勾股定理的逆定理
知识点一 勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理：如果三角形三边长a,b,c，满足a2b2c2，那么这个三角形就是直角三角形.
2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形.
典例剖析
例1 判断以线段a,b,c为边的ABC是不是直角三角形；
（1
）abc2 （2）a7,b8,c9
变式
已知x12(y5)20，则以x,y,z为三边的三角形是什么形状的三角形？
变式 已知a,b,c为ABC的三条边，且满足a2b2c257830a34b16c，判断ABC的形状.
知识点二 互逆命题和互逆定理
知识点归纳：
互逆命题:题设和结论正好相反的两个命题为互逆命题.
互逆定理:一般地，如果一个定理的逆命她经过证明是正确的·它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理·
注意：
（1）任何一个命题都有逆命题.
(2)原命题成立，它的逆命题不一定成立.也就是说一个定理它有逆命题，但它不一定有逆定理·
(3)找一个命题的逆命题时只需要把原命题的题设和结论换过来.
典例剖析
例2 写出下列命题的逆命题，它们的逆命题一定成立吗?
(1)如果两个角是直角，那么它们相等·
（2)全等三角形的对应边相等·
(3)如果两个实数相等.那么它们的平方也相等，
（4)到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
变式 写出下列定理的逆命题，并判断它是否有逆定理:
（1）如果直角三角形的两直角边长分别为a.h,斜边长为c，那么a2b2c2.
（2）对顶角相等.
知识点三 勾股数
满足a2b2c2的三个整数，称为勾股数.
典例剖析
例3 古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m是大于1的整数，a2m,bm21,cm21，那么a、b、c为勾股数，你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数码？
变式 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，我们称为勾股数，观察下列表格给出的三个数a、b、c，a
（1）写出它们的共同点.（2）当a17时，求b、c的值
.
勾股定理的逆定理的应用
1. 小强在操场上向东走80 m后.改变方向又走了60 m，又改变方向再走100 m回到原地.小强在 操场上向东走了80M后.又走60 m的方向是______________.
2.一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为____________，此三角形的形状为__________.
3.若ABC的三边a、b、
c满足a:b:c，则ABC的形状是______________.
4. ABC的边长是6、8、x，若使三角形为直角三角形，则x的取值为（ ）
A.10 B.
或不能确定
知识点一 运用勾股定理的逆定理解决问题
知识点归纳
运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角.然后进一步结合其他已知条件来解决问题.
注意 要列断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小.用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比校.如果相等，则三角形为直角三角形;否则不是.
典例剖析
例1 如图，如果只给你一把带刻度的直尺，你能否检验MPN是否是直角？简述你的理由
变式 如图，李叔叔要检测做的门框AD边是否垂直于AB边.但他随身只带了卷尺.
你能替他想到办法完成任务吗?
小明只带了一个长20cm的刻度尺，他能检测门框AD边是否垂直于AB边吗
?
变式 如图所示，是一个零件的形状，按规定这个零件中的AD与CD必须互相垂直，工人师傅通过测量得到A到C的距离是10cm，AD=8cm，CD=6cm.问这个零件是否合格？
知识点二 勾股定理及其逆定理的综合运用
知识点归纳
勾股定理及其逆定理的综合应用有效地将数与形的关系进行了转化·在解决几何图形问题时作用很大.
说明 (1)匀股定理应用的条件是在支角三角形中，而逆定理是用来利断一个三角形走直角三角形的·因此要注意二者在什么时候才能用.
(2)解决问题的关健是要构造出直角三角形或是三角形，必要时添加辅助线.
(3)真正的体验教学中的转化和数形结合的重要思想.
典例剖析
例2 已知，如图，四边形ABCD中，B90，AB=4，BC=3，AD=13，CD=12，求：四边形ABCD的面积.
变式 如图，四边形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且CE
直角吗？
1BC.你能说明AFE是4
精析精练
题型1 利用勾股定理的逆定理判定直角三角形
例1 如图，若在ABC中，AB=5，BC=6，BC边的中线AD=4，求ABC的面积.
例2 若a、b、c是ABC的三边长，且满足a2c2b2c2a4b4，试判定这个三角形的形状.
题型2 勾股数
例3 数学老师在一次探究活动中设计了如下表格：
（1）请同学们观察a、b、c与n的关系，并用含有自然数n（n>1）的代数式表示a、b、c.
