高二数学寒假作业一
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1、使“lg m
A. m ∈(0, +∞) B. m ∈{1, 2} C. 0
A. P (2, 3, 3) B. P (-2, 0, 1) C. P (-4, 4, 0) D. P (3, -4, 4) 3、椭圆x 2+my 2=1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ） A. 4 B. 2 C.
11
D. 24
4、若a =e 1+e 2+e 3, b =e 1-e 2-e 3, c =e 1+e 2，d =e 1+2e 2+3e 3（e 1, e 2, e 3为空间的一个基底）且=x +y +z ，则x , y , z 分别为（ ） A.
51515151
, -, -1 B. , , 1 C. -, , 1 D. , -, 1
22222222
x 2y 2
-=1上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的左焦点的距5、如果双曲线
412
离是（ ）
A. 4 B. 12 C. 4或12 D. 6
x 2y 2
6、已知F 1, F 2为椭圆2+2=1(a >b >0) 的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB , 若∆AF 1B 的
a b
周长为16，离心率为
，则椭圆的方程为（ ） 2
x 2y 2x 2y 2x 2y 2
+=1 B. +=1 C. +=1 D. A. 431631612x 2y 2+=1 164
2
7、曲线y =4x 关于直线x =2对称的曲线方程是（ ）
2
2
2
2
A. y =8-4x B. y =4x -8 C. y =16-4x D. y =4x -16
2
8、已知抛物线y =2px (p >0) 上一点M (1, m )(m >0) 到其焦点的距离为5，双曲线
x 2
-y 2=1的左顶点为A , 若双曲线一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 等于（ ） a
A.
1111 B. C. D. 9432
9、在底面是正三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若AB =BB 1，则
AB 1与C 1B 所成角的大小为（ ）
A. 60 B. 90 C. 105 D. 75 10、已知点P 是抛物线y 2=2x 上的一个动点，则点P 到点(0, 2) 的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值是（ ） A.
9 B.3 C. D.
22
二、填空题（每小题4分，共计24分）
11、已知向量=(1-t , 2t -1, 0) 与
=(2, t , t ) 的最小值是 .
12、与圆x 2+y 2+8x +7=0及圆x 2+y 2-8x +12=0都外切的圆的圆心的轨迹方程为 .
13、已知A 为圆O 内一定点，B 为圆O 上一动点，线段AB 的垂直平分线交直线OB 于点P , 则点P 的轨迹是以O 、A 为焦点，OB 长为长轴长的椭圆. 若将A 变为圆O 外一定点，其它条件不变，则点P 的轨迹是 .
14、给定下列四个命题，其中为真命题的是 （填上所有真命题的序号） 1）命题“若am
2
2
3-x 的充分不必要条件.
x 2y 2x 2y 2
3）已知双曲线2-2=1和椭圆2+2=1(a >0, m >b >0) 的离心率之积大于1，则
a b m b
以a , b , m 为边长的三角形是钝角三角形. 4) ∀x ∈Z , 2x -3+2x -5>2
15. 设向量a 与b 的夹角为θ，a =(3, 3) ，2b -a =(-1, 1) ，
则cos θ= ．
16．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点M
是BC 的中点，则D 1B 与AM 所成角的余弦值是 ．三、解答题：（共46分，其中17题10分，其他各题12分）解答题应写出文字说明．证明过程或演算步骤．
17、设命题p :直线y =kx +1与抛物线y 2=4x 有两个公共点，命题q :方程
x 2y 2
-=1表示双曲线，若p 且q 为真，求实数k 的取值范围. （10分） 2+k k +1
18、已知∆ABC 的两个顶点A , B 的坐标分别(-1, 0), (1, 0) ，且AC , BC 所在直线的斜率之积为m (m ≠0) ，1）求顶点C 的轨迹.2）当m =2时，记顶点C 的轨迹为Γ, 过点M (1, 1) 能否存在一条直线l ，使l 与曲线Γ交于E , F 两点，且M 为线段EF 的中点，若存在求直线l 的方程，若不存在说明理由. （12分）
19、如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，
PA ⊥面ABCD , PA =AB =1, AD =，点F 是PB 的中
点，点E 在边BC 上移动。
1）点E 为BC 的中点时，试判断EF 与平面PAC 的位置关系，并说明理由。
2）证明:无论点E 在边BC 的何处，都有PE ⊥AF 3）当BE 等于何值时，PA 与平面PDE 所成角的大小为45. （12分）
B
x 2y 2
+=120、若抛物线x =2py (p >0) 的焦点与椭圆34
2
的上焦点重合，
1）求抛物线方程.
