2016年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号框。写在本试卷上无效。 3.答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束,将试题卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷
一、 选择题:本大题共12小题。每小题5分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。
2,,3}B={x|x2
-1,0,1,2,3} (B){-2,-1,0,1,2} (A){-2,
2,3} (C){1,
2} (D){1,
(2)设复数z满足z+i=3-i,则z=
(A)-1+2i(B)1-2i(C)3+2i(D)3-2i (3) 函数y=Asin(ωx+ϕ)的部分图像如图所示,则
π
(A)y=2sin(2x-)
6π
(B)y=2sin(2x-)
3π
(C)y=2sin(2x+)
6π
(D)y=2sin(2x+)
3
(4) 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为
(A)12π(B)
32
π(C)8π(D)4π 3
(5) 设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(A)
k
(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k= x
13
(B)1 (C)(D)2 2243
(B)−(C
D)2 34
(6) 圆x2+y2−2x−8y+13=0的圆心到直线ax+y−1=0的距离为1,则a= (A)−
(7) 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为
(A)20π(B)24π(C)28π(D)32π
(8) 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红
灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为学.科网 (A)
7533(B)(C)(D) 108810
(9)中国古代有计算多项式值得秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的a为2,2,5,则输出的s= (A)7 (B)12 (C)17 (D)34
(10) 下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是 (A)y=x(B)y=lgx(C)y=2x(D
)y=
(11) 函数f(x)=cos2x+6cos((A)4(B)5
π
-x)的最大值为 2
(C)6 (D)7
(12) 已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3| 与y=f(x) 图像的交点为(x1,y1),(x2,y2)
,„,
(xm,ym),则
∑x=
ii=1
m
(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m 二.填空题:共4小题,每小题5分.
(13) 已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m=___________.
⎧x-y+1≥0
⎪
(14) 若x,y满足约束条件⎨x+y-3≥0,则z=x-2y的最小值为__________
⎪x-3≤0⎩
(15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=
54
,cosC=,a=1,则b=____________.
135
(16)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3. 学.科网甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是________________. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)
等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6
(I)求{an}的通项公式; (II)设
(18)(本小题满分12分)
某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:学科.网
bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:
(I)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”。求P(A)的估计值; (II)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.
求P(B)的估计值;
(III)求续保人本年度的平均保费估计值.
(19)(本小题满分12分)
如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E、F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H,将 DEF沿EF折到 D'EF的位置.
(I)证明:AC⊥HD'; (II)
若AB=5,AC=6,AE=
5
,OD'=求五棱锥D'-ABCEF体积
. 4
(20)(本小题满分12分)
已知函数f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).
(I)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程; (II)若当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求a的取值范围.
(21)(本小题满分12分)
x2y2
MA⊥NA. =1的左顶点,已知A是椭圆E+斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,
43
(I)当AM=AN时,学.科网求 AMN的面积 (II)当2AM=
AN
请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
(22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,在正方形ABCD中,E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合),且DE=DG,过D点作DF⊥CE,垂足为F. 学科.网
(Ⅰ)证明:B,C,G,F四点共圆;
(Ⅱ)若AB=1,E为DA的中点,求四边形BCGF的面积
.
(23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.
(Ⅰ)以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,学.科网求C的极坐标方程;
ìïïx=tcosα,t
(Ⅱ)直线l的参数方程是í(为参数),l与C交于A,B
两点,AB=,求l的斜率.
ïy=tsinα,ïî
(24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数f(x)=x-(Ⅰ)求M;
(Ⅱ)证明:当a,bÎM时,a+b
11
+x+,M为不等式f(x)
2016年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学答案
第Ⅰ卷
一. 选择题
(1)【答案】D (5)【答案】D (9)【答案】C
(2)【答案】C (6) 【答案】A
(3) 【答案】A (7) 【答案】C
(4) 【答案】A (8) 【答案】B
(10) 【答案】D (11)【答案】B (12) 【答案】B
二.填空题
(13)【答案】-6
(14)【答案】-5
(15)【答案】
21
13
(16)【答案】1和3
三、解答题
(17)(本小题满分12分) 【答案】(Ⅰ)an=【解析】
试题分析:(Ⅰ) 根据等差数列的性质求a1,d,从而求得an;(Ⅱ)根据已知条件求bn,再求数列{bn}的前10项和.
