高考数学中求轨迹方程的常见方法
一、直接法当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.
例1 已知点A (-2, 0) 、B (3, 0). 动点P (x , y ) 满足⋅=x 2，则点P 的轨迹为（ ）
A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 解：=(-2-x , -y ), =(3-x , -y ) ，∴⋅=(-2-x )(3-x ) +y 2
=x 2-x -6+y 2. 由条件，x 2-x -6+y 2=x 2，整理得y 2=x +6，此即点P 的轨迹方程，所以P 的轨迹为抛物线，选D.
二、定义法
定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.
例2 已知∆ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若a , c , b 依次构成等差数列，且a >c >b ，AB =2，求顶点C 的轨迹方程.
解：如右图，以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点为原
点建立直角坐标系. 由题意，a , c , b 构成等差数列，∴2c =a +b ，
即|CA |+|CB |=2|AB |=4，又CB >CA ，∴C 的轨迹为椭圆的左半部分. 在此椭圆中，
x 2y 2
+=1(x
三、代入法
当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点P 的坐标x , y 来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点P 的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法. 22例3 如图，从双曲线C :x -y =1上一点Q 引直线 l :x +y =2的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程. 解：设P (x , y ) ，Q(x 1, y 1) ，则N (2x -x 1, 2y -y 1) . N 在直线l 上，
∴2x -x 1+2y -y 1=2. ① 又PN ⊥l 得y -y 1=1, 即x -y +y 1-x 1=0.
②联解①②得x -x 1
3x +y -2⎧x =3x +y -223y +x -22⎪⎪12C ∴() -() =1，化简整理得：. 又点在双曲线上，Q ⎨22⎪y =3y +x -2
1⎪2⎩
2x 2-2y 2-2x +2y -1=0，此即动点P 的轨迹方程.
四、几何法
几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满足的条件，从而得到动点的轨迹方程.
例4 已知点A (-3, 2) 、B (1, -4) ，过A 、B 作两条互相垂直的直线l 1和l 2，求l 1和l 2的交点M 的轨迹方程.
解：由平面几何知识可知，当∆ABM 为直角三角形时，点M 的轨迹是以AB 为直径的圆. 此圆的圆心即为AB 的中点(-1, -1) ，半径为152，方程为AB =22
(x +1) 2+(y +1) 2=13. 故M 的轨迹方程为(x +1) 2+(y +1) 2=13.
五、参数法
参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标x , y 间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到x , y 间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.
例5 过抛物线y 2=2px （p >0）的顶点O 作两条互相垂直的弦OA 、OB ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.
解：设M (x , y ) ，直线OA 的斜率为k (k ≠0) ，则直线OB 的斜率为-1. 直线OA 的方k
⎧x =⎧y =kx ⎪⎪程为y =kx ，由⎨2解得⎨⎩y =2px ⎪y =⎪⎩2p k 2，即A (2p , 2p ) ，同理可得B (2pk 2, -2pk ) . k 2k 2p k
p ⎧2x =+pk ⎪k 2由中点坐标公式，得⎪，消去k ，得y 2=p (x -2p ) ，此即点M 的轨迹方程. ⎨⎪y =p -pk ⎪k ⎩
六、交轨法
求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.
x 2y 2
例6 如右图，垂直于x 轴的直线交双曲线2-2=1于 a b
M 、N 两点，A 1, A 2为双曲线的左、右顶点，求直线A 1M 与 A 2N 的交点P 的轨迹方程，并指出轨迹的形状
.
解：设P (x , y ) 及M (x 1, y 1), N (x 1, -y 1) ，又A 1(-a , 0), A 2(a , 0) ，可得 直线A 1M 的方程为y =y 1-y 1(x +a ) ①；直线A 2N 的方程为y =(x -a ) ②. x 1+a x 1+a
x 12y 12-y 12b 2
2222①×②得y =2代入③得(x -a ) ③. 又 2-2=1, ∴-y 1=2(a -x 12) ，2a b a x 1-a 2
b 2
2x 2y 2
2y =-2(x -a ) ，化简得2+2=1，此即点P 的轨迹方程. 当a =b 时，点P 的轨a a b 2
迹是以原点为圆心、a 为半径的圆；当a ≠b 时，点P 的轨迹是椭圆.
