排序不等式

选修4-5学案 §3.2.1排序不等式 姓名

☆学习目标： 1. 了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题; 2. ☻知识情景：

1. 一般形式的柯西不等式：设n为大于1的自然数，ai,biR(i1,2,…,n)，

则：.

当且仅当时, 等号成立.

(若ai0时，约定bi0，i1,2,…,n).

22

(a)aii

变式10. 设aiR,bi0(i1,2,,n), 则：b

i1bi . i

n

当且仅当时, 等号成立.

2

(a)ai

变式20. 设aibi0(i1,2,,n), 则：i.

babi1iii

n

当且仅当b1b2bn时,等号成立.

变式3. (积分形式)设f(x)与g(x)都在[a,b]可积，B1,B2,Bj,Bn,B,A1,A2,Ai,An,A

bbb

则f(x)g(x)dxf2(x)dxg2(x)dx，

aaa

2

当且仅当f(x)tg(x)时,等号成立. 2. 探究 如图， 设AOB，自点O沿OA边依次取n个点A1,A2,,An，

OB边依次取取n个点B1,B2,,Bn，在OA边取某个点Ai与OB边

某个点Bj连接，得到AOBij，这样一一搭配，一共可得到 n个三角形。显然，不同的搭配方法，得到的AOBij 不同，问：OA边上的点与OB边上的点 如何搭配，才能使n个三角形的

面积和最大（或最小）？？？

设OAiai,OBjbj(i,j1,2,,n)，由已知条件，得

a1a2a3an,b1b2b3bn

因为AOBij的面积是 ，而

代数问题：设c1,c2, 则c,n是数组b1b,,,Sa1c1a2c2ancn 2,bn的任何一个排列

何时取最大（或最小）值？

我们把Sa1c1a2c2ancn叫做数组(a1,a2,,an)与(b1,b2,,bn)的乱序和. 其中, S1a1bna2bn1a3bn2anb1称为序和.

S2a1b1a2b2a3b3anbn称为.这样的三个和大小关系如何?

☆ 新知建构：

1.检验操作: 填表: 2.一般性证明:

设a1a2an,b1b2bn

c1,c2,,cn是b1,b2,,bn的任意一个排

列(有个不同的排列). 所以, Sa1c1a2c2ancn的不同值也只 有有限个(

个).其中必有最大值

和最小值.

考察Sa1c1a2c2ancn,

10.若c1b1,则应有某ckb1(k1),且c1

ck,对换c,c得Sacacac

1k1kk1nn



0. S

S .

 SS



说明将Sa1c1a2c2ancn中第一项换为a1b1后, 和式变.

20.若c1b1,则转而考察c2,并进行类似讨论.可证将式中第二项换为a2b2后,和式变 如此继续下去, 经有限步调整, 可知一切和数中, 最大和数只能是

.

且不难知道, 最小和数只能是. 因此

反序和乱序和

顺序和 即 S1

SS

S2.

S2;

30.容易发现, 当a1a2an,或b1b2bn时, S1

如果a1,a2,,an,不全相等, b1,b2,,bn也不全相等. 则i,j(1i,jn)和l,k(1l,kn) 使aiaj,blbk,考察和数

SS2(aibiajbjalblakbk)(aibkajblalbiakbj) S



S2(aibiajbjalblakbk)(aiblajbkalbiakbj)

∵ SS(aiaj)(bkbl)

∴ S1S



0SS

SS2.

定理(排序不等式, 又称排序原理):设a1a2an,b1b2bn为两组数,

c1,c2,,cn是b1,b2,,bn的任意一个排列, 则

a1bna2bn1a3bn2anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2a3b3anbn. 当且仅当a1a2an,或b1b2bn时, 等号成立.

☆ 排序不等式的应用：

例1. 若a1，a2，…，an 为两两不等的正整数，

ana2a3111

求证:123na12232n2.

例2 5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要的时间分别是 4分钟,8分钟,6分钟,10分钟,5分钟. 那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等

待的总时间最少？

选修4-5练习 §3.2.1排序不等式 姓名

1、若0a1a2,0b1b2,且a1a2b1b21，则下列代数式中值最大的是（ ）

A．a1b1a2b2 B．a1a2bb12 C．a1b2a2b1 D． 2、对a,b,cR+, 比较a

3

1

2

+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小

3、已知a,bR



a

ba

ab

4、正实数a1,a2,…,an的任一排列为a1/,a2/,…an/， 则有

aa1a2

nn a1a2an

aaaa

5、设a1，a2，a3，…，an为正数，求证：12n1na1a2an.

a2a3ana1

2222

a12b12c12

a10b10c10 . 6、 设a,b,cR,试证:

bccaab

7、设a,b,cR, 用排序不等式求证: abc(abc)

8、在ABC中,试证:

9、设a1,a2,…,an是1,2,…,n的一个排列，求证：

abc

abc3



3



aAbBcC



abc2

a12n1a1a2

n1 23na2a3an

a2b2b2c2c2a2a3b3c3

10、设a,b,cR,求证：abc 2c2a2bbccaab

+

选修4-5学案 §3.2.1排序不等式 姓名

☆学习目标： 1. 了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题; 2. ☻知识情景：

1. 一般形式的柯西不等式：设n为大于1的自然数，ai,biR(i1,2,…,n)，

则：.

