第三章随机信号分析

第三章随机信号分析





随机过程平稳随机过程随机过程通过系统噪声

3.1 随机过程







通信过程就是信号和噪声通过系统的过程。通信中信号特点：具有不可预知性——随机信号。通信中噪声特点：具有不确定性——随机噪声。统计学上：随机过程。

一、基本概念

二、统计特性

一、基本概念











随机变量定义分布函数概率密度函数二维随机变量随机变量的数字特征







数学期望方差协方差矩

基本概念（续）

随机过程

设E是随机试验，S={e}是其样本空间，如果对于每一个e∈S，有一个时间t的实函数

ξ(e,t)t∈T

与之对应，于是对于所有的e∈S，得到时间t的函数族。该族时间t的函数称为随机过程，族中每个函数称为这个随机过程的样本函数。

ξ(t)={x1(t),x2(t),……,xn(t),……}

x1(t),x2(t),……为样本函数

基本概念（续）



随机过程的一个实现每一个实现都是一个确定的时间函数，即样本。随机过程其随机性体现在出现哪一个样本是不确定的。随机过程没有确定的时间函数，只能从统计角度，用概率分布和数字特征来描述。

二、统计特性









概率分布数学期望方差协方差函数相关函数

2.数学期望

E[(t)]xf1(x,t)dxa(t)

物理意义：表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心（平均值）

3. 方差

D((t)]E{(t)E[(t)]}(t)22

物理意义：表示随机过程在某时刻t的取值（随机变量）相对于该时刻的期望a(t)的偏离程度

4.自相关函数

R(t1,t2)E[(t1)(t2)]

x1x2f2(x1,x2;t1,t2)dx1dx2

物理意义：表示随机过程在两个时刻的取值的关联程度，ξ(t)变化越平缓，两个时刻取值的相关性越大，R值越大

5.自协方差函数

B(t1,t2)E{[(t1)a(t1)][(t2)a(t2)]}

fxxttdxdxxatxat,;,[1**********]

物理意义：表示随机过程在两个时刻间的线性依从关系

6.互协方差及互相关函数

B(t1,t2)E{[(t1)a(t1)][(t2)a(t2)]}

R(t1,t2)E[(t1)(t2)]

x1y2f2(x1,y2;t1,t2)dx1dy2

3.2 平稳随机过程







定义各态历经性自相关函数功率谱密度

一、定义



若随机过程的n维概率分布函数Fn()和n维概率密度函数fn()与时间起点无关，则为平稳随机过程严平稳过程，狭义平稳过程

fnx1,x2,...,xn;t1,t2,...,tn

fnx1,x2,...,xn;t1,t2,...,tn

定义（续）

a (t)a;σ2(t)σ2; R(t1,t2)R(τ)







一维分布与t无关：二维分布只与τ有关统计特性与时间起点无关依据数字特征定义

宽平稳过程，广义平稳过程

平稳随机过程的自相关函数以相关函数表示随机过程的物理特性

RτEttτξ(t)的平均功率：S = E[ξξ(t)的直流功率：a2= E2[ξ(t)] = R(∞)

2ξ(t)的交流功率：σ= R(0) -R(∞)

相关函数其他性质

R(τ)=R(-τ)

| R(τ)|≤R(0)2(t)] = R(0)

3.3 噪声



噪声种类高斯白噪声

随机过程通过线性系统窄带噪声

正弦波加窄带噪声

二、高斯随机过程-高斯白噪声



高斯随机过程

时域特性

频域特性

高斯白噪声—时域特性



高斯过程重要性质







广义平稳和狭义平稳等价

高斯过程中不同瞬间得到的随机变量之间，互不相关和相互独立等价

高斯过程通过线性系统，其输出仍是一个高斯过程

平稳高斯过程，数学期望和方差都是常数

高斯白噪声—频域特性

频域特性——近似白噪声

白噪声：功率谱密度在整个频域内都均匀分布双边功率谱密度函数为：单边功率谱密度函数为：Pn(ω)=n0/2(W/Hz)Pn(ω)=n0(W/Hz)

Pn（f）n0/2

Pn（fn00

f

通信系统中的起伏噪声，在相当宽的频域内具有平坦的功率谱，故近似认为是白噪声。

三、随机过程通过系统

1、随机过程通过线性系统2、随机过程通过乘法器

四、窄带随机过程—窄带噪声



定义表示法1：

(t)a(t)cos[ct(t)]

a ξ(t)对应信号的包络，φξ(t)对应信号的相位，ωc=2πfc窄带信号的中心频率（载频）

定义(续)

表示法2：

(t)c(t)coscts(t)sinct

c(t)a(t)cos(t)—同相分量s(t)a(t)sin(t)

—正交分量

时域分析



ctst



的实现

关于ct,st

ct和st的均值都为0

ct和st的自相关只与时间有关

t的方差st的方差= ct、

同一时刻得到的ct和st不相关ct和st也是平稳高斯过程ct和st的功率谱密度关于at和t的一维分布

时域分析(续)

