因式分解的概念
教学目标
1. 使学生正确理解因式分解的概念；
2. 了解因式分解与整式乘法的关系；
3. 了解因式分解的作用.
教学重点和难点
重点：因式分解的概念.
难点：因式分解与整式乘法的关系.
教学过程设计
一、导入新课
在小学时，我们学过了把一个整数分解成质因数的方法，例如：
24=2×12=4×6=2×2×2×3＝23×3 (*)
问：哪些数是24的因数? 哪些数是24的质因数? 为什么?
答：2，3，4，6，12都能整除24，所以都是24的因数；但其中的4，6，12还可以继续分解，故它们都不是24的质因数；而2与3不能再分解了，所以把它们称为24的质因数. 指出：(*)式中，两个或两个以上的数相乘得到的积中的每一个数都是乘积的因数，能 整除某数的数，都是这个数的因数.
问：42的因数和质因数是什么? 为什么?
答：2，3，6，7，14都是42的因数，因为这些数都能整除42. 其中2，3，7是42的质因数，因为这些数只能被1和自身整除.
指出：求一个数的因数，把一个数写成它的因数的积的形式，叫做因数分解法. 因数分解在分数运算中有重要作用.
例 计算：(1)1528×825÷247； (2)110＋1115.
解 (1)原式＝1528×825÷187
＝1528×825×718
＝3×54×7×2×45×5×72×3×3
＝115；
(2)原式＝12×5＋113×5
＝1×3＋11×22×5×3
＝2530
＝56.
注意：
1.乘、除运算中，首先把除法转化为乘法，再进行因数分解、约分，然后再进行乘法运算.
2. 异分母的加减法运算规律是，利用因数分解求出各分母的最小公倍数作为公分母，通分后变为同分母的分数，再进行加、减运算.
请同学观察下面两个等式：
3322 a＋b =(a＋b)(a-ab ＋b ) ，
22 3ｍ-3ｎ＝3(ｍ＋ｎ)(ｍ-ｎ).
可以看出，这两个等式的左边都是多项式，右边都是整式乘积的形式，并且右边的每一个因式都能整除左边的式项式.
我们把上面这种从左式到右式的恒等变形叫做多项式的因式分解. 在复习了整数的因数分解的基础上，我们将进一步学习多项式的因式分解.
二、讲授新课
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个 多项式分解因式.
像把ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ写成ｍ(a＋b ＋ｃ) 那样，就是把多项式因式分解.
22 又如，把ａ－ｂ写成(ａ＋ｂ)(ａ－ｂ) 等等，都是把多项式因式分解.
我们写成等式形式，就是：
ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ＝ｍ(ａ＋ｂ＋ｃ) ，
22 ａ－ｂ＝(ａ＋ｂ)(ａ－ｂ).
这两个等式的左边都是多项式，而右边都是整式积的形式.
问：下列各题中，从左式到右式的变形，哪些是因式分解? 哪些不是因式分解? 为什么?
2222 (1)ａ＋2ａｂ＋ｂ＝(ａ＋ｂ) ； (2)ｘ－3ｘ＋2＝(ｘ－1)(ｘ－2) ；
22 (3)(ｘ＋2)(ｘ－1) ＝ｘ＋ｘ－2； (4)ｘ(ｘ＋2) ＝ｘ＋2ｘ；
222 (5)ｘ－ｙ＝(ｘ＋ｙ)(ｘ－ｙ) ； (6)ｍ＋ｍ－4＝(ｍ＋3)(ｍ－2) ＋2.
答：(1)，(2)，(5)题中，从左式到右式的变形是因式分解，因为各题中的左式都是多项式，而右式都是整式乘积形式，均符合因式分解的定义；而(3)，(4)，(6)题中，从左式到右式的变形都不是因式分解，各题中的右式都不是整式乘积的形式，因此不符合因式分解的定义.
指出：多项式的因式分解，必须是把一个多项式化成几个整式乘积的形式.
因式分解与整式乘法之间有什么关系? 我们曾经学过整式乘法及乘法公式，如单项式与 多项式相乘，得
ｍ(ａ＋ｂ＋ｃ) ＝ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ；
多项式与多项式相乘，得
2 (ｘ＋ｍ)(ｘ＋ｎ) ＝ｘ+(ｍ＋n) ｘ＋ｍn.
