一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
1．设随机事件A,B满足P(AB)=0，则下列各选项中正确的是____D____ (A) A,B互不相容
(B) A,B独立 (D) P(A−B)=P(A)
(C) P(A)=0或P(B)=0
解：因为不可能事件是零概率事件，零概率事件未必是不可能事件，所以选项A是错误的；
A,B独立的充分必要条件是P(AB)=P(A)P(B)，选项B、C不一定成立．事实上，从
2．设甲、乙两人独立地向同一目标进行射击，每人射击1次，命中率分别为0.6和0.5，则在目标被击中的条件下，甲击中目标的概率为____C____ (A)
353 5114
(D)
6
11
考点：全概率公式和贝叶斯公式
3．某厂产品的次品率为0.0055，在它生产的999件产品中，出现____B____件次品的概率最大．
(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 考点：二项分布的最可能取值（课本P.63定理2）
4．10个球中只有1个红球，有放回地抽取，每次取一个球，设1≤k≤n，则随机事件“直到第n次抽取，红球才第k次出现”的概率为____C____
⎛1⎞⎛9⎞(A) ⎜⎟⎜⎟
⎝10⎠⎝10⎠
k
kn−k
n−k
k⎛1⎞⎛9⎞(B) Cn⎜⎟⎜⎟⎝10⎠⎝10⎠
kn−k
n−k
(C) C
k−1n−1
⎛1⎞⎛9⎞⎜⎟⎜⎟⎝10⎠⎝10⎠
(D) C
k−1n−1
⎛1⎞⎜⎟⎝10⎠
k−1
⎛9⎞⎜⎟⎝10⎠
解法一：直接利用负二项分布的分布律求解（课本P.71）；
解法二：利用伯努利试验序列求解．假设Ai表示“第i次抽取得到红球”，其中i=1,2,L，
抽取一定得到红球，所求概率就是
5．设连续型随机变量ξ的密度函数和分布函数分别为f(x)、F(x)，则下列各选项中正确的是____A____ (A) 0≤F(x)≤1
(B) f(x)在(−∞,+∞)内连续 (D) P(ξ=x
)=F(x)
(C) P(ξ=x)=f(x)
解：因为均匀分布的密度函数不是连续函数，所以选项B是错误的；对于连续型随机变量而言，对任意的常数值x，总有P(ξ=x)=0．（课本P.95），所以选项C、D也是错误的．
6．设ξ服从正态分布，其密度函数f(x)=正确的是____A____
−x
2
+2x−1
(−∞
1
21
(C) Eξ=2
，Dξ=
(A) Eξ=1，Dξ=
(B) Eξ=1，Dξ=
1 41
(D) Eξ=2，Dξ=
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
1．设随机事件A,B互不相容且P(A)=a，P(B)=b，则P(I=1−a−b 解：
2．设随机变量ξ服从参数为λ的泊松分布且P(ξ=1)=P(ξ=2)，则λ=2 考点：泊松分布的分布律，其中λ>0．
π⎧
cos,
为待定参数，则
3．设连续型随机变量ξ的密度函数f(x)=⎨
π⎪0,x≥
⎪⎩2
π⎞⎛
P⎜0
4．设二维离散型随机变量(ξ,η)的联合分布律为
若ξ和η相互独立，则s=
2，t= 99
说明：课本P.164第13题．
⎛ξ2⎞⎛ξ⎞1
5．设ξ存在非负的数学期望且E⎜−1⎟=2，D⎜−1⎟=，则Eξ=2
⎝2⎠2⎝2⎠
2
于是(Eξ)=E
(ξ)−Dξ=4，Eξ=2．
2
6．设ξ在区间(−1,b)上服从均匀分布，若根据切比雪夫不等式可得P
，则(ξ−1
3
b=3
ξ
三、（共8分）设离散型随机变量ξ的分布律为
−11
2
01
，求：
pi
(1) 参数a的值（4分）； (2) ξ的分布函数（4
分）． 解：
1−2aa2
