课题：矩形中的折叠问题
114中学 张爱 教学目标：
知识与技能：灵活运用矩形的性质、轴对称性质、全等三角形等知识解决矩形中
的折叠问题.
过程与方法：在分析三类基本折叠问题的过程中，体会利用方程思想、转化思想
解决折叠问题的一般方法.
情感态度价值观：通过综合应用数学知识解决折叠问题，体会知识间的联系，感
受数学学习的乐趣.
教学重点：解决矩形中的折叠问题.
教学难点：综合运用知识挖掘矩形折叠问题中角度和线段的数量关系. 教学方法：引导探究式教学
教学过程
（一）课堂引入
师：将矩形按不同要求进行折叠，就会产生丰富多彩的几何问题，今天我们就来研究矩形的折叠问题.
（二）讲授新课 A D F 例1：如图，已知矩形ABCD，将△BCD沿对角线BD折叠，
点C落在点E处，BE交AD于点F.
B C 师：根据图像，你能发现图中有哪些相等的线段和角吗？ 生：AB=DC=ED，BF=DF，AF=EF，BC=BE=AD；
∠E=∠A=90°，∠ABF=∠EDF，∠FBD=∠FDB=∠DBC，∠BDC=∠BDE；
师：由此，我们可以归纳出图中的三角形具有哪些特殊的性质？
生：△EBD≅△CBD≅△ADB且都是直角三角形，△ABF≅△EDF；△FBD是等腰三角形；并且△EBD与△CBD关于直线BD对称，若连接EC，则BD垂直平分EC（对称轴垂直平分对应点之间的连线）.
师：我们将矩形纸片沿对角线进行折叠，折叠后的图形中含有全等三角形、等腰
三角形，以及轴对称图形，下面我们就来看看几个具体的问题：
（1） 若∠ADE=20°，求∠EBD的度数．
（2） 若AB=4，BC=8，求AF．
解：（1）∵矩形ABCD中，∠C=90°，又∵翻折，∴∠E=∠C=90°，
∵∠ADE=20°，∴∠EFD=70°.∵AD∥BC，∴∠FDB=∠DBC ，
又∵∠FBD=∠DBC，∴ ∠FBD=∠FDB，∴∠FBD=35°.
（2）∵∠FBD=∠FDB，∴FB=FD，设AF为x，则FD=FB= 8-x，在△ABF
2中，∠A=90°，BF2=AB2+AF2，因此，(8-x)=x2+42 ，解得x=3，
∴AF=3.
【小结】
师生共同小结，教师进行归纳：
将矩形沿对角线进行折叠，我们从翻折产生的性质和背景图形的性质两方面入手，分析出了图中相等的线段和角，找到了全等三角形，等腰三角形，从而解决了问题.
图中还隐含着一个重要的基本几何图形， 即角平分线和平行线结合在了一起，这时会出现等腰三角形，这对于我们解题有很大帮助.因此我们在识图时一
G 定要注意挖掘出图中的基本几何图形.
A D 例2：将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与点D重合，
点A落在点G处.
师：请你分析出图中存在着哪些数量关系. 生：AB=DC=DG，BF=DF=DE，AE=EG=FC；∠G=∠A=90°，
∠CDF=∠GDE，∠DFC=∠DEG ，∠BFE=∠DFE=∠FED；
△DGE≅△DCF，且都是直角三角形，△DEF是等腰三角形；并且四边形EABF与四边形EGDF关于直线EF对称.
师：下面我们来看具体问题：
（1） 判断四边形BFDE的形状；
（2） 若AB=2，BC=4，求折痕EF的长.
G 解：（1）四边形BFDE是菱形
证法一： ∵B与D 关于直线EF对称 A ∴EF⊥BD，且BO=OD
∵AD∥BC ∴EO：OF=BO：DO
∴EO=OF C B F ∴四边形BFDE是菱形.
证法二： ∵ED平行且等于BF
∴四边形BFDE是平行四边形
∵△DGE≅△DCF，ED=DF
∴四边形BFDE是菱形 C
（2）∵四边形BFDE是菱形
11 ∴S =BD⋅EF=BF⋅DC 22
设FC为x，则FD=FB= 4-x，在△DFC中，DF=DC+FC，因此，222
(4-x)2=x2+22 ，解得x=1.5，∴FC=1.5 ，BF=2.5
又∵DC=2 ，BD=25
∴2⋅EF=5⋅2 ， EF=. 22
这里问题的解法比较多，教师鼓励学生一题多解，给学生展示不同思路的机会.
【小结】
师生共同小结，教师适当归纳：
例2中的图形是沿着某一直线折叠，使矩形对角的顶点互相重合.我们仍然找到了相等的线段、角，全等三角形，等腰三角形，还有特殊的四边形——菱形. 回顾例1、例2中两个计算边长的问题，勾股定理是解决此类问题的有力工具，并且两题都用到了和设未知数的方法，这里也体现了数学中的方程思想.