乘法公式有：
22 平方差公式：(ａ＋ｂ)(ａ－ｂ) ＝ａ－ｂ.
222222 完全平方公式(ａ＋ｂ) ＝ａ＋2ａｂ＋ｂ，(ａ－ｂ) ＝ａ－2ａｂ＋ｂ.
立方和与立方差公式
2233 (ａ＋ｂ)(ａ－ａｂ＋ｂ) ＝ａ＋ｂ，
2233 (ａ-ｂ)(ａ＋ａｂ＋ｂ) ＝ａ－ｂ.
问：观察乘法运算及乘法公式中，等号的左边和右边各是什么式子?
答：各式的等号左边都是整式乘积形式，而各式的等号右边都是多项式.
如果我们把上面的乘法运算及乘法公式中的等号左边的式子与等号右边的式子互换，就 得到
ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ＝ｍ(ａ＋ｂ＋ｃ) ，
2 ｘ＋(ｍ＋ｎ) ｘ＋ｍｎ＝(ｘ＋ｍ)(ｘ＋ｎ) ，
22 ａ-ｂ＝(ａ＋ｂ)(ａ-ｂ) ，
222 ａ＋2ａｂ＋ｂ＝(ａ＋ｂ) ，
222 ａ－2ａｂ＋ｂ＝(ａ－ｂ) ，
3322 ａ＋ｂ＝(ａ＋ｂ)(a－ａｂ＋ｂ) ，
3322 ａ－ｂ＝(ａ－ｂ)(a＋ａｂ＋ｂ).
这些式子中，从等式左边到等式右边的变形就是多项式的因式分解.
由此可得出：多项式的因式分解与整式乘法是方向相反的恒等式. 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式，特征是向着积化和差的形式发展；而多项式的因式分解是把一个多项式化为几个整式乘积的形式，特征是向着和差化积的形式发展. 问：下列各题从左式到右式的变形中，哪些是因式分解? 哪些是整式乘法?
(1)ｍｎ－ｎｍ＝ｍｎ(ｍ－ｎ) ；
(2)(ａ＋ｂ)(ｍ＋ｎ) ＝ａｍ＋ａｎ＋ｂｍ＋ｂｎ；
2 (3)ｘ－ｘ－6＝(ｘ＋2)(ｘ－3) ；
2 (4)ｘ(2ｘ－ｙ) ＝2ｘ-ｘｙ；
22 (5)9ａ－ｂ＝(3ａ＋ｂ)(3ａ－ｂ) ；
232 (6)3ａ(ａ－ｂ＋ｃ)-6ａ＝3ａ(ｃ－ｂ－ａ).
答：(1)，(3)，(5)，(6)题中，从左式到右式的变形是因式分解；(2)，(4)题中，从左式到右式的变形是整式乘法.
三、课堂练习
1. 选择题.
(1)下列等式中，从左到右的变形为因式分解的是( ).
22 Ａ.12ａｂ＝3ａ·4ａｂ Ｂ.(ｘ＋2)(ｘ－2) ＝ｘ－4
2 Ｃ.4ｘ－8ｘ－1＝4ｘ(ｘ－2)-1 Ｄ.12ａｘ－12ａｙ＝12ａ(ｘ－ｙ)
(2)下列等式中从左到右的变形因式分解的是( ).
22Ａ.(ｘ＋5)(ｘ－1) ＝ｘ2＋4ｘ－5 Ｂ. ｘ－ｙ－1＝(ｘ＋ｙ)(ｘ－１)-1
222222Ｃ. ｘ－10ｘｙ＋25ｙ＝(ｘ－5ｙ) Ｄａｘ－ｂｘ－ｘ＝ｘ(ａ－ｂ) －ｘ
(3)下列等式中从左到右的变形因式分解的是( ).