2）若AB 是过抛物线焦点的动弦，直线l 1, l 2是抛物线两条分别切于A , B 的切线，求l 1, l 2的交点的纵坐标. （12分）
高二数学寒假作业一参考答案
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1、B 2、A 3、D 4、A 5、C 6、D 7、C 8、A 9、B 10、A 二、填空题（每小题4分，共计24分）
4y 2
=1(x >0) 11、2 12、4x -63
2
13、以O , A 为焦点，OB 长为实轴长的双曲线 14、③
15. 设向量a 与b 的夹角为θ, 且a =(3, 3), 2b -a =(-1, 1) ∴b =(1, 2) ，则
a ⋅b 9cos θ==.
a ⋅b 32⋅
16. 设正方体的棱长为a , 过B 点作直线BN //AM 交DA 的延长线于N , 连D 1N , 在
∆D 1NB 中, BN =
, BD 1=3, D 1N =, ∴ cos ∠D 1BN = 2215
三、解答题：（共46分，其中17题10分，其他各题12分）解答题应写出文字说明．证明过
程或演算步骤．
17、k ∈(-∞, -2) ⋃(-1, 0) ⋃(0, 1)
y 2
=1(x ≠±1) 18、1）由题可知，顶点C 的轨迹方程为x -m
（1）当m >0时，轨迹为焦点在x 轴上的双曲线（除去(-1, 0), (1, 0) 两点）
（2）当m =-1时，轨迹为以原点为圆心，半径为1的圆（除去(-1, 0), (1, 0) 两点） （3）当-1
2
2）不存在
19、解：（ 1） 当点E 为BC 的中点时，EF 与平面PAC 平行. 因为在∆E , F 分别为BC , PB 的中点，所以EF //PC . 又EF ⊄平面PAC ，而 （2）（向量法）建立如图所示空间直角坐标系，则P (0, 0, 1), B (0, 1, 0),
PC ⊂平面PAC ，所以EF //平面PAC .
⎛11⎫
F 0, , ⎪, D , 0, 0. 设BE =x ，则E (x , 1, 0)，所以 ⎝22⎭
⎛11⎫
∙=(x , 1, -1)∙ 0, , ⎪=0，即无论点E 在BC
⎝22⎭
的何处都有PE ⊥AF .
)
⎧⎪∙=0
(3) 设BE =x , 平面P D E 的法向量为m =(p , q , 1)，由⎨，得
⎪⎩m ∙PE =0
⎛3⎫ m = , 1-x , 1⎪⎪ 33⎝⎭
2= =(0, 0, 1)，依题意得PA 与平面PDE 所成角为45，所以sin 45=2
即
1
1⎛3⎫
+ 1-x ⎪+1 ⎪3⎝3⎭
2
2
=
2
，解得BE =x =-2或BE =+(舍) 2
20、解：1）抛物线的方程为x =4y
2
x x
2）设A (x 1, 1), B (x 2, 2)
44
设以A 为切点的切线的斜率为k （k 存在，k 不存在显然不符题意），则切线为
2
x x
y -1=k (x -x 1) 与x 2=4y 联立，利用判别式为0，则k =1，同理以B 为切点的切线
24
x
的斜率为2，
2
2x 1x
于是l 1:y -=1(x -x 1) -----①
422x 2x
=2(x -x 2) ----② l 2:y -42
1
①⨯x 2-②⨯x 1可得y =x 1x 2
4
因为AB 过焦点（0,1），所以设AB 方程为y -1=k 1x （k 1存在，k 1不存在显然不符题意），
2
与x =4y 联立得x -4kx -4=0，所以x 1x 2=-4，于是l 1, l 2的交点的纵坐标为-1.
