考点集训20 直角三角形
一、选择题
1．(2014·泉州) 如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 为斜边AB 的中点，AB ＝10 cm ，则CD 的长为( A )
A ．5 cm B ．6 cm C ．8 cm D ．
10 cm
, 第1题图)
, 第2题图)
2．(2013·鄂州) 一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是( A )
A ．165° B ．120° C ．150° D ．135°
3．(2013·泸州) 如图，在等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，O 是斜边AB 的中点，点D ，E 分别在直角边AC ，BC 上，且∠DOE ＝90°，DE 交OC 于点P ，则下列结论：①图形中全等的三角形只有两对；②△ABC 的面积等于四边形CDOE 的面积的2倍；③CD ＋CE ＝2OA ；④AD 2＋BE 2＝2OP·OC. 其中正确的结论有( C )
A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
4．(2014·泰安) 如图①是一个直角三角形纸片，∠A ＝30°，BC ＝4 cm ，将其折叠，使点C 落在斜边上的点C′处，折痕为BD ，如图②，再将②沿DE 折叠，使点A 落在DC′的延长线上的点A′处，如图
③，则折痕DE 的长为( A
)
8A. 3cm B ．23 cm C ．22 cm D ．3 cm
5．(2014·张家界) 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝60°，DE 是斜边AC 的垂直平分线，分别交AB ，AC 于D ，E 两点．若BD ＝2，则AC 的长是( B )
A ．4 B ．3 C ．8 D ．8
3
, 第5题图)
, 第6题图)
6．(2013·重庆) 如图，在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝30°，CD ⊥AB ，垂足为D ，CD ＝1，则AB 的长为( D )
3A ．2 B ．3 C. 31 D. 3＋1
二、填空题
7．(2014·黄石) 如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是__90°
__．
, 第7
题图) , 第8题图)
8．(2013·鄂州) 著名画家达·芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数
学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽(滑槽宽度忽略不计) ，一根没有弹性的木棒的两端A ，B 能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P 处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB ＝20 cm ，则画出的圆的半径为____cm.
9．(2014·无锡) 如图，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点．若AD ＝6，DE ＝5，则CD 的长等于__8__．
, 第9题图)
, 第10题图)
10．(2014·潍坊) 我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处，则问题中葛藤的最短长度是__25__尺．
11．(2014·新疆) 如图，Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，DE 垂直平
分AC ，垂足为O ，AD ∥BC ，且AB ＝3，BC ＝4，则AD 的长为____．
, 第11题图)
, 第12题图)
12．(2014·宜宾) 如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，将△ABC 折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B′重合，AE 为折痕，则EB′＝____．
三、解答题
13．(2012·黄石) 如图，△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F.
探究：线段OE 与OF 的数量关系并说明理由．
OE ＝OF. 其理由如下：∵CE 是∠ACB 的平分线，∴∠1＝∠2. ∵MN ∥BC ，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴OE ＝OC. 同理可证OC ＝OF ，∴OE ＝OF
14．(2014·乐山) 如图，△ABC 的顶点A ，B ，C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD ⊥AC 于点D. 求CD 的长．
111由勾股定理得AC ＝1＋2＝5. ∵×2＝BD ，即×2222
145×2＝5BD ，∴BD ＝在直角△BCD 中，由勾股定理知，CD 25
25BC －BD ＝5
15．(2014·上海) 如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作AE ⊥CD ，AE 分别与CD ，CB 相交于点H ，E ，AH ＝2CH.
(1)求sin B 的值；
(2)如果CD
5，求BE 的值．
(1) ∵∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，∴∠ACH ＋∠BCD ＝90°，CD ＝BD ，∴∠B ＝∠BCD ，∵AE ⊥CD ，∴∠CAH ＋∠ACH ＝90°，∴∠B ＝∠CAH ，∵AH ＝2CH ，∴由勾股定理得AC 5CH ，∴CH ∶AC ＝1∶5，∴sinB ＝55 (2) ∵sinB ，∴AC ∶55
AB ＝1∶5，∵CD ＝5，∴AB ＝25，∴AC ＝2，则CE ＝1，在Rt △ABC 中，AC 2＋BC 2＝AB 2，∴BC ＝4，∴BE ＝BC －CE ＝3
16．(2014·温州) 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各
有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB ＝90°，求证：a 2＋b 2＝c 2.
证明：连结DB ，过点D 作BC 边上的高DF ，则DF ＝EC ＝b －a.
11∵S 四边形ADCB ＝S △ACD ＋S △ABC ＝22＋2121又∵S 四边形ADCB ＝S △ADB ＋S △DCB ＝2＋2a(b－a)
1111∴22＋2ab ＝22＋2－a)
∴a 2＋b 2＝c 2.
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明：
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB ＝90°. 求证：a 2＋b 2＝c 2.
