巧用“假设法”解题例举 作者：张 尖 时间：2007-8-7 【信箱投稿：
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假设法，就是根据题目中的已知条件或结论作出某种假设，把复杂问题化为简单问题处理。它是一种重要的数学思维方法，在解答数学问题时有着广泛的应用。一些数量关系比较隐蔽的应用题，用常规方法思考往往很难解答，然而巧用假设法却常能使隐蔽复杂的数量关系明朗化、简单化，从而迅速找到解题的思路。同时，由于假设的策略不同，因而解题思路各异。
一、求同存异
例1 学校食堂上午买来2袋面粉和5袋大米共550千克，下午买来3袋面粉和4袋大米共重510千克。每袋面粉、每袋大米各重多少千克?
本题难在上午、下午买面粉和大米的袋数都不相同，用假设法可促使面粉袋数相同，大米袋数相异，从两个差(大米袋数的差和总重量的差) 来寻求问题的答案。为了说明问题，列表如下：
经过以上处理，面粉袋数由原来的不同变为相同，从大米袋数、总重量的两个差可以求出每袋大米的重量。从表中可知，7袋大米重630千克，即每袋大米的重量为630÷7=90(千克) ，每袋面粉的重量为(550-90×5) ÷2=50(千克) 。
二、虚实并举
例2 甲、乙两人七月份共生产零件1000个。甲八月份比七月
份增产25％，而乙增产20％，两人共生产零件1224个，甲、乙八月份各生产多少个零件？
这道题没有给出甲、乙七月份各生产零件的个数，学生会感到“山重水复疑无路”，运用假设就可“柳暗花明又一村”。假设两人八月份都增产25％(甲为实，乙为虚) 。则八月份共应生产1000×
(1+25％)=1250(个) 零件，比实际多生产1250-1224=26(个) 零件，这正好相当于乙月份生产零件数的(25％-20％) 。于是，可求得乙八月份生产零件为26÷(25％－20％)=520(个) ，甲八月份生产的零件数也就可以求出。当然也可假设两人八月份都增加20％(甲为虚，乙为实) ，解法略。
三、引实避虚
例3小张每天读书的页数比小刘多1/4，有一本书小张8天读完。小刘几天可以读完？
就此题而言，学生在未学比例知识之前，要弄清在一本书总页数一定时，每天读页数和所需天数之间的关系有一定难度。况且题中又未给出小张(或小刘) 每天读出的页数，这就更增加了解题难度。这时就可采用引实避虚的方法，假设小刘每天读书的页数已知，如“小刘每天读书12页”，可求出小张每天读书12×(1+1/4)=15(页) 。小张8天读完一本书，小刘只需要15×8÷12=10(天) 读完。
四、数形双飞
例4 一个长方形的周长是36米，如果它的长和宽各增加2米，面积增加多少平方米？
从“长方形周长是36米”这一条件，学生容易求得长、宽之和为36÷2=18(米) 。但题中未给出长和宽之间的关系，学生不知从何下手。这时，可引导学生根据长方形长、宽之和为18米这一条件，长、宽的具体数据完全可以假设，如长10米、宽8米，再结合图形就可使题目顺利获解。
也可假设将B 剪下，接在C 的后面，如图(2)。不难发现ABC 组成一个长方形，这个长方形的长是原长方形的长宽之和18米加上2米即20米，因此面积增加20×2=40(平方米) 。
例5 已知正方形面积为8平方厘米，求正方形内圆的面积是多少平方厘米?
学生无法根据所学的知识求出正方形的边长(也就是圆的直径) ，可先假设正方形面积为1，根据假设可以求出圆的面积为(1÷2) 2×π＝π/4，然后根据已知正方形面积与假设正方形面积的倍数关系，求出正方形内圆的面积为π/4×8=2π≈6．28(平方厘米) 。
五、殊途同归
例6 有甲、乙两人，甲开客车每小时行80千米。乙开卡车每小时行72千米。今两人同行某一段路程，乙比甲多行4小时，这段路长多少千米?
