勾股定理的逆定理[鼎尖教案]

勾股定理的逆定理

知识点一 勾股定理的逆定理

1.勾股定理的逆定理:如果三角形三边长a,b,c,满足a2b2c2,那么这个三角形就是直角三角形.

2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形.

典例剖析

例1 判断以线段a,b,c为边的ABC是不是直角三角形;

(1

)abc2 (2)a7,b8,c9

变式

已知x12(y5)20,则以x,y,z为三边的三角形是什么形状的三角形?

变式 已知a,b,c为ABC的三条边,且满足a2b2c257830a34b16c,判断ABC的形状.

知识点二 互逆命题和互逆定理

知识点归纳:

互逆命题:题设和结论正好相反的两个命题为互逆命题.

互逆定理:一般地,如果一个定理的逆命她经过证明是正确的·它也是一个定理,称这两个定理互为逆定理·

注意:

(1)任何一个命题都有逆命题.

(2)原命题成立,它的逆命题不一定成立.也就是说一个定理它有逆命题,但它不一定有逆定理·

(3)找一个命题的逆命题时只需要把原命题的题设和结论换过来.

典例剖析

例2 写出下列命题的逆命题,它们的逆命题一定成立吗?

(1)如果两个角是直角,那么它们相等·

(2)全等三角形的对应边相等·

(3)如果两个实数相等.那么它们的平方也相等,

(4)到角的两边距离相等的点在角的平分线上.

变式 写出下列定理的逆命题,并判断它是否有逆定理:

(1)如果直角三角形的两直角边长分别为a.h,斜边长为c,那么a2b2c2.

(2)对顶角相等.

知识点三 勾股数

满足a2b2c2的三个整数,称为勾股数.

典例剖析

例3 古希腊的哲学家柏拉图曾指出,如果m是大于1的整数,a2m,bm21,cm21,那么a、b、c为勾股数,你认为对吗?如果对,你能利用这个结论得出一些勾股数码?

变式 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,我们称为勾股数,观察下列表格给出的三个数a、b、c,a

(1)写出它们的共同点.(2)当a17时,求b、c的值

.

勾股定理的逆定理的应用

1. 小强在操场上向东走80 m后.改变方向又走了60 m,又改变方向再走100 m回到原地.小强在 操场上向东走了80M后.又走60 m的方向是______________.

2.一根24米绳子,折成三边为三个连续偶数的三角形,则三边长分别为____________,此三角形的形状为__________.

3.若ABC的三边a、b、

c满足a:b:c,则ABC的形状是______________.

4. ABC的边长是6、8、x,若使三角形为直角三角形,则x的取值为( )

A.10 B.

或不能确定

知识点一 运用勾股定理的逆定理解决问题

知识点归纳

运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角.然后进一步结合其他已知条件来解决问题.

注意 要列断一个角是不是直角,先要构造出三角形,然后知道三条边的大小.用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比校.如果相等,则三角形为直角三角形;否则不是.

典例剖析

例1 如图,如果只给你一把带刻度的直尺,你能否检验MPN是否是直角?简述你的理由

变式 如图,李叔叔要检测做的门框AD边是否垂直于AB边.但他随身只带了卷尺.

你能替他想到办法完成任务吗?

小明只带了一个长20cm的刻度尺,他能检测门框AD边是否垂直于AB边吗

?

变式 如图所示,是一个零件的形状,按规定这个零件中的AD与CD必须互相垂直,工人师傅通过测量得到A到C的距离是10cm,AD=8cm,CD=6cm.问这个零件是否合格?

知识点二 勾股定理及其逆定理的综合运用

知识点归纳

勾股定理及其逆定理的综合应用有效地将数与形的关系进行了转化·在解决几何图形问题时作用很大.

说明 (1)匀股定理应用的条件是在支角三角形中,而逆定理是用来利断一个三角形走直角三角形的·因此要注意二者在什么时候才能用.

(2)解决问题的关健是要构造出直角三角形或是三角形,必要时添加辅助线.

(3)真正的体验教学中的转化和数形结合的重要思想.

典例剖析

例2 已知,如图,四边形ABCD中,B90,AB=4,BC=3,AD=13,CD=12,求:四边形ABCD的面积.

变式 如图,四边形ABCD中,F为DC的中点,E为BC上一点,且CE

直角吗?

1BC.你能说明AFE是4

精析精练

题型1 利用勾股定理的逆定理判定直角三角形

例1 如图,若在ABC中,AB=5,BC=6,BC边的中线AD=4,求ABC的面积.

例2 若a、b、c是ABC的三边长,且满足a2c2b2c2a4b4,试判定这个三角形的形状.

