格林公式的教学教法探讨

垫塑塑：！；

创新教育ＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎＯｌＯｇｙ｜ｎｎＯｖａｔｉＯｎＨｅｒａｌｄ

格林公式的教学教法探讨

冒庆祝

（广西师范大学数学科学学院广西桂林５４１００４）

摘要：表文根据教学目标分析格棒公式的麓学摩点，探讨格球公式的曩学忑蓐，井依鲁相应的曩学忑蓐蛤出曩学过程的设计．关键词：橹椿公式擞学目标教学痒点教学思路教学设计

中图分类号：Ｇ６４２文献标识码：Ａ文章编号：１６７４一０９８ｘ（２００９）０８（ｔ）一０１７９—０２

１教学目标和教学难点分析

格林公式及其应用是高等数学的重要

内容之一。格林公式描述的是二重积分与

积分区域边界上的曲线积分之间的关系，

为积分的计算提供了一条有效快捷（就一

些问题来说）的路径，在物理等学科上有着

广泛的应用。根据格林公式的抽象性和应

用的广泛性，我们把教学目标定为：要求学

生理解格林公式并能熟练掌握格林公式的

应用，提高学生的理解能力和抽象能力，培

养学生运用知识解决问题的能力和创新能

力。

格林公式的理解及其应用是教学中的

难点。格林公式的抽象性容易使学生产生

一种畏惧的心理，如何避免学生畏难情绪

的产生是教学中一个应该重视的问题，这

个问题的有效解决是处理好教学难点、完

成教学目标的关键；忽略公式成立的条件

是部分学生应用公式习惯，这种习惯是灵

活应用格林公式的克星，也造成了对格林

公式的误解或不充分理解，因此帮助学生

克服不良习惯、正确和充分理解格林公式

是处理好教学难点的第二个关键之处，也

是圆满完成教学目标的保证。

２教学思路的探索

为实现教学目标，我们首先对教学难

点的处理方法做进一步的思考。

一般的讲授法，即先给出格林公式，紧

接着给出公式证明的讲授方法，学生会觉

得抽象，从而一开始就容易产生畏惧心理。

如果在格林公式的引入中引导学生发现格

林公式和格林公式的证明，就可以淡化格

林公式的抽象性，避免学生产生畏难情绪，

同时还可以培养学生的创新能力。因此我

们认为做好格林公式的引入工作非常重

要，应该把格林公式的引入作为教学过程

的一个重要部分来设计。

格林公式的应用的学习是帮助学生克

服不良习惯，正确和充分理解格林公式的

有效方法，因此这部分内容的教学设计也

是一个重点。例题的选用应该从易到难，讲

授过程应引导学生注重条件的验证，在条

件不满足时。采用引导的方式让学生自己

去创造所需要的条件。

３教学过程的设计

围绕教学目标，根据所选用的教材…，

我们将教学过程设计为四个阶段：预备知

识、格林公式的引入、格林公式及其证明以

及格林公式的应用。预备知识主要介绍单

连通区域、复连通区域及其边界曲线的正

向的慨念，为格林公式的理解和应用以及

万方数据后续部分内容的讲授做准备；格林公式的引入主要为格林公式的理解和格林公式的Ｉ笞Ｉ，（五ｙ）凼砂＝ＩＰ（工，ｙ）出占证明做铺垫，同时培养学生发现问题、解决（ｂ）假设积分区域Ｄ为Ｙ型；问题的能力和创新能力ｔ格林公式及其证明主要帮助学生理解和掌握格林公式，同Ｄ＝｛（工，ｙ）Ｉｃｓ），≤ｄ，而（ｙ）ｓ＿ｘｓ恐（ｙ）｝，时提高学生的抽象能力；最后一个阶段，即格林公式的应用，进一步帮助学生理解和掌握格林公式，同时培养学生灵活运用知掣＝／（五脏续，则其中置（ｙ），五（ｙ）在区间【ｃ，ｄ】上连续，且识解决问题的能力和创新能力。Ｊｐ（ｚ，力出方＝ｆ砂ｅ：’，（‘ｙｌ出＝３．１预备知识“，（１）单连通区域和复连通区域ｉ№…怕∽，脚若Ｄ内任一闭曲线所围的部分都属于而当曲线Ｃ分段光滑时，也就是说Ｄ，则称Ｄ为单连通区域（不含洞），否则称而（ｙ），而（ｙ）有连续的导数时为复连通区域（含洞）。