一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P Q ={z |z =ab , a ∈P , b ∈Q }，若P ＝{－1，0，1}，Q ＝{－2，2}，则集合P ·Q 中元素的个数是
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
2．对下列命题的否定，其中说法错误的是
A ．P ：能被3整除的整数是奇数；⌝P ：存在一个能被3整除的整数不是奇数 B ．P ：每一个四边形的四个顶点共圆；⌝P ：每一个四边形的四个顶点不共圆 C ．P ：有的三角形为正三角形：⌝P ：所有的三角形都不是正三角形 D ．P ：∃x ∈R , x 2+2x +2≤0; ∀x ∈R , x 2+2x +2≤0 3．若
11b a
2中，正确的不a b a b
等式有
A ．①②
B ．②③
C ．①④
D ．③④
4．方程log a m A ．1>m>n>0
B ．m>n>1
C ．0
D ．1
2
5．在下列图象中，二次函数y =ax +bx 与指函数y =() 的图象只能是
b a
x
6．若命题甲为：() , 则甲是乙的
A ．充分非必要条件 C ．充要条件
B ．必要非充分条件 D ．既不充分也不必要条件
12
x
2x
, 2成等比数列，命题乙为：lg x , lg(x +1), lg(x +3) 成等差数列， 2x
2
7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若m >1，m ∈N *，且a m -1+a m +1=a m , S 2m -1=38，则
m 等于
A ．11
B ．10
C ．9
D ．8
8．下列函数既是奇函数，又在区间[－1，1]上单调递减的是
A ．f (x ) =sin x
B ．f (x ) =-|x +1|
1
－3
2-x
C ．f (x ) =ln
2+1
x -1⎧⎪2e
9．设f (x ) =⎨2
⎪⎩log 3(x -1)
D ．y =x
(x
，则不等式f (x ) >2的解集为
A ．(1, 2) (3, +∞)
B ．(, +∞) D ．（1,2）
C ．(1, 2) (, +∞)
10．在直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，那么sinA·cos 2（45°－
A ．有最大值
1
和最小值0 4
C ．既无最大值也无最小值
B A 2) -sin cos 为 2221
B ．有最大值，但无最小值
41
D ．有最大值，但无最小值
2
11．2002年8月，在北京召开了国际数学家大会，大会会标为右图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较大的锐角为θ，大正方形的面积为1，小正方形的面积为
A ．1
1
，则sin 2θ－cos 2θ的值等于 25
24 257C ．
257D ．－
25
B ．
⎧x +y ≤10⎪
12．已知x 和y 是正整数，且满足约束条件⎨x -y ≤2, 则z =2x +3y 的最小值是
⎪2x ≥7⎩
A ．24
B ．14
C ．13
D ．11.5
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
13．函数f (x ) =tan(
π
4
-x ) 的单调减区间为 ；
14．等差数列有如下性质：若{a n }是等差数列，则数列b n =
a 1+a 2+ +a n
是等差数列，
n
类比上述性质，相应地，若数列{c n }是正项等比数列，则数列d n ＝ 也是等比数列. 15．在数列{a n }中, a n =为 ；
16．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为；
三、解答题：本大题共6个小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）
在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，已知tan A =长边边长为l. 求：
（1）角C 的大小； （2）△ABC 最短边的长.
18．（本小题满分12分）
设函数f (x ) =ωx +cos ωx )cos ωx ，（其中0
12n 2++ +, 又b n =, 则数列{bn }的前n 项和n +1n +1n +1a n a n +1
11
, tan B =，且最23
π
6
≤x ≤
π
3
时, f (x ) 的值域
（2）若函数f （x ）的图象的一条对称轴方程为x =
π
3
, 求ω的值
19．（本小题满分12分）
2x
已知定义在R 上奇函数，当x ∈(0, 1) 时, f (x ) =x
4+1
（1）求f （x ）在（－1，1）上的解析式 （2）证明f （x ）在（0，1）上是减函数
20．（本小题满分12分）
已知m ∈R , 设P :x 1和x 2是方程x 2-ax -2=0的两个根, 不等式|m -5|≤|x 1-x 2|对任意实数a ∈[1，2]恒成立；Q ：函数f (x ) =3x +2mx +m +为真命题的实数m 的取值范围.