例3：如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好
落在BC边上F点处.
1问题：若sin∠EFC=，求tan∠DAE. 3
ADEBC师：请你先分析图形中的数量关系，写在学案上，然后独立完成问题.
生：图中的主要关系有：∆ADE≅∆AFE，∆ABF∽∆FCE，∠B=∠C=∠D=∠AFE=90︒，勾股定理可以用于任何一个直角三角形.
解：∵∠B=∠C=∠AFE=90°，∠BAF+∠BFA=90°，∠BFA+∠EFC=90°，
∴∠BAF=∠EFC，∴∴∆ABF∽∆FCE ECBF1== ∴sin∠EFC=FEAF3
设EC为a，则EF=ED=3a，∴AB=DC=4a，
∴AF=32a
∴AD=32a
∴tan∠DAE=DE3a2 ==AD2a2
【小结】
师生共同小结：
本题中这个图形是使矩形的一个顶点落在矩形的一边上，图中除出现全等三角形外，还出现了相似三角形，相似的出现并不意外，这是因为出现了我们在几何中曾经总结过的一个基本图形，即同一直线上出现三个直角（或60°角或120°角）时，则会出现相似图形.由此可见，在复杂图形中挖掘出基本几何图形是非常重要的.
（三）课堂小结
这节课我们研究了矩形折叠中的三类基本折叠问题，相信同学们都有了一定的收获和感受，下面就请你们谈谈吧.
学生畅谈感受和收获.
教师总结：
以上三个例题体现了折叠问题中的三种基本折法，通过这三道例题，我们今后再遇到此类问题应该有了一定的解题思路.
首先，我们应该从由折叠产生的轴对称图形和背景图形的性质入手，找出相等的线段、角，直角三角形等，这些是我们解决问题的基本条件.
其次，根据这些基本条件，再结合我们在几何中已有的知识经验，挖掘常见的基本图形，从而找到全等三角形、相似三角形、等腰三角形等特殊图形，这些是解决问题的关键.
再有，在特殊图形中运用方程思想，借助勾股定理或相似性质，是计算边长的常用方法.
图形折叠问题题型变化多端，但万变不离其宗，只要我们掌握了解决问题的一般思路，相信你们定能将一道道难题破解.
（四）布置作业
完成学案上的问题，并且例2的两个问题分别用两种方法解出来.
课题：矩形中的折叠问题
114中学 张爱 教学目标：
知识与技能：灵活运用矩形的性质、轴对称性质、全等三角形等知识解决矩形中
的折叠问题.
过程与方法：在分析三类基本折叠问题的过程中，体会利用方程思想、转化思想
解决折叠问题的一般方法.
情感态度价值观：通过综合应用数学知识解决折叠问题，体会知识间的联系，感
受数学学习的乐趣.
教学重点：解决矩形中的折叠问题.
教学难点：综合运用知识挖掘矩形折叠问题中角度和线段的数量关系. 教学方法：引导探究式教学
教学过程
（一）课堂引入
师：将矩形按不同要求进行折叠，就会产生丰富多彩的几何问题，今天我们就来研究矩形的折叠问题.
（二）讲授新课 A D F 例1：如图，已知矩形ABCD，将△BCD沿对角线BD折叠，
点C落在点E处，BE交AD于点F.
B C 师：根据图像，你能发现图中有哪些相等的线段和角吗？ 生：AB=DC=ED，BF=DF，AF=EF，BC=BE=AD；
∠E=∠A=90°，∠ABF=∠EDF，∠FBD=∠FDB=∠DBC，∠BDC=∠BDE；
师：由此，我们可以归纳出图中的三角形具有哪些特殊的性质？
生：△EBD≅△CBD≅△ADB且都是直角三角形，△ABF≅△EDF；△FBD是等腰三角形；并且△EBD与△CBD关于直线BD对称，若连接EC，则BD垂直平分EC（对称轴垂直平分对应点之间的连线）.
师：我们将矩形纸片沿对角线进行折叠，折叠后的图形中含有全等三角形、等腰
三角形，以及轴对称图形，下面我们就来看看几个具体的问题：
（1） 若∠ADE=20°，求∠EBD的度数．
（2） 若AB=4，BC=8，求AF．
解：（1）∵矩形ABCD中，∠C=90°，又∵翻折，∴∠E=∠C=90°，
∵∠ADE=20°，∴∠EFD=70°.∵AD∥BC，∴∠FDB=∠DBC ，
又∵∠FBD=∠DBC，∴ ∠FBD=∠FDB，∴∠FBD=35°.
（2）∵∠FBD=∠FDB，∴FB=FD，设AF为x，则FD=FB= 8-x，在△ABF
2中，∠A=90°，BF2=AB2+AF2，因此，(8-x)=x2+42 ，解得x=3，
∴AF=3.