高考数学中求轨迹方程的常见方法
一、直接法当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.
例1 已知点A (-2, 0) 、B (3, 0). 动点P (x , y ) 满足⋅=x 2，则点P 的轨迹为（ ）
A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 解：=(-2-x , -y ), =(3-x , -y ) ，∴⋅=(-2-x )(3-x ) +y 2
=x 2-x -6+y 2. 由条件，x 2-x -6+y 2=x 2，整理得y 2=x +6，此即点P 的轨迹方程，所以P 的轨迹为抛物线，选D.
二、定义法
定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.
例2 已知∆ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若a , c , b 依次构成等差数列，且a >c >b ，AB =2，求顶点C 的轨迹方程.
解：如右图，以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点为原
点建立直角坐标系. 由题意，a , c , b 构成等差数列，∴2c =a +b ，
即|CA |+|CB |=2|AB |=4，又CB >CA ，∴C 的轨迹为椭圆的左半部分. 在此椭圆中，
x 2y 2
+=1(x
三、代入法
当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点P 的坐标x , y 来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点P 的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法. 22例3 如图，从双曲线C :x -y =1上一点Q 引直线 l :x +y =2的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程. 解：设P (x , y ) ，Q(x 1, y 1) ，则N (2x -x 1, 2y -y 1) . N 在直线l 上，
∴2x -x 1+2y -y 1=2. ① 又PN ⊥l 得y -y 1=1, 即x -y +y 1-x 1=0.
②联解①②得x -x 1
3x +y -2⎧x =3x +y -223y +x -22⎪⎪12C ∴() -() =1，化简整理得：. 又点在双曲线上，Q ⎨22⎪y =3y +x -2
1⎪2⎩
2x 2-2y 2-2x +2y -1=0，此即动点P 的轨迹方程.
四、几何法
几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满足的条件，从而得到动点的轨迹方程.
例4 已知点A (-3, 2) 、B (1, -4) ，过A 、B 作两条互相垂直的直线l 1和l 2，求l 1和l 2的交点M 的轨迹方程.
解：由平面几何知识可知，当∆ABM 为直角三角形时，点M 的轨迹是以AB 为直径的圆. 此圆的圆心即为AB 的中点(-1, -1) ，半径为152，方程为AB =22
(x +1) 2+(y +1) 2=13. 故M 的轨迹方程为(x +1) 2+(y +1) 2=13.
五、参数法
参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标x , y 间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到x , y 间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.
例5 过抛物线y 2=2px （p >0）的顶点O 作两条互相垂直的弦OA 、OB ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.
解：设M (x , y ) ，直线OA 的斜率为k (k ≠0) ，则直线OB 的斜率为-1. 直线OA 的方k
⎧x =⎧y =kx ⎪⎪程为y =kx ，由⎨2解得⎨⎩y =2px ⎪y =⎪⎩2p k 2，即A (2p , 2p ) ，同理可得B (2pk 2, -2pk ) . k 2k 2p k
p ⎧2x =+pk ⎪k 2由中点坐标公式，得⎪，消去k ，得y 2=p (x -2p ) ，此即点M 的轨迹方程. ⎨⎪y =p -pk ⎪k ⎩
六、交轨法
求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.
x 2y 2
例6 如右图，垂直于x 轴的直线交双曲线2-2=1于 a b
M 、N 两点，A 1, A 2为双曲线的左、右顶点，求直线A 1M 与 A 2N 的交点P 的轨迹方程，并指出轨迹的形状
.
解：设P (x , y ) 及M (x 1, y 1), N (x 1, -y 1) ，又A 1(-a , 0), A 2(a , 0) ，可得 直线A 1M 的方程为y =y 1-y 1(x +a ) ①；直线A 2N 的方程为y =(x -a ) ②. x 1+a x 1+a
x 12y 12-y 12b 2
2222①×②得y =2代入③得(x -a ) ③. 又 2-2=1, ∴-y 1=2(a -x 12) ，2a b a x 1-a 2
b 2
2x 2y 2
2y =-2(x -a ) ，化简得2+2=1，此即点P 的轨迹方程. 当a =b 时，点P 的轨a a b 2
迹是以原点为圆心、a 为半径的圆；当a ≠b 时，点P 的轨迹是椭圆.