21．（本小题满分12分）
学校食堂定期从某粮店以每吨1500元的价格买大米，每次购进大米需支付运输劳务费100元，已知食堂每天需要大米1吨，贮存大米的费用为每吨每天2元，假定食堂每次均在用完大米的当天购买。
（1）该食堂每多少天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用最少？
（2）粮店提出价格优惠条件：一次购买量不少于20吨时，大米价格可享受九五折优惠
2
4
有两个不同的零点. 求使“P且Q”3
（即是原价的95%），问食堂可否接受此优惠条件？请说明理由。
22．（本小题满分14分）
对于数列{a n }，定义{△a n }为数列{a n }的一阶差分数列，其中∆a n =a n +1-a n (n ∈N *) （1）若数列{a n }的通项公式a n =
5213
n -n (n ∈N *),求{∆a n }的通项公式； 22
（2）若数列{a n }的首项是1，且满足∆a n -a n =2n ，
①证明数列{
a n
为等差为数列； n 2
②求{a n }的前n 项和S n
参考答案
一、ADCBA CBCCB CB 二、13．(k π-17．
π
4
, k π+
3π8n )(k ∈Z ) 14．c 1c 2 c n 15． 16．2161 4n +1
11+
tan A +tan B 23=-1 （1）tanC ＝tan[π－（A ＋B ）]＝－tan （A ＋B ）==-
111-tan A tan B
1-⨯23
∴C =3π4
（5分）
（2）∵0又C 为钝角，∴最短边为b
（7分） 由tan B =
13，解得sin B =
（9分）
由
b sin B =c sin C
（10分）
1∴b =
c ⋅sin B
sin C
== （12分）
2
18．f (x ) =-(sin ωx cos ωx +cos 2ωx ) =
2sin 2ωx +1+cos 2ωx 2+12
=sin(2ωx +
π
6
) +
1
2
（4分）
（1） f (x ) 周期为π，∴
2π
2ω=2π，∴ω=1 （6分） ∴f (x ) =sin(2x +π1
6) +2
-π6≤x ≤ππ5π1π3，∴-6≤2x ≤6，∴-2≤sin(2x +6
) ≤1
∴0≤f (x ) ≤3
2（8分）
（2）令2ωx +π6=k π+π2(k ∈Z ) ，得ωx =πk π
6+
2(k ∈Z ) 当x =π3k +1
3时，得ω=
2
(k ∈Z ) 0
∴ω=
12
（12分）
19．
（1）∵f （x ）是定义在上的奇函数，∴当x ＝0时，f （x ）＝0
2分）
（
2-x 2-x 2x
==-f (x ) ，∴f (x ) =-∴f (-x ) =-x
4+11+4x 1+4x
（4分）
⎧2x ⎪1+4x ⎪⎪
∴f (x ) =⎨0
⎪2x ⎪-⎪⎩1+4x
x ∈(0,1)x =0x ∈(-1,0)
（6分）
（2）任取x 1, x 2∈(0, 1) 且x 1
2x 12x 22x 1+2x 2+2x 1-2x 2+2x 1-2x 22x 1+x 2(2x 2-2x 1) -(2x 2-2x 1)
f (x 1) -f (x 2) =x 1-x 2==x 1x 2x 1x 2
22(4+1)(4+1) (4+1)(4+1) 1+4x 11+4x 2
(2x 2-2x 1)(2x 1+x 2-1) ＝ x 1x 2
(4+1)(4+1)
x 10,2x 1+x 2>20=1 (2x 2-2x 1)(2x 1+x 2-1) ∴>0
(4x 1+1)(4x 2+1)
∴f (x 1) >f (x 2)
∴f （x ）在（0，1）上是减函数
（12分）
（10分）
20．由题设x
1+x 2=a , x 1x 2=-2，∴|x 1-x 2|=
2
当a ∈[1, 2]时, a +8的最小值为3.