ＩＱ（ｚ，ｙ）咖＝Ｉ．［Ｑ（屯（ｙ）．力—Ｑ（而（ｙ），，）】咖（５）（２）边界曲线Ｃ的正向比较（４）和（５）知，当Ｑ（训）＝，∽），），规定平面区域Ｄ的边界曲线Ｃ的正向如下：当观测者沿Ｃ行走时，Ｄ内在他近处即翟攀：／（‘ｙ）时有的那一部分总在他的左边。３．２格林公式的引入苫｜ｆ，（暑Ｊ，）蚴＝ｆ９（墨ｙ胁￡提出猜想：牛顿一莱布尼兹公式综合（ａ）和（ｂ）知，如果积分区域Ｄ既是Ｘｌ。，（ｘ）出＝Ｆ（６）一，（口），说明ｆ（ｘ）（即Ｆ。０））在区间【ａ，ｂ】上的积分可以通过Ｆ（ｘ）在这个型又是Ｙ型，且，“力＝掣一掣，区间端点上的值来表达，那么二重积分则当下列条件成立时我们的猜想，也就是ＪＪ／（工，ｙ）出咖是否也可以用某个函数在积（１）式成立：有界闭区域Ｄ由分段光滑的曲分区域Ｄ的边界Ｃ上的值来表达？由于积分线ｘ（方向为逆时针）围成，Ｐ（ｘ，ｙ）和Ｑ（ｘ，ｙ）区域Ｄ的边界ｃ是一条曲线，那么这个边界在Ｄ上有连续的一阶偏导数。Ｃ上的值是否可以是曲线积分３．３格林公式Ｊ尸（工，ｙ）破＋Ｑ（葺ｙ）砂呢？也就是说可以猜（１）格林公式及其证明定理ｌ（格林公式）设有界闭区域Ｄ由分想有这么一个公式存在：段光滑的曲线ｃ围成，函数Ｐ（ｘ，ｙ）和Ｑ（ｘ。ｙ）ＩＩ厂∽＿），）出咖＝ＩＰ（工，ｙ）斑＋Ｑ（ｘ，．ｙ）砂“）在Ｄ上具有一阶连续偏导数，则有其中Ｃ的方向为逆时针方向。寻求猜想成立的条件：如果上述猜想ｆＪ（罢一筹砖方＝』腑，ｙ胁＋烈训冲。其中ｃ为Ｄ的取正向的边界曲线。是正确的，那么ＪＰ（五ｙ），Ｑ（ｘ，Ｊ，）和ｆ（ｘ，ｙ）有什证明过程根据３。２的思路进行完善。么关系？（２）格林公式的理解（ａ）假设积分区域Ｄ为Ｘ型（ａ）利用公式的证明过程来理解公式成Ｄ＝｛（工，ｙ）Ｉ口≤ｘ≤６，舅（工）≤Ｊ，≤娩（曲｝，立的条件（３。２中的黑体字部分）：为什么需其中ｙ一（ｘ），儿（工）在区间【ａ＇ｂ】上连续，且掣＝八工，ｙ）连续，则要这些条件？（ｂ）理解格林公式的意义：建立了二重积分和其积分区域的边界曲线上的线积分ｆｆ，（‘力如咖＝ｅ出ｃ：：：：，（ｊ，，）咖＝之间的关系，为二重积分和曲线积分的计啊夏啊ｕ’算提供了新的途径。＾、‘，Ｉ【，（ｘ，咒（ｚ））—Ｆ（ｉ，一（ｚ））】出（２）３．４格林公式的应用而当曲线Ｃ分段光滑时，也就是说（１）公式的直接应用咒（工）＇奶（工）有连续的导数时教学目的：加强学生对格林公式的理解。ＪＰ（ｘ，ｙ胁＝一ｊ：【Ｐ（ｚ，咒（ｘ））＿尸（Ｊ，乃（工））胁（３）Ｃ例ｌ计算屯（ｙ—ｘ）出＋（３工＋ｙ）方的比较（２）和（３）知，当Ｐ（工．＇，）＝一，（五ｙ），即掣＝讹腑有值，其中ｃ为圆周＠一１）２＋（），一４）２＝９，方向取逆时针方向。例２计算ＪＪＰ。凼咖。其中Ｄ是以科技刨新导报ＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏＩｏｇｙＩｎｎｏｖａｔｉｏｎＨｅｒａＩｄ１７９

堡婴鲨墨：：：！：：型！！：：：：业竺创新教育Ｄ（Ｏ，０），爿（１，１），曰（Ｏ，１）为顶点的三角形闭区么地方不满足？（ｃ）根据Ｐ（ｘ，ｙ）和Ｑ（ｘ，ｙ）在练习２计算域。原点没有定义这一事实，考虑原点是否在例题完成后的反思：如果曲线积分计曲线Ｃ围成的区域Ｄ内。（ｄ）如果原点在曲线ｆ（２矿一Ｊ，２ｃｏｓ工）出＋（１—２ｙｓｉｎｘ＋３，Ｊ，２）电算不方便，可以化为二重积分来计算，类似Ｃ围成的区域Ｄ内，格林公式的条件就遭到其中Ｃ为抛物线２ｘ：兀’，２上由点（Ｏ，Ｏ）到点地，如果二重积分不好算，也可以化为曲线了破坏，如何修补条件？ｔｉ，１Ｊ的一段弧。积分来计算，这就是格林公式的一个应用。例题完成后的反思：当原点落在曲线Ｃ练习ｌ计算围成的区域Ｄ内时。条件不满足，修补条件（３）公式的其它应用

