12数学通讯 2001年第12期
一类有心圆锥曲线方程的统一求法
魏敬波
(河北赵县中学, 河北 )
中图分类号:O123. 3-42 :2001) 12-0012-02
1
几何的主要问题, 本刊1999年文[1]介绍了
方程的两点式及其应用, 对解题教学确有指导意义, 读后很受启发. 但感到此方法中定理涉及字母较多, 学生应用很不方便, 为此有必要寻求一种通俗易懂, 适合学生的方法. 众所周知, 直线方程可以通过两个不同点的坐标代入A x +B y +C =0中由方程组求得. 对于椭圆和双曲线而言, 若中心与对称轴的位置一经确定, 能否象直线一样, 通过解方程组而求得呢? 2 问题的探讨
上, 可统一设为A x 2+B y 2=1(A ・B
显然上述设法是恰当、合理的, 所以有结论1 如果椭圆或双曲线的中心在原点, 焦点在坐标轴上, 且经过M (x 1, y 1) ,
N (x 2, y 2) 两点, 那么其方程可设为A x +B y =1, 2
2
A x 1+B y 1=1A x 2+B y 2=1
2
2
22
求
得.
对于中心不在原点, 对称轴平行于坐标轴的椭圆或双曲线, 同样有
结论2 如果椭圆或双曲线的中心在(h , k ) , 对称轴平行于坐标轴且经过M O ′
(x 1, y 1) , N (x 2, y 2) 两点, 那么其方程可设
设椭圆中心在原点, 若焦点在x 轴上,
则该椭圆方程可表示为2+2=1, 其中a
a b 22
>b >0, 不妨设A x +B y =1(0
a +2=1, 其中a >b >0, 不妨设A y 2+B x 2
b
=1(0
2
2
2
2
为A (x -h ) 2+B (y -k ) 2=1, 并且可由方22
A (x 1-h ) +B (y 1-
k ) =1
A (x 2-h ) 2+B (y 2-k ) 2=1
求得.
3 结论的应用
椭圆和双曲线方程的上述结论, 不仅形式简单、易懂, 并且将两种曲线方程和每种曲线方程的两种形式的求法统一了起来, 对于解决已知两点求曲线方程的问题, 切实可行.
例1 已知圆锥曲线中心在原点, 焦点在坐标轴上, 且经过M (2, -5) 和N (3, ) , 求此圆锥曲线方程并指出曲线是椭圆2
不论其焦点在x 轴还是y 轴上, 可统一设为A x 2+B y 2=1(A >0, B >0) . 同理, 对于中心在原点, 焦点分别在x 轴、y 轴上的双曲线方程, 可设为A x 2+B y 2=1和A y 2+B x 2=1(A >0, B
还是双曲线?
收稿日期:2000-11-28
) , 男, 河北赵县人, 河北赵县中学一级教师. 作者简介:魏敬波(1969—
2001年第12期 数学通讯13
求动圆圆心轨迹的规律性解法
于忠凤
(莱西市第二中学, 山东 266614)
中图分类号:O123. 3-44 文献标识码:(2001) 12-0013-02
在我们常见的, 这几种条件是经常出现的:1) ; 2) 与定直线相切; 3) 与定直线相交所得弦长为定值l ; 4) 与定圆相切(包括外切和内
切) .
笔者认为, 万变不离其宗, 动圆也是圆, 始终抓住圆的特征, 利用圆的特性来列关系式, 这类题都可迎刃而解. 总结如下.
解 设此圆锥曲线方程为A x 2+B y 2=
4A +25B =1,
1, 曲线过M , N 两点, 解9A +=1,
4
之得A =-, B =. 1620
∴所求曲线方程为点在y 轴上的双曲线.
例2 已知椭圆中心在原点, 焦点在坐
标轴上, 且经过M (1, 2) 和N (2, ) , 求椭圆方程(文[1]例1) .
解 设此椭圆方程为A x 2+B y 2=1, 把
A +4B =1,
M (1, 2) 和N (2, ) 解
4A +3B =1,
之得A =, B =.
1313
22
∴所求椭圆方程为+=1.
1313
例3 求过P (-3, , 2) 和Q (-6, -7)
(解析几何》两点的双曲线的标准方程《第89页1(2) ) .
解 设双曲线方程为A x 2+B y 2=1(A ・B
2
9A +28B =1, 72A +49B =1,
解之得A =-
, B =. 7525
2
2
-=1. 2575
(4, 0) , 对称例4 已知椭圆中心在O ′
∴所求双曲线标准方程为
20
-
2
16
=1. 它是焦
轴与坐标轴平行, 并且经过M (1, 2) 和N (2,
8) 两点, 求椭圆方程. (文[1]例3)
解 设椭圆方程为A (x -4) 2+B y 2=1, 将M , N 的坐标代入得
2
A (1-4) +B ・22=1,
A (2-4) 2+B ・82=1,
即
9A +4B =1, 4A +64B =1,
解
之得A =
,
B =. 故所求椭圆方程为28112
2
2+=1.
28112
4 结束语
本文针对文[1]所给曲线方程的两点式, 提出自己的观点, 将其两点式求方程加以改造, 使之转化为解方程组问题. 希望本文能对学生起到抛砖引玉的作用.
参考文献
[1] 王奇, 钱军先. 标准椭圆与双曲线的两点式方程及其
应用. 数学通讯, 1999(7) .