=要使|m -5|≤|x 1-x 2|对任意实数a ∈[1，2]恒成立，只须|m－5|≤3,即2≤m≤8 （6分）
2
由已知，得f (x ) =3x +2mx +m +
44
=0的判别式∆=4m 2-12(m +) =4m 2-12m -16>0，33
得m 4
（10分）
综上，要使“P∧Q”为真命题，只需P 真Q 真，即⎨值范围是(4, 8]
（12分）
⎧2≤m ≤8
，解得实数m 的取
m 4⎩
21．设该食堂每x 天购买一次大米，则每次购买x 吨，设平均每天所支付的费用为y 元则
（1）y =
1100
[1500x +100+2(1+2+ +x )]=x ++1501≥1521 x x
（4分）
当且仅当x =
100
即x =10时取等号 x
（6分）
故该食堂每10天购买一次大米，能使平均每天支付费用最少 （2）y =
1100[1500x ⋅0. 95+100+2(1+2+ +x )](x ≥20) ＝x ++1426（8分） x x
100
+1426=1451 （10分） 函数y 在[20, +∞) 上为增函数，所以，y ≥20+20
而1451
（12分）
22．
2
（1）依题意∆a n =a n +1-a n ，∴ ∆a n =[((n +1) -
5213513
(n +1)]-[n 2-n ]=5n -4 222
（2）①由∆a n -a n =2n 得a n +1-a n -a n =2n , 即a n +1=2a n +2n
a n +1a n 1a n +1a n 1
=+-n = ，即n +1n n +1
222222
a a 111
a 1=1, 1=，∴{n 是以为首项，为公差的等差数列 n
22222
∴②由①得
（8分）
a n 11n n n n -1
=+(n -1) =∴a =⋅2=n ⋅2 （10分） n n
22222
∴s n =a 1+a 2+⋅⋅⋅+a n =1⋅20+2⋅21+⋅⋅⋅+n ⋅2n -1 ① ∴2s n =1⋅21+2⋅22+⋅⋅⋅+n ⋅2n ② ①－②得 -S n =1+2+2+ +2∴s n =n ⋅2n -2n +1=(n -1)2n +1
2
n -1
1-2n
-n ⋅2=-n ⋅2n
1-2
n
（14分）
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P Q ={z |z =ab , a ∈P , b ∈Q }，若P ＝{－1，0，1}，Q ＝{－2，2}，则集合P ·Q 中元素的个数是
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
2．对下列命题的否定，其中说法错误的是
A ．P ：能被3整除的整数是奇数；⌝P ：存在一个能被3整除的整数不是奇数 B ．P ：每一个四边形的四个顶点共圆；⌝P ：每一个四边形的四个顶点不共圆 C ．P ：有的三角形为正三角形：⌝P ：所有的三角形都不是正三角形 D ．P ：∃x ∈R , x 2+2x +2≤0; ∀x ∈R , x 2+2x +2≤0 3．若
11b a
2中，正确的不a b a b
等式有
A ．①②
B ．②③
C ．①④
D ．③④
4．方程log a m A ．1>m>n>0
B ．m>n>1
C ．0
D ．1
2
5．在下列图象中，二次函数y =ax +bx 与指函数y =() 的图象只能是
b a
x
6．若命题甲为：() , 则甲是乙的
A ．充分非必要条件 C ．充要条件
B ．必要非充分条件 D ．既不充分也不必要条件
12
x
2x
, 2成等比数列，命题乙为：lg x , lg(x +1), lg(x +3) 成等差数列， 2x
2
7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若m >1，m ∈N *，且a m -1+a m +1=a m , S 2m -1=38，则
m 等于
A ．11
B ．10
C ．9
D ．8
8．下列函数既是奇函数，又在区间[－1，1]上单调递减的是
A ．f (x ) =sin x
B ．f (x ) =-|x +1|
1
－3
2-x
C ．f (x ) =ln
2+1
x -1⎧⎪2e
9．设f (x ) =⎨2
⎪⎩log 3(x -1)
D ．y =x
(x
，则不等式f (x ) >2的解集为
A ．(1, 2) (3, +∞)
B ．(, +∞) D ．（1,2）
C ．(1, 2) (, +∞)
10．在直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，那么sinA·cos 2（45°－
A ．有最大值
1
和最小值0 4
C ．既无最大值也无最小值
B A 2) -sin cos 为 2221
B ．有最大值，但无最小值
41
D ．有最大值，但无最小值
2
11．2002年8月，在北京召开了国际数学家大会，大会会标为右图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较大的锐角为θ，大正方形的面积为1，小正方形的面积为
A ．1
1
，则sin 2θ－cos 2θ的值等于 25
24 257C ．
257D ．－
25
B ．
⎧x +y ≤10⎪
12．已知x 和y 是正整数，且满足约束条件⎨x -y ≤2, 则z =2x +3y 的最小值是
⎪2x ≥7⎩
A ．24
B ．14
C ．13
D ．11.5
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
13．函数f (x ) =tan(
π
4
-x ) 的单调减区间为 ；
14．等差数列有如下性质：若{a n }是等差数列，则数列b n =
a 1+a 2+ +a n
是等差数列，
n
类比上述性质，相应地，若数列{c n }是正项等比数列，则数列d n ＝ 也是等比数列. 15．在数列{a n }中, a n =为 ；
16．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为；
三、解答题：本大题共6个小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）
在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，已知tan A =长边边长为l. 求：
（1）角C 的大小； （2）△ABC 最短边的长.