题型2 勾股数

例3 数学老师在一次探究活动中设计了如下表格:

(1)请同学们观察a、b、c与n的关系,并用含有自然数n(n>1)的代数式表示a、b、c.

(2)猜想以a、b、c为三边的三角形是什么形状的三角形,并验证你的结论.

题型3 勾股定理及其逆定理的综合运用

例4 如图,南北方向PQ以东为我国领海,以西为公海,晚上10时28分,我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近·便立即通知正在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向,经检测AC= 10海里,AB=6海里,BC= 8海里,若该船只的速度为12. 8海里/时,则可疑船只最早何时进人我领海?

基础训练

1.若一个三角形的三条边分别是3

,___________________.

2.木工周师傅做一个长方形桌面,测量得到桌面的长为60 cm,宽为32 cm,对角线为68 cm,这个桌面__________(填“合格”或“不合格”)

3.下列各命题的逆命题不成立的是( )

A.两直线平行,同旁内角互补

B.若两个数的绝对值相等,则这两个数相等

C.对顶角相等

D.如果a=b,或a+b0,那么a2b2

4.若一个三角形的三边分别为3k,4k,5k(k为自然数且k0),则这个三角形为______________.

5.观察以下几组勾股数,并寻找规律:

(1)3,4,5 (2)5,12,13 (3)7,24,25 (4)9,40,41;„„

请你写出有以上规律的第(5)组勾股数_____________________-.

6.如图,正方形网格中的ABC,若小方格的边长为1,则ABC是( )

A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上都有可能

7.命题“到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”的逆命题是________________________________________________________________________.

8.如果ABC的三边分别为m21,2m,m21,其中m为大于1的正整数,则( )

A.ABC是直角三角形,且斜边为m21

B.ABC是直角三角形,且斜边为2m

C.ABC是直角三角形,且斜边为m21

D.ABC不是直角三角形

9.已知三条线段的长度比如下,其中能构成直角三角形的是( )

A.2:3:4 B.3:4:7 C.5:12:13 D.4:5:7

10.在下图边长为1

的正方形网格内,画出以格点为顶点的三角形,使三条边的长度分别为

.

11.如果一个三角形的三边a,b,c满足a2b2c238810a24b26c,那么该三角形是什么三角形?

12.如图,在ABC中,BC边上的垂直平分线交AB于点E,交BD于点D,若BE2AE2AC2,求证:A

90.

勾股定理的逆定理

知识点一 勾股定理的逆定理

1.勾股定理的逆定理:如果三角形三边长a,b,c,满足a2b2c2,那么这个三角形就是直角三角形.

2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形.

典例剖析

例1 判断以线段a,b,c为边的ABC是不是直角三角形;

(1

)abc2 (2)a7,b8,c9

变式

已知x12(y5)20,则以x,y,z为三边的三角形是什么形状的三角形?

变式 已知a,b,c为ABC的三条边,且满足a2b2c257830a34b16c,判断ABC的形状.

知识点二 互逆命题和互逆定理

知识点归纳:

互逆命题:题设和结论正好相反的两个命题为互逆命题.

互逆定理:一般地,如果一个定理的逆命她经过证明是正确的·它也是一个定理,称这两个定理互为逆定理·

注意:

(1)任何一个命题都有逆命题.

(2)原命题成立,它的逆命题不一定成立.也就是说一个定理它有逆命题,但它不一定有逆定理·

(3)找一个命题的逆命题时只需要把原命题的题设和结论换过来.

典例剖析

例2 写出下列命题的逆命题,它们的逆命题一定成立吗?

(1)如果两个角是直角,那么它们相等·

(2)全等三角形的对应边相等·

(3)如果两个实数相等.那么它们的平方也相等,

(4)到角的两边距离相等的点在角的平分线上.

变式 写出下列定理的逆命题,并判断它是否有逆定理:

(1)如果直角三角形的两直角边长分别为a.h,斜边长为c,那么a2b2c2.

(2)对顶角相等.

知识点三 勾股数

满足a2b2c2的三个整数,称为勾股数.

典例剖析

例3 古希腊的哲学家柏拉图曾指出,如果m是大于1的整数,a2m,bm21,cm21,那么a、b、c为勾股数,你认为对吗?如果对,你能利用这个结论得出一些勾股数码?

变式 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,我们称为勾股数,观察下列表格给出的三个数a、b、c,a

(1)写出它们的共同点.(2)当a17时,求b、c的值

.

勾股定理的逆定理的应用

1. 小强在操场上向东走80 m后.改变方向又走了60 m,又改变方向再走100 m回到原地.小强在 操场上向东走了80M后.又走60 m的方向是______________.