试题解析:(Ⅰ)设数列{an}的公差为d,学.科网由题意有2a1-5d=4,a1-5d=3,解得a1=1,d=所以{an}的通项公式为an=(Ⅱ)由(Ⅰ)知bn=⎢当n=1,2,3时,1≤
2n+3
;(Ⅱ)24. 5
2, 5
2n+3
. 5
⎡2n+3⎤
, ⎥⎣5⎦
2n+3
所以数列{bn}的前10项和为1⨯3+2⨯2+3⨯3+4⨯2=24. 考点:等茶数列的性质,数列的求和. 【结束】
(18)(本小题满分12分) 【答案】(Ⅰ)由式求解. 【解析】 试题分析:
试题解析:(Ⅰ)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内险次数小于2的频率为
60+5030+30
求P(A)的估计值;(Ⅱ)由求P(B)的估计值;(III)根据平均值得计算公200200
60+50
=0.55, 200
故P(A)的估计值为0.55.
(Ⅱ)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由是给数据知,学.科网一年内出险次数大于1且小于4的频率为
30+30
=0.3, 200
故P(B)的估计值为0.3. (Ⅲ)由题所求分布列为:
调查200名续保人的平均保费为
0.85a⨯0.30+a⨯0.25+1.25a⨯0.15+1.5a⨯0.15+1.75a⨯0.30+2a⨯0.10=1.1925a,
因此,续保人本年度平均保费估计值为1.1925a. 考点:样本的频率、平均值的计算. 【结束】
(19)(本小题满分12分) 【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)【解析】
试题分析:(Ⅰ)证AC//EF.再证AC//HD'.(Ⅱ)证明OD'⊥OH.再证OD'⊥平面ABC.最后呢五棱锥D'-ABCEF体积.
试题解析:(
I)由已知得,AC⊥BD,AD=CD.又由AE=CF得
69
. 4
AECF
=,故AC//EF. ADCD
由此得
EF⊥HD,EF⊥HD',所以AC//HD'.. (II)由EF//AC得
OHAE1
==. DOAD4
由AB=5,AC=6得DO=BO=所以OH=1,D'H=DH=3.
=4.
于是OD'+OH=+1=9=D'H,故OD'⊥OH.由(I)知AC⊥HD',又AC⊥BD,BD HD'=H,
22222
所以AC⊥平面BHD',于是AC⊥OD'.
又由OD'⊥OH,AC OH=O,所以,OD'⊥平面ABC.
9EFDH
=得EF=.
2ACDO
11969
. 五边形ABCFE的面积S=⨯6⨯8-⨯⨯3=
2224
又由
所以五棱锥D'-
ABCEF体积V=
169⨯⨯ 34考点:空间中的线面关系判断,几何体的体积. 【结束】
(20)(本小题满分12分)
【答案】(Ⅰ)2x+y-2=0.;(Ⅱ)(-∞,2].. 【解析】
试题分析:(Ⅰ)先求定义域,再求f'(x),f'(1),f(1),由直线方程得点斜式可求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为2x+y-2=0.(Ⅱ)构造新函数g(x)=lnx-数法求解.
试题解析:(I)f(x)的定义域为(0,+∞).当a=4时,
a(x-1)
,学.科网对实数a分类讨论,用导x+1
f(x)=(x+1)lnx-4(x-1),f'(x)=lnx+
切线方程为2x+y-2=0.
1
-3,f'(1)=-2,f(1)=0.曲线y=f(x)在(1,f(1))处的x
(II)当x∈(1,+∞)时,f(x)>0等价于lnx-
令g(x)=lnx-
a(x-1)
>0. x+1
a(x-1)
,则 x+1
12ax2+2(1-a)x+1
g'(x)=-=,g(1)=0, 22
x(x+1)x(x+1)
(i)当a≤2,x∈(1,+∞)时,x+2(1-a)x+1≥x-2x+1>0,故g'(x)>0,g(x)在x∈(1,+∞)上单调递增,因此g(x)>0; (ii)当a>2时,令g'(x)=0得
2
2
x1=a-1x2=a-1+
由x2>1和x1x2=1得x1
g(x)
综上,a的取值范围是(-∞,2]. 考点:导数的几何意义,函数的单调性. 【结束】
(21)(本小题满分12分) 【答案】(Ⅰ)【解析】
试题分析:(Ⅰ)先求直线AM的方程,再求点M的纵坐标,最后求∆AMN的面积;(Ⅱ)设M(x1,y1),,将直线AM的方程与椭圆方程组成方程组,消去y,用k表示x1,从而表示|AM|,同理用k表示|AN|,再由2AM=AN求k.