当且仅当时, 等号成立.

(若ai0时，约定bi0，i1,2,…,n).

22

(a)aii

变式10. 设aiR,bi0(i1,2,,n), 则：b

i1bi . i

n

当且仅当时, 等号成立.

2

(a)ai

变式20. 设aibi0(i1,2,,n), 则：i.

babi1iii

n

当且仅当b1b2bn时,等号成立.

变式3. (积分形式)设f(x)与g(x)都在[a,b]可积，B1,B2,Bj,Bn,B,A1,A2,Ai,An,A

bbb

则f(x)g(x)dxf2(x)dxg2(x)dx，

aaa

2

当且仅当f(x)tg(x)时,等号成立. 2. 探究 如图， 设AOB，自点O沿OA边依次取n个点A1,A2,,An，

OB边依次取取n个点B1,B2,,Bn，在OA边取某个点Ai与OB边

某个点Bj连接，得到AOBij，这样一一搭配，一共可得到 n个三角形。显然，不同的搭配方法，得到的AOBij 不同，问：OA边上的点与OB边上的点 如何搭配，才能使n个三角形的

面积和最大（或最小）？？？

设OAiai,OBjbj(i,j1,2,,n)，由已知条件，得

a1a2a3an,b1b2b3bn

因为AOBij的面积是 ，而

代数问题：设c1,c2, 则c,n是数组b1b,,,Sa1c1a2c2ancn 2,bn的任何一个排列

何时取最大（或最小）值？

我们把Sa1c1a2c2ancn叫做数组(a1,a2,,an)与(b1,b2,,bn)的乱序和. 其中, S1a1bna2bn1a3bn2anb1称为序和.

S2a1b1a2b2a3b3anbn称为.这样的三个和大小关系如何?

☆ 新知建构：

1.检验操作: 填表: 2.一般性证明:

设a1a2an,b1b2bn

c1,c2,,cn是b1,b2,,bn的任意一个排

列(有个不同的排列). 所以, Sa1c1a2c2ancn的不同值也只 有有限个(

个).其中必有最大值

和最小值.

考察Sa1c1a2c2ancn,

10.若c1b1,则应有某ckb1(k1),且c1

ck,对换c,c得Sacacac

1k1kk1nn



0. S

S .

 SS



说明将Sa1c1a2c2ancn中第一项换为a1b1后, 和式变.

20.若c1b1,则转而考察c2,并进行类似讨论.可证将式中第二项换为a2b2后,和式变 如此继续下去, 经有限步调整, 可知一切和数中, 最大和数只能是

.

且不难知道, 最小和数只能是. 因此

反序和乱序和

顺序和 即 S1

SS

S2.

S2;

30.容易发现, 当a1a2an,或b1b2bn时, S1

如果a1,a2,,an,不全相等, b1,b2,,bn也不全相等. 则i,j(1i,jn)和l,k(1l,kn) 使aiaj,blbk,考察和数

SS2(aibiajbjalblakbk)(aibkajblalbiakbj) S



S2(aibiajbjalblakbk)(aiblajbkalbiakbj)

∵ SS(aiaj)(bkbl)

∴ S1S



0SS

SS2.

定理(排序不等式, 又称排序原理):设a1a2an,b1b2bn为两组数,

c1,c2,,cn是b1,b2,,bn的任意一个排列, 则

a1bna2bn1a3bn2anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2a3b3anbn. 当且仅当a1a2an,或b1b2bn时, 等号成立.

☆ 排序不等式的应用：

例1. 若a1，a2，…，an 为两两不等的正整数，

ana2a3111

求证:123na12232n2.

例2 5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要的时间分别是 4分钟,8分钟,6分钟,10分钟,5分钟. 那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等

待的总时间最少？

选修4-5练习 §3.2.1排序不等式 姓名

1、若0a1a2,0b1b2,且a1a2b1b21，则下列代数式中值最大的是（ ）

A．a1b1a2b2 B．a1a2bb12 C．a1b2a2b1 D． 2、对a,b,cR+, 比较a

3

1

2

+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小

3、已知a,bR



a

ba

ab

4、正实数a1,a2,…,an的任一排列为a1/,a2/,…an/， 则有

aa1a2

nn a1a2an

aaaa

5、设a1，a2，a3，…，an为正数，求证：12n1na1a2an.

a2a3ana1

2222

a12b12c12

a10b10c10 . 6、 设a,b,cR,试证:

bccaab

7、设a,b,cR, 用排序不等式求证: abc(abc)

8、在ABC中,试证:

9、设a1,a2,…,an是1,2,…,n的一个排列，求证：

abc

abc3



3



aAbBcC



abc2

a12n1a1a2

n1 23na2a3an

a2b2b2c2c2a2a3b3c3

10、设a,b,cR,求证：abc 2c2a2bbccaab

+