1. 表述朗肯土压力理论和库仑土压力理论的相同点和不同点，主要分析假设条件，实用土的种类、误差等等。
答：朗肯上压力理论是根据半空间体的应力状态和土单元体（土中一点）的极限平衡理论得出的上压力计算理论。 相同点：都要求挡土墙的移动是以使墙后填土的剪力达到抗剪强度土压力。两种土压力理论都是极限平衡状态下作用在挡土墙上的土压力，都属于极限平衡理论。 不同点：
1）假设条件不同：郎肯假设墙背直立、光滑、填土水平面无限延伸；
库仑假定：填土为均匀，各自同性，无粘土；滑动土体看做滑动土楔，其滑裂面为通过墙踵的平面；滑动土楔视为刚体。
2）求解方法不同：郎肯是从一点的应力状态出发，先求出压力强度，再求出总压力，属于极限应力法，适用于填土表面为水平的无粘土或粘性土的土压力计算；而库仑考虑整个滑动楔体静力平衡，直接求出总土压力，需要时再求解压力强度，属于滑动楔体法，只适用于填土表面为水平的粘性土，对无粘性土只能用图解法计算。 3）适用范围不同：库仑要广。
4）计算精度不同：郎肯主动土压力偏大，被动土压力偏小，墙体粗糙; 库仑主动土压力接近实际土压力，被动土压力差距较大，墙体滑动面为平面。
33
γ=19.6kN /m γ=18.6kN /m 2. 某挡土墙高5m ，墙后填土为黏土，重度，饱和重度sat ，
H =2m ，试计算该挡土墙后静止土压力ϕ=25c =20kPa 粘聚力，内摩擦角，地下水w
分布图，总静止土压力值及其作用点位置。【本题按照“水土分算”计算】
解：
2m
B =21.58kPa
B
3m
C
σC =38.28kPa
σwC =30kPa
K =1-sin ϕ=1-sin 25=0.58 0地下水位以上（下）的静止土压力系数
3
σ=K γz =0.58⨯18.6kN /m ⨯2m =21.58kPa B 0B 点土压应力为
水位以下，C 点土压应力
σC =K 0γz =σB +0.58⨯(19.6-10)kN /m 3⨯3m =38.28kPa
3
σ=3m ⨯10kN /m =30kPa （图中红色所示） wc C 处的水压力
总的整体土压力包括地下水位上下土压力和水压力。
∑F =F
AB
+F BC +F wBC
F AB =0.5⨯21.58kPa ⨯2m =21.58kN /m
F BC =21.58kPa ⨯3m +0.5⨯(38.28-21.58)kPa ⨯3m =64.74kN +25.05kN =89.79kN
F wBC =0.5⨯3m ⨯30kPa =45kN /m
∑F =156.37kN /m作用点位置距挡墙底部
11
21.58kN /m ⨯(3+⨯2) m +64.74kN ⨯(0.5⨯3m ) +(25.05+45) kN ⨯(⨯3m )
l ==1.58m
156.37kN
关于水土分算、合算的说明： 一、对于砂土和粉土等无粘性土按水土分算原则进行，即作用于围护结构上的侧压力等于土压力与静水压力之和，地下水位以下的土采用浮重度γ’和有效应力抗剪强度指标值c 和φ计算。
二、粘性土作用在支护结构上的侧压力，在具有工程实践经验时，也可以按水土合算原则计算。水土合算时，地下水位以下的土压力采用饱和重度γsat和总应力抗剪强度指标值c 和φ计算。一般在粘性土孔隙比e 较大或水平向渗透系数kh 较大时采用水土分算。
1, 本阶段学习到的饱和粘土，都是按水土可分考虑，即考虑水对土颗粒的浮力，故本题按水土分算原则！
2，一定认真计算土的自重应力，其中水的重度一律按10kN/m3计算。
3. 某挡土墙高H =5m，墙背竖直光滑，填土面水平，γ=18KN/m3、φ＝22°、c ＝15KPa 。试计算：