试题解析:(Ⅰ)设M(x1,y1),则由题意知y1>0. 由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为又A(-2,0),因此直线AM的方程为y=x+2.
144
;
(Ⅱ)49
2.
)
π, 4
x2y2
+=1得7y2-12y=0, 将x=y-2代入431212,所以y1=. 77
11212144
=因此∆AMN的面积S∆AMN=2⨯⨯⨯.
27749
解得y=0或y=
x2y2
+=1得 (2)将直线AM的方程y=k(x+2)(k>0)代入43
(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.
16k2-122(3-4k2)由x1⋅(-2)=得x1=,故|AM|=x1+2|=3+4k23+
4k2
1
由题设,直线AN的方程为y=-(x+
2),故同理可得|AN|=. k由2|AM|=|AN|得
2k=,即4k3-6k2+3k-8=0. 22
3+4k4+3k
设f(t)=4t3-6t2+3t-8,则k是f(t)的零点,f'(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)2≥0, 所以f(t)在(0,+∞
)单调递增,又f=260, 因此f(t)在(0,+∞)有唯一的零点,且零点k
在
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 (22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)【解析】
试题分析:(Ⅰ)证∆DGF~∆CBF,再证B,C,G,F四点共圆;(Ⅱ)证明Rt∆BCG~Rt∆BFG,四边形
1
. 2
BCGF的面积S是∆GCB面积S∆GCB的2倍.
试题解析:(I)因为DF⊥EC,所以∆DEF~∆CDF,
则有∠GDF=∠DEF=∠FCB,
DFDEDG
==, CFCDCB
所以∆DGF~∆CBF,由此可得∠DGF=∠CBF, 由此∠CGF+∠CBF=180,所以B,C,G,F四点共圆.
(II)由B,C,G,F四点共圆,CG⊥CB知FG⊥FB,连结GB, 由G为Rt∆DFC斜边CD的中点,知GF=GC,故Rt∆BCG~Rt∆BFG, 因此四边形BCGF的面积S是∆GCB面积S∆GCB的2倍,即
111
S=2S∆GCB=2⨯⨯⨯1=.
222
考点:三角形相似、全等,四点共圆
【结束】
(23)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
【答案】(Ⅰ)ρ2+12ρcosθ+11=0;
(Ⅱ)【解析】
试题分析:(I)利用ρ=x+y,x=ρcosθ可得C的极坐标方程;(II)先将直线l的参数方程化为普通方程,学.科网再利用弦长公式可得l的斜率.
试题解析:(I)由x=ρcosθ,y=ρsinθ可得C的极坐标方程ρ+12ρcosθ+11=0.
(II)在(I)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R)
由A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得 2222. ρ2+12ρcosα+11=0.
于是ρ1+ρ2=-12cosα,ρ1ρ2=
11,
|AB|=|ρ1-ρ2|==
由|AB|=
得cos2α=3, ,tanα=8所以l
考点:圆的极坐标方程与普通方程互化,直线的参数方程,点到直线的距离公式.
【结束】
(24)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
【答案】(Ⅰ)M={x|-1
11
【解析】
试题分析:(I)先去掉绝对值,再分x三种情况解不等式,即可得M;(II)2222
采用平方作差法,再进行因式分解,进而可证当a,b∈M时,a+b
⎧⎪-2x,x≤-1,
⎪2
试题解析:(I)f(x)=⎪⎨1,-1
⎪22 ⎪⎪⎩2x,x≥1
2.
当x≤-1
2时,由f(x)-1; 当-1
2
2时,f(x)
2时,学.科网由f(x)
所以f(x)
(II)由(I)知,当a,b∈M时,-1
(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)
因此|a+b|
考点:绝对值不等式,不等式的证明.