2.一根24米绳子,折成三边为三个连续偶数的三角形,则三边长分别为____________,此三角形的形状为__________.

3.若ABC的三边a、b、

c满足a:b:c,则ABC的形状是______________.

4. ABC的边长是6、8、x,若使三角形为直角三角形,则x的取值为( )

A.10 B.

或不能确定

知识点一 运用勾股定理的逆定理解决问题

知识点归纳

运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角.然后进一步结合其他已知条件来解决问题.

注意 要列断一个角是不是直角,先要构造出三角形,然后知道三条边的大小.用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比校.如果相等,则三角形为直角三角形;否则不是.

典例剖析

例1 如图,如果只给你一把带刻度的直尺,你能否检验MPN是否是直角?简述你的理由

变式 如图,李叔叔要检测做的门框AD边是否垂直于AB边.但他随身只带了卷尺.

你能替他想到办法完成任务吗?

小明只带了一个长20cm的刻度尺,他能检测门框AD边是否垂直于AB边吗

?

变式 如图所示,是一个零件的形状,按规定这个零件中的AD与CD必须互相垂直,工人师傅通过测量得到A到C的距离是10cm,AD=8cm,CD=6cm.问这个零件是否合格?

知识点二 勾股定理及其逆定理的综合运用

知识点归纳

勾股定理及其逆定理的综合应用有效地将数与形的关系进行了转化·在解决几何图形问题时作用很大.

说明 (1)匀股定理应用的条件是在支角三角形中,而逆定理是用来利断一个三角形走直角三角形的·因此要注意二者在什么时候才能用.

(2)解决问题的关健是要构造出直角三角形或是三角形,必要时添加辅助线.

(3)真正的体验教学中的转化和数形结合的重要思想.

典例剖析

例2 已知,如图,四边形ABCD中,B90,AB=4,BC=3,AD=13,CD=12,求:四边形ABCD的面积.

变式 如图,四边形ABCD中,F为DC的中点,E为BC上一点,且CE

直角吗?

1BC.你能说明AFE是4

精析精练

题型1 利用勾股定理的逆定理判定直角三角形

例1 如图,若在ABC中,AB=5,BC=6,BC边的中线AD=4,求ABC的面积.

例2 若a、b、c是ABC的三边长,且满足a2c2b2c2a4b4,试判定这个三角形的形状.

题型2 勾股数

例3 数学老师在一次探究活动中设计了如下表格:

(1)请同学们观察a、b、c与n的关系,并用含有自然数n(n>1)的代数式表示a、b、c.

(2)猜想以a、b、c为三边的三角形是什么形状的三角形,并验证你的结论.

题型3 勾股定理及其逆定理的综合运用

例4 如图,南北方向PQ以东为我国领海,以西为公海,晚上10时28分,我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近·便立即通知正在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向,经检测AC= 10海里,AB=6海里,BC= 8海里,若该船只的速度为12. 8海里/时,则可疑船只最早何时进人我领海?

基础训练

1.若一个三角形的三条边分别是3

,___________________.

2.木工周师傅做一个长方形桌面,测量得到桌面的长为60 cm,宽为32 cm,对角线为68 cm,这个桌面__________(填“合格”或“不合格”)

3.下列各命题的逆命题不成立的是( )

A.两直线平行,同旁内角互补

B.若两个数的绝对值相等,则这两个数相等

C.对顶角相等

D.如果a=b,或a+b0,那么a2b2

4.若一个三角形的三边分别为3k,4k,5k(k为自然数且k0),则这个三角形为______________.

5.观察以下几组勾股数,并寻找规律:

(1)3,4,5 (2)5,12,13 (3)7,24,25 (4)9,40,41;„„

请你写出有以上规律的第(5)组勾股数_____________________-.

6.如图,正方形网格中的ABC,若小方格的边长为1,则ABC是( )

A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上都有可能

7.命题“到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”的逆命题是________________________________________________________________________.

8.如果ABC的三边分别为m21,2m,m21,其中m为大于1的正整数,则( )

A.ABC是直角三角形,且斜边为m21

B.ABC是直角三角形,且斜边为2m

C.ABC是直角三角形,且斜边为m21

D.ABC不是直角三角形

9.已知三条线段的长度比如下,其中能构成直角三角形的是( )

A.2:3:4 B.3:4:7 C.5:12:13 D.4:5:7

10.在下图边长为1

的正方形网格内,画出以格点为顶点的三角形,使三条边的长度分别为

.

11.如果一个三角形的三边a,b,c满足a2b2c238810a24b26c,那么该三角形是什么三角形?

12.如图,在ABC中,BC边上的垂直平分线交AB于点E,交BD于点D,若BE2AE2AC2,求证:A

90.


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