222 Ａ. ａｂ(ａ－ｂ) ＝ａｂ－ａｂ Ｂ.(ｘ－3)(ｘ＋3) ＝ｘ－9
2 Ｃ. ａｘ＋ｂｘ－ａ＝ｘ(ａ＋ｂ) －ａ Ｄ. ａｂ＋ａｃ－ａ＝ａ(ｂ＋ｃ－ａ)
2. 判断下列各题从左到右的变形，哪些是因式分解? 哪些不是? 为什么?
222 (1)(ｘ＋ｙ) ＝ｘ＋2ｘｙ＋ｙ；
2 (2)ｙ－16＝(ｙ＋4)(ｙ－4) ；
22 (3)ｘ-4ｘ＋5＝(ｘ－2) ＋1；
22 (4)ｍ－2ｍ＋1＝(ｍ－1) ；
2 (5)ａ－25＋ａ－1＝(ａ＋5)(ａ－5) ＋ａ－1；
2 (6)ｘ－5ｘ－6＝(ｘ－6)(ｘ＋1).
四、小结
1. 多项式的因式分解的概念是，把一个多项式化为几个整式乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解.
2. 多项式的因式分解与整式乘法是方向相反的恒等变形.
五、作业
1. 判断正误.
(1)把一个代数式化为乘积形式，叫做把这个代数式因式分解； ( )
(2)把一个整式化为乘积形式，叫做把这个整式因式分解； ( )
(3)把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解.( )
2. 下列由左到右的变形，哪些是因式分解? 哪些不是? 为什么?
22 (1)ｘ＋2ｘｙ+y－1＝(ｘ＋ｙ＋1)(ｘ＋ｙ－1) ；
22 (2)ｘ－ｙ－3＝(ｘ＋ｙ)(ｘ－ｙ) －3；
222 (3)ｍ＋2ｍn ＋ｎ-2ｍ－2ｎ＝(ｍ＋ｎ) －2(ｍ＋ｎ) ；
2 (4)9(ａ－1) ＝9(ａ＋1)(ａ－1) ；
22 (5)ｂｘ－3ｂ＝ｂ(ｘ－3) ；
2 (6)(ａ＋2)(ａ－3)+5＝ａ－ａ－1；
22 (7)9ｘ－ｙ＝(3ｘ+ｙ)(3ｘ－ｙ).
课堂教学设计说明
323222
1. 本节课是《因式式解》这一章的第一节课，主要是让学生了解因式分解的意义，正确理解因式分解的概念，因此整个教学设计是紧扣这一中心展开的. 在学生理解多项式因式分解概念的基础上，再让学生了解因式分解与整式乘法的区别与联系.
为了符合学生的心理特点和认知规律，在教学中采取类比的方法，先从复习学生已掌握的将整数分解质因数的方法开始，很自然地引入多项式的因式分解，学生比较容易接受和理解.
2. 结合关系式ｍａ＋ｍｂ＋ｍc ＝ｍ(ａ＋ｂ＋ｃ) ，引导学生了解因式分解的理论依据是多项式乘法的逆变形，了解因式分解和整式乘法的区别与联系，从而可以使学生感受到因式分解与整式乘法的思路是相反方向的变形过程，也就是因式分解的思维过程是整式乘法的逆向思维过程. 让学生明白这一点，目的是防止学生在进行多项式的因式分解过程中，出现和整式乘法混淆的错误. 这个问题在今后讲解多项式的因式分解方法时，还要不断地强调.
3. 为什么要学习因式分解? 多项式因式分解的作用是什么? 为了说明这个问题，在教学设计中通过复习小学算术中的分数运算的约分、通分，进而指出因式分解是学习分式运算中的约分、通分以及学习代数和三角函数式中的恒等变形的基础. 由于学生初次学习因式分解的概念，让他们深刻感知因式分解的作用是困难的，但通过具体例子让学生复习和回忆因数分解的作用，这对今后学习因式分解并理解它的作用有一定帮助.
4. 在因式分解中，有些概念在初中阶段是无法讲清的，实际上因式分解应当理解为可既约因式分解，即分解出的因式应当是既约的，就是分解到不能再分解为止. 这与数域或有关系，一个多项式在某个数域内不可分解，但在另一个数域内有时却可以分解. 决定因素不在多项式本身，而在于所讨论的数的范围不同
.