2
2
B
A
C
E
高二数学寒假作业一
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1、使“lg m
A. m ∈(0, +∞) B. m ∈{1, 2} C. 0
A. P (2, 3, 3) B. P (-2, 0, 1) C. P (-4, 4, 0) D. P (3, -4, 4) 3、椭圆x 2+my 2=1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ） A. 4 B. 2 C.
11
D. 24
4、若a =e 1+e 2+e 3, b =e 1-e 2-e 3, c =e 1+e 2，d =e 1+2e 2+3e 3（e 1, e 2, e 3为空间的一个基底）且=x +y +z ，则x , y , z 分别为（ ） A.
51515151
, -, -1 B. , , 1 C. -, , 1 D. , -, 1
22222222
x 2y 2
-=1上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的左焦点的距5、如果双曲线
412
离是（ ）
A. 4 B. 12 C. 4或12 D. 6
x 2y 2
6、已知F 1, F 2为椭圆2+2=1(a >b >0) 的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB , 若∆AF 1B 的
a b
周长为16，离心率为
，则椭圆的方程为（ ） 2
x 2y 2x 2y 2x 2y 2
+=1 B. +=1 C. +=1 D. A. 431631612x 2y 2+=1 164
2
7、曲线y =4x 关于直线x =2对称的曲线方程是（ ）
2
2
2
2
A. y =8-4x B. y =4x -8 C. y =16-4x D. y =4x -16
2
8、已知抛物线y =2px (p >0) 上一点M (1, m )(m >0) 到其焦点的距离为5，双曲线
x 2
-y 2=1的左顶点为A , 若双曲线一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 等于（ ） a
A.
1111 B. C. D. 9432
9、在底面是正三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若AB =BB 1，则
AB 1与C 1B 所成角的大小为（ ）
A. 60 B. 90 C. 105 D. 75 10、已知点P 是抛物线y 2=2x 上的一个动点，则点P 到点(0, 2) 的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值是（ ） A.
9 B.3 C. D.
22
二、填空题（每小题4分，共计24分）
11、已知向量=(1-t , 2t -1, 0) 与
=(2, t , t ) 的最小值是 .
12、与圆x 2+y 2+8x +7=0及圆x 2+y 2-8x +12=0都外切的圆的圆心的轨迹方程为 .
13、已知A 为圆O 内一定点，B 为圆O 上一动点，线段AB 的垂直平分线交直线OB 于点P , 则点P 的轨迹是以O 、A 为焦点，OB 长为长轴长的椭圆. 若将A 变为圆O 外一定点，其它条件不变，则点P 的轨迹是 .
14、给定下列四个命题，其中为真命题的是 （填上所有真命题的序号） 1）命题“若am
2
2
3-x 的充分不必要条件.
x 2y 2x 2y 2
3）已知双曲线2-2=1和椭圆2+2=1(a >0, m >b >0) 的离心率之积大于1，则
a b m b
以a , b , m 为边长的三角形是钝角三角形. 4) ∀x ∈Z , 2x -3+2x -5>2
15. 设向量a 与b 的夹角为θ，a =(3, 3) ，2b -a =(-1, 1) ，
则cos θ= ．
16．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点M
是BC 的中点，则D 1B 与AM 所成角的余弦值是 ．三、解答题：（共46分，其中17题10分，其他各题12分）解答题应写出文字说明．证明过程或演算步骤．
17、设命题p :直线y =kx +1与抛物线y 2=4x 有两个公共点，命题q :方程
x 2y 2
-=1表示双曲线，若p 且q 为真，求实数k 的取值范围. （10分） 2+k k +1
18、已知∆ABC 的两个顶点A , B 的坐标分别(-1, 0), (1, 0) ，且AC , BC 所在直线的斜率之积为m (m ≠0) ，1）求顶点C 的轨迹.2）当m =2时，记顶点C 的轨迹为Γ, 过点M (1, 1) 能否存在一条直线l ，使l 与曲线Γ交于E , F 两点，且M 为线段EF 的中点，若存在求直线l 的方程，若不存在说明理由. （12分）
19、如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，
PA ⊥面ABCD , PA =AB =1, AD =，点F 是PB 的中
点，点E 在边BC 上移动。
1）点E 为BC 的中点时，试判断EF 与平面PAC 的位置关系，并说明理由。
2）证明:无论点E 在边BC 的何处，都有PE ⊥AF 3）当BE 等于何值时，PA 与平面PDE 所成角的大小为45. （12分）
B
x 2y 2
+=120、若抛物线x =2py (p >0) 的焦点与椭圆34
2
的上焦点重合，
1）求抛物线方程.