18．（本小题满分12分）
设函数f (x ) =ωx +cos ωx )cos ωx ，（其中0
12n 2++ +, 又b n =, 则数列{bn }的前n 项和n +1n +1n +1a n a n +1
11
, tan B =，且最23
π
6
≤x ≤
π
3
时, f (x ) 的值域
（2）若函数f （x ）的图象的一条对称轴方程为x =
π
3
, 求ω的值
19．（本小题满分12分）
2x
已知定义在R 上奇函数，当x ∈(0, 1) 时, f (x ) =x
4+1
（1）求f （x ）在（－1，1）上的解析式 （2）证明f （x ）在（0，1）上是减函数
20．（本小题满分12分）
已知m ∈R , 设P :x 1和x 2是方程x 2-ax -2=0的两个根, 不等式|m -5|≤|x 1-x 2|对任意实数a ∈[1，2]恒成立；Q ：函数f (x ) =3x +2mx +m +为真命题的实数m 的取值范围.
21．（本小题满分12分）
学校食堂定期从某粮店以每吨1500元的价格买大米，每次购进大米需支付运输劳务费100元，已知食堂每天需要大米1吨，贮存大米的费用为每吨每天2元，假定食堂每次均在用完大米的当天购买。
（1）该食堂每多少天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用最少？
（2）粮店提出价格优惠条件：一次购买量不少于20吨时，大米价格可享受九五折优惠
2
4
有两个不同的零点. 求使“P且Q”3
（即是原价的95%），问食堂可否接受此优惠条件？请说明理由。
22．（本小题满分14分）
对于数列{a n }，定义{△a n }为数列{a n }的一阶差分数列，其中∆a n =a n +1-a n (n ∈N *) （1）若数列{a n }的通项公式a n =
5213
n -n (n ∈N *),求{∆a n }的通项公式； 22
（2）若数列{a n }的首项是1，且满足∆a n -a n =2n ，
①证明数列{
a n
为等差为数列； n 2
②求{a n }的前n 项和S n
参考答案
一、ADCBA CBCCB CB 二、13．(k π-17．
π
4
, k π+
3π8n )(k ∈Z ) 14．c 1c 2 c n 15． 16．2161 4n +1
11+
tan A +tan B 23=-1 （1）tanC ＝tan[π－（A ＋B ）]＝－tan （A ＋B ）==-
111-tan A tan B
1-⨯23
∴C =3π4
（5分）
（2）∵0又C 为钝角，∴最短边为b
（7分） 由tan B =
13，解得sin B =
（9分）
由
b sin B =c sin C
（10分）
1∴b =
c ⋅sin B
sin C
== （12分）
2
18．f (x ) =-(sin ωx cos ωx +cos 2ωx ) =
2sin 2ωx +1+cos 2ωx 2+12
=sin(2ωx +
π
6
) +
1
2
（4分）
（1） f (x ) 周期为π，∴
2π
2ω=2π，∴ω=1 （6分） ∴f (x ) =sin(2x +π1
6) +2
-π6≤x ≤ππ5π1π3，∴-6≤2x ≤6，∴-2≤sin(2x +6
) ≤1
∴0≤f (x ) ≤3
2（8分）
（2）令2ωx +π6=k π+π2(k ∈Z ) ，得ωx =πk π
6+
2(k ∈Z ) 当x =π3k +1
3时，得ω=
2
(k ∈Z ) 0
∴ω=
12
（12分）
19．