因式分解的概念
教学目标
1. 使学生正确理解因式分解的概念；
2. 了解因式分解与整式乘法的关系；
3. 了解因式分解的作用.
教学重点和难点
重点：因式分解的概念.
难点：因式分解与整式乘法的关系.
教学过程设计
一、导入新课
在小学时，我们学过了把一个整数分解成质因数的方法，例如：
24=2×12=4×6=2×2×2×3＝23×3 (*)
问：哪些数是24的因数? 哪些数是24的质因数? 为什么?
答：2，3，4，6，12都能整除24，所以都是24的因数；但其中的4，6，12还可以继续分解，故它们都不是24的质因数；而2与3不能再分解了，所以把它们称为24的质因数. 指出：(*)式中，两个或两个以上的数相乘得到的积中的每一个数都是乘积的因数，能 整除某数的数，都是这个数的因数.
问：42的因数和质因数是什么? 为什么?
答：2，3，6，7，14都是42的因数，因为这些数都能整除42. 其中2，3，7是42的质因数，因为这些数只能被1和自身整除.
指出：求一个数的因数，把一个数写成它的因数的积的形式，叫做因数分解法. 因数分解在分数运算中有重要作用.
例 计算：(1)1528×825÷247； (2)110＋1115.
解 (1)原式＝1528×825÷187
＝1528×825×718
＝3×54×7×2×45×5×72×3×3
＝115；
(2)原式＝12×5＋113×5
＝1×3＋11×22×5×3
＝2530
＝56.
注意：
1.乘、除运算中，首先把除法转化为乘法，再进行因数分解、约分，然后再进行乘法运算.
2. 异分母的加减法运算规律是，利用因数分解求出各分母的最小公倍数作为公分母，通分后变为同分母的分数，再进行加、减运算.
请同学观察下面两个等式：
3322 a＋b =(a＋b)(a-ab ＋b ) ，
22 3ｍ-3ｎ＝3(ｍ＋ｎ)(ｍ-ｎ).
可以看出，这两个等式的左边都是多项式，右边都是整式乘积的形式，并且右边的每一个因式都能整除左边的式项式.
我们把上面这种从左式到右式的恒等变形叫做多项式的因式分解. 在复习了整数的因数分解的基础上，我们将进一步学习多项式的因式分解.
二、讲授新课
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个 多项式分解因式.
像把ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ写成ｍ(a＋b ＋ｃ) 那样，就是把多项式因式分解.
22 又如，把ａ－ｂ写成(ａ＋ｂ)(ａ－ｂ) 等等，都是把多项式因式分解.
我们写成等式形式，就是：
ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ＝ｍ(ａ＋ｂ＋ｃ) ，
22 ａ－ｂ＝(ａ＋ｂ)(ａ－ｂ).
这两个等式的左边都是多项式，而右边都是整式积的形式.
问：下列各题中，从左式到右式的变形，哪些是因式分解? 哪些不是因式分解? 为什么?
2222 (1)ａ＋2ａｂ＋ｂ＝(ａ＋ｂ) ； (2)ｘ－3ｘ＋2＝(ｘ－1)(ｘ－2) ；
22 (3)(ｘ＋2)(ｘ－1) ＝ｘ＋ｘ－2； (4)ｘ(ｘ＋2) ＝ｘ＋2ｘ；
222 (5)ｘ－ｙ＝(ｘ＋ｙ)(ｘ－ｙ) ； (6)ｍ＋ｍ－4＝(ｍ＋3)(ｍ－2) ＋2.
答：(1)，(2)，(5)题中，从左式到右式的变形是因式分解，因为各题中的左式都是多项式，而右式都是整式乘积形式，均符合因式分解的定义；而(3)，(4)，(6)题中，从左式到右式的变形都不是因式分解，各题中的右式都不是整式乘积的形式，因此不符合因式分解的定义.
指出：多项式的因式分解，必须是把一个多项式化成几个整式乘积的形式.
因式分解与整式乘法之间有什么关系? 我们曾经学过整式乘法及乘法公式，如单项式与 多项式相乘，得
ｍ(ａ＋ｂ＋ｃ) ＝ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ；
多项式与多项式相乘，得
2 (ｘ＋ｍ)(ｘ＋ｎ) ＝ｘ+(ｍ＋n) ｘ＋ｍn.
