第19卷 第6期 牡丹江大学学报 Vol.19 No.6 2010年6月 Journal of Mudanjiang University Jun. 2010
文章编号：1008-8717（2010）06-0110-02
对称矩阵与反对称矩阵的若干性质
武 秀 美
（菏泽学院数学系，山东 菏泽 274000）
摘 要：在高等代数中矩阵是研究问题的重要工具，对称矩阵与反对称矩阵作为特殊矩阵无论在理论方面，还是在实际应用方面都有很重要的意义．在研究矩阵及学习有关数学知识时，经常要讨论这两种特殊矩阵的性质及应用．任何一个矩阵都可以唯一地分解成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和．对称矩阵与反对称矩阵既有类似的性质，也有各自特有的性质和应用．
关键词：对称矩阵；反对称矩阵；可逆对称矩阵；可逆反对称矩阵 中图分类号：O181 文献标识码：A
一、对称矩阵与反对称矩阵的类比性质
性质1.1 对称矩阵的转置矩阵仍是对称矩阵；反对称矩阵的转置矩阵仍是反对称矩阵．
性质1.2 对称矩阵与反对称矩阵对于和、差、数乘运算都是封闭的.
性质1.3 两个对称（反对称）矩阵的乘积不一定是对称（反对称）矩阵.
性质1.4 1）若对称矩阵
矩阵的充要条件是AB=BA；
2）若A为对称矩阵且B为反对称矩阵，则AB为反对称矩阵的充要条件是AB=BA.
性质1.9 若A为任意方阵，1）A+A、AA为对称矩阵；
2）A−A为反对称矩阵. 性质1.10 P的空间的维数为
n×nT
T
T
A 可逆，则A−1也对称；
−1
中1）全体对称矩阵作成的数域P上
2)若反对称矩阵A可逆，则A也是反对称矩阵.
证明 1）设A为对称的可逆矩阵，则
n(n+1)2
维的.
(A)=(A)=A 2）设A为反对称矩阵，则
(A)=(A)=(−A)=−A
则A的伴随矩阵性质1.5 1）若对称矩阵A可逆，A也对称；2）若奇数阶反对称矩阵A可逆，则A的伴
随矩阵A也对称；若偶数阶反对称矩阵A可逆，则A的伴随矩阵A也反对称.
性质 1.6 若A对称（反对称），则它的合同矩阵也对称（反对称）.
证明 设矩阵A对称，A与B合同，则存在可逆矩阵P，使
∗*
∗
−1T
T
−1
−1
−1
−1TT−1−1
2）全体反对称矩阵作成的数域P上的空间的维数为
n(n−1)2
维的.
性质1.11 1）对称矩阵的特征值都是实数； 2）反对称矩阵的特征值都是0或纯虚数. 二、对称矩阵的特有性质
性质2.1 设A为n阶对称矩阵，则A（k=1，2，…）也是对称矩阵.
性质2.2 在数域P上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.
k
性质2.3 设A为n阶实对称矩阵，λr是A的r重特征值，则秩(λrE−A)=n−r，从而特征值λr恰好对应r个线性无关的特征向量.
则必有n阶正交性质2.4 设A为n阶实对称矩阵，矩阵P使PAP=Λ，其中Λ是以A的n个特征值为
对角元素的对角阵.
性质2.5 如果实矩阵A正交相似于对角矩阵D，则A一定是实对称矩阵.
−1
B=PAP
故
T
B=(PAP)=PAP=B
性质1.7 若A、B为对称矩阵，则1）AB+BA为对称矩阵，2）AB−BA为反对称矩阵.
性质1.8
1）A，B同为对称或反对称矩阵，则AB为对称
TTTTT
收稿日期：2009-11-26
作者简介：武秀美（1979—），女，山东菏泽人，菏泽学院数学系助教，硕士，研究方向：代数几何。 110
性质2.6 A是m×n矩阵，则AA是n阶对称矩
T
为A=0.
性质3.8 设λ是实反对称矩阵A的特征值，则−λ也是A的特征值. 参考文献：
[1]王萼芳,石生明.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.
[2]程云鹏,张凯院,徐仲.矩阵论[M].西安：西北工业大学出版社.
阵；AA是m阶对称矩阵.
B都是n阶实对称矩阵，性质2.7 设A，则A与B
正交相似的充分必要条件是A与B有相同的特征值.
性质2.8 n 阶实对称矩阵A正定与下列条件等价：
1）A与单位矩阵E合同.
T
2）存在n阶实可逆矩阵C，使得A=CC.
