植树问题
授课教师：
教学背景分析
1、教材分析：
本节课是人教版四年级第八单元《数学广角》的内容。和前面几册教材一样，本册也专门安排了“数学广角”单元，向学生渗透一些重要的数学思想方法。本节课主要是渗透有关植树问题的一些思想方法（植树问题分为：两端都栽、两端不栽、环形情况以及方阵问题等），在解决植树问题的过程中，向学生渗透一种在数学学习上、研究问题上都很重要的数学思想方法——化归思想，通过现实生活中一些常见的实际问题，让学生从中发现一些规律，抽取出其中的数学模型，然后再用发现的规律来解决生活中的一些简单实际问题。本课的教学，不仅要让学生会解决与植树问题相类似的问题，而且要把解决植树问题作为渗透数学思想方法的一个学习支点。从而发展学生的思维，提高学生的思维能力。
2、学情分析：
为了更好地了解学生情况，我进行了前测。
前测题目：同学们在20米的小路一边植树，每隔4米栽一棵树，一共需要多少棵树苗？请你写出思考过程。
结果与分析：
情况如下表：（全班共25人）
分析：
(1)从前测的结果看，大部分学生都是很直观的认为总长÷间隔就是植树棵树。
(2)部分学生有了画图的意识，能够通过画图得出正确结果。
(3)全班只有1个学生对此有所了解，但是却对总长÷间隔表示什么不清楚。
(4)全班所有学生都没有想到生活实际。
3、我的思考
基于对教材和学生状况的分析，我有以下的思考：
(1)在研究运用数学方法解答两端都栽的方案时，教师组织和引导学生进行互动交流，引导学生围绕“20÷5＝4，‘4’是棵树还是间隔数”的问题在辨中思辨，使学生在辩论的过程中思维、认识不断地得到修正和深入，使学生对一一对应的数学思想有更深切的感悟，对数学思想方法在解决问题中的作用有更深入的体会。
(2)让学生明白三种情况是根据生活实际而产生的
植树问题是生活中比较常见的一类问题，如果间隔数是n ，那么到底是n+1，还是n-1又或者是n 是由谁决定的？是由实际情况决定的。因此，本节课一开始，我就用一张图先明确了这三种情况，再分别对这三种情况进行研究。
教学目标：
1、使学生经历将实际问题抽象出数学模型的过程，掌握植树问题中棵数与间隔数之间的关系, 并能利用这一关系解决简单的新的实际问题。
2、使学生体验“化繁为简”、“一一对应”等解题策略和数学思想方法。
3、感受数学在日常生活中的广泛应用，体会数学的价值，激发热爱数学的情感。
教学目标分析：
达成目标（1）的标志：让学生从画直观图—〉画线段图—〉列式的过程中，逐步抽象出植树问题的数学模型；在分析、解决队列问题、锯木头问题等实际问题时，进一步巩固这一模型的同时，还进行了新的应用。
达成目标（2）的标志：在教学过程中，通过创设在全长1000米的小路一边植树，需要多少棵树苗的学习情境，让学生感受：这要是画图也太麻烦了。从而引发学生思考：那怎么办？学生说出可以少画一点。
在学生用较小的数据得出结
论后，再把结论进行推广。
达成目标（3）的标志：在整节课中，所有的情景都来源于生活；在抽象出数学模型后，让学生举一些生活中类似的例子，教师也会出示一些生活中的例子，从而感受数学在日常生活中的广泛应用，体会数学的价值，激发热爱数学的情感。 教学重难点：
教学重点：经历数学建模的过程，体验“化繁为简”、“一一对应”的解题策略和的数学思想方法。
教学难点：体验“化繁为简”、“一一对应”的解题策略和的数学思想方法。 教学过程：
一、谈话引入，揭示课题
师：观察这幅图片，他们在干什么？
生：植树。
师：那这节课，我们就一起来研究一下植树问题。
二、合作探究，得出结论
1、创设问题情境
在一条直线上植树，会出现三种不同的情况
师：借助我们的经验，我们思考一下，在一条直线上植树，会出现哪几种情况呢？