①该挡土墙主动土压力分布、合力大小及其作用点位置； ②若该挡土墙在外力作用下，朝填土方向产生较大的位移时，作用在墙背的土压力分布、合力大小及其作用点位置又为多少？
解：（1）主动土压力系数：
22 ⎫⎛ ϕ⎫2⎛ K a =tan 45-⎪=tan 45-⎪=0.455
22⎝⎭⎝⎭
2
临界深度z0的计算：
由：
σa 1=γz 0K a -2=0
，
解得临界深度：
z 0=
==2.47m
在墙底处的主动土压力强度为：
σa 2=γhK a -2=18.0⨯5⨯0.455-2⨯15=20.71kP a
主动土压力：
11
E a =σa 2(h -z 0)=⨯20.71⨯(5-2.47)=26.20kN /m
22
主动土压力
E a 作用在距墙底的距离x 为：
x =
5-2.47
=0.84m 3
（2）若该挡土墙在外力作用下，朝填土方向产生较大的位移时，作用在墙背的土压力为被
动土压力。
被动土压力系数：
22 ⎫⎛ ϕ⎫2⎛
K p =tan 45+⎪=tan 45+⎪=2.20
22⎝⎭⎝⎭
2
在墙顶被动土压力强度为：
σp 1=2=2⨯15=44.50kP a
在墙底处的被动土压力强度为：
σp =γzK p +2=18⨯5⨯2.20+2⨯15=242.50kP a
被动土压力：
1
E p =γh 2K p +221
=⨯18⨯52⨯2.20+2⨯15⨯52
=717.5kN /m
或
E p =(44.50+242.50)⨯5/2=717.5kN /m
E p
距墙底距离x 为：
被动土压力
x =
155⎫⎛
⨯ 495⨯+222⨯⎪=1.92m 717.5⎝32⎭
4. 某重力式挡土墙墙高H ＝10m ，墙背直立光滑，墙后填土面水平。填土分为两层，上层土体位于地下水位以上，下层土体位于地下水位以下。填土的主要物理力学指标如图所示 , 填土面作用均布荷载q =20kPa，试求：该挡土墙上的主动土压力分布、合力大小。
解：主动土压力系数：
30 ⎫⎛ ϕ1⎫2⎛
K a 1=tan 45-⎪=tan 45-⎪=0.333
2⎭2⎭⎝⎝，
2
35 ⎫⎛ ϕ2⎫2⎛
K a 2=tan 45-⎪=tan 45-⎪=0.271
22⎝⎭⎝⎭；
2
a 点：
σa =(
q +γz )K a 1-2c =20⨯0.333-2⨯12=-7.2kP a
b 点上：
上σb =(
γ1z 1+q )K a 1-2c =128⨯0.333-2⨯12=28.78kP a
b 点下：
下σb =(
γ1z 1+q )K a 2-2c =128⨯0.271-2⨯10=24.29kP a
c 点：因为
ω
，所以
I L
σc =(
γ1z 1+q +γ2h 2)K a 2-2c =208⨯0.271-2⨯10=45.97kP a
其分布如下图所示：
AC =
受拉区高度：
7.2⨯6
=1.2m
7.2+28.78
所以主动土压力的合力为：
11
E a =⨯28.78⨯4.8+⨯(24.29+45.97)⨯4=209.59kN/m
22。
5. 如图所示挡土墙，高4m ，墙背直立、光滑，墙后填土面水平。试求总侧压力（主动土压力与水压力之和）的大小和作用位置。【采用水土分算】
q =10kPa
解：第一层土的主动土压力系数为
32 ⎫⎛ ϕ1⎫2⎛ K a 1=tan 45-⎪=tan 45-⎪=0.307
2⎭2⎭⎝⎝ ，
2
浮重度为
γ1' =γsat -γw =20-10=10kN /m 3? ；
第二层土的主动土压力系数
18 ⎫⎛ ϕ2⎫2⎛
K a 2=tan 45-⎪=tan 45-⎪=0.528=0.72722⎝⎭⎝⎭；
2
浮重度为
