穿根法解不等式的原理

穿根法解不等式的原理、步骤和应用范例

摘要：本文通过阐述穿根法解不等式的原理、步骤和应用范例，尝试对其进行系统性的论述。在原理层面，提出该方法中不等式的标准形式为f(x)=(x-x1)(x-x2) ……(x-xn ) ∨0，规范了序轴的概

念，先后由一元一次、二次到高次不等式，动态考察了f(x)的符号变化规律，并介绍如何使用穿根法表达此规律；在步骤层面，对解高次不等式、分式不等式和含等号不等式的操作步骤进行了分类详述；然后通过6个应用范例，进一步展现了穿根法解不等式的具体操作细节和若干注意事项。论文最后概括说明了穿根法的特征和实用意义。

关键词：穿根法；解不等式；原理；步骤；应用

穿根法，又称序轴标根法，是解一元整式、分式不等式的重要通用方法，特别在解简单高次不等式时，一直居于主流地位。然而，该方法目前尚未进入中学正式教材，在很多资料中，对此法也往往是只提应用，而对其来龙去脉，叙述不清，建构模糊。现结合中学一线教学经验，通过阐述其原理、步骤和应用范例，尝试对其进行系统性的论述。

一、 原理

穿根法解不等式时，一般先将其化为形如：

f(x)=(x-x1)(x-x2) „(x-xn )>0 （或

的标准形式，主要考察f(x)的符号规律。

在穿根法中我们引入序轴的概念。序轴是一条有向直线，类似于数轴，但上面不必标出原点，也不必考虑长度单位，只要求在其上标数时，按由左至右，从小到大的顺序即可。

（一） 一次不等式

标准形式：f(x)=x-x1>0 （或

我们将x-x 1=0的根x 1标在序轴上，可以发现：x 1右边的点都是大于x 1的点，即是x-x 1>0的解；而x 1左边

的点都是小于x 1的点，即是x-x 1

所以可以如图标注，图中+、- 用以表示

f(x)=x-x1的符号。

我们还可以以动态的思想来考察该问题。当一点x=a 从x 1右侧向x 1左侧移动时，f(x)=x-x1经历了由正到0又到负的符号变换。由此也可得出f(x)的符号可以如图标注的结论。

（二） 二次不等式

标准形式：f(x)=(x-x1)(x-x2) >0 （或

(1) x1≠x 2时，不妨设x 1

将f(x)=0的二根x 1、x 2标在序轴上，则可以发现：处于(-∞, x1)

，

(x2,+∞) 内的点满足f(x) >0，处于(x1,x 2) 内的点满足f(x)

当我们动态考察该问题时，我们也可以发现：当点x=a在x 2右方时，x-x 1、x-x 2均正，故有f(x) >0；而当点x=a从x 2右侧移动到左侧时，x-x 2变为负值，而x-x 1符号不变，所以有f(x)必然变号，此时由正变负；而再当点x=a从x 1右侧移动到左侧时，x-x 1由正变负，而x-x 2符号不变，所以f(x)又一次变号，此时由负变正。

总之，无论从哪个方面看，f(x)的符号都可以如图标注。

(2) x1=x2时，即形如f(x)=(x-x1) 2时

显然，(-∞,x 1) 与( x1 ,+∞) 都是f(x) >0的解。

而若动态的考察此问题，则有

点x=a 从x 1右侧移动向左侧移动时，

由于平方项内的x-x 1由正到0又到负，所以f(x)经历了由正到0又回到正的过程。故而f(x)在x 1两侧符号同正，只有在x=x1处为0。

（三） 高次不等式

标准形式：f(x)=(x-x1)(x-x2) „(x-xn )>0 （或

(1) x 1

动态考察f(x)的符号，则有当点x=a在x n 右方时，x-x i (i=1,2,…,n)均大于0，故而f(x) >0；而当点x=a从x n 右侧移动到左侧时，x-x n 符号变化，而其余任一x-x i 均不变号，所以有f(x)由正变负；类似可得：对任一i ，当点x=a从x i 右侧移动到左侧时，x-x i 符号变化，而其余每个x-x j (j≠i)

都

不变号，所以有f(x)必然变号，或由正变负，或由负变正。就这样，由于每过一个x i 都恰有一个因式x-x i 变号，所以我们可以从最右上方开始画一条依次穿过各根的线，这正是穿根法的原理和名称由来。