师：你能指着图说说，那种是两端都要种的，哪种是一端要种的，哪种是两端都不种的？
小结：像这样，路的两端都没有障碍物的，是两端都要种的；像这样，路的一端有障碍物的，是一端要种的；像这样，路的两端都有障碍物的，是两端都不种的。
师：在这三种情况中，我们先来研究两端都要种的情况。
抛出问题
课件出示题目：同学们在全长1000米的小路一边植树（两端要载），每隔10米栽一棵树，一共需要多少棵树苗？
监控问题：
(1) 小路的一边植树什么意思？
(2) 两端要栽指的是什么？
(3) 每隔10米栽一棵是什么意思？
师：每隔10米栽一棵什么意思？
（课件演示1）
师：在数学中，我们把这个距离就叫做——间隔。
（课件演示2）
2、提出研讨问题
学生猜想
师：那一共需要多少棵树苗呢？你是怎么想的？
（学生说思路）
预设：学生列式
监控问题：
师：你能说说你这个算是表示什么意思吗？这100表示的是什么呀？
生：表示把1000米，每10米分一段，一共分了100段。
师：这个段，实际上就是我们刚才所说的？（间隔）
师：那这100呢？（就是有这样100个间隔）
师：在数学中，我们把这个间隔的个数，也就是这个100就叫做——间隔数。 1000÷10+1=101
1000÷10-1=99
师：怎么还有在间隔数上+1或-1的呢？
引导学生发现，无论那种情况，棵数都与间隔数之间存在的联系
师：看来，我们要想弄明白那个答案正确，问题的关键在于我们要弄清楚棵数与间隔数之间到底有怎样的关系？对吗？看来，我们要想准确的解决这个问题，就要先研究清楚棵数与间隔数之间到底有怎样的关系呢？（现在我们就以两头种的情况为例，来研究一下这个问题。）这个问题，你想怎样研究呢？
生：画图
生出现质疑：这要画图也太麻烦了。
师：是啊，100个间隔呢，画起来也太麻烦了，你有什么好办法来解决这个问题吗？（让学生思考，如果学生想不到，教师可以适当提示）
师：我们非得要画100个间隔才能找到棵树与间隔数之间的关系吗？少一点行不行？你有想法了吗？
3、学生操作，暴露资源，组织探究
师：现在，就请你把你的想法、研究的过程和结果都记录在这张研究记录单1000÷10=100
上。
展示学生资源
① 直观图
师：他是用画图的方法来研究的，你通过画图得到的结果是什么？
生：棵数=间隔数+1
师：你能说说，为什么棵数=间隔数+1吗？+1在哪呢？
生：结合图说一说。
在这里指的时候既可以从前往后指，也可以从后往前指。有可能是多头，也有可能是多尾。
② 线段图
如果有学生有线段图，就出示学生的线段图，如果没有，老师引入线段图。③列式
1000÷10=100（间隔）
100+1=101（棵）
师：这两个100所表示的含义一样吗？
生：100个间隔就对应着有100棵树。
推广结论，加以强化，渗透“极限”思想
师：5棵树有这样的规律，那6棵、7棵、甚至更多的树都有这样的规律吗？如果数据继续增大，这个规律还成立吗？
两头都种的前提下，10间隔，共有几个树？ 1200个间隔？N 个？如果有500棵树呢？
4、迁移方法，自主探究其他情况中的规律，建立模型
迁移方法，进行验证
提问：刚才我们研究了两头都种的情况，回忆一下我们是怎样做的？
你能试着用这样的方法，结合结合刚才我们研究的经验，跟同桌一起研究一下，另外两种情况下，间隔数与棵树有着怎样的关系？把你们的想法表示出来，让别人一眼看明白。
暴露资源，汇报交流
监控：
你怎么知道棵树=间隔数？
为什么还要再“-1”？
小结：虽然大家举得例子各不相同，但是最后我们得到的结果是一样的。 整体梳理
师：我们研究了植树问题的三种情况，请你回忆我们是怎样研究的，发现了什么规律。
师：在我们生活中存在着很多类似的现象，你能举几个例子吗？
监控：说清我们可以把什么看作点？把什么看作间段？