窄带噪声可由高斯白噪声经过窄带滤波器得到。

t、t都是均值a=0的窄带噪声的t、

t、t的平均功平稳高斯白噪声；t、2

率（方差）相同，为

c

s

c

s

第三章随机信号分析





随机过程平稳随机过程随机过程通过系统噪声

3.1 随机过程







通信过程就是信号和噪声通过系统的过程。通信中信号特点：具有不可预知性——随机信号。通信中噪声特点：具有不确定性——随机噪声。统计学上：随机过程。

一、基本概念

二、统计特性

一、基本概念











随机变量定义分布函数概率密度函数二维随机变量随机变量的数字特征







数学期望方差协方差矩

基本概念（续）

随机过程

设E是随机试验，S={e}是其样本空间，如果对于每一个e∈S，有一个时间t的实函数

ξ(e,t)t∈T

与之对应，于是对于所有的e∈S，得到时间t的函数族。该族时间t的函数称为随机过程，族中每个函数称为这个随机过程的样本函数。

ξ(t)={x1(t),x2(t),……,xn(t),……}

x1(t),x2(t),……为样本函数

基本概念（续）



随机过程的一个实现每一个实现都是一个确定的时间函数，即样本。随机过程其随机性体现在出现哪一个样本是不确定的。随机过程没有确定的时间函数，只能从统计角度，用概率分布和数字特征来描述。

二、统计特性









概率分布数学期望方差协方差函数相关函数

2.数学期望

E[(t)]xf1(x,t)dxa(t)

物理意义：表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心（平均值）

3. 方差

D((t)]E{(t)E[(t)]}(t)22

物理意义：表示随机过程在某时刻t的取值（随机变量）相对于该时刻的期望a(t)的偏离程度

4.自相关函数

R(t1,t2)E[(t1)(t2)]

x1x2f2(x1,x2;t1,t2)dx1dx2

物理意义：表示随机过程在两个时刻的取值的关联程度，ξ(t)变化越平缓，两个时刻取值的相关性越大，R值越大

5.自协方差函数

B(t1,t2)E{[(t1)a(t1)][(t2)a(t2)]}

fxxttdxdxxatxat,;,[1**********]

物理意义：表示随机过程在两个时刻间的线性依从关系

6.互协方差及互相关函数

B(t1,t2)E{[(t1)a(t1)][(t2)a(t2)]}

R(t1,t2)E[(t1)(t2)]

x1y2f2(x1,y2;t1,t2)dx1dy2

3.2 平稳随机过程







定义各态历经性自相关函数功率谱密度

一、定义



若随机过程的n维概率分布函数Fn()和n维概率密度函数fn()与时间起点无关，则为平稳随机过程严平稳过程，狭义平稳过程

fnx1,x2,...,xn;t1,t2,...,tn

fnx1,x2,...,xn;t1,t2,...,tn

定义（续）

a (t)a;σ2(t)σ2; R(t1,t2)R(τ)







一维分布与t无关：二维分布只与τ有关统计特性与时间起点无关依据数字特征定义

宽平稳过程，广义平稳过程

平稳随机过程的自相关函数以相关函数表示随机过程的物理特性

RτEttτξ(t)的平均功率：S = E[ξξ(t)的直流功率：a2= E2[ξ(t)] = R(∞)

2ξ(t)的交流功率：σ= R(0) -R(∞)

相关函数其他性质

R(τ)=R(-τ)

| R(τ)|≤R(0)2(t)] = R(0)

3.3 噪声



噪声种类高斯白噪声

随机过程通过线性系统窄带噪声

正弦波加窄带噪声

二、高斯随机过程-高斯白噪声



高斯随机过程

时域特性

频域特性

高斯白噪声—时域特性



高斯过程重要性质







广义平稳和狭义平稳等价

高斯过程中不同瞬间得到的随机变量之间，互不相关和相互独立等价

高斯过程通过线性系统，其输出仍是一个高斯过程

平稳高斯过程，数学期望和方差都是常数

高斯白噪声—频域特性

频域特性——近似白噪声

白噪声：功率谱密度在整个频域内都均匀分布双边功率谱密度函数为：单边功率谱密度函数为：Pn(ω)=n0/2(W/Hz)Pn(ω)=n0(W/Hz)

Pn（f）n0/2

Pn（fn00

f

通信系统中的起伏噪声，在相当宽的频域内具有平坦的功率谱，故近似认为是白噪声。

三、随机过程通过系统

1、随机过程通过线性系统2、随机过程通过乘法器

四、窄带随机过程—窄带噪声



定义表示法1：

(t)a(t)cos[ct(t)]

a ξ(t)对应信号的包络，φξ(t)对应信号的相位，ωc=2πfc窄带信号的中心频率（载频）

定义(续)

表示法2：

(t)c(t)coscts(t)sinct

c(t)a(t)cos(t)—同相分量s(t)a(t)sin(t)

—正交分量

时域分析



ctst



的实现

关于ct,st

ct和st的均值都为0

ct和st的自相关只与时间有关

t的方差st的方差= ct、

同一时刻得到的ct和st不相关ct和st也是平稳高斯过程ct和st的功率谱密度关于at和t的一维分布

时域分析(续)

窄带噪声可由高斯白噪声经过窄带滤波器得到。

t、t都是均值a=0的窄带噪声的t、

t、t的平均功平稳高斯白噪声；t、2

率（方差）相同，为

c

s

c

s