如图，连结BD ，过点B 作DE 边上的高BF ，则BF ＝b －a ，∵S 五边形1121＝S ＋S ＋S ＝ab ＋b ＋ab ，又∵S ACBED △ACB △ABE △ADE 222五边形
11211121ACBED ＝S △ACB ＋S △ABD ＋S △BDE ＝c ＋a (b －a ) ，ab ＋＋222222
111ab ＝＋c 2＋(b －a ) ，∴a 2＋b 2＝c 2 222
考点集训20 直角三角形
一、选择题
1．(2014·泉州) 如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 为斜边AB 的中点，AB ＝10 cm ，则CD 的长为( A )
A ．5 cm B ．6 cm C ．8 cm D ．
10 cm
, 第1题图)
, 第2题图)
2．(2013·鄂州) 一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是( A )
A ．165° B ．120° C ．150° D ．135°
3．(2013·泸州) 如图，在等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，O 是斜边AB 的中点，点D ，E 分别在直角边AC ，BC 上，且∠DOE ＝90°，DE 交OC 于点P ，则下列结论：①图形中全等的三角形只有两对；②△ABC 的面积等于四边形CDOE 的面积的2倍；③CD ＋CE ＝2OA ；④AD 2＋BE 2＝2OP·OC. 其中正确的结论有( C )
A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
4．(2014·泰安) 如图①是一个直角三角形纸片，∠A ＝30°，BC ＝4 cm ，将其折叠，使点C 落在斜边上的点C′处，折痕为BD ，如图②，再将②沿DE 折叠，使点A 落在DC′的延长线上的点A′处，如图
③，则折痕DE 的长为( A
)
8A. 3cm B ．23 cm C ．22 cm D ．3 cm
5．(2014·张家界) 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝60°，DE 是斜边AC 的垂直平分线，分别交AB ，AC 于D ，E 两点．若BD ＝2，则AC 的长是( B )
A ．4 B ．3 C ．8 D ．8
3
, 第5题图)
, 第6题图)
6．(2013·重庆) 如图，在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝30°，CD ⊥AB ，垂足为D ，CD ＝1，则AB 的长为( D )
3A ．2 B ．3 C. 31 D. 3＋1
二、填空题
7．(2014·黄石) 如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是__90°
__．
, 第7
题图) , 第8题图)
8．(2013·鄂州) 著名画家达·芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数
学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽(滑槽宽度忽略不计) ，一根没有弹性的木棒的两端A ，B 能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P 处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB ＝20 cm ，则画出的圆的半径为____cm.
9．(2014·无锡) 如图，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点．若AD ＝6，DE ＝5，则CD 的长等于__8__．
, 第9题图)
, 第10题图)
10．(2014·潍坊) 我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处，则问题中葛藤的最短长度是__25__尺．
11．(2014·新疆) 如图，Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，DE 垂直平
分AC ，垂足为O ，AD ∥BC ，且AB ＝3，BC ＝4，则AD 的长为____．
, 第11题图)
, 第12题图)
12．(2014·宜宾) 如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，将△ABC 折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B′重合，AE 为折痕，则EB′＝____．
三、解答题
13．(2012·黄石) 如图，△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F.
探究：线段OE 与OF 的数量关系并说明理由．
OE ＝OF. 其理由如下：∵CE 是∠ACB 的平分线，∴∠1＝∠2. ∵MN ∥BC ，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴OE ＝OC. 同理可证OC ＝OF ，∴OE ＝OF
14．(2014·乐山) 如图，△ABC 的顶点A ，B ，C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD ⊥AC 于点D. 求CD 的长．
111由勾股定理得AC ＝1＋2＝5. ∵×2＝BD ，即×2222
145×2＝5BD ，∴BD ＝在直角△BCD 中，由勾股定理知，CD 25
25BC －BD ＝5
15．(2014·上海) 如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作AE ⊥CD ，AE 分别与CD ，CB 相交于点H ，E ，AH ＝2CH.
(1)求sin B 的值；
(2)如果CD
5，求BE 的值．
(1) ∵∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，∴∠ACH ＋∠BCD ＝90°，CD ＝BD ，∴∠B ＝∠BCD ，∵AE ⊥CD ，∴∠CAH ＋∠ACH ＝90°，∴∠B ＝∠CAH ，∵AH ＝2CH ，∴由勾股定理得AC 5CH ，∴CH ∶AC ＝1∶5，∴sinB ＝55 (2) ∵sinB ，∴AC ∶55
AB ＝1∶5，∵CD ＝5，∴AB ＝25，∴AC ＝2，则CE ＝1，在Rt △ABC 中，AC 2＋BC 2＝AB 2，∴BC ＝4，∴BE ＝BC －CE ＝3
16．(2014·温州) 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各
有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB ＝90°，求证：a 2＋b 2＝c 2.
证明：连结DB ，过点D 作BC 边上的高DF ，则DF ＝EC ＝b －a.
11∵S 四边形ADCB ＝S △ACD ＋S △ABC ＝22＋2121又∵S 四边形ADCB ＝S △ADB ＋S △DCB ＝2＋2a(b－a)
1111∴22＋2ab ＝22＋2－a)
∴a 2＋b 2＝c 2.
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明：
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB ＝90°. 求证：a 2＋b 2＝c 2.
如图，连结BD ，过点B 作DE 边上的高BF ，则BF ＝b －a ，∵S 五边形1121＝S ＋S ＋S ＝ab ＋b ＋ab ，又∵S ACBED △ACB △ABE △ADE 222五边形
11211121ACBED ＝S △ACB ＋S △ABD ＋S △BDE ＝c ＋a (b －a ) ，ab ＋＋222222
111ab ＝＋c 2＋(b －a ) ，∴a 2＋b 2＝c 2 222