ＪＰｙｃｏｓｘ＋２妙ｓｍ—ｙ２，）的方法是以原点为中心在区域Ｄ内作～圆教学目的：引导学生发现格林公式的

其它应用，进一步培养学生应用知识解决

Ｃ，：ｘ２＋ｖ２：，．２，方向取逆时针方向，虽然曲

西ｒ＋（工２ｓｉｎｚ一２Ｊ旧。）砂线Ｃ与曲线ｌ围成的区域Ｄ．也是未知的，但由问题和能力和创新能力．的值，其中Ｃ为正向星形线例４求椭圆ｘ＝口ｃＯｓ０．ｙ＝６ｓｉｎ０所围ｘ２７３＋＇，２，３＝口２７３（ａ＞０）于恰好有掣＝掣，因此成图形的面积。例３设Ｃ是任意一条分段光滑的闭曲ｆｒ（掣一型笺盟）如妙：ｏ，于是所求的曲引导：注意Ｊｊ出咖２Ｄ的面积，因此根据线，证明Ｊ２叫出＋ｘ２砂＝ｏ贸砂嬲格林公式也可以利用曲线积分引导：由于曲线Ｃ是未知的，不能用曲线积分的值便等于ｊ（，一，）凼一ｏ＋ｓｉｌｌ２ｙ胁Ｊ尸（Ｊ，ｙ）出＋Ｑ∽ｙ陟来计算平面图形的面线积分的计算公式进行计算，因此可以考的值。问题１：可以用别的曲线来代替圆ｌ虑化为二重积分来计算。吗？比如说ｌ是否可取为区域Ｄ内以原点为积。这时Ｐ（五），），Ｑ（ｘ，．），）两个函数应满足什（２）公式的灵活应用

教学目的：强调格林公式成立的条件，

进一步加强学生对格林公式的理解，在公掣≠掣，还能用这个方法解决吗？中心的一个正方形的边界？问题２：如果么条件呢？自然是要求掣一掣等于常数。Ｐ（工，），），Ｑ（ｘ，ｙ）取那些特殊的函数哕∞，．．式成立的条件不满足时，引导学生去创造例３计算Ｊ（工２一ｙ）出一ｏ＋ｓｉｎ２ｙ）咖，其时有垒琶｝丝一垡警边等于常数呢？所需要的条件，培养学生灵活应用知识的

能力和创新能力。中ｃ是圆周ｙ：√２ｘ一工２上由点（ｏ，ｏ）到点Ｐ（ｘ，ｙ）２０，Ｑ“ｙ）２ｊ或Ｐ（ｊ，力＝叫，Ｑ（ｘ，＿），）＝ｘ例２计算Ｊ■静，其中ｃ为一条无等等都是可能的选择。

ｒ五咖一ｖ凼（１，１）的一段弧。

引导：是否可以直接计算？如果要利用

重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲格林公式来计算，格林公式的条件中是否参考文献

满足，什么地方不满足？如何创造条件？【ｌ】同济大学应用数学系。高等数学（下册）

线，方向为逆时针方向。

引导：（ａ）曲线Ｃ是未知的，不能直接计反思：解决方法实际上就是利用格林ｆＭ】。北京：高等教育出版社，２００２。算，因此可以考虑利用格林公式来解决这公式改换积分路径，那么如何选取新的路个问题。（ｂ）格林公式的条件中是否满足，什径？