T
3）设A=(aij)n×n，A的顺序主子式
a11a21
第19卷 第6期 牡丹江大学学报 Vol.19 No.6 2010年6月 Journal of Mudanjiang University Jun. 2010
文章编号：1008-8717（2010）06-0110-02
对称矩阵与反对称矩阵的若干性质
武 秀 美
（菏泽学院数学系，山东 菏泽 274000）
摘 要：在高等代数中矩阵是研究问题的重要工具，对称矩阵与反对称矩阵作为特殊矩阵无论在理论方面，还是在实际应用方面都有很重要的意义．在研究矩阵及学习有关数学知识时，经常要讨论这两种特殊矩阵的性质及应用．任何一个矩阵都可以唯一地分解成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和．对称矩阵与反对称矩阵既有类似的性质，也有各自特有的性质和应用．
关键词：对称矩阵；反对称矩阵；可逆对称矩阵；可逆反对称矩阵 中图分类号：O181 文献标识码：A
一、对称矩阵与反对称矩阵的类比性质
性质1.1 对称矩阵的转置矩阵仍是对称矩阵；反对称矩阵的转置矩阵仍是反对称矩阵．
性质1.2 对称矩阵与反对称矩阵对于和、差、数乘运算都是封闭的.
性质1.3 两个对称（反对称）矩阵的乘积不一定是对称（反对称）矩阵.
性质1.4 1）若对称矩阵
矩阵的充要条件是AB=BA；
2）若A为对称矩阵且B为反对称矩阵，则AB为反对称矩阵的充要条件是AB=BA.
性质1.9 若A为任意方阵，1）A+A、AA为对称矩阵；
2）A−A为反对称矩阵. 性质1.10 P的空间的维数为
n×nT
T
T
A 可逆，则A−1也对称；
−1
中1）全体对称矩阵作成的数域P上
2)若反对称矩阵A可逆，则A也是反对称矩阵.
证明 1）设A为对称的可逆矩阵，则
n(n+1)2
维的.
(A)=(A)=A 2）设A为反对称矩阵，则
(A)=(A)=(−A)=−A
则A的伴随矩阵性质1.5 1）若对称矩阵A可逆，A也对称；2）若奇数阶反对称矩阵A可逆，则A的伴
随矩阵A也对称；若偶数阶反对称矩阵A可逆，则A的伴随矩阵A也反对称.
性质 1.6 若A对称（反对称），则它的合同矩阵也对称（反对称）.
证明 设矩阵A对称，A与B合同，则存在可逆矩阵P，使
∗*
∗
−1T
T
−1
−1
−1
−1TT−1−1
2）全体反对称矩阵作成的数域P上的空间的维数为
n(n−1)2
维的.
性质1.11 1）对称矩阵的特征值都是实数； 2）反对称矩阵的特征值都是0或纯虚数. 二、对称矩阵的特有性质
性质2.1 设A为n阶对称矩阵，则A（k=1，2，…）也是对称矩阵.
性质2.2 在数域P上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.
k
性质2.3 设A为n阶实对称矩阵，λr是A的r重特征值，则秩(λrE−A)=n−r，从而特征值λr恰好对应r个线性无关的特征向量.
则必有n阶正交性质2.4 设A为n阶实对称矩阵，矩阵P使PAP=Λ，其中Λ是以A的n个特征值为
对角元素的对角阵.
性质2.5 如果实矩阵A正交相似于对角矩阵D，则A一定是实对称矩阵.
−1
B=PAP
故
T
B=(PAP)=PAP=B
性质1.7 若A、B为对称矩阵，则1）AB+BA为对称矩阵，2）AB−BA为反对称矩阵.
性质1.8
1）A，B同为对称或反对称矩阵，则AB为对称
TTTTT
收稿日期：2009-11-26
作者简介：武秀美（1979—），女，山东菏泽人，菏泽学院数学系助教，硕士，研究方向：代数几何。 110
性质2.6 A是m×n矩阵，则AA是n阶对称矩
T
为A=0.
性质3.8 设λ是实反对称矩阵A的特征值，则−λ也是A的特征值. 参考文献：
[1]王萼芳,石生明.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.
[2]程云鹏,张凯院,徐仲.矩阵论[M].西安：西北工业大学出版社.
阵；AA是m阶对称矩阵.
B都是n阶实对称矩阵，性质2.7 设A，则A与B
正交相似的充分必要条件是A与B有相同的特征值.
性质2.8 n 阶实对称矩阵A正定与下列条件等价：
1）A与单位矩阵E合同.
T
2）存在n阶实可逆矩阵C，使得A=CC.
T
3）设A=(aij)n×n，A的顺序主子式
a11a21