γ2' =γsat -γw =19-10=9kN /m 3? ；
在A 点：
σA =σaA =qK a 1=10⨯0.307=3.1kP a ，
上层土在B 点处：
σB =σaB 1+σwB =(q +γ1' h 1)K a 1+γw h 1=(10+10⨯2)⨯0.307+10⨯2=29.2kP a
下层土在B 点处：
σB =σaB 1+σwB
=(
q +γ1' h 1)K a 2-2c γw (h 1+h 2)=(10+10⨯2)⨯0.528-2⨯10⨯0.727+10⨯2=21.3kP a
在C 点处：
σC =σaC +σwC
=(
q +γ1' h 1+γ2' h 2)K a 2-2c γw (h 1+h 2)=(10+10⨯2+9⨯2)⨯0.528-2⨯10⨯0.727+10⨯4=50.8kP a
11
E a =⨯(3.1+29.2)⨯2+⨯(21.3+50.8)⨯2=104.4kN/m
22合力为：
E a 作用点距墙底的距离：y=1.44m。
6. 用库仑理论计算图示挡土墙墙背AC ´上的主动土压力和BC ´面上的主动土压力。
解：用库仑理论计算如下 （1）墙背AC´上的主动土压力
由δ=20, ε=20, β=0, φ=30，查表得Ka=0.479则主动土压力为
1
E a =γH 2K a =0.5⨯18⨯42⨯0.479=68.976kN /m ，
2
（2）BC´面上的主动土压力
，查表得
2K a =
=
cos 2(30 -0 )
sin(30 +30 ) ⋅sin(30 -0 )
cos 0⋅cos(0+30) [1+
cos(0 +30 ) ⋅cos(0 -0 )
2
]2
=0. 297BC´面上的主动土压力为：
1
E a =γH 2K a =0.5⨯18⨯42⨯0.297=42.793kN /m
2。
1. 表述朗肯土压力理论和库仑土压力理论的相同点和不同点，主要分析假设条件，实用土的种类、误差等等。
答：朗肯上压力理论是根据半空间体的应力状态和土单元体（土中一点）的极限平衡理论得出的上压力计算理论。 相同点：都要求挡土墙的移动是以使墙后填土的剪力达到抗剪强度土压力。两种土压力理论都是极限平衡状态下作用在挡土墙上的土压力，都属于极限平衡理论。 不同点：
1）假设条件不同：郎肯假设墙背直立、光滑、填土水平面无限延伸；
库仑假定：填土为均匀，各自同性，无粘土；滑动土体看做滑动土楔，其滑裂面为通过墙踵的平面；滑动土楔视为刚体。
2）求解方法不同：郎肯是从一点的应力状态出发，先求出压力强度，再求出总压力，属于极限应力法，适用于填土表面为水平的无粘土或粘性土的土压力计算；而库仑考虑整个滑动楔体静力平衡，直接求出总土压力，需要时再求解压力强度，属于滑动楔体法，只适用于填土表面为水平的粘性土，对无粘性土只能用图解法计算。 3）适用范围不同：库仑要广。
4）计算精度不同：郎肯主动土压力偏大，被动土压力偏小，墙体粗糙; 库仑主动土压力接近实际土压力，被动土压力差距较大，墙体滑动面为平面。
33
γ=19.6kN /m γ=18.6kN /m 2. 某挡土墙高5m ，墙后填土为黏土，重度，饱和重度sat ，
H =2m ，试计算该挡土墙后静止土压力ϕ=25c =20kPa 粘聚力，内摩擦角，地下水w
分布图，总静止土压力值及其作用点位置。【本题按照“水土分算”计算】
解：
2m
B =21.58kPa
B
3m
C
σC =38.28kPa
σwC =30kPa
K =1-sin ϕ=1-sin 25=0.58 0地下水位以上（下）的静止土压力系数
3
σ=K γz =0.58⨯18.6kN /m ⨯2m =21.58kPa B 0B 点土压应力为
