专题：函数的值域和最值(★)
教学目标
掌握常见的函数的值域（最大值最小值）的求解方法，如一元二次函数、分式形式及分段函数的函数值域的求解方法。
知识梳理
常用的求解值域的方法有：
（1） 直接法：从自变量x 的范围出发，推出y =f (x ) 的取值范围； （2） 配方法：适用于与二次函数有关的函数；
（3） 换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形
如y =ax +b a 、b 、c 、d 均为常数，且a ≠0）的函数常用此法求解;
（4）分离常数法
5 min.
c ad -cb ad -cb (ax +b ) +
cx +d c 形如y =的函数可变形为函数y =后求值域； =+ax +b ax +b a ax +b
（5）判别式法； （6）图象法.
典例精讲
1、直接法：从自变量x 的范围出发，推出y =f (x ) 的取值范围。
30min .
(-1≤x ≤1) 例1、求下列函数的值域y =3x +2 -3≤3x ≤3， 分析：∵ -1≤x ≤1，∴
-1≤3x +2≤5，即--1≤y ≤5 ∴
， ∴函数的值域是[-15]
【直接法就是利用常见函数的值域来求函数的值域. 】 巩固练习
1、求f (x ) =2+4-x 的值域
分析：
[0,+∞) ∴f (x ) ∈[2,+∞∴ 函数的值域是[2,+∞)
.
2、配方法：适用于与二次函数有关的函数。
例2（★）已知函数y =x 2-4x +1，分别求它在下列区间上的值域。
（1）x ∈R ； （2）[3,4] （3）[0,1] （4）[0,5] 分析：（1）∵x ∈R ，∴ y ≥-3，
∴函数的值域是[-3, +∞) .
（2）∵x ∈[3,4]时，图象在对称轴右边，图象递增.
∴ x =3时，y min =-2；x =4时，y max =1； ∴在[3,4]上，函数的值域为[-2,1].
（3）∵x ∈[0,1]时，图象在对称轴左边，图象递减.
∴x =0时， y max =1；x =1时，y min =-2, ∴在x ∈[0,1]上，函数的值域为[-2,1].
（4）∵x ∈[0,5]时，图象含抛物线顶点，∴y min =-3
而当x =0时，y =1；x =5时，y =6, ∴y max =6 ∴在x ∈[0,5]上，函数的值域为[-3,6].
【配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，一般是根据函数所给的x 取值范围，结合函数的图象求得函数的值域. . 】 巩固练习
1、求函数y =-x 2+4x +2（x ∈[-1,1]）的值域。(开口方向；区间与对称轴的关系) 分析：有二次函数的图像得该函数的值域为[-2,5]
3、换元法：
运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如
y =ax +b a 、b 、c 、d 均为常数，且a ≠0）的函数常用此法求解。
例3（★）求函数y =2x +4-x 的值域
2
分析：设
t =则t ≥0 x =1-t
代入得 y =f (t ) =2⋅(1-t 2) +4t =-2t 2+4t +2=-2(t -1) 2+4 ∵t ≥0 ∴y ≤4 ∴函数的值域为[-∞, 4]
【换元法就是用“换元”的方法，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域. . 】 巩固练习
1、（★）
求函数y =2x
1-t 2分析：(求值域先求定义域)
令t =t ≥0）（引入新元要标注范围），则x =，
25
（t ≥0） 4
135
∵当t =，即x =时，y max =，无最小值。
284
5
∴函数y =2x (-∞, ]。
4
2、（★）
求y =2x －3