（上接１７８页）专科学校班为０．８０士０．０３，本次测试结果生离最佳健康状态还有一定距离。这可能分的要求不同，一般来说，随着训练水平的显示专科学校篮球班男生的ｗＨＲ属中等是因为当前大学生学习任务重，还有部分提高，身体脂肪所占比重下降，身体肌肉所水平。ＢＭＩ：是表示外表肥胖的指数，成年学生沉迷于游戏等活动而导致体育锻炼过占比重增加。篮球运动员所承受和所达到男性正常分别为２０～２５，消瘦为＜２０，肥胖少的情况，因此，应加强对专科学校学生的的运动强度在训练和比赛中是不断变化为＞２５。本次参与测试的专科学校男生ＢＭＩ健康教育，积极倡导平衡膳食原则，督促他的，专科学校篮球班的学生训练量和训练值为２２．４１士Ｏ．８７，有４人ＢＭＩ值大于２５，其们加强体育锻炼，以进一步提高其营养与强度均较专业篮球运动员的少，关于其体余学生的ＢＭＩ值在正常值范围内，无低于健康水平。成分研究尚未见有报道，本文拟通过测定正常值范围的学生，表明专科学校篮球班和分析专科学校篮球班男生的身体成分，学生的营养状况良好，无营养缺乏的情况。参考文献为研究专科学校男学生身体健康状况和教ｅｄｅｍａ：其值为。细胞外液／人体水分总【ｌ】刘卫，李丰祥．大学生身体成分特征与学提供参考。量”，本次测试显示ｅｄｅｍａ值为０．３２±０．０２。运动能力及体质健康的关系【Ｊ】．体育学本研究从健康评估分数、体脂肪含量无低于和高于正常值的学生，表明所有学刊，２００４，ｌｌ（１）：５２—５５１．及分布、ＢＭＩ、ｅｄｅｍａ、ｍｉｎｅｒａｌ五方面来评价生均为健康状态。ｍｉｎｅｒａｌ：以无机质占体【２】侯曼，刘静民．用生物电阻抗法测量人专科学校篮球班男生人体成分。健康评估重的比率来评价，若其值＜３．５％，则可被判体体成分及分析【Ｊ１．中国运动医学杂分数值是Ｉｎｂｏｄｙ３．０根据肌肉量算出的分断为缺乏无机质，所有测定对象无机质与志，２００５，２４（１）：８９—９２１．数，以１００分为满分，普通人在７０～９０分之体重的比率均＞３．５％，说明专科学校男学【３】ＬｕｋａｓｌｄＨＣ，Ｊ０ｂｎ８０玎ＰＥ，Ｂｏｌｏｎｃｈｕｋ间。低于７０表示肌肉量过少，高于９０分表示生的膳食摄入是比较平衡的。ＷＷ。ｅｔａ工．Ａｓｓｅｓｓｍｅｎｔｏｆｆａｔ—ｆｒｅｅ肌肉发达，本次参加测试的专科学校男生在身体的各种成分中，检测体成分平Ｉｎｅａ鼹ｕｓｊｎｇｂｉｏｅｌｅｃｔｒｉｃａｌｉⅡ１ｐｅｄａｎ的健康评估分数有８７人在７０～９０分之间，衡的基本方法是体内肌肉和脂肪的含量。ｃｅⅡ１ｅａ鞠ｌＩ．ｅｍｅｎｔｏｆｈ岫ａｎｂｏｄｙ．ＡｍＪ占８９．６９％，高于９０分１０人，占１０．３１％，无低本研究结果表明。以健康评估分数评估得于７０分的学生，结果显示专科学校篮球班分处于正常范围的男生中有１３人分数处于ｆ４】№ｓｋｉＣｌｉｎＮｕｔｒ。１９８５。４ｌ：８１０．ＨＣ．Ｍ劬。凼ｆｏｒｔｈｅａｓ瞄ｓ—的学生与同龄大学生接近，肌肉仍欠发达，下限男生，平均７４．３４分，且高于９０分的人ｍｅｎｔｏｆｈｕｍａｎｂＤｄｙｃｏⅡ删ｔｉｏｎ：ｎ甚一可以通过相应的训练手段提高肌肉发达程数为１０人，提示部分专科学校篮球班大学ｄｉｔｉｏｎａｌａｎｄｎｅｗ．ＡｍＪＣｕｎＮｕｔｒ。度。体脂肪含量及分布，包括ＢＦ％与ｗＨＲ。生肌肉仍欠发达，肌肉发达的学生人数也１９８７．４６：５３７．目前国际上采用的男性标准ＢＦ％为（１５士５）较少。本次以ＢＭＩ来评价机体营养状况及【５】曲福军，张雪娟，宋力，等．美托洛尔与卡％，＞２０％为肥胖ｂ】。本次测得专科学校篮球肥胖程度的结果表明：肥胖为４．１２％。无消托普利在健康人体内药代动力学相互作班男生的ＢＦ％为１５．５３士４．６ｌ，与国际沿用瘦的学生。肥胖人数低于国外相关报道中用【Ｊ】．中国药学杂志，２００ｌ，３６（２）：ｌｌ卜１１３．标准值接近，有２人低于正常值，１３人高于大学生群体２５．７１％的发生率【６】。由此可见，【６】ＳｃｏｋｉｃＥ，ｓｒ（１ｉｃＢ，ＰｅｔｅｒＡ．Ｂｏｄｙｆａｔ正常值。腹部脂肪分布以ＷＨＲ表示，我国我校篮球班男学生人体成分组成尚合理。ｍａ豁ｍｎｏｍａｌｗｅｉｇｈｔｓｕｂｊｅｃｔｓ【Ｊ】．成年男性一般以０．７５—０．８５为宜，本次测定营养不良与肥胖检出率均较低。但部分学ＭｅｄＰｒｅ９１，２００２，５５（９—１０）：４０７—４１１．１８０乖斗技创新导报ＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏＩｏｇｙＩｎｎｏＶａｔｉｏｎＨｅｒａＩｄ

万方数据

格林公式的教学教法探讨

作者：

作者单位：

刊名：

英文刊名：

年，卷(期)：

被引用次数：雷庆祝广西师范大学数学科学学院,广西桂林,541004科技创新导报SCIENCE AND TECHNOLOGY INNOVATION HERALD2009，""(22)0次

参考文献(1条)