四、（10分）设ξ和η是两个独立的随机变量，已知ξ~N(0,1)，η~U(−π,π)，令ζ=ξ+η，试利用标准正态分布的分布函数Φ(x)表示ζ的密度函数fζ(z)． 解：因为ξ和η相互独立，所以 解法1：
解法2：
五、（共10分）某电站供应一万户用电，在用电高峰期，每户用电的概率为0.9，且各用户是否用电是相互独立的．试根据中心极限定理计算：若各用户需要的电功率为Q千瓦，则电站至少应该提供多少电功率，才能以不低于0.95的概率满足用电需求． 附表：
x1.601.611.621.631.641.651.661.67
Φ(x)0.94520.94630.94740.94840.94950.95050.95150.9525
解：设ξ表示在用电高峰期同时用电的用户数，则ξ~B(10000,0.9)，Eξ=9000，
Dξ=900．
问题归结为满足P(0≤ξ≤m)≥0.95的最小正整数m，于是电站需要提供的电功率至少为
mQ千瓦．
用电需求．
六、（共12分）设某仪器由两个部件构成，ξ和η分别表示这两个部件的寿命（千小时），
−0.5x
⎧1−e−0.5y),x>0,y>0)(⎪(1−e
，试求： 已知(ξ,η)的联合分布函数F(x,y)=⎨
其它0,⎪⎩
； (1) 边缘分布函数Fξ(x)及边缘密度函数fξ(x)（6分）． (2) P(2
(1) Fξ(x)=F(x,+∞)=limF(x,y)=⎨
y→+∞
x≤0⎧0,
−0.5x
1e,x0
−>⎩
(2) P(2
代入数据化简，可得P(2
(
−1
−52
)
⎧122
⎪,x+y≤1
七、（12分）设二维随机变量(ξ,η)的联合密度函数f(x,y)=⎨π，证明：
⎪其它⎩0,
(1) (2)
ξ和η不独立（6分）； ξ和η不相关（6分）．
证明：
因为f(x,y)≠fξ(x)fη(y)，所以ξ和η不独立．
最后一个等号成立是因为奇函数在(−1,1)的积分一定等于零．
所以Cov(ξ,η)=E(ξη)−EξEη=0，即ξ和η不相关．
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
1．设随机事件A,B满足P(AB)=0，则下列各选项中正确的是____D____ (A) A,B互不相容
(B) A,B独立 (D) P(A−B)=P(A)
(C) P(A)=0或P(B)=0
解：因为不可能事件是零概率事件，零概率事件未必是不可能事件，所以选项A是错误的；
A,B独立的充分必要条件是P(AB)=P(A)P(B)，选项B、C不一定成立．事实上，从
2．设甲、乙两人独立地向同一目标进行射击，每人射击1次，命中率分别为0.6和0.5，则在目标被击中的条件下，甲击中目标的概率为____C____ (A)
353 5114
(D)
6
11
考点：全概率公式和贝叶斯公式
3．某厂产品的次品率为0.0055，在它生产的999件产品中，出现____B____件次品的概率最大．
(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 考点：二项分布的最可能取值（课本P.63定理2）
4．10个球中只有1个红球，有放回地抽取，每次取一个球，设1≤k≤n，则随机事件“直到第n次抽取，红球才第k次出现”的概率为____C____
⎛1⎞⎛9⎞(A) ⎜⎟⎜⎟
⎝10⎠⎝10⎠
k
kn−k
n−k
k⎛1⎞⎛9⎞(B) Cn⎜⎟⎜⎟⎝10⎠⎝10⎠
kn−k
n−k
(C) C
k−1n−1
⎛1⎞⎛9⎞⎜⎟⎜⎟⎝10⎠⎝10⎠
(D) C
k−1n−1
⎛1⎞⎜⎟⎝10⎠
k−1
⎛9⎞⎜⎟⎝10⎠
解法一：直接利用负二项分布的分布律求解（课本P.71）；
解法二：利用伯努利试验序列求解．假设Ai表示“第i次抽取得到红球”，其中i=1,2,L，
抽取一定得到红球，所求概率就是