（2）猜想以a、b、c为三边的三角形是什么形状的三角形，并验证你的结论.
题型3 勾股定理及其逆定理的综合运用
例4 如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近·便立即通知正在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测AC= 10海里，AB=6海里，BC= 8海里，若该船只的速度为12. 8海里/时，则可疑船只最早何时进人我领海?
基础训练
1.若一个三角形的三条边分别是3
，___________________.
2.木工周师傅做一个长方形桌面,测量得到桌面的长为60 cm，宽为32 cm，对角线为68 cm，这个桌面__________（填“合格”或“不合格”）
3.下列各命题的逆命题不成立的是（ ）
A.两直线平行，同旁内角互补
B.若两个数的绝对值相等，则这两个数相等
C.对顶角相等
D.如果a=b，或a+b0，那么a2b2
4.若一个三角形的三边分别为3k,4k,5k（k为自然数且k0），则这个三角形为______________.
5.观察以下几组勾股数，并寻找规律：
（1）3,4,5 （2）5，12,13 （3）7,24,25 （4）9,40,41；„„
请你写出有以上规律的第（5）组勾股数_____________________-.
6.如图，正方形网格中的ABC，若小方格的边长为1，则ABC是（ ）
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上都有可能
7.命题“到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”的逆命题是________________________________________________________________________.
8.如果ABC的三边分别为m21,2m,m21，其中m为大于1的正整数，则（ ）
A.ABC是直角三角形，且斜边为m21
B.ABC是直角三角形，且斜边为2m
C.ABC是直角三角形，且斜边为m21
D.ABC不是直角三角形
9.已知三条线段的长度比如下，其中能构成直角三角形的是（ ）
A.2：3：4 B.3：4：7 C.5：12：13 D.4：5：7
10.在下图边长为1
的正方形网格内，画出以格点为顶点的三角形，使三条边的长度分别为
.
11.如果一个三角形的三边a,b,c满足a2b2c238810a24b26c,那么该三角形是什么三角形？
12.如图，在ABC中，BC边上的垂直平分线交AB于点E，交BD于点D，若BE2AE2AC2，求证：A
90.
勾股定理的逆定理
知识点一 勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理：如果三角形三边长a,b,c，满足a2b2c2，那么这个三角形就是直角三角形.
2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形.
典例剖析
例1 判断以线段a,b,c为边的ABC是不是直角三角形；
（1
）abc2 （2）a7,b8,c9
变式
已知x12(y5)20，则以x,y,z为三边的三角形是什么形状的三角形？
变式 已知a,b,c为ABC的三条边，且满足a2b2c257830a34b16c，判断ABC的形状.
知识点二 互逆命题和互逆定理
知识点归纳：
互逆命题:题设和结论正好相反的两个命题为互逆命题.
互逆定理:一般地，如果一个定理的逆命她经过证明是正确的·它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理·
注意：
（1）任何一个命题都有逆命题.
(2)原命题成立，它的逆命题不一定成立.也就是说一个定理它有逆命题，但它不一定有逆定理·
(3)找一个命题的逆命题时只需要把原命题的题设和结论换过来.
典例剖析
例2 写出下列命题的逆命题，它们的逆命题一定成立吗?
(1)如果两个角是直角，那么它们相等·
（2)全等三角形的对应边相等·
(3)如果两个实数相等.那么它们的平方也相等，
（4)到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
变式 写出下列定理的逆命题，并判断它是否有逆定理:
（1）如果直角三角形的两直角边长分别为a.h,斜边长为c，那么a2b2c2.
（2）对顶角相等.
知识点三 勾股数
满足a2b2c2的三个整数，称为勾股数.
典例剖析
例3 古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m是大于1的整数，a2m,bm21,cm21，那么a、b、c为勾股数，你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数码？
变式 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，我们称为勾股数，观察下列表格给出的三个数a、b、c，a
（1）写出它们的共同点.（2）当a17时，求b、c的值
.
勾股定理的逆定理的应用
1. 小强在操场上向东走80 m后.改变方向又走了60 m，又改变方向再走100 m回到原地.小强在 操场上向东走了80M后.又走60 m的方向是______________.
2.一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为____________，此三角形的形状为__________.
3.若ABC的三边a、b、
c满足a:b:c，则ABC的形状是______________.