(1)可假设甲到达目的地时两人同时停止前进，这时乙距目的地(即甲比乙多行)72×4=288(千米) ，除以两人速度差，可得甲行这段路程所需的时间为288÷(80-72)=36(小时) ，所以这段路程长为80×36=2880(千米) 。
(2)也可假设乙到目的地时两人同时停止前进。这时甲超过目的地，即乙比甲少行80×4=320(千米) ，除以两人的速度差，可得乙行这段路程所需的时间，然后再算出这段路程的长度。
六、突破封锁
例7 有两个长方形，第一个长方形长是5厘米，第二个长方形长是4厘米，它们面积之和是42平方厘米。如果不改变每个长方形的宽，把第一个长方形的长扩大2倍，把第二个长方形的长增加1厘米，那么两个新长方形的面积之和比原来的大33平方厘米。求原来长方形的宽是多少?
乍看这道题似乎很难找到解题的突破口，根据题意，可这样考虑
[1] [2] 下一页
：因为两个长方形的宽都没有变，可假设两个长方形的长都扩大2倍，那么面积也扩大2倍，即面积增加42平方厘米，但实际只增加33平方厘米。是什么原因呢? 观察发现第二个长方形的长不是扩大2倍，而是增加1厘米，即第二个长方形的长增加1厘米比扩大2倍增加的面积要少42-33=9(平方厘米) 。也就是说第二个长方形的长(1)×宽比长(4)×宽要少9平方厘米，即4宽－1宽=9，宽=3(厘米) 。这样，第二个长方形的宽获解，由此可求出第一个长方形的宽是6厘米。
天天爱学习2014年01期有
学数学学习策略集锦(巧用“图形推算”)
2010-05-18 10:57:26| 分类： |字号 订阅
小学数学学习策略集锦
巧用“图形推算”
15－8=▲+★，讨论▲、★表示的数分别有哪些可能？
你发现了什么规律？
学生开始使用的往往是算术方法——有序地代入数值计算，对这一组组具体的数进一步归纳推理，领会到图形代表着（至少能取）特定数域内的不确定的数，两组这样的数之间保持着一定的关系。
在算术方法中，未知数处于特殊地位，要到解题基本结束时，才能确立已知数和未知数之间的关系。在寻找这种关系的过程中，往往需要特殊的思考技巧，造成学生的认知困难。而在前面“式”的图形推算阶段，学生已逐步能将未知数和已知数沟通起来，同等对待，这等
于是在解决问题的过程中增加了一项条件，对于帮助学生整体理解问题，把握问题的等量结构带来了很大的便利。
我们期待并且相信，当学生对图形推算比较胜任之后，图形算式将作为一个重要的工具，帮助他们表征问题的本质关系，把问题形式化，从而拥有更高层次的数学理解力和执行力。
以“和”结构为例——
给出信息：每个苹果重80克；每个梨重40克；有2个苹果和1个梨；共重200克。请学生把其中一个条件当做问题，编题。
题1：每个苹果重80克，每个梨重40克，2个苹果和一个梨共重多少克？
题2：2个苹果和一个梨共重200克，每个苹果重80克，每个梨重多少克？
题3： 2个苹果和一个梨共重200克，每个梨重40克，每个苹果重多少克？
题4：一些苹果和一个梨共重200克，每个梨重40克，每个苹果重80克，
有多少个苹果？
从算术角度看，这4题的解法各不相同。而如果我们引进图形推算，
题1：80×2+40=（■）200
题2：80×2+●=200
题3：▲×2+40=200
题4：80×◆+40=200
图形代数的方法，还可以将原来极具智力挑战的算术问题变成常规问题，如
著名的鸡兔同笼问题，就是一个和结构的问题。
松鼠妈妈采松子，晴天每天可采20颗，雨天每天只能采12颗，它一连8
天共采112颗，这几天中多少天是晴天？
你认为图形推算法在解决问题时有哪些好处？
“会当凌绝顶，一览众山小。”我们的学习在思维深刻性上下足功夫，促成
更高意义上的思维灵活性。提升了思维水平，降低了思考难度。 图形推算，挖掘了算术与代数的有机联系，在学龄初期，就结合算术知识，
渗透代数方法，对帮助我们更好地理解符号表示与符号运算，促进从算术思维到
代数思维的认知转换，是一种有益的尝试。
巧用“假设法”解题例举 作者：张 尖 时间：2007-8-7 【信箱投稿：
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假设法，就是根据题目中的已知条件或结论作出某种假设，把复杂问题化为简单问题处理。它是一种重要的数学思维方法，在解答数学问题时有着广泛的应用。一些数量关系比较隐蔽的应用题，用常规方法思考往往很难解答，然而巧用假设法却常能使隐蔽复杂的数量关系明朗化、简单化，从而迅速找到解题的思路。同时，由于假设的策略不同，因而解题思路各异。
一、求同存异
例1 学校食堂上午买来2袋面粉和5袋大米共550千克，下午买来3袋面粉和4袋大米共重510千克。每袋面粉、每袋大米各重多少千克?