收稿日期:2001-02-28
12数学通讯 2001年第12期
一类有心圆锥曲线方程的统一求法
魏敬波
(河北赵县中学, 河北 )
中图分类号:O123. 3-42 :2001) 12-0012-02
1
几何的主要问题, 本刊1999年文[1]介绍了
方程的两点式及其应用, 对解题教学确有指导意义, 读后很受启发. 但感到此方法中定理涉及字母较多, 学生应用很不方便, 为此有必要寻求一种通俗易懂, 适合学生的方法. 众所周知, 直线方程可以通过两个不同点的坐标代入A x +B y +C =0中由方程组求得. 对于椭圆和双曲线而言, 若中心与对称轴的位置一经确定, 能否象直线一样, 通过解方程组而求得呢? 2 问题的探讨
上, 可统一设为A x 2+B y 2=1(A ・B
显然上述设法是恰当、合理的, 所以有结论1 如果椭圆或双曲线的中心在原点, 焦点在坐标轴上, 且经过M (x 1, y 1) ,
N (x 2, y 2) 两点, 那么其方程可设为A x +B y =1, 2
2
A x 1+B y 1=1A x 2+B y 2=1
2
2
22
求
得.
对于中心不在原点, 对称轴平行于坐标轴的椭圆或双曲线, 同样有
结论2 如果椭圆或双曲线的中心在(h , k ) , 对称轴平行于坐标轴且经过M O ′
(x 1, y 1) , N (x 2, y 2) 两点, 那么其方程可设
设椭圆中心在原点, 若焦点在x 轴上,
则该椭圆方程可表示为2+2=1, 其中a
a b 22
>b >0, 不妨设A x +B y =1(0
a +2=1, 其中a >b >0, 不妨设A y 2+B x 2
b
=1(0
2
2
2
2
为A (x -h ) 2+B (y -k ) 2=1, 并且可由方22
A (x 1-h ) +B (y 1-
k ) =1
A (x 2-h ) 2+B (y 2-k ) 2=1
求得.
3 结论的应用
椭圆和双曲线方程的上述结论, 不仅形式简单、易懂, 并且将两种曲线方程和每种曲线方程的两种形式的求法统一了起来, 对于解决已知两点求曲线方程的问题, 切实可行.
例1 已知圆锥曲线中心在原点, 焦点在坐标轴上, 且经过M (2, -5) 和N (3, ) , 求此圆锥曲线方程并指出曲线是椭圆2
不论其焦点在x 轴还是y 轴上, 可统一设为A x 2+B y 2=1(A >0, B >0) . 同理, 对于中心在原点, 焦点分别在x 轴、y 轴上的双曲线方程, 可设为A x 2+B y 2=1和A y 2+B x 2=1(A >0, B
还是双曲线?
收稿日期:2000-11-28
) , 男, 河北赵县人, 河北赵县中学一级教师. 作者简介:魏敬波(1969—
2001年第12期 数学通讯13
求动圆圆心轨迹的规律性解法
于忠凤
(莱西市第二中学, 山东 266614)
中图分类号:O123. 3-44 文献标识码:(2001) 12-0013-02
在我们常见的, 这几种条件是经常出现的:1) ; 2) 与定直线相切; 3) 与定直线相交所得弦长为定值l ; 4) 与定圆相切(包括外切和内
切) .
笔者认为, 万变不离其宗, 动圆也是圆, 始终抓住圆的特征, 利用圆的特性来列关系式, 这类题都可迎刃而解. 总结如下.
解 设此圆锥曲线方程为A x 2+B y 2=
4A +25B =1,
1, 曲线过M , N 两点, 解9A +=1,
4
之得A =-, B =. 1620
∴所求曲线方程为点在y 轴上的双曲线.
例2 已知椭圆中心在原点, 焦点在坐
标轴上, 且经过M (1, 2) 和N (2, ) , 求椭圆方程(文[1]例1) .
解 设此椭圆方程为A x 2+B y 2=1, 把
A +4B =1,
M (1, 2) 和N (2, ) 解
4A +3B =1,
之得A =, B =.
1313
22
∴所求椭圆方程为+=1.
1313
例3 求过P (-3, , 2) 和Q (-6, -7)
(解析几何》两点的双曲线的标准方程《第89页1(2) ) .
解 设双曲线方程为A x 2+B y 2=1(A ・B
2
9A +28B =1, 72A +49B =1,
解之得A =-
, B =. 7525
2
2
-=1. 2575
(4, 0) , 对称例4 已知椭圆中心在O ′
∴所求双曲线标准方程为
20
-
2
16
=1. 它是焦
轴与坐标轴平行, 并且经过M (1, 2) 和N (2,
8) 两点, 求椭圆方程. (文[1]例3)
解 设椭圆方程为A (x -4) 2+B y 2=1, 将M , N 的坐标代入得
2
A (1-4) +B ・22=1,
A (2-4) 2+B ・82=1,
即
9A +4B =1, 4A +64B =1,
解
之得A =
,
B =. 故所求椭圆方程为28112
2
2+=1.
28112
4 结束语
本文针对文[1]所给曲线方程的两点式, 提出自己的观点, 将其两点式求方程加以改造, 使之转化为解方程组问题. 希望本文能对学生起到抛砖引玉的作用.
参考文献
[1] 王奇, 钱军先. 标准椭圆与双曲线的两点式方程及其
应用. 数学通讯, 1999(7) .
收稿日期:2001-02-28