(2) x 1≤x 2≤……≤x n 且有等号成立时

其标准形式可写为

f(x)=(x-x1) m1(x-x2) m2„(x-xn ) mn >0 （或

x 1

当点x=a在x n 右方时，所有x-x i (i=1,2,…,n) 均为正，故而f(x)为正。而每当x=a从x i 右侧移动到x i 左侧时，若m i 为奇，则(x-xi ) mi 由正变负，f(x)符号改变；而若m i 为偶，则(x-xi ) mi符号不变，f(x) 符号也不变，原正仍为正，原负仍为负。这里值得一提的是，每当x=xi 成立，即有f(x)= 0。所以，使用穿根法当遇到m i 为奇，则穿根线在根x i 穿过序轴；当遇到m i 为偶，则穿根线与根x i 接触即回，好像被序轴弹了回去。此称为“奇穿偶回”。

二、 步骤

（一） 一元高次不等式

对于不等式f(x) >0，其中f(x)为x 的高次多项式，用穿根法解的步骤如下：

（1）整理——原式化为标准型 把f(x)进行因式分解，并化简为下面的形式：

f(x)=(x-x1) m1(x-x2) m2„(x-xn ) mn >0（或

m i ∈N * (i=1,2,…,n)

（2） 标根——在序轴上标根 将f(x)=0的n 个不同的根x 1,x 2, „„x n 按照大小顺序标在序轴上，将序轴分为n+1个区间。

（3） 画线——画穿根线 从最大根右上方开始，按照大小顺序依次经过每个根画一条连续曲线，作为穿根线。遇奇次根穿过序轴，遇偶次根弹回，即“奇穿偶回”。

（4） 选解——写出解集 如例图，在序轴上方的曲线对应的区间为f(x)>0解集，在序轴下方的曲线对应的区间为f(x)

（二） 分式不等式

一、先将不等式整理成f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)

二、

f(x)·g(x)>0 ·g(x)

（三） 含等号的整式、分式不等式

对于整式不等式，要注意写解集时将各个根包括进去。一般只需将开区间符号改为闭区间符号，同时注意必要时合并区间。

对于分式不等式，尤其要注意分母非0。

f(x)/g(x)≥

·g(x)≥0 且 g(x)≠0

f(x)/g(x)≤f(x)·g(x)≤0且 g(x)≠0

这样就要求在标根时，将能够使不等式成立的根标为实点，否则标为虚点。

（四） 注意

分式不等式和高次不等式在化简时每一步变形都应是不等式的等价变形。对于变形中出现的形如x 2+px+q=0的因式，若其△≥0，则继续分解。若△

三、 应用范例

例1 解不等式：(x-1)2(x+1)(x-2)(x+4)

具体步骤：

1 将(x-1)2(x+1)(x-2)(x+4)=0的根记入演算数据区。其中，由于1是偶次根，在其下加一点以区别于其它奇次根。

2 画有向直线作为序轴，在序轴上由小到大、由左到右标根。每标一根，在数据区相应根下打一标记表示已取。标偶次根时，在序轴该根位置上方或下方加一点，即偶次根标重（cong ）点。 3 从最大根2的右上方开始画穿根线，首先让线穿过根2，当接着到1时，由于1是偶次根，附近有重点，故线被弹回。然后线又依次穿过根-1和-4。如图。

4穿根线与序轴围成的区域，序轴上方标“+”号，表示f(x)在该区间取正值。序轴下方标“-”号，表示f(x)在该区间取负值。

5 所有的根均不能使不等式成立，故各根均标上虚点。

6 写出解集，一般用区间方式列出。

解：用穿根法作图

如右，可知原不等

式解集为：

(-∞,-4) ∪(-1,1)∪(1,2)

例2 解不等式：(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-2)≤0

解：用穿根法作图

如右。（注意“奇

穿偶回”，每个根

都标为实点。）

可知原不等式解集为：(-∞,-2]∪{-1}∪[1,2]

说明：也可将原不等式转化为(x+2)(x+1)2(x-1)(x-2)≤0以后，再用穿根法做。

例3 解不等式：(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)>120

解：将原不等式变形：

[(x-1)(x-4)][(x-2)(x-3)]-120>0

(x2-5x+4)(x2-5x+6)-120>0

(x2-5x) 2+10(x2-5x)-96>0

(x2-5x+16)(x2-5x-6)>0

(x2-5x+16)(x-6)( x+1)>0

∵x 2-5x+16恒大于零，于是得与原不等式同解的不等式

(x-6)( x+1)>0

对此也可用穿根法解决，如图

所以，原不等式的解集是：(-∞,-1) ∪(6,+∞)