本题难在上午、下午买面粉和大米的袋数都不相同，用假设法可促使面粉袋数相同，大米袋数相异，从两个差(大米袋数的差和总重量的差) 来寻求问题的答案。为了说明问题，列表如下：
经过以上处理，面粉袋数由原来的不同变为相同，从大米袋数、总重量的两个差可以求出每袋大米的重量。从表中可知，7袋大米重630千克，即每袋大米的重量为630÷7=90(千克) ，每袋面粉的重量为(550-90×5) ÷2=50(千克) 。
二、虚实并举
例2 甲、乙两人七月份共生产零件1000个。甲八月份比七月
份增产25％，而乙增产20％，两人共生产零件1224个，甲、乙八月份各生产多少个零件？
这道题没有给出甲、乙七月份各生产零件的个数，学生会感到“山重水复疑无路”，运用假设就可“柳暗花明又一村”。假设两人八月份都增产25％(甲为实，乙为虚) 。则八月份共应生产1000×
(1+25％)=1250(个) 零件，比实际多生产1250-1224=26(个) 零件，这正好相当于乙月份生产零件数的(25％-20％) 。于是，可求得乙八月份生产零件为26÷(25％－20％)=520(个) ，甲八月份生产的零件数也就可以求出。当然也可假设两人八月份都增加20％(甲为虚，乙为实) ，解法略。
三、引实避虚
例3小张每天读书的页数比小刘多1/4，有一本书小张8天读完。小刘几天可以读完？
就此题而言，学生在未学比例知识之前，要弄清在一本书总页数一定时，每天读页数和所需天数之间的关系有一定难度。况且题中又未给出小张(或小刘) 每天读出的页数，这就更增加了解题难度。这时就可采用引实避虚的方法，假设小刘每天读书的页数已知，如“小刘每天读书12页”，可求出小张每天读书12×(1+1/4)=15(页) 。小张8天读完一本书，小刘只需要15×8÷12=10(天) 读完。
四、数形双飞
例4 一个长方形的周长是36米，如果它的长和宽各增加2米，面积增加多少平方米？
从“长方形周长是36米”这一条件，学生容易求得长、宽之和为36÷2=18(米) 。但题中未给出长和宽之间的关系，学生不知从何下手。这时，可引导学生根据长方形长、宽之和为18米这一条件，长、宽的具体数据完全可以假设，如长10米、宽8米，再结合图形就可使题目顺利获解。
也可假设将B 剪下，接在C 的后面，如图(2)。不难发现ABC 组成一个长方形，这个长方形的长是原长方形的长宽之和18米加上2米即20米，因此面积增加20×2=40(平方米) 。
例5 已知正方形面积为8平方厘米，求正方形内圆的面积是多少平方厘米?
学生无法根据所学的知识求出正方形的边长(也就是圆的直径) ，可先假设正方形面积为1，根据假设可以求出圆的面积为(1÷2) 2×π＝π/4，然后根据已知正方形面积与假设正方形面积的倍数关系，求出正方形内圆的面积为π/4×8=2π≈6．28(平方厘米) 。
五、殊途同归
例6 有甲、乙两人，甲开客车每小时行80千米。乙开卡车每小时行72千米。今两人同行某一段路程，乙比甲多行4小时，这段路长多少千米?