1. 同济大学应用数学系 高等数学 2002

本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_kjzxdb200922148.aspx

授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：dca80220-16b1-440a-b2b0-9dcf016199d7

下载时间：2010年8月11日

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创新教育ＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎＯｌＯｇｙ｜ｎｎＯｖａｔｉＯｎＨｅｒａｌｄ

格林公式的教学教法探讨

冒庆祝

（广西师范大学数学科学学院广西桂林５４１００４）

摘要：表文根据教学目标分析格棒公式的麓学摩点，探讨格球公式的曩学忑蓐，井依鲁相应的曩学忑蓐蛤出曩学过程的设计．关键词：橹椿公式擞学目标教学痒点教学思路教学设计

中图分类号：Ｇ６４２文献标识码：Ａ文章编号：１６７４一０９８ｘ（２００９）０８（ｔ）一０１７９—０２

１教学目标和教学难点分析

格林公式及其应用是高等数学的重要

内容之一。格林公式描述的是二重积分与

积分区域边界上的曲线积分之间的关系，

为积分的计算提供了一条有效快捷（就一

些问题来说）的路径，在物理等学科上有着

广泛的应用。根据格林公式的抽象性和应

用的广泛性，我们把教学目标定为：要求学

生理解格林公式并能熟练掌握格林公式的

应用，提高学生的理解能力和抽象能力，培

养学生运用知识解决问题的能力和创新能

力。

格林公式的理解及其应用是教学中的

难点。格林公式的抽象性容易使学生产生

一种畏惧的心理，如何避免学生畏难情绪

的产生是教学中一个应该重视的问题，这

个问题的有效解决是处理好教学难点、完

成教学目标的关键；忽略公式成立的条件

是部分学生应用公式习惯，这种习惯是灵

活应用格林公式的克星，也造成了对格林

公式的误解或不充分理解，因此帮助学生

克服不良习惯、正确和充分理解格林公式

是处理好教学难点的第二个关键之处，也

是圆满完成教学目标的保证。

２教学思路的探索

为实现教学目标，我们首先对教学难

点的处理方法做进一步的思考。

一般的讲授法，即先给出格林公式，紧

接着给出公式证明的讲授方法，学生会觉

得抽象，从而一开始就容易产生畏惧心理。

如果在格林公式的引入中引导学生发现格

林公式和格林公式的证明，就可以淡化格

林公式的抽象性，避免学生产生畏难情绪，

同时还可以培养学生的创新能力。因此我

们认为做好格林公式的引入工作非常重

要，应该把格林公式的引入作为教学过程

的一个重要部分来设计。

格林公式的应用的学习是帮助学生克

服不良习惯，正确和充分理解格林公式的

有效方法，因此这部分内容的教学设计也

是一个重点。例题的选用应该从易到难，讲

授过程应引导学生注重条件的验证，在条

件不满足时。采用引导的方式让学生自己

去创造所需要的条件。

３教学过程的设计

围绕教学目标，根据所选用的教材…，

我们将教学过程设计为四个阶段：预备知

识、格林公式的引入、格林公式及其证明以

及格林公式的应用。预备知识主要介绍单

连通区域、复连通区域及其边界曲线的正

向的慨念，为格林公式的理解和应用以及