例4 解不等式： (3x-5)/( x2+2x-3) ≤2

解：原不等式

(3x-5-2x2

-4x+6)/(x2

+2x-3)≤0

(2x2+4x-6-3x+5)/(x2+2x-3)≥0

(2x2+x-1)/(x2+2x-3)≥0

(x+1)(2x-1)/(x+3)(x-1)≥0

(x+1)(2x-1)(x+3)(x-1)≥0 且 (x+3)(x-1)≠0

如图，用穿根法，注意区分实点和虚点，可得原不等式解集为： (-∞,-3) ∪[-1，1/2]∪(1,+ ∞)

例5 解关于x 的不等式：(x-1)(x-t)

解：1) t

2） t=13） t>1时，如图用穿根法，可得原不等式解集为：(1,t)

例6 若a ≠±1，解关于x 的不等式

(x-a)/(x+1)(x-1)≤0

解：1) a

∴原不等式解集为：(-∞,a) ∪(-1,1)

2） -1

法，

∴原不等式解集为：

(-∞, -1)∪[a,1)

3） a>1时，如图用穿根法，

∴原不等式解集为：

(-∞, -1)∪(1, a]

说明：解整式、分式不等式注意事项，可记以下口诀：移项调号，分

解排序，奇穿偶回，分母非零，参数讨论，小心等号。

四、 小结

穿根法通过序轴、标根、穿根线及区间正负标志，形象的表示f(x)=(x-x1)(x-x2) „„(x-xn ) 值的符号变化规律，较好体现了数形结合的思想，具备直观明晰的优点。它还有数轴标根法、区间法，根轴法等名称，但相对来说，用“序轴标根法”作为学名比较确切，简称为“穿根法”较为形象。此方法通用性强，思想方法灵活独特、易于领会。它主要用于解一元高次不等式和分式不等式，对于一元一次、二次不

等式，也一样适用。系统地了解领会此方法的原理应用、来龙去脉，

对于学生提高数学思维素质和解题水平，具有重要意义。

穿根法解不等式的原理、步骤和应用范例

摘要：本文通过阐述穿根法解不等式的原理、步骤和应用范例，尝试对其进行系统性的论述。在原理层面，提出该方法中不等式的标准形式为f(x)=(x-x1)(x-x2) ……(x-xn ) ∨0，规范了序轴的概

念，先后由一元一次、二次到高次不等式，动态考察了f(x)的符号变化规律，并介绍如何使用穿根法表达此规律；在步骤层面，对解高次不等式、分式不等式和含等号不等式的操作步骤进行了分类详述；然后通过6个应用范例，进一步展现了穿根法解不等式的具体操作细节和若干注意事项。论文最后概括说明了穿根法的特征和实用意义。

关键词：穿根法；解不等式；原理；步骤；应用

穿根法，又称序轴标根法，是解一元整式、分式不等式的重要通用方法，特别在解简单高次不等式时，一直居于主流地位。然而，该方法目前尚未进入中学正式教材，在很多资料中，对此法也往往是只提应用，而对其来龙去脉，叙述不清，建构模糊。现结合中学一线教学经验，通过阐述其原理、步骤和应用范例，尝试对其进行系统性的论述。

一、 原理

穿根法解不等式时，一般先将其化为形如：

f(x)=(x-x1)(x-x2) „(x-xn )>0 （或

的标准形式，主要考察f(x)的符号规律。

在穿根法中我们引入序轴的概念。序轴是一条有向直线，类似于数轴，但上面不必标出原点，也不必考虑长度单位，只要求在其上标数时，按由左至右，从小到大的顺序即可。

（一） 一次不等式

标准形式：f(x)=x-x1>0 （或

我们将x-x 1=0的根x 1标在序轴上，可以发现：x 1右边的点都是大于x 1的点，即是x-x 1>0的解；而x 1左边

的点都是小于x 1的点，即是x-x 1

所以可以如图标注，图中+、- 用以表示

f(x)=x-x1的符号。

我们还可以以动态的思想来考察该问题。当一点x=a 从x 1右侧向x 1左侧移动时，f(x)=x-x1经历了由正到0又到负的符号变换。由此也可得出f(x)的符号可以如图标注的结论。