5．设连续型随机变量ξ的密度函数和分布函数分别为f(x)、F(x)，则下列各选项中正确的是____A____ (A) 0≤F(x)≤1
(B) f(x)在(−∞,+∞)内连续 (D) P(ξ=x
)=F(x)
(C) P(ξ=x)=f(x)
解：因为均匀分布的密度函数不是连续函数，所以选项B是错误的；对于连续型随机变量而言，对任意的常数值x，总有P(ξ=x)=0．（课本P.95），所以选项C、D也是错误的．
6．设ξ服从正态分布，其密度函数f(x)=正确的是____A____
−x
2
+2x−1
(−∞
1
21
(C) Eξ=2
，Dξ=
(A) Eξ=1，Dξ=
(B) Eξ=1，Dξ=
1 41
(D) Eξ=2，Dξ=
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
1．设随机事件A,B互不相容且P(A)=a，P(B)=b，则P(I=1−a−b 解：
2．设随机变量ξ服从参数为λ的泊松分布且P(ξ=1)=P(ξ=2)，则λ=2 考点：泊松分布的分布律，其中λ>0．
π⎧
cos,
为待定参数，则
3．设连续型随机变量ξ的密度函数f(x)=⎨
π⎪0,x≥
⎪⎩2
π⎞⎛
P⎜0
4．设二维离散型随机变量(ξ,η)的联合分布律为
若ξ和η相互独立，则s=
2，t= 99
说明：课本P.164第13题．
⎛ξ2⎞⎛ξ⎞1
5．设ξ存在非负的数学期望且E⎜−1⎟=2，D⎜−1⎟=，则Eξ=2
⎝2⎠2⎝2⎠
2
于是(Eξ)=E
(ξ)−Dξ=4，Eξ=2．
2
6．设ξ在区间(−1,b)上服从均匀分布，若根据切比雪夫不等式可得P
，则(ξ−1
3
b=3
ξ
三、（共8分）设离散型随机变量ξ的分布律为
−11
2
01
，求：
pi
(1) 参数a的值（4分）； (2) ξ的分布函数（4
分）． 解：
1−2aa2
四、（10分）设ξ和η是两个独立的随机变量，已知ξ~N(0,1)，η~U(−π,π)，令ζ=ξ+η，试利用标准正态分布的分布函数Φ(x)表示ζ的密度函数fζ(z)． 解：因为ξ和η相互独立，所以 解法1：
解法2：
五、（共10分）某电站供应一万户用电，在用电高峰期，每户用电的概率为0.9，且各用户是否用电是相互独立的．试根据中心极限定理计算：若各用户需要的电功率为Q千瓦，则电站至少应该提供多少电功率，才能以不低于0.95的概率满足用电需求． 附表：
x1.601.611.621.631.641.651.661.67
Φ(x)0.94520.94630.94740.94840.94950.95050.95150.9525
解：设ξ表示在用电高峰期同时用电的用户数，则ξ~B(10000,0.9)，Eξ=9000，
Dξ=900．
问题归结为满足P(0≤ξ≤m)≥0.95的最小正整数m，于是电站需要提供的电功率至少为
mQ千瓦．
用电需求．
六、（共12分）设某仪器由两个部件构成，ξ和η分别表示这两个部件的寿命（千小时），
−0.5x
⎧1−e−0.5y),x>0,y>0)(⎪(1−e
，试求： 已知(ξ,η)的联合分布函数F(x,y)=⎨
其它0,⎪⎩
； (1) 边缘分布函数Fξ(x)及边缘密度函数fξ(x)（6分）． (2) P(2
(1) Fξ(x)=F(x,+∞)=limF(x,y)=⎨
y→+∞
x≤0⎧0,
−0.5x
1e,x0
−>⎩
(2) P(2
代入数据化简，可得P(2
(
−1
−52
)
⎧122
⎪,x+y≤1
七、（12分）设二维随机变量(ξ,η)的联合密度函数f(x,y)=⎨π，证明：
⎪其它⎩0,
(1) (2)
ξ和η不独立（6分）； ξ和η不相关（6分）．
证明：
因为f(x,y)≠fξ(x)fη(y)，所以ξ和η不独立．
最后一个等号成立是因为奇函数在(−1,1)的积分一定等于零．
所以Cov(ξ,η)=E(ξη)−EξEη=0，即ξ和η不相关．