万方数据后续部分内容的讲授做准备；格林公式的引入主要为格林公式的理解和格林公式的Ｉ笞Ｉ，（五ｙ）凼砂＝ＩＰ（工，ｙ）出占证明做铺垫，同时培养学生发现问题、解决（ｂ）假设积分区域Ｄ为Ｙ型；问题的能力和创新能力ｔ格林公式及其证明主要帮助学生理解和掌握格林公式，同Ｄ＝｛（工，ｙ）Ｉｃｓ），≤ｄ，而（ｙ）ｓ＿ｘｓ恐（ｙ）｝，时提高学生的抽象能力；最后一个阶段，即格林公式的应用，进一步帮助学生理解和掌握格林公式，同时培养学生灵活运用知掣＝／（五脏续，则其中置（ｙ），五（ｙ）在区间【ｃ，ｄ】上连续，且识解决问题的能力和创新能力。Ｊｐ（ｚ，力出方＝ｆ砂ｅ：’，（‘ｙｌ出＝３．１预备知识“，（１）单连通区域和复连通区域ｉ№…怕∽，脚若Ｄ内任一闭曲线所围的部分都属于而当曲线Ｃ分段光滑时，也就是说Ｄ，则称Ｄ为单连通区域（不含洞），否则称而（ｙ），而（ｙ）有连续的导数时为复连通区域（含洞）。ＩＱ（ｚ，ｙ）咖＝Ｉ．［Ｑ（屯（ｙ）．力—Ｑ（而（ｙ），，）】咖（５）（２）边界曲线Ｃ的正向比较（４）和（５）知，当Ｑ（训）＝，∽），），规定平面区域Ｄ的边界曲线Ｃ的正向如下：当观测者沿Ｃ行走时，Ｄ内在他近处即翟攀：／（‘ｙ）时有的那一部分总在他的左边。３．２格林公式的引入苫｜ｆ，（暑Ｊ，）蚴＝ｆ９（墨ｙ胁￡提出猜想：牛顿一莱布尼兹公式综合（ａ）和（ｂ）知，如果积分区域Ｄ既是Ｘｌ。，（ｘ）出＝Ｆ（６）一，（口），说明ｆ（ｘ）（即Ｆ。０））在区间【ａ，ｂ】上的积分可以通过Ｆ（ｘ）在这个型又是Ｙ型，且，“力＝掣一掣，区间端点上的值来表达，那么二重积分则当下列条件成立时我们的猜想，也就是ＪＪ／（工，ｙ）出咖是否也可以用某个函数在积（１）式成立：有界闭区域Ｄ由分段光滑的曲分区域Ｄ的边界Ｃ上的值来表达？由于积分线ｘ（方向为逆时针）围成，Ｐ（ｘ，ｙ）和Ｑ（ｘ，ｙ）区域Ｄ的边界ｃ是一条曲线，那么这个边界在Ｄ上有连续的一阶偏导数。Ｃ上的值是否可以是曲线积分３．３格林公式Ｊ尸（工，ｙ）破＋Ｑ（葺ｙ）砂呢？也就是说可以猜（１）格林公式及其证明定理ｌ（格林公式）设有界闭区域Ｄ由分想有这么一个公式存在：段光滑的曲线ｃ围成，函数Ｐ（ｘ，ｙ）和Ｑ（ｘ。ｙ）ＩＩ厂∽＿），）出咖＝ＩＰ（工，ｙ）斑＋Ｑ（ｘ，．ｙ）砂“）在Ｄ上具有一阶连续偏导数，则有其中Ｃ的方向为逆时针方向。寻求猜想成立的条件：如果上述猜想ｆＪ（罢一筹砖方＝』腑，ｙ胁＋烈训冲。其中ｃ为Ｄ的取正向的边界曲线。是正确的，那么ＪＰ（五ｙ），Ｑ（ｘ，Ｊ，）和ｆ（ｘ，ｙ）有什证明过程根据３。２的思路进行完善。么关系？（２）格林公式的理解（ａ）假设积分区域Ｄ为Ｘ型（ａ）利用公式的证明过程来理解公式成Ｄ＝｛（工，ｙ）Ｉ口≤ｘ≤６，舅（工）≤Ｊ，≤娩（曲｝，立的条件（３。２中的黑体字部分）：为什么需其中ｙ一（ｘ），儿（工）在区间【ａ＇ｂ】上连续，且掣＝八工，ｙ）连续，则要这些条件？（ｂ）理解格林公式的意义：建立了二重积分和其积分区域的边界曲线上的线积分ｆｆ，（‘力如咖＝ｅ出ｃ：：：：，（ｊ，，）咖＝之间的关系，为二重积分和曲线积分的计啊夏啊ｕ’算提供了新的途径。＾、‘，Ｉ【，（ｘ，咒（ｚ））—Ｆ（ｉ，一（ｚ））】出（２）３．４格林公式的应用而当曲线Ｃ分段光滑时，也就是说（１）公式的直接应用咒（工）＇奶（工）有连续的导数时教学目的：加强学生对格林公式的理解。ＪＰ（ｘ，ｙ胁＝一ｊ：【Ｐ（ｚ，咒（ｘ））＿尸（Ｊ，乃（工））胁（３）Ｃ例ｌ计算屯（ｙ—ｘ）出＋（３工＋ｙ）方的比较（２）和（３）知，当Ｐ（工．＇，）＝一，（五ｙ），即掣＝讹腑有值，其中ｃ为圆周＠一１）２＋（），一４）２＝９，方向取逆时针方向。例２计算ＪＪＰ。凼咖。其中Ｄ是以科技刨新导报ＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏＩｏｇｙＩｎｎｏｖａｔｉｏｎＨｅｒａＩｄ１７９

堡婴鲨墨：：：！：：型！！：：：：业竺创新教育Ｄ（Ｏ，０），爿（１，１），曰（Ｏ，１）为顶点的三角形闭区么地方不满足？（ｃ）根据Ｐ（ｘ，ｙ）和Ｑ（ｘ，ｙ）在练习２计算域。原点没有定义这一事实，考虑原点是否在例题完成后的反思：如果曲线积分计曲线Ｃ围成的区域Ｄ内。（ｄ）如果原点在曲线ｆ（２矿一Ｊ，２ｃｏｓ工）出＋（１—２ｙｓｉｎｘ＋３，Ｊ，２）电算不方便，可以化为二重积分来计算，类似Ｃ围成的区域Ｄ内，格林公式的条件就遭到其中Ｃ为抛物线２ｘ：兀’，２上由点（Ｏ，Ｏ）到点地，如果二重积分不好算，也可以化为曲线了破坏，如何修补条件？ｔｉ，１Ｊ的一段弧。积分来计算，这就是格林公式的一个应用。例题完成后的反思：当原点落在曲线Ｃ练习ｌ计算围成的区域Ｄ内时。条件不满足，修补条件（３）公式的其它应用