水位以下，C 点土压应力
σC =K 0γz =σB +0.58⨯(19.6-10)kN /m 3⨯3m =38.28kPa
3
σ=3m ⨯10kN /m =30kPa （图中红色所示） wc C 处的水压力
总的整体土压力包括地下水位上下土压力和水压力。
∑F =F
AB
+F BC +F wBC
F AB =0.5⨯21.58kPa ⨯2m =21.58kN /m
F BC =21.58kPa ⨯3m +0.5⨯(38.28-21.58)kPa ⨯3m =64.74kN +25.05kN =89.79kN
F wBC =0.5⨯3m ⨯30kPa =45kN /m
∑F =156.37kN /m作用点位置距挡墙底部
11
21.58kN /m ⨯(3+⨯2) m +64.74kN ⨯(0.5⨯3m ) +(25.05+45) kN ⨯(⨯3m )
l ==1.58m
156.37kN
关于水土分算、合算的说明： 一、对于砂土和粉土等无粘性土按水土分算原则进行，即作用于围护结构上的侧压力等于土压力与静水压力之和，地下水位以下的土采用浮重度γ’和有效应力抗剪强度指标值c 和φ计算。
二、粘性土作用在支护结构上的侧压力，在具有工程实践经验时，也可以按水土合算原则计算。水土合算时，地下水位以下的土压力采用饱和重度γsat和总应力抗剪强度指标值c 和φ计算。一般在粘性土孔隙比e 较大或水平向渗透系数kh 较大时采用水土分算。
1, 本阶段学习到的饱和粘土，都是按水土可分考虑，即考虑水对土颗粒的浮力，故本题按水土分算原则！
2，一定认真计算土的自重应力，其中水的重度一律按10kN/m3计算。
3. 某挡土墙高H =5m，墙背竖直光滑，填土面水平，γ=18KN/m3、φ＝22°、c ＝15KPa 。试计算：
①该挡土墙主动土压力分布、合力大小及其作用点位置； ②若该挡土墙在外力作用下，朝填土方向产生较大的位移时，作用在墙背的土压力分布、合力大小及其作用点位置又为多少？
解：（1）主动土压力系数：
22 ⎫⎛ ϕ⎫2⎛ K a =tan 45-⎪=tan 45-⎪=0.455
22⎝⎭⎝⎭
2
临界深度z0的计算：
由：
σa 1=γz 0K a -2=0
，
解得临界深度：
z 0=
==2.47m
在墙底处的主动土压力强度为：
σa 2=γhK a -2=18.0⨯5⨯0.455-2⨯15=20.71kP a
主动土压力：
11
E a =σa 2(h -z 0)=⨯20.71⨯(5-2.47)=26.20kN /m
22
主动土压力
E a 作用在距墙底的距离x 为：
x =
5-2.47
=0.84m 3
（2）若该挡土墙在外力作用下，朝填土方向产生较大的位移时，作用在墙背的土压力为被
动土压力。
被动土压力系数：
22 ⎫⎛ ϕ⎫2⎛
K p =tan 45+⎪=tan 45+⎪=2.20
22⎝⎭⎝⎭
2
在墙顶被动土压力强度为：
σp 1=2=2⨯15=44.50kP a
在墙底处的被动土压力强度为：
σp =γzK p +2=18⨯5⨯2.20+2⨯15=242.50kP a
被动土压力：
1
E p =γh 2K p +221
=⨯18⨯52⨯2.20+2⨯15⨯52
=717.5kN /m
或
E p =(44.50+242.50)⨯5/2=717.5kN /m
E p
距墙底距离x 为：
被动土压力
x =
155⎫⎛
⨯ 495⨯+222⨯⎪=1.92m 717.5⎝32⎭
4. 某重力式挡土墙墙高H ＝10m ，墙背直立光滑，墙后填土面水平。填土分为两层，上层土体位于地下水位以上，下层土体位于地下水位以下。填土的主要物理力学指标如图所示 , 填土面作用均布荷载q =20kPa，试求：该挡土墙上的主动土压力分布、合力大小。