【结束】
12
2016年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号框。写在本试卷上无效。 3.答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束,将试题卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷
一、 选择题:本大题共12小题。每小题5分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。
2,,3}B={x|x2
-1,0,1,2,3} (B){-2,-1,0,1,2} (A){-2,
2,3} (C){1,
2} (D){1,
(2)设复数z满足z+i=3-i,则z=
(A)-1+2i(B)1-2i(C)3+2i(D)3-2i (3) 函数y=Asin(ωx+ϕ)的部分图像如图所示,则
π
(A)y=2sin(2x-)
6π
(B)y=2sin(2x-)
3π
(C)y=2sin(2x+)
6π
(D)y=2sin(2x+)
3
(4) 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为
(A)12π(B)
32
π(C)8π(D)4π 3
(5) 设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(A)
k
(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k= x
13
(B)1 (C)(D)2 2243
(B)−(C
D)2 34
(6) 圆x2+y2−2x−8y+13=0的圆心到直线ax+y−1=0的距离为1,则a= (A)−
(7) 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为
(A)20π(B)24π(C)28π(D)32π
(8) 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红
灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为学.科网 (A)
7533(B)(C)(D) 108810
(9)中国古代有计算多项式值得秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的a为2,2,5,则输出的s= (A)7 (B)12 (C)17 (D)34
(10) 下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是 (A)y=x(B)y=lgx(C)y=2x(D
)y=
(11) 函数f(x)=cos2x+6cos((A)4(B)5
π
-x)的最大值为 2
(C)6 (D)7
(12) 已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3| 与y=f(x) 图像的交点为(x1,y1),(x2,y2)
,„,
(xm,ym),则
∑x=
ii=1
m
(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m 二.填空题:共4小题,每小题5分.
(13) 已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m=___________.
⎧x-y+1≥0
⎪
(14) 若x,y满足约束条件⎨x+y-3≥0,则z=x-2y的最小值为__________
⎪x-3≤0⎩
(15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=
54
,cosC=,a=1,则b=____________.
135
(16)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3. 学.科网甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是________________. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)
等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6
(I)求{an}的通项公式; (II)设
(18)(本小题满分12分)
某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:学科.网
bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:
(I)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”。求P(A)的估计值; (II)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.
求P(B)的估计值;
(III)求续保人本年度的平均保费估计值.
(19)(本小题满分12分)
如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E、F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H,将 DEF沿EF折到 D'EF的位置.
(I)证明:AC⊥HD'; (II)
若AB=5,AC=6,AE=
5
,OD'=求五棱锥D'-ABCEF体积
. 4
(20)(本小题满分12分)
已知函数f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).
(I)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程; (II)若当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求a的取值范围.
(21)(本小题满分12分)
x2y2
MA⊥NA. =1的左顶点,已知A是椭圆E+斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,
43
(I)当AM=AN时,学.科网求 AMN的面积 (II)当2AM=
AN
请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
(22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,在正方形ABCD中,E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合),且DE=DG,过D点作DF⊥CE,垂足为F. 学科.网
(Ⅰ)证明:B,C,G,F四点共圆;
(Ⅱ)若AB=1,E为DA的中点,求四边形BCGF的面积
.
(23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.
(Ⅰ)以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,学.科网求C的极坐标方程;
ìïïx=tcosα,t
(Ⅱ)直线l的参数方程是í(为参数),l与C交于A,B
两点,AB=,求l的斜率.
ïy=tsinα,ïî
(24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数f(x)=x-(Ⅰ)求M;
(Ⅱ)证明:当a,bÎM时,a+b
11
+x+,M为不等式f(x)
2016年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学答案
第Ⅰ卷
一. 选择题
(1)【答案】D (5)【答案】D (9)【答案】C
(2)【答案】C (6) 【答案】A
(3) 【答案】A (7) 【答案】C
(4) 【答案】A (8) 【答案】B
(10) 【答案】D (11)【答案】B (12) 【答案】B
二.填空题
(13)【答案】-6
(14)【答案】-5
(15)【答案】
21
13
(16)【答案】1和3
三、解答题
(17)(本小题满分12分) 【答案】(Ⅰ)an=【解析】
试题分析:(Ⅰ) 根据等差数列的性质求a1,d,从而求得an;(Ⅱ)根据已知条件求bn,再求数列{bn}的前10项和.