ＪＰｙｃｏｓｘ＋２妙ｓｍ—ｙ２，）的方法是以原点为中心在区域Ｄ内作～圆教学目的：引导学生发现格林公式的

其它应用，进一步培养学生应用知识解决

Ｃ，：ｘ２＋ｖ２：，．２，方向取逆时针方向，虽然曲

西ｒ＋（工２ｓｉｎｚ一２Ｊ旧。）砂线Ｃ与曲线ｌ围成的区域Ｄ．也是未知的，但由问题和能力和创新能力．的值，其中Ｃ为正向星形线例４求椭圆ｘ＝口ｃＯｓ０．ｙ＝６ｓｉｎ０所围ｘ２７３＋＇，２，３＝口２７３（ａ＞０）于恰好有掣＝掣，因此成图形的面积。例３设Ｃ是任意一条分段光滑的闭曲ｆｒ（掣一型笺盟）如妙：ｏ，于是所求的曲引导：注意Ｊｊ出咖２Ｄ的面积，因此根据线，证明Ｊ２叫出＋ｘ２砂＝ｏ贸砂嬲格林公式也可以利用曲线积分引导：由于曲线Ｃ是未知的，不能用曲线积分的值便等于ｊ（，一，）凼一ｏ＋ｓｉｌｌ２ｙ胁Ｊ尸（Ｊ，ｙ）出＋Ｑ∽ｙ陟来计算平面图形的面线积分的计算公式进行计算，因此可以考的值。问题１：可以用别的曲线来代替圆ｌ虑化为二重积分来计算。吗？比如说ｌ是否可取为区域Ｄ内以原点为积。这时Ｐ（五），），Ｑ（ｘ，．），）两个函数应满足什（２）公式的灵活应用

教学目的：强调格林公式成立的条件，

进一步加强学生对格林公式的理解，在公掣≠掣，还能用这个方法解决吗？中心的一个正方形的边界？问题２：如果么条件呢？自然是要求掣一掣等于常数。Ｐ（工，），），Ｑ（ｘ，ｙ）取那些特殊的函数哕∞，．．式成立的条件不满足时，引导学生去创造例３计算Ｊ（工２一ｙ）出一ｏ＋ｓｉｎ２ｙ）咖，其时有垒琶｝丝一垡警边等于常数呢？所需要的条件，培养学生灵活应用知识的

能力和创新能力。中ｃ是圆周ｙ：√２ｘ一工２上由点（ｏ，ｏ）到点Ｐ（ｘ，ｙ）２０，Ｑ“ｙ）２ｊ或Ｐ（ｊ，力＝叫，Ｑ（ｘ，＿），）＝ｘ例２计算Ｊ■静，其中ｃ为一条无等等都是可能的选择。

ｒ五咖一ｖ凼（１，１）的一段弧。

引导：是否可以直接计算？如果要利用

重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲格林公式来计算，格林公式的条件中是否参考文献

满足，什么地方不满足？如何创造条件？【ｌ】同济大学应用数学系。高等数学（下册）

线，方向为逆时针方向。

引导：（ａ）曲线Ｃ是未知的，不能直接计反思：解决方法实际上就是利用格林ｆＭ】。北京：高等教育出版社，２００２。算，因此可以考虑利用格林公式来解决这公式改换积分路径，那么如何选取新的路个问题。（ｂ）格林公式的条件中是否满足，什径？