解：主动土压力系数：
30 ⎫⎛ ϕ1⎫2⎛
K a 1=tan 45-⎪=tan 45-⎪=0.333
2⎭2⎭⎝⎝，
2
35 ⎫⎛ ϕ2⎫2⎛
K a 2=tan 45-⎪=tan 45-⎪=0.271
22⎝⎭⎝⎭；
2
a 点：
σa =(
q +γz )K a 1-2c =20⨯0.333-2⨯12=-7.2kP a
b 点上：
上σb =(
γ1z 1+q )K a 1-2c =128⨯0.333-2⨯12=28.78kP a
b 点下：
下σb =(
γ1z 1+q )K a 2-2c =128⨯0.271-2⨯10=24.29kP a
c 点：因为
ω
，所以
I L
σc =(
γ1z 1+q +γ2h 2)K a 2-2c =208⨯0.271-2⨯10=45.97kP a
其分布如下图所示：
AC =
受拉区高度：
7.2⨯6
=1.2m
7.2+28.78
所以主动土压力的合力为：
11
E a =⨯28.78⨯4.8+⨯(24.29+45.97)⨯4=209.59kN/m
22。
5. 如图所示挡土墙，高4m ，墙背直立、光滑，墙后填土面水平。试求总侧压力（主动土压力与水压力之和）的大小和作用位置。【采用水土分算】
q =10kPa
解：第一层土的主动土压力系数为
32 ⎫⎛ ϕ1⎫2⎛ K a 1=tan 45-⎪=tan 45-⎪=0.307
2⎭2⎭⎝⎝ ，
2
浮重度为
γ1' =γsat -γw =20-10=10kN /m 3? ；
第二层土的主动土压力系数
18 ⎫⎛ ϕ2⎫2⎛
K a 2=tan 45-⎪=tan 45-⎪=0.528=0.72722⎝⎭⎝⎭；
2
浮重度为
γ2' =γsat -γw =19-10=9kN /m 3? ；
在A 点：
σA =σaA =qK a 1=10⨯0.307=3.1kP a ，
上层土在B 点处：
σB =σaB 1+σwB =(q +γ1' h 1)K a 1+γw h 1=(10+10⨯2)⨯0.307+10⨯2=29.2kP a
下层土在B 点处：
σB =σaB 1+σwB
=(
q +γ1' h 1)K a 2-2c γw (h 1+h 2)=(10+10⨯2)⨯0.528-2⨯10⨯0.727+10⨯2=21.3kP a
在C 点处：
σC =σaC +σwC
=(
q +γ1' h 1+γ2' h 2)K a 2-2c γw (h 1+h 2)=(10+10⨯2+9⨯2)⨯0.528-2⨯10⨯0.727+10⨯4=50.8kP a
11
E a =⨯(3.1+29.2)⨯2+⨯(21.3+50.8)⨯2=104.4kN/m
22合力为：
E a 作用点距墙底的距离：y=1.44m。
6. 用库仑理论计算图示挡土墙墙背AC ´上的主动土压力和BC ´面上的主动土压力。
解：用库仑理论计算如下 （1）墙背AC´上的主动土压力
由δ=20, ε=20, β=0, φ=30，查表得Ka=0.479则主动土压力为
1
E a =γH 2K a =0.5⨯18⨯42⨯0.479=68.976kN /m ，
2
（2）BC´面上的主动土压力
，查表得
2K a =
=
cos 2(30 -0 )
sin(30 +30 ) ⋅sin(30 -0 )
cos 0⋅cos(0+30) [1+
cos(0 +30 ) ⋅cos(0 -0 )
2
]2
=0. 297BC´面上的主动土压力为：
1
E a =γH 2K a =0.5⨯18⨯42⨯0.297=42.793kN /m
2。