乘法公式有：
22 平方差公式：(ａ＋ｂ)(ａ－ｂ) ＝ａ－ｂ.
222222 完全平方公式(ａ＋ｂ) ＝ａ＋2ａｂ＋ｂ，(ａ－ｂ) ＝ａ－2ａｂ＋ｂ.
立方和与立方差公式
2233 (ａ＋ｂ)(ａ－ａｂ＋ｂ) ＝ａ＋ｂ，
2233 (ａ-ｂ)(ａ＋ａｂ＋ｂ) ＝ａ－ｂ.
问：观察乘法运算及乘法公式中，等号的左边和右边各是什么式子?
答：各式的等号左边都是整式乘积形式，而各式的等号右边都是多项式.
如果我们把上面的乘法运算及乘法公式中的等号左边的式子与等号右边的式子互换，就 得到
ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ＝ｍ(ａ＋ｂ＋ｃ) ，
2 ｘ＋(ｍ＋ｎ) ｘ＋ｍｎ＝(ｘ＋ｍ)(ｘ＋ｎ) ，
22 ａ-ｂ＝(ａ＋ｂ)(ａ-ｂ) ，
222 ａ＋2ａｂ＋ｂ＝(ａ＋ｂ) ，
222 ａ－2ａｂ＋ｂ＝(ａ－ｂ) ，
3322 ａ＋ｂ＝(ａ＋ｂ)(a－ａｂ＋ｂ) ，
3322 ａ－ｂ＝(ａ－ｂ)(a＋ａｂ＋ｂ).
这些式子中，从等式左边到等式右边的变形就是多项式的因式分解.
由此可得出：多项式的因式分解与整式乘法是方向相反的恒等式. 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式，特征是向着积化和差的形式发展；而多项式的因式分解是把一个多项式化为几个整式乘积的形式，特征是向着和差化积的形式发展. 问：下列各题从左式到右式的变形中，哪些是因式分解? 哪些是整式乘法?
(1)ｍｎ－ｎｍ＝ｍｎ(ｍ－ｎ) ；
(2)(ａ＋ｂ)(ｍ＋ｎ) ＝ａｍ＋ａｎ＋ｂｍ＋ｂｎ；
2 (3)ｘ－ｘ－6＝(ｘ＋2)(ｘ－3) ；
2 (4)ｘ(2ｘ－ｙ) ＝2ｘ-ｘｙ；
22 (5)9ａ－ｂ＝(3ａ＋ｂ)(3ａ－ｂ) ；
232 (6)3ａ(ａ－ｂ＋ｃ)-6ａ＝3ａ(ｃ－ｂ－ａ).
答：(1)，(3)，(5)，(6)题中，从左式到右式的变形是因式分解；(2)，(4)题中，从左式到右式的变形是整式乘法.
三、课堂练习
1. 选择题.
(1)下列等式中，从左到右的变形为因式分解的是( ).
22 Ａ.12ａｂ＝3ａ·4ａｂ Ｂ.(ｘ＋2)(ｘ－2) ＝ｘ－4
2 Ｃ.4ｘ－8ｘ－1＝4ｘ(ｘ－2)-1 Ｄ.12ａｘ－12ａｙ＝12ａ(ｘ－ｙ)
(2)下列等式中从左到右的变形因式分解的是( ).
22Ａ.(ｘ＋5)(ｘ－1) ＝ｘ2＋4ｘ－5 Ｂ. ｘ－ｙ－1＝(ｘ＋ｙ)(ｘ－１)-1
222222Ｃ. ｘ－10ｘｙ＋25ｙ＝(ｘ－5ｙ) Ｄａｘ－ｂｘ－ｘ＝ｘ(ａ－ｂ) －ｘ
(3)下列等式中从左到右的变形因式分解的是( ).