（二） 二次不等式

标准形式：f(x)=(x-x1)(x-x2) >0 （或

(1) x1≠x 2时，不妨设x 1

将f(x)=0的二根x 1、x 2标在序轴上，则可以发现：处于(-∞, x1)

，

(x2,+∞) 内的点满足f(x) >0，处于(x1,x 2) 内的点满足f(x)

当我们动态考察该问题时，我们也可以发现：当点x=a在x 2右方时，x-x 1、x-x 2均正，故有f(x) >0；而当点x=a从x 2右侧移动到左侧时，x-x 2变为负值，而x-x 1符号不变，所以有f(x)必然变号，此时由正变负；而再当点x=a从x 1右侧移动到左侧时，x-x 1由正变负，而x-x 2符号不变，所以f(x)又一次变号，此时由负变正。

总之，无论从哪个方面看，f(x)的符号都可以如图标注。

(2) x1=x2时，即形如f(x)=(x-x1) 2时

显然，(-∞,x 1) 与( x1 ,+∞) 都是f(x) >0的解。

而若动态的考察此问题，则有

点x=a 从x 1右侧移动向左侧移动时，

由于平方项内的x-x 1由正到0又到负，所以f(x)经历了由正到0又回到正的过程。故而f(x)在x 1两侧符号同正，只有在x=x1处为0。

（三） 高次不等式

标准形式：f(x)=(x-x1)(x-x2) „(x-xn )>0 （或

(1) x 1

动态考察f(x)的符号，则有当点x=a在x n 右方时，x-x i (i=1,2,…,n)均大于0，故而f(x) >0；而当点x=a从x n 右侧移动到左侧时，x-x n 符号变化，而其余任一x-x i 均不变号，所以有f(x)由正变负；类似可得：对任一i ，当点x=a从x i 右侧移动到左侧时，x-x i 符号变化，而其余每个x-x j (j≠i)

都

不变号，所以有f(x)必然变号，或由正变负，或由负变正。就这样，由于每过一个x i 都恰有一个因式x-x i 变号，所以我们可以从最右上方开始画一条依次穿过各根的线，这正是穿根法的原理和名称由来。

(2) x 1≤x 2≤……≤x n 且有等号成立时

其标准形式可写为

f(x)=(x-x1) m1(x-x2) m2„(x-xn ) mn >0 （或

x 1

当点x=a在x n 右方时，所有x-x i (i=1,2,…,n) 均为正，故而f(x)为正。而每当x=a从x i 右侧移动到x i 左侧时，若m i 为奇，则(x-xi ) mi 由正变负，f(x)符号改变；而若m i 为偶，则(x-xi ) mi符号不变，f(x) 符号也不变，原正仍为正，原负仍为负。这里值得一提的是，每当x=xi 成立，即有f(x)= 0。所以，使用穿根法当遇到m i 为奇，则穿根线在根x i 穿过序轴；当遇到m i 为偶，则穿根线与根x i 接触即回，好像被序轴弹了回去。此称为“奇穿偶回”。

二、 步骤

（一） 一元高次不等式

对于不等式f(x) >0，其中f(x)为x 的高次多项式，用穿根法解的步骤如下：

（1）整理——原式化为标准型 把f(x)进行因式分解，并化简为下面的形式：

f(x)=(x-x1) m1(x-x2) m2„(x-xn ) mn >0（或

m i ∈N * (i=1,2,…,n)

（2） 标根——在序轴上标根 将f(x)=0的n 个不同的根x 1,x 2, „„x n 按照大小顺序标在序轴上，将序轴分为n+1个区间。

（3） 画线——画穿根线 从最大根右上方开始，按照大小顺序依次经过每个根画一条连续曲线，作为穿根线。遇奇次根穿过序轴，遇偶次根弹回，即“奇穿偶回”。

（4） 选解——写出解集 如例图，在序轴上方的曲线对应的区间为f(x)>0解集，在序轴下方的曲线对应的区间为f(x)

（二） 分式不等式

一、先将不等式整理成f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)

二、

f(x)·g(x)>0 ·g(x)