4. ABC的边长是6、8、x，若使三角形为直角三角形，则x的取值为（ ）
A.10 B.
或不能确定
知识点一 运用勾股定理的逆定理解决问题
知识点归纳
运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角.然后进一步结合其他已知条件来解决问题.
注意 要列断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小.用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比校.如果相等，则三角形为直角三角形;否则不是.
典例剖析
例1 如图，如果只给你一把带刻度的直尺，你能否检验MPN是否是直角？简述你的理由
变式 如图，李叔叔要检测做的门框AD边是否垂直于AB边.但他随身只带了卷尺.
你能替他想到办法完成任务吗?
小明只带了一个长20cm的刻度尺，他能检测门框AD边是否垂直于AB边吗
?
变式 如图所示，是一个零件的形状，按规定这个零件中的AD与CD必须互相垂直，工人师傅通过测量得到A到C的距离是10cm，AD=8cm，CD=6cm.问这个零件是否合格？
知识点二 勾股定理及其逆定理的综合运用
知识点归纳
勾股定理及其逆定理的综合应用有效地将数与形的关系进行了转化·在解决几何图形问题时作用很大.
说明 (1)匀股定理应用的条件是在支角三角形中，而逆定理是用来利断一个三角形走直角三角形的·因此要注意二者在什么时候才能用.
(2)解决问题的关健是要构造出直角三角形或是三角形，必要时添加辅助线.
(3)真正的体验教学中的转化和数形结合的重要思想.
典例剖析
例2 已知，如图，四边形ABCD中，B90，AB=4，BC=3，AD=13，CD=12，求：四边形ABCD的面积.
变式 如图，四边形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且CE
直角吗？
1BC.你能说明AFE是4
精析精练
题型1 利用勾股定理的逆定理判定直角三角形
例1 如图，若在ABC中，AB=5，BC=6，BC边的中线AD=4，求ABC的面积.
例2 若a、b、c是ABC的三边长，且满足a2c2b2c2a4b4，试判定这个三角形的形状.
题型2 勾股数
例3 数学老师在一次探究活动中设计了如下表格：
（1）请同学们观察a、b、c与n的关系，并用含有自然数n（n>1）的代数式表示a、b、c.
（2）猜想以a、b、c为三边的三角形是什么形状的三角形，并验证你的结论.
题型3 勾股定理及其逆定理的综合运用
例4 如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近·便立即通知正在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测AC= 10海里，AB=6海里，BC= 8海里，若该船只的速度为12. 8海里/时，则可疑船只最早何时进人我领海?
基础训练
1.若一个三角形的三条边分别是3
，___________________.
2.木工周师傅做一个长方形桌面,测量得到桌面的长为60 cm，宽为32 cm，对角线为68 cm，这个桌面__________（填“合格”或“不合格”）
3.下列各命题的逆命题不成立的是（ ）
A.两直线平行，同旁内角互补
B.若两个数的绝对值相等，则这两个数相等
C.对顶角相等
D.如果a=b，或a+b0，那么a2b2
4.若一个三角形的三边分别为3k,4k,5k（k为自然数且k0），则这个三角形为______________.
5.观察以下几组勾股数，并寻找规律：
（1）3,4,5 （2）5，12,13 （3）7,24,25 （4）9,40,41；„„
请你写出有以上规律的第（5）组勾股数_____________________-.
6.如图，正方形网格中的ABC，若小方格的边长为1，则ABC是（ ）
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上都有可能
7.命题“到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”的逆命题是________________________________________________________________________.
8.如果ABC的三边分别为m21,2m,m21，其中m为大于1的正整数，则（ ）
A.ABC是直角三角形，且斜边为m21
B.ABC是直角三角形，且斜边为2m
C.ABC是直角三角形，且斜边为m21
D.ABC不是直角三角形
9.已知三条线段的长度比如下，其中能构成直角三角形的是（ ）
A.2：3：4 B.3：4：7 C.5：12：13 D.4：5：7
10.在下图边长为1
的正方形网格内，画出以格点为顶点的三角形，使三条边的长度分别为
.
11.如果一个三角形的三边a,b,c满足a2b2c238810a24b26c,那么该三角形是什么三角形？
12.如图，在ABC中，BC边上的垂直平分线交AB于点E，交BD于点D，若BE2AE2AC2，求证：A
90.