【小结】
师生共同小结，教师进行归纳：
将矩形沿对角线进行折叠，我们从翻折产生的性质和背景图形的性质两方面入手，分析出了图中相等的线段和角，找到了全等三角形，等腰三角形，从而解决了问题.
图中还隐含着一个重要的基本几何图形， 即角平分线和平行线结合在了一起，这时会出现等腰三角形，这对于我们解题有很大帮助.因此我们在识图时一
G 定要注意挖掘出图中的基本几何图形.
A D 例2：将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与点D重合，
点A落在点G处.
师：请你分析出图中存在着哪些数量关系. 生：AB=DC=DG，BF=DF=DE，AE=EG=FC；∠G=∠A=90°，
∠CDF=∠GDE，∠DFC=∠DEG ，∠BFE=∠DFE=∠FED；
△DGE≅△DCF，且都是直角三角形，△DEF是等腰三角形；并且四边形EABF与四边形EGDF关于直线EF对称.
师：下面我们来看具体问题：
（1） 判断四边形BFDE的形状；
（2） 若AB=2，BC=4，求折痕EF的长.
G 解：（1）四边形BFDE是菱形
证法一： ∵B与D 关于直线EF对称 A ∴EF⊥BD，且BO=OD
∵AD∥BC ∴EO：OF=BO：DO
∴EO=OF C B F ∴四边形BFDE是菱形.
证法二： ∵ED平行且等于BF
∴四边形BFDE是平行四边形
∵△DGE≅△DCF，ED=DF
∴四边形BFDE是菱形 C
（2）∵四边形BFDE是菱形
11 ∴S =BD⋅EF=BF⋅DC 22
设FC为x，则FD=FB= 4-x，在△DFC中，DF=DC+FC，因此，222
(4-x)2=x2+22 ，解得x=1.5，∴FC=1.5 ，BF=2.5
又∵DC=2 ，BD=25
∴2⋅EF=5⋅2 ， EF=. 22
这里问题的解法比较多，教师鼓励学生一题多解，给学生展示不同思路的机会.
【小结】
师生共同小结，教师适当归纳：
例2中的图形是沿着某一直线折叠，使矩形对角的顶点互相重合.我们仍然找到了相等的线段、角，全等三角形，等腰三角形，还有特殊的四边形——菱形. 回顾例1、例2中两个计算边长的问题，勾股定理是解决此类问题的有力工具，并且两题都用到了和设未知数的方法，这里也体现了数学中的方程思想.
例3：如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好
落在BC边上F点处.
1问题：若sin∠EFC=，求tan∠DAE. 3
ADEBC师：请你先分析图形中的数量关系，写在学案上，然后独立完成问题.
生：图中的主要关系有：∆ADE≅∆AFE，∆ABF∽∆FCE，∠B=∠C=∠D=∠AFE=90︒，勾股定理可以用于任何一个直角三角形.
解：∵∠B=∠C=∠AFE=90°，∠BAF+∠BFA=90°，∠BFA+∠EFC=90°，
∴∠BAF=∠EFC，∴∴∆ABF∽∆FCE ECBF1== ∴sin∠EFC=FEAF3
设EC为a，则EF=ED=3a，∴AB=DC=4a，
∴AF=32a
∴AD=32a
∴tan∠DAE=DE3a2 ==AD2a2
【小结】
师生共同小结：
本题中这个图形是使矩形的一个顶点落在矩形的一边上，图中除出现全等三角形外，还出现了相似三角形，相似的出现并不意外，这是因为出现了我们在几何中曾经总结过的一个基本图形，即同一直线上出现三个直角（或60°角或120°角）时，则会出现相似图形.由此可见，在复杂图形中挖掘出基本几何图形是非常重要的.
（三）课堂小结
这节课我们研究了矩形折叠中的三类基本折叠问题，相信同学们都有了一定的收获和感受，下面就请你们谈谈吧.
学生畅谈感受和收获.
教师总结：
以上三个例题体现了折叠问题中的三种基本折法，通过这三道例题，我们今后再遇到此类问题应该有了一定的解题思路.
首先，我们应该从由折叠产生的轴对称图形和背景图形的性质入手，找出相等的线段、角，直角三角形等，这些是我们解决问题的基本条件.
其次，根据这些基本条件，再结合我们在几何中已有的知识经验，挖掘常见的基本图形，从而找到全等三角形、相似三角形、等腰三角形等特殊图形，这些是解决问题的关键.
再有，在特殊图形中运用方程思想，借助勾股定理或相似性质，是计算边长的常用方法.
图形折叠问题题型变化多端，但万变不离其宗，只要我们掌握了解决问题的一般思路，相信你们定能将一道道难题破解.
（四）布置作业
完成学案上的问题，并且例2的两个问题分别用两种方法解出来.