如果我记不住规律，该怎么办呢？（用手记）
三、解决问题，深化拓展
1．在一条全长2千米的街道两旁安装路灯（两端也要安装），每隔50米安一座。一共要安装多少座路灯？
2. 这列同学每相邻两个同学间的距离是1米，那图中第一位同学和最后一位同学间的距离是多少？
3．锯一次需要5分钟，现在要把这根木头锯成6段，需要多长时间？
四、回顾总结，拓展延伸
请你回忆一下，在研究植树问题时，我们经历了怎样一个学习过程？对你有什么启示？
教学反思：
“数学广角”单元是与生活联系最紧密的单元，在本单元的教学过程中，除了要让学生掌握本单元的知识外，更应该教会学生一种解决问题的策略。
在教学中做了如下两个认为比较成功的变化：
1、增加了“20÷5求出来的是什么？”让学生明白20÷5求出来的是4个间隔，那“加1的1是指什么？”学生认为“1”是1棵树，这时学生心理就矛盾了，4个间隔加1棵树等于5棵树？学生的思维有了矛盾点、质疑点，这样，让学生在思、辩的过程中逐步理解20÷5求出来的就是几个间隔，但是通过一一对应的方法知道4个间隔就相当于4棵树。
2、在上课伊始，我首先让学生明白在一条路上植树的三种可能，并提问“有哪三种可能？他们分别是怎样的？”在学生思考后，用图的形式让学生看的更明白。在学生探索出规律后，让学生判断前测题中谁做的对？让学生在争辩中体会
由于没有前提，所以都可能对，都可能不对。让学生感受问题来源于生活，我们应该结合生活实际来解决问题。
在本次教学中的不足：
在教学过程中，时间的分配上我有些前松后紧，在规律的寻找和简单应用中花费的时间有点长，以致后面的练习有些仓促。因担心上不完，当遇到学生“答非所问”的时候就表现的很急躁不能静下心来仔细地听完学生的发言。
在以后的工作中，我也会及时的总结经验，弥补不足，为了让每节课的遗憾能少一些，我会继续为之努力。
植树问题
授课教师：
教学背景分析
1、教材分析：
本节课是人教版四年级第八单元《数学广角》的内容。和前面几册教材一样，本册也专门安排了“数学广角”单元，向学生渗透一些重要的数学思想方法。本节课主要是渗透有关植树问题的一些思想方法（植树问题分为：两端都栽、两端不栽、环形情况以及方阵问题等），在解决植树问题的过程中，向学生渗透一种在数学学习上、研究问题上都很重要的数学思想方法——化归思想，通过现实生活中一些常见的实际问题，让学生从中发现一些规律，抽取出其中的数学模型，然后再用发现的规律来解决生活中的一些简单实际问题。本课的教学，不仅要让学生会解决与植树问题相类似的问题，而且要把解决植树问题作为渗透数学思想方法的一个学习支点。从而发展学生的思维，提高学生的思维能力。
2、学情分析：
为了更好地了解学生情况，我进行了前测。
前测题目：同学们在20米的小路一边植树，每隔4米栽一棵树，一共需要多少棵树苗？请你写出思考过程。
结果与分析：
情况如下表：（全班共25人）
分析：
(1)从前测的结果看，大部分学生都是很直观的认为总长÷间隔就是植树棵树。
(2)部分学生有了画图的意识，能够通过画图得出正确结果。
(3)全班只有1个学生对此有所了解，但是却对总长÷间隔表示什么不清楚。
(4)全班所有学生都没有想到生活实际。
3、我的思考
基于对教材和学生状况的分析，我有以下的思考：
(1)在研究运用数学方法解答两端都栽的方案时，教师组织和引导学生进行互动交流，引导学生围绕“20÷5＝4，‘4’是棵树还是间隔数”的问题在辨中思辨，使学生在辩论的过程中思维、认识不断地得到修正和深入，使学生对一一对应的数学思想有更深切的感悟，对数学思想方法在解决问题中的作用有更深入的体会。
(2)让学生明白三种情况是根据生活实际而产生的