试题解析:(Ⅰ)设数列{an}的公差为d,学.科网由题意有2a1-5d=4,a1-5d=3,解得a1=1,d=所以{an}的通项公式为an=(Ⅱ)由(Ⅰ)知bn=⎢当n=1,2,3时,1≤
2n+3
;(Ⅱ)24. 5
2, 5
2n+3
. 5
⎡2n+3⎤
, ⎥⎣5⎦
2n+3
所以数列{bn}的前10项和为1⨯3+2⨯2+3⨯3+4⨯2=24. 考点:等茶数列的性质,数列的求和. 【结束】
(18)(本小题满分12分) 【答案】(Ⅰ)由式求解. 【解析】 试题分析:
试题解析:(Ⅰ)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内险次数小于2的频率为
60+5030+30
求P(A)的估计值;(Ⅱ)由求P(B)的估计值;(III)根据平均值得计算公200200
60+50
=0.55, 200
故P(A)的估计值为0.55.
(Ⅱ)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由是给数据知,学.科网一年内出险次数大于1且小于4的频率为
30+30
=0.3, 200
故P(B)的估计值为0.3. (Ⅲ)由题所求分布列为:
调查200名续保人的平均保费为
0.85a⨯0.30+a⨯0.25+1.25a⨯0.15+1.5a⨯0.15+1.75a⨯0.30+2a⨯0.10=1.1925a,
因此,续保人本年度平均保费估计值为1.1925a. 考点:样本的频率、平均值的计算. 【结束】
(19)(本小题满分12分) 【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)【解析】
试题分析:(Ⅰ)证AC//EF.再证AC//HD'.(Ⅱ)证明OD'⊥OH.再证OD'⊥平面ABC.最后呢五棱锥D'-ABCEF体积.
试题解析:(
I)由已知得,AC⊥BD,AD=CD.又由AE=CF得
69
. 4
AECF
=,故AC//EF. ADCD
由此得
EF⊥HD,EF⊥HD',所以AC//HD'.. (II)由EF//AC得
OHAE1
==. DOAD4
由AB=5,AC=6得DO=BO=所以OH=1,D'H=DH=3.
=4.
于是OD'+OH=+1=9=D'H,故OD'⊥OH.由(I)知AC⊥HD',又AC⊥BD,BD HD'=H,
22222
所以AC⊥平面BHD',于是AC⊥OD'.
又由OD'⊥OH,AC OH=O,所以,OD'⊥平面ABC.
9EFDH
=得EF=.
2ACDO
11969
. 五边形ABCFE的面积S=⨯6⨯8-⨯⨯3=
2224
又由
所以五棱锥D'-
ABCEF体积V=
169⨯⨯ 34考点:空间中的线面关系判断,几何体的体积. 【结束】
(20)(本小题满分12分)
【答案】(Ⅰ)2x+y-2=0.;(Ⅱ)(-∞,2].. 【解析】
试题分析:(Ⅰ)先求定义域,再求f'(x),f'(1),f(1),由直线方程得点斜式可求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为2x+y-2=0.(Ⅱ)构造新函数g(x)=lnx-数法求解.
试题解析:(I)f(x)的定义域为(0,+∞).当a=4时,
a(x-1)
,学.科网对实数a分类讨论,用导x+1
f(x)=(x+1)lnx-4(x-1),f'(x)=lnx+
切线方程为2x+y-2=0.
1
-3,f'(1)=-2,f(1)=0.曲线y=f(x)在(1,f(1))处的x
(II)当x∈(1,+∞)时,f(x)>0等价于lnx-
令g(x)=lnx-
a(x-1)
>0. x+1
a(x-1)
,则 x+1
12ax2+2(1-a)x+1
g'(x)=-=,g(1)=0, 22
x(x+1)x(x+1)
(i)当a≤2,x∈(1,+∞)时,x+2(1-a)x+1≥x-2x+1>0,故g'(x)>0,g(x)在x∈(1,+∞)上单调递增,因此g(x)>0; (ii)当a>2时,令g'(x)=0得
2
2
x1=a-1x2=a-1+
由x2>1和x1x2=1得x1
g(x)
综上,a的取值范围是(-∞,2]. 考点:导数的几何意义,函数的单调性. 【结束】
(21)(本小题满分12分) 【答案】(Ⅰ)【解析】
试题分析:(Ⅰ)先求直线AM的方程,再求点M的纵坐标,最后求∆AMN的面积;(Ⅱ)设M(x1,y1),,将直线AM的方程与椭圆方程组成方程组,消去y,用k表示x1,从而表示|AM|,同理用k表示|AN|,再由2AM=AN求k.