2）若AB 是过抛物线焦点的动弦，直线l 1, l 2是抛物线两条分别切于A , B 的切线，求l 1, l 2的交点的纵坐标. （12分）
高二数学寒假作业一参考答案
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1、B 2、A 3、D 4、A 5、C 6、D 7、C 8、A 9、B 10、A 二、填空题（每小题4分，共计24分）
4y 2
=1(x >0) 11、2 12、4x -63
2
13、以O , A 为焦点，OB 长为实轴长的双曲线 14、③
15. 设向量a 与b 的夹角为θ, 且a =(3, 3), 2b -a =(-1, 1) ∴b =(1, 2) ，则
a ⋅b 9cos θ==.
a ⋅b 32⋅
16. 设正方体的棱长为a , 过B 点作直线BN //AM 交DA 的延长线于N , 连D 1N , 在
∆D 1NB 中, BN =
, BD 1=3, D 1N =, ∴ cos ∠D 1BN = 2215
三、解答题：（共46分，其中17题10分，其他各题12分）解答题应写出文字说明．证明过
程或演算步骤．
17、k ∈(-∞, -2) ⋃(-1, 0) ⋃(0, 1)
y 2
=1(x ≠±1) 18、1）由题可知，顶点C 的轨迹方程为x -m
（1）当m >0时，轨迹为焦点在x 轴上的双曲线（除去(-1, 0), (1, 0) 两点）
（2）当m =-1时，轨迹为以原点为圆心，半径为1的圆（除去(-1, 0), (1, 0) 两点） （3）当-1
2
2）不存在
19、解：（ 1） 当点E 为BC 的中点时，EF 与平面PAC 平行. 因为在∆E , F 分别为BC , PB 的中点，所以EF //PC . 又EF ⊄平面PAC ，而 （2）（向量法）建立如图所示空间直角坐标系，则P (0, 0, 1), B (0, 1, 0),
PC ⊂平面PAC ，所以EF //平面PAC .
⎛11⎫
F 0, , ⎪, D , 0, 0. 设BE =x ，则E (x , 1, 0)，所以 ⎝22⎭
⎛11⎫
∙=(x , 1, -1)∙ 0, , ⎪=0，即无论点E 在BC
⎝22⎭
的何处都有PE ⊥AF .
)
⎧⎪∙=0
(3) 设BE =x , 平面P D E 的法向量为m =(p , q , 1)，由⎨，得
⎪⎩m ∙PE =0
⎛3⎫ m = , 1-x , 1⎪⎪ 33⎝⎭
2= =(0, 0, 1)，依题意得PA 与平面PDE 所成角为45，所以sin 45=2
即
1
1⎛3⎫
+ 1-x ⎪+1 ⎪3⎝3⎭
2
2
=
2
，解得BE =x =-2或BE =+(舍) 2
20、解：1）抛物线的方程为x =4y
2
x x
2）设A (x 1, 1), B (x 2, 2)
44
设以A 为切点的切线的斜率为k （k 存在，k 不存在显然不符题意），则切线为
2
x x
y -1=k (x -x 1) 与x 2=4y 联立，利用判别式为0，则k =1，同理以B 为切点的切线
24
x
的斜率为2，
2
2x 1x
于是l 1:y -=1(x -x 1) -----①
422x 2x
=2(x -x 2) ----② l 2:y -42
1
①⨯x 2-②⨯x 1可得y =x 1x 2
4
因为AB 过焦点（0,1），所以设AB 方程为y -1=k 1x （k 1存在，k 1不存在显然不符题意），
2
与x =4y 联立得x -4kx -4=0，所以x 1x 2=-4，于是l 1, l 2的交点的纵坐标为-1.
2
2
B
A
C
E