（上接１７８页）专科学校班为０．８０士０．０３，本次测试结果生离最佳健康状态还有一定距离。这可能分的要求不同，一般来说，随着训练水平的显示专科学校篮球班男生的ｗＨＲ属中等是因为当前大学生学习任务重，还有部分提高，身体脂肪所占比重下降，身体肌肉所水平。ＢＭＩ：是表示外表肥胖的指数，成年学生沉迷于游戏等活动而导致体育锻炼过占比重增加。篮球运动员所承受和所达到男性正常分别为２０～２５，消瘦为＜２０，肥胖少的情况，因此，应加强对专科学校学生的的运动强度在训练和比赛中是不断变化为＞２５。本次参与测试的专科学校男生ＢＭＩ健康教育，积极倡导平衡膳食原则，督促他的，专科学校篮球班的学生训练量和训练值为２２．４１士Ｏ．８７，有４人ＢＭＩ值大于２５，其们加强体育锻炼，以进一步提高其营养与强度均较专业篮球运动员的少，关于其体余学生的ＢＭＩ值在正常值范围内，无低于健康水平。成分研究尚未见有报道，本文拟通过测定正常值范围的学生，表明专科学校篮球班和分析专科学校篮球班男生的身体成分，学生的营养状况良好，无营养缺乏的情况。参考文献为研究专科学校男学生身体健康状况和教ｅｄｅｍａ：其值为。细胞外液／人体水分总【ｌ】刘卫，李丰祥．大学生身体成分特征与学提供参考。量”，本次测试显示ｅｄｅｍａ值为０．３２±０．０２。运动能力及体质健康的关系【Ｊ】．体育学本研究从健康评估分数、体脂肪含量无低于和高于正常值的学生，表明所有学刊，２００４，ｌｌ（１）：５２—５５１．及分布、ＢＭＩ、ｅｄｅｍａ、ｍｉｎｅｒａｌ五方面来评价生均为健康状态。ｍｉｎｅｒａｌ：以无机质占体【２】侯曼，刘静民．用生物电阻抗法测量人专科学校篮球班男生人体成分。健康评估重的比率来评价，若其值＜３．５％，则可被判体体成分及分析【Ｊ１．中国运动医学杂分数值是Ｉｎｂｏｄｙ３．０根据肌肉量算出的分断为缺乏无机质，所有测定对象无机质与志，２００５，２４（１）：８９—９２１．数，以１００分为满分，普通人在７０～９０分之体重的比率均＞３．５％，说明专科学校男学【３】ＬｕｋａｓｌｄＨＣ，Ｊ０ｂｎ８０玎ＰＥ，Ｂｏｌｏｎｃｈｕｋ间。低于７０表示肌肉量过少，高于９０分表示生的膳食摄入是比较平衡的。ＷＷ。ｅｔａ工．Ａｓｓｅｓｓｍｅｎｔｏｆｆａｔ—ｆｒｅｅ肌肉发达，本次参加测试的专科学校男生在身体的各种成分中，检测体成分平Ｉｎｅａ鼹ｕｓｊｎｇｂｉｏｅｌｅｃｔｒｉｃａｌｉⅡ１ｐｅｄａｎ的健康评估分数有８７人在７０～９０分之间，衡的基本方法是体内肌肉和脂肪的含量。ｃｅⅡ１ｅａ鞠ｌＩ．ｅｍｅｎｔｏｆｈ岫ａｎｂｏｄｙ．ＡｍＪ占８９．６９％，高于９０分１０人，占１０．３１％，无低本研究结果表明。以健康评估分数评估得于７０分的学生，结果显示专科学校篮球班分处于正常范围的男生中有１３人分数处于ｆ４】№ｓｋｉＣｌｉｎＮｕｔｒ。１９８５。４ｌ：８１０．ＨＣ．Ｍ劬。凼ｆｏｒｔｈｅａｓ瞄ｓ—的学生与同龄大学生接近，肌肉仍欠发达，下限男生，平均７４．３４分，且高于９０分的人ｍｅｎｔｏｆｈｕｍａｎｂＤｄｙｃｏⅡ删ｔｉｏｎ：ｎ甚一可以通过相应的训练手段提高肌肉发达程数为１０人，提示部分专科学校篮球班大学ｄｉｔｉｏｎａｌａｎｄｎｅｗ．ＡｍＪＣｕｎＮｕｔｒ。度。体脂肪含量及分布，包括ＢＦ％与ｗＨＲ。生肌肉仍欠发达，肌肉发达的学生人数也１９８７．４６：５３７．目前国际上采用的男性标准ＢＦ％为（１５士５）较少。本次以ＢＭＩ来评价机体营养状况及【５】曲福军，张雪娟，宋力，等．美托洛尔与卡％，＞２０％为肥胖ｂ】。本次测得专科学校篮球肥胖程度的结果表明：肥胖为４．１２％。无消托普利在健康人体内药代动力学相互作班男生的ＢＦ％为１５．５３士４．６ｌ，与国际沿用瘦的学生。肥胖人数低于国外相关报道中用【Ｊ】．中国药学杂志，２００ｌ，３６（２）：ｌｌ卜１１３．标准值接近，有２人低于正常值，１３人高于大学生群体２５．７１％的发生率【６】。由此可见，【６】ＳｃｏｋｉｃＥ，ｓｒ（１ｉｃＢ，ＰｅｔｅｒＡ．Ｂｏｄｙｆａｔ正常值。腹部脂肪分布以ＷＨＲ表示，我国我校篮球班男学生人体成分组成尚合理。ｍａ豁ｍｎｏｍａｌｗｅｉｇｈｔｓｕｂｊｅｃｔｓ【Ｊ】．成年男性一般以０．７５—０．８５为宜，本次测定营养不良与肥胖检出率均较低。但部分学ＭｅｄＰｒｅ９１，２００２，５５（９—１０）：４０７—４１１．１８０乖斗技创新导报ＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏＩｏｇｙＩｎｎｏＶａｔｉｏｎＨｅｒａＩｄ

万方数据

格林公式的教学教法探讨

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被引用次数：雷庆祝广西师范大学数学科学学院,广西桂林,541004科技创新导报SCIENCE AND TECHNOLOGY INNOVATION HERALD2009，""(22)0次

参考文献(1条)

1. 同济大学应用数学系 高等数学 2002

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