(1)可假设甲到达目的地时两人同时停止前进，这时乙距目的地(即甲比乙多行)72×4=288(千米) ，除以两人速度差，可得甲行这段路程所需的时间为288÷(80-72)=36(小时) ，所以这段路程长为80×36=2880(千米) 。
(2)也可假设乙到目的地时两人同时停止前进。这时甲超过目的地，即乙比甲少行80×4=320(千米) ，除以两人的速度差，可得乙行这段路程所需的时间，然后再算出这段路程的长度。
六、突破封锁
例7 有两个长方形，第一个长方形长是5厘米，第二个长方形长是4厘米，它们面积之和是42平方厘米。如果不改变每个长方形的宽，把第一个长方形的长扩大2倍，把第二个长方形的长增加1厘米，那么两个新长方形的面积之和比原来的大33平方厘米。求原来长方形的宽是多少?
乍看这道题似乎很难找到解题的突破口，根据题意，可这样考虑
[1] [2] 下一页
：因为两个长方形的宽都没有变，可假设两个长方形的长都扩大2倍，那么面积也扩大2倍，即面积增加42平方厘米，但实际只增加33平方厘米。是什么原因呢? 观察发现第二个长方形的长不是扩大2倍，而是增加1厘米，即第二个长方形的长增加1厘米比扩大2倍增加的面积要少42-33=9(平方厘米) 。也就是说第二个长方形的长(1)×宽比长(4)×宽要少9平方厘米，即4宽－1宽=9，宽=3(厘米) 。这样，第二个长方形的宽获解，由此可求出第一个长方形的宽是6厘米。
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学数学学习策略集锦(巧用“图形推算”)
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巧用“图形推算”
15－8=▲+★，讨论▲、★表示的数分别有哪些可能？
你发现了什么规律？
学生开始使用的往往是算术方法——有序地代入数值计算，对这一组组具体的数进一步归纳推理，领会到图形代表着（至少能取）特定数域内的不确定的数，两组这样的数之间保持着一定的关系。
在算术方法中，未知数处于特殊地位，要到解题基本结束时，才能确立已知数和未知数之间的关系。在寻找这种关系的过程中，往往需要特殊的思考技巧，造成学生的认知困难。而在前面“式”的图形推算阶段，学生已逐步能将未知数和已知数沟通起来，同等对待，这等
于是在解决问题的过程中增加了一项条件，对于帮助学生整体理解问题，把握问题的等量结构带来了很大的便利。
我们期待并且相信，当学生对图形推算比较胜任之后，图形算式将作为一个重要的工具，帮助他们表征问题的本质关系，把问题形式化，从而拥有更高层次的数学理解力和执行力。
以“和”结构为例——
给出信息：每个苹果重80克；每个梨重40克；有2个苹果和1个梨；共重200克。请学生把其中一个条件当做问题，编题。
题1：每个苹果重80克，每个梨重40克，2个苹果和一个梨共重多少克？
题2：2个苹果和一个梨共重200克，每个苹果重80克，每个梨重多少克？
题3： 2个苹果和一个梨共重200克，每个梨重40克，每个苹果重多少克？
题4：一些苹果和一个梨共重200克，每个梨重40克，每个苹果重80克，
有多少个苹果？
从算术角度看，这4题的解法各不相同。而如果我们引进图形推算，
题1：80×2+40=（■）200
题2：80×2+●=200
题3：▲×2+40=200
题4：80×◆+40=200
图形代数的方法，还可以将原来极具智力挑战的算术问题变成常规问题，如
著名的鸡兔同笼问题，就是一个和结构的问题。
松鼠妈妈采松子，晴天每天可采20颗，雨天每天只能采12颗，它一连8
天共采112颗，这几天中多少天是晴天？
你认为图形推算法在解决问题时有哪些好处？
“会当凌绝顶，一览众山小。”我们的学习在思维深刻性上下足功夫，促成
更高意义上的思维灵活性。提升了思维水平，降低了思考难度。 图形推算，挖掘了算术与代数的有机联系，在学龄初期，就结合算术知识，
渗透代数方法，对帮助我们更好地理解符号表示与符号运算，促进从算术思维到
代数思维的认知转换，是一种有益的尝试。