植树问题是生活中比较常见的一类问题，如果间隔数是n ，那么到底是n+1，还是n-1又或者是n 是由谁决定的？是由实际情况决定的。因此，本节课一开始，我就用一张图先明确了这三种情况，再分别对这三种情况进行研究。
教学目标：
1、使学生经历将实际问题抽象出数学模型的过程，掌握植树问题中棵数与间隔数之间的关系, 并能利用这一关系解决简单的新的实际问题。
2、使学生体验“化繁为简”、“一一对应”等解题策略和数学思想方法。
3、感受数学在日常生活中的广泛应用，体会数学的价值，激发热爱数学的情感。
教学目标分析：
达成目标（1）的标志：让学生从画直观图—〉画线段图—〉列式的过程中，逐步抽象出植树问题的数学模型；在分析、解决队列问题、锯木头问题等实际问题时，进一步巩固这一模型的同时，还进行了新的应用。
达成目标（2）的标志：在教学过程中，通过创设在全长1000米的小路一边植树，需要多少棵树苗的学习情境，让学生感受：这要是画图也太麻烦了。从而引发学生思考：那怎么办？学生说出可以少画一点。
在学生用较小的数据得出结
论后，再把结论进行推广。
达成目标（3）的标志：在整节课中，所有的情景都来源于生活；在抽象出数学模型后，让学生举一些生活中类似的例子，教师也会出示一些生活中的例子，从而感受数学在日常生活中的广泛应用，体会数学的价值，激发热爱数学的情感。 教学重难点：
教学重点：经历数学建模的过程，体验“化繁为简”、“一一对应”的解题策略和的数学思想方法。
教学难点：体验“化繁为简”、“一一对应”的解题策略和的数学思想方法。 教学过程：
一、谈话引入，揭示课题
师：观察这幅图片，他们在干什么？
生：植树。
师：那这节课，我们就一起来研究一下植树问题。
二、合作探究，得出结论
1、创设问题情境
在一条直线上植树，会出现三种不同的情况
师：借助我们的经验，我们思考一下，在一条直线上植树，会出现哪几种情况呢？
师：你能指着图说说，那种是两端都要种的，哪种是一端要种的，哪种是两端都不种的？
小结：像这样，路的两端都没有障碍物的，是两端都要种的；像这样，路的一端有障碍物的，是一端要种的；像这样，路的两端都有障碍物的，是两端都不种的。
师：在这三种情况中，我们先来研究两端都要种的情况。
抛出问题
课件出示题目：同学们在全长1000米的小路一边植树（两端要载），每隔10米栽一棵树，一共需要多少棵树苗？
监控问题：
(1) 小路的一边植树什么意思？
(2) 两端要栽指的是什么？
(3) 每隔10米栽一棵是什么意思？
师：每隔10米栽一棵什么意思？
（课件演示1）
师：在数学中，我们把这个距离就叫做——间隔。
（课件演示2）
2、提出研讨问题
学生猜想
师：那一共需要多少棵树苗呢？你是怎么想的？
（学生说思路）
预设：学生列式
监控问题：
师：你能说说你这个算是表示什么意思吗？这100表示的是什么呀？
生：表示把1000米，每10米分一段，一共分了100段。
师：这个段，实际上就是我们刚才所说的？（间隔）
师：那这100呢？（就是有这样100个间隔）
师：在数学中，我们把这个间隔的个数，也就是这个100就叫做——间隔数。 1000÷10+1=101
1000÷10-1=99
师：怎么还有在间隔数上+1或-1的呢？
引导学生发现，无论那种情况，棵数都与间隔数之间存在的联系
师：看来，我们要想弄明白那个答案正确，问题的关键在于我们要弄清楚棵数与间隔数之间到底有怎样的关系？对吗？看来，我们要想准确的解决这个问题，就要先研究清楚棵数与间隔数之间到底有怎样的关系呢？（现在我们就以两头种的情况为例，来研究一下这个问题。）这个问题，你想怎样研究呢？
生：画图
生出现质疑：这要画图也太麻烦了。
师：是啊，100个间隔呢，画起来也太麻烦了，你有什么好办法来解决这个问题吗？（让学生思考，如果学生想不到，教师可以适当提示）
