的方法也能被传染病学所利用．本模型适用性强，它将传播过程分成了４个阶段．更加接近于实际．这个模型不仅能模拟出ｓＡＲｓ传播的不同阶段（开始的加速上升，人们逐渐意识到严重性并开始防范，政府采取严格控制措施使疫情缓冲，疫情在有效控制下快速而略有起伏的衰退），而且提供了在给定模型参数下对传染病持续时间和全部病人数的定量估计，拟含曲线很好的表现了实际情况．此模型的累计患者数是收敛的，并且模型中的参数是几个离散的常数，能为疾病预测、预防和控制提供参考信息．
参考文献：
［Ｉ］石耀霖．ｓＡＲｓ传染扩散的动力学随机模型［Ｊ］．科学通报，２００３．４８（１３）。１３７ｊ一１３７７
蠢ｂ≤鄹｝Ｉ目靛
蠹螽羹嚣攀鹭障＂
可ｉ；，ｌｒ矗≯二ｌｇ
自ｓｓｇ量；培
嚣薹罄耋磊｜鎏著器ｌ型叠｜甜０都酣墅雨§ｇ引荇嚣；｝ｊ茸殛霹哩霜国
§＝ｉｓｊ§鐾ｌｌ
雾羹冀翼霎｜蓁蓁霪羹薹蓁鋈粪鋈蠢羹鬟囊蓁氅
藉霪
ｉ蜡萋毒Ｘ？＝名｛！：ｌｌ§目！
术纛ｓ砼希廿黄带毒籍的数据胡中功嘲一瑚嗣ｐ苍誓融‰引；乩量影Ｉｆ｛扩掣｝引警妊＃箭；■删一诤镩啸
端嚣壅萋譬誊篓垂量舀照潭＝篝蜊蠹曼肇犁璎Ｊｌ器湛萤墓酗囊ｊ零蠹鬻薹擎亳妻蘸童～强蓥静蔷蠹望；黧缓茹ｊ
萄曼薷嚆；薷霉鹾曼ｆ牵生摩藕霉
螽娶圆装璺蕈蒸禹霪堑Ｈ～霆囊希ｊ雾鐾蚕冀薷蠹嚣塑蕊｝释鐾ｉ矬晤；嚣篱。者萌蓄鹫魏ｌ醺蘑蓦銎朝嚣鼙髫鬟
ｔｒｏｌｌｉｎｇｔｈｅｐｒｏｐ８９８ｔｉｏｎｏｆｔｈｅ
；ｉｎｆｅｃｔｉｏｕｓｉ！；ｒｏｄｉｓ目目ｓｅＩｗｙｅＫ．ｄ计；ｉｒｅｎｔｉａｌｉ：ｍｅｅｑｕｄｊｐｅ
ｉ爨蠢羹挚搴聪辩慧羹萋簧
ｌｊ｜辇萋掣囊鲞嘲羹袭
节枣，。垂妻矗翻量；鏊岛誉銎事鞋睡萋麓羹蠡茸爱；冀鼯㈤蔷型菁蠢裂嚣墅薯巍髂攀童甄翼；鞋钵麓秦荔篓：奘群鞠龋鲤罄馨美霪，嚣嚣黉蕾露燮妻蓊鞋瓣菇羹．囊譬囊罄型攀娃萄嚣，精蕈鞋羹鬈酮基瑟静㈤囊鬟麓；鏊皋羹塞魏群鄹醒。藩崮蕊翳葡擘囊蔷，“，＃墓鹑莓鑫墨囊箧魏弱
传染病模型的研究及应用
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
杨玉华， YANG Yu-hua
华北电力大学,数理系,河北,保定,071003数学的实践与认识
MATHEMATICS IN PRACTICE AND THEORY2007,37(14)6次
参考文献(8条)
1.石耀霖 SARS传染扩散的动力学随机模型[期刊论文]-科学通报 2003(13)
2.赵楠楠;谢文艺;魏诚 SARS传播的数学模型[期刊论文]-大连海事大学学报 2005(01)
3.靳桢;马知恩 具有连续和脉冲预防接种的SIRS传染病模型[期刊论文]-华北工学院学报 2003(04)4.中华人民共和国卫生部非典疫情发布地理信息系统 20035.中华人民共和国卫生部公布北京市疫情的数据
6.胡中功;叶春生 新技术扩散的传染病模型及实证分析[期刊论文]-武汉工业大学学报 1998(02)7.Dye C;Gay N Modeling the SAPS epidemic[外文期刊] 2003(20)
8.Zhang S D;Hao H;Zhang X H Dynamic model of epidemics with latent period[期刊论文]-Journal ofMathematical Medicine 2002(05)
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1. 邓梦薇 几种传染病模型的建立与研究[学位论文]2005
2. 莫嘉琪.何铭.谢峰.MO Jia-qi.HE Ming.XIE Feng 传染病动力学生态模型的渐近分析[期刊论文]-吉林大学学报（理学版）2006,44(6)
3. 刘俊先.石秀文.LIU Jun-xian.SHI Xiu-wen 流行性感冒的微分方程模型及数据分析[期刊论文]-数学的实践与认识2009,39(14)
4. 杜瑜.DU Yu 传染病的SI微分方程模型及稳定性分析[期刊论文]-四川教育学院学报2007,23(3)
5. 赵楠楠.谢文艺.魏诚.ZHAO Nan-nan.XIE Wen-yi.Wei Cheng SARS传播的数学模型[期刊论文]-大连海事大学学报2005,31(1)
引证文献(6条)
1.谭欣欣.戴钦武.史鹏燕.王丽燕.刚家泰 基于元胞自动机的个体移动异质性传染病传播模型[期刊论文]-大连理工大学学报 2013(6)
2.晋守博.肖志涛 甲型H1N1流感早期传播的数学模型[期刊论文]-数学的实践与认识 2012(9)
3.李小薇.蒋姗姗.袁宏俊 碎片化趋势下商业广告传播效益的定量评估[期刊论文]-重庆科技学院学报（自然科学版） 2013(5)
4.付长贺.邓甦 马尔科夫链在传染病预测中的应用[期刊论文]-沈阳师范大学学报(自然科学版) 2009(1)5.姜德民 SIR传染病模型参数的伴随同化最优估计[期刊论文]-青岛农业大学学报（自然科学版） 2010(3)6.蒋寅俊 外商直接投资技术溢出效应研究-基于SIR传染病模型分析[期刊论文]-商场现代化 2011(20)
引用本文格式：杨玉华.YANG Yu-hua 传染病模型的研究及应用[期刊论文]-数学的实践与认识 2007(14)