（三） 含等号的整式、分式不等式

对于整式不等式，要注意写解集时将各个根包括进去。一般只需将开区间符号改为闭区间符号，同时注意必要时合并区间。

对于分式不等式，尤其要注意分母非0。

f(x)/g(x)≥

·g(x)≥0 且 g(x)≠0

f(x)/g(x)≤f(x)·g(x)≤0且 g(x)≠0

这样就要求在标根时，将能够使不等式成立的根标为实点，否则标为虚点。

（四） 注意

分式不等式和高次不等式在化简时每一步变形都应是不等式的等价变形。对于变形中出现的形如x 2+px+q=0的因式，若其△≥0，则继续分解。若△

三、 应用范例

例1 解不等式：(x-1)2(x+1)(x-2)(x+4)

具体步骤：

1 将(x-1)2(x+1)(x-2)(x+4)=0的根记入演算数据区。其中，由于1是偶次根，在其下加一点以区别于其它奇次根。

2 画有向直线作为序轴，在序轴上由小到大、由左到右标根。每标一根，在数据区相应根下打一标记表示已取。标偶次根时，在序轴该根位置上方或下方加一点，即偶次根标重（cong ）点。 3 从最大根2的右上方开始画穿根线，首先让线穿过根2，当接着到1时，由于1是偶次根，附近有重点，故线被弹回。然后线又依次穿过根-1和-4。如图。

4穿根线与序轴围成的区域，序轴上方标“+”号，表示f(x)在该区间取正值。序轴下方标“-”号，表示f(x)在该区间取负值。

5 所有的根均不能使不等式成立，故各根均标上虚点。

6 写出解集，一般用区间方式列出。

解：用穿根法作图

如右，可知原不等

式解集为：

(-∞,-4) ∪(-1,1)∪(1,2)

例2 解不等式：(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-2)≤0

解：用穿根法作图

如右。（注意“奇

穿偶回”，每个根

都标为实点。）

可知原不等式解集为：(-∞,-2]∪{-1}∪[1,2]

说明：也可将原不等式转化为(x+2)(x+1)2(x-1)(x-2)≤0以后，再用穿根法做。

例3 解不等式：(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)>120

解：将原不等式变形：

[(x-1)(x-4)][(x-2)(x-3)]-120>0

(x2-5x+4)(x2-5x+6)-120>0

(x2-5x) 2+10(x2-5x)-96>0

(x2-5x+16)(x2-5x-6)>0

(x2-5x+16)(x-6)( x+1)>0

∵x 2-5x+16恒大于零，于是得与原不等式同解的不等式

(x-6)( x+1)>0

对此也可用穿根法解决，如图

所以，原不等式的解集是：(-∞,-1) ∪(6,+∞)

例4 解不等式： (3x-5)/( x2+2x-3) ≤2

解：原不等式

(3x-5-2x2

-4x+6)/(x2

+2x-3)≤0

(2x2+4x-6-3x+5)/(x2+2x-3)≥0

(2x2+x-1)/(x2+2x-3)≥0

(x+1)(2x-1)/(x+3)(x-1)≥0

(x+1)(2x-1)(x+3)(x-1)≥0 且 (x+3)(x-1)≠0

如图，用穿根法，注意区分实点和虚点，可得原不等式解集为： (-∞,-3) ∪[-1，1/2]∪(1,+ ∞)

例5 解关于x 的不等式：(x-1)(x-t)

解：1) t

2） t=13） t>1时，如图用穿根法，可得原不等式解集为：(1,t)

例6 若a ≠±1，解关于x 的不等式

(x-a)/(x+1)(x-1)≤0

解：1) a

∴原不等式解集为：(-∞,a) ∪(-1,1)

2） -1

法，

∴原不等式解集为：

(-∞, -1)∪[a,1)

3） a>1时，如图用穿根法，

∴原不等式解集为：

(-∞, -1)∪(1, a]

说明：解整式、分式不等式注意事项，可记以下口诀：移项调号，分

解排序，奇穿偶回，分母非零，参数讨论，小心等号。

四、 小结

穿根法通过序轴、标根、穿根线及区间正负标志，形象的表示f(x)=(x-x1)(x-x2) „„(x-xn ) 值的符号变化规律，较好体现了数形结合的思想，具备直观明晰的优点。它还有数轴标根法、区间法，根轴法等名称，但相对来说，用“序轴标根法”作为学名比较确切，简称为“穿根法”较为形象。此方法通用性强，思想方法灵活独特、易于领会。它主要用于解一元高次不等式和分式不等式，对于一元一次、二次不

等式，也一样适用。系统地了解领会此方法的原理应用、来龙去脉，

对于学生提高数学思维素质和解题水平，具有重要意义。