师：我们非得要画100个间隔才能找到棵树与间隔数之间的关系吗？少一点行不行？你有想法了吗？
3、学生操作，暴露资源，组织探究
师：现在，就请你把你的想法、研究的过程和结果都记录在这张研究记录单1000÷10=100
上。
展示学生资源
① 直观图
师：他是用画图的方法来研究的，你通过画图得到的结果是什么？
生：棵数=间隔数+1
师：你能说说，为什么棵数=间隔数+1吗？+1在哪呢？
生：结合图说一说。
在这里指的时候既可以从前往后指，也可以从后往前指。有可能是多头，也有可能是多尾。
② 线段图
如果有学生有线段图，就出示学生的线段图，如果没有，老师引入线段图。③列式
1000÷10=100（间隔）
100+1=101（棵）
师：这两个100所表示的含义一样吗？
生：100个间隔就对应着有100棵树。
推广结论，加以强化，渗透“极限”思想
师：5棵树有这样的规律，那6棵、7棵、甚至更多的树都有这样的规律吗？如果数据继续增大，这个规律还成立吗？
两头都种的前提下，10间隔，共有几个树？ 1200个间隔？N 个？如果有500棵树呢？
4、迁移方法，自主探究其他情况中的规律，建立模型
迁移方法，进行验证
提问：刚才我们研究了两头都种的情况，回忆一下我们是怎样做的？
你能试着用这样的方法，结合结合刚才我们研究的经验，跟同桌一起研究一下，另外两种情况下，间隔数与棵树有着怎样的关系？把你们的想法表示出来，让别人一眼看明白。
暴露资源，汇报交流
监控：
你怎么知道棵树=间隔数？
为什么还要再“-1”？
小结：虽然大家举得例子各不相同，但是最后我们得到的结果是一样的。 整体梳理
师：我们研究了植树问题的三种情况，请你回忆我们是怎样研究的，发现了什么规律。
师：在我们生活中存在着很多类似的现象，你能举几个例子吗？
监控：说清我们可以把什么看作点？把什么看作间段？
如果我记不住规律，该怎么办呢？（用手记）
三、解决问题，深化拓展
1．在一条全长2千米的街道两旁安装路灯（两端也要安装），每隔50米安一座。一共要安装多少座路灯？
2. 这列同学每相邻两个同学间的距离是1米，那图中第一位同学和最后一位同学间的距离是多少？
3．锯一次需要5分钟，现在要把这根木头锯成6段，需要多长时间？
四、回顾总结，拓展延伸
请你回忆一下，在研究植树问题时，我们经历了怎样一个学习过程？对你有什么启示？
教学反思：
“数学广角”单元是与生活联系最紧密的单元，在本单元的教学过程中，除了要让学生掌握本单元的知识外，更应该教会学生一种解决问题的策略。
在教学中做了如下两个认为比较成功的变化：
1、增加了“20÷5求出来的是什么？”让学生明白20÷5求出来的是4个间隔，那“加1的1是指什么？”学生认为“1”是1棵树，这时学生心理就矛盾了，4个间隔加1棵树等于5棵树？学生的思维有了矛盾点、质疑点，这样，让学生在思、辩的过程中逐步理解20÷5求出来的就是几个间隔，但是通过一一对应的方法知道4个间隔就相当于4棵树。
2、在上课伊始，我首先让学生明白在一条路上植树的三种可能，并提问“有哪三种可能？他们分别是怎样的？”在学生思考后，用图的形式让学生看的更明白。在学生探索出规律后，让学生判断前测题中谁做的对？让学生在争辩中体会
由于没有前提，所以都可能对，都可能不对。让学生感受问题来源于生活，我们应该结合生活实际来解决问题。
在本次教学中的不足：
在教学过程中，时间的分配上我有些前松后紧，在规律的寻找和简单应用中花费的时间有点长，以致后面的练习有些仓促。因担心上不完，当遇到学生“答非所问”的时候就表现的很急躁不能静下心来仔细地听完学生的发言。
在以后的工作中，我也会及时的总结经验，弥补不足，为了让每节课的遗憾能少一些，我会继续为之努力。