（1）∵f （x ）是定义在上的奇函数，∴当x ＝0时，f （x ）＝0
2分）
（
2-x 2-x 2x
==-f (x ) ，∴f (x ) =-∴f (-x ) =-x
4+11+4x 1+4x
（4分）
⎧2x ⎪1+4x ⎪⎪
∴f (x ) =⎨0
⎪2x ⎪-⎪⎩1+4x
x ∈(0,1)x =0x ∈(-1,0)
（6分）
（2）任取x 1, x 2∈(0, 1) 且x 1
2x 12x 22x 1+2x 2+2x 1-2x 2+2x 1-2x 22x 1+x 2(2x 2-2x 1) -(2x 2-2x 1)
f (x 1) -f (x 2) =x 1-x 2==x 1x 2x 1x 2
22(4+1)(4+1) (4+1)(4+1) 1+4x 11+4x 2
(2x 2-2x 1)(2x 1+x 2-1) ＝ x 1x 2
(4+1)(4+1)
x 10,2x 1+x 2>20=1 (2x 2-2x 1)(2x 1+x 2-1) ∴>0
(4x 1+1)(4x 2+1)
∴f (x 1) >f (x 2)
∴f （x ）在（0，1）上是减函数
（12分）
（10分）
20．由题设x
1+x 2=a , x 1x 2=-2，∴|x 1-x 2|=
2
当a ∈[1, 2]时, a +8的最小值为3.
=要使|m -5|≤|x 1-x 2|对任意实数a ∈[1，2]恒成立，只须|m－5|≤3,即2≤m≤8 （6分）
2
由已知，得f (x ) =3x +2mx +m +
44
=0的判别式∆=4m 2-12(m +) =4m 2-12m -16>0，33
得m 4
（10分）
综上，要使“P∧Q”为真命题，只需P 真Q 真，即⎨值范围是(4, 8]
（12分）
⎧2≤m ≤8
，解得实数m 的取
m 4⎩
21．设该食堂每x 天购买一次大米，则每次购买x 吨，设平均每天所支付的费用为y 元则
（1）y =
1100
[1500x +100+2(1+2+ +x )]=x ++1501≥1521 x x
（4分）
当且仅当x =
100
即x =10时取等号 x
（6分）
故该食堂每10天购买一次大米，能使平均每天支付费用最少 （2）y =
1100[1500x ⋅0. 95+100+2(1+2+ +x )](x ≥20) ＝x ++1426（8分） x x
100
+1426=1451 （10分） 函数y 在[20, +∞) 上为增函数，所以，y ≥20+20
而1451
（12分）
22．
2
（1）依题意∆a n =a n +1-a n ，∴ ∆a n =[((n +1) -
5213513
(n +1)]-[n 2-n ]=5n -4 222
（2）①由∆a n -a n =2n 得a n +1-a n -a n =2n , 即a n +1=2a n +2n
a n +1a n 1a n +1a n 1
=+-n = ，即n +1n n +1
222222
a a 111
a 1=1, 1=，∴{n 是以为首项，为公差的等差数列 n
22222
∴②由①得
（8分）
a n 11n n n n -1
=+(n -1) =∴a =⋅2=n ⋅2 （10分） n n
22222
∴s n =a 1+a 2+⋅⋅⋅+a n =1⋅20+2⋅21+⋅⋅⋅+n ⋅2n -1 ① ∴2s n =1⋅21+2⋅22+⋅⋅⋅+n ⋅2n ② ①－②得 -S n =1+2+2+ +2∴s n =n ⋅2n -2n +1=(n -1)2n +1
2
n -1
1-2n
-n ⋅2=-n ⋅2n
1-2
n
（14分）