222 Ａ. ａｂ(ａ－ｂ) ＝ａｂ－ａｂ Ｂ.(ｘ－3)(ｘ＋3) ＝ｘ－9
2 Ｃ. ａｘ＋ｂｘ－ａ＝ｘ(ａ＋ｂ) －ａ Ｄ. ａｂ＋ａｃ－ａ＝ａ(ｂ＋ｃ－ａ)
2. 判断下列各题从左到右的变形，哪些是因式分解? 哪些不是? 为什么?
222 (1)(ｘ＋ｙ) ＝ｘ＋2ｘｙ＋ｙ；
2 (2)ｙ－16＝(ｙ＋4)(ｙ－4) ；
22 (3)ｘ-4ｘ＋5＝(ｘ－2) ＋1；
22 (4)ｍ－2ｍ＋1＝(ｍ－1) ；
2 (5)ａ－25＋ａ－1＝(ａ＋5)(ａ－5) ＋ａ－1；
2 (6)ｘ－5ｘ－6＝(ｘ－6)(ｘ＋1).
四、小结
1. 多项式的因式分解的概念是，把一个多项式化为几个整式乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解.
2. 多项式的因式分解与整式乘法是方向相反的恒等变形.
五、作业
1. 判断正误.
(1)把一个代数式化为乘积形式，叫做把这个代数式因式分解； ( )
(2)把一个整式化为乘积形式，叫做把这个整式因式分解； ( )
(3)把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解.( )
2. 下列由左到右的变形，哪些是因式分解? 哪些不是? 为什么?
22 (1)ｘ＋2ｘｙ+y－1＝(ｘ＋ｙ＋1)(ｘ＋ｙ－1) ；
22 (2)ｘ－ｙ－3＝(ｘ＋ｙ)(ｘ－ｙ) －3；
222 (3)ｍ＋2ｍn ＋ｎ-2ｍ－2ｎ＝(ｍ＋ｎ) －2(ｍ＋ｎ) ；
2 (4)9(ａ－1) ＝9(ａ＋1)(ａ－1) ；
22 (5)ｂｘ－3ｂ＝ｂ(ｘ－3) ；
2 (6)(ａ＋2)(ａ－3)+5＝ａ－ａ－1；
22 (7)9ｘ－ｙ＝(3ｘ+ｙ)(3ｘ－ｙ).
课堂教学设计说明
323222
1. 本节课是《因式式解》这一章的第一节课，主要是让学生了解因式分解的意义，正确理解因式分解的概念，因此整个教学设计是紧扣这一中心展开的. 在学生理解多项式因式分解概念的基础上，再让学生了解因式分解与整式乘法的区别与联系.
为了符合学生的心理特点和认知规律，在教学中采取类比的方法，先从复习学生已掌握的将整数分解质因数的方法开始，很自然地引入多项式的因式分解，学生比较容易接受和理解.
2. 结合关系式ｍａ＋ｍｂ＋ｍc ＝ｍ(ａ＋ｂ＋ｃ) ，引导学生了解因式分解的理论依据是多项式乘法的逆变形，了解因式分解和整式乘法的区别与联系，从而可以使学生感受到因式分解与整式乘法的思路是相反方向的变形过程，也就是因式分解的思维过程是整式乘法的逆向思维过程. 让学生明白这一点，目的是防止学生在进行多项式的因式分解过程中，出现和整式乘法混淆的错误. 这个问题在今后讲解多项式的因式分解方法时，还要不断地强调.
3. 为什么要学习因式分解? 多项式因式分解的作用是什么? 为了说明这个问题，在教学设计中通过复习小学算术中的分数运算的约分、通分，进而指出因式分解是学习分式运算中的约分、通分以及学习代数和三角函数式中的恒等变形的基础. 由于学生初次学习因式分解的概念，让他们深刻感知因式分解的作用是困难的，但通过具体例子让学生复习和回忆因数分解的作用，这对今后学习因式分解并理解它的作用有一定帮助.
4. 在因式分解中，有些概念在初中阶段是无法讲清的，实际上因式分解应当理解为可既约因式分解，即分解出的因式应当是既约的，就是分解到不能再分解为止. 这与数域或有关系，一个多项式在某个数域内不可分解，但在另一个数域内有时却可以分解. 决定因素不在多项式本身，而在于所讨论的数的范围不同
.