试题解析:(Ⅰ)设M(x1,y1),则由题意知y1>0. 由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为又A(-2,0),因此直线AM的方程为y=x+2.
144
;
(Ⅱ)49
2.
)
π, 4
x2y2
+=1得7y2-12y=0, 将x=y-2代入431212,所以y1=. 77
11212144
=因此∆AMN的面积S∆AMN=2⨯⨯⨯.
27749
解得y=0或y=
x2y2
+=1得 (2)将直线AM的方程y=k(x+2)(k>0)代入43
(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.
16k2-122(3-4k2)由x1⋅(-2)=得x1=,故|AM|=x1+2|=3+4k23+
4k2
1
由题设,直线AN的方程为y=-(x+
2),故同理可得|AN|=. k由2|AM|=|AN|得
2k=,即4k3-6k2+3k-8=0. 22
3+4k4+3k
设f(t)=4t3-6t2+3t-8,则k是f(t)的零点,f'(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)2≥0, 所以f(t)在(0,+∞
)单调递增,又f=260, 因此f(t)在(0,+∞)有唯一的零点,且零点k
在
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 (22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)【解析】
试题分析:(Ⅰ)证∆DGF~∆CBF,再证B,C,G,F四点共圆;(Ⅱ)证明Rt∆BCG~Rt∆BFG,四边形
1
. 2
BCGF的面积S是∆GCB面积S∆GCB的2倍.
试题解析:(I)因为DF⊥EC,所以∆DEF~∆CDF,
则有∠GDF=∠DEF=∠FCB,
DFDEDG
==, CFCDCB
所以∆DGF~∆CBF,由此可得∠DGF=∠CBF, 由此∠CGF+∠CBF=180,所以B,C,G,F四点共圆.
(II)由B,C,G,F四点共圆,CG⊥CB知FG⊥FB,连结GB, 由G为Rt∆DFC斜边CD的中点,知GF=GC,故Rt∆BCG~Rt∆BFG, 因此四边形BCGF的面积S是∆GCB面积S∆GCB的2倍,即
111
S=2S∆GCB=2⨯⨯⨯1=.
222
考点:三角形相似、全等,四点共圆
【结束】
(23)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
【答案】(Ⅰ)ρ2+12ρcosθ+11=0;
(Ⅱ)【解析】
试题分析:(I)利用ρ=x+y,x=ρcosθ可得C的极坐标方程;(II)先将直线l的参数方程化为普通方程,学.科网再利用弦长公式可得l的斜率.
试题解析:(I)由x=ρcosθ,y=ρsinθ可得C的极坐标方程ρ+12ρcosθ+11=0.
(II)在(I)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R)
由A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得 2222. ρ2+12ρcosα+11=0.
于是ρ1+ρ2=-12cosα,ρ1ρ2=
11,
|AB|=|ρ1-ρ2|==
由|AB|=
得cos2α=3, ,tanα=8所以l
考点:圆的极坐标方程与普通方程互化,直线的参数方程,点到直线的距离公式.
【结束】
(24)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
【答案】(Ⅰ)M={x|-1
11
【解析】
试题分析:(I)先去掉绝对值,再分x三种情况解不等式,即可得M;(II)2222
采用平方作差法,再进行因式分解,进而可证当a,b∈M时,a+b
⎧⎪-2x,x≤-1,
⎪2
试题解析:(I)f(x)=⎪⎨1,-1
⎪22 ⎪⎪⎩2x,x≥1
2.
当x≤-1
2时,由f(x)-1; 当-1
2
2时,f(x)
2时,学.科网由f(x)
所以f(x)
(II)由(I)知,当a,b∈M时,-1
(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)
因此|a+b|
考点:绝对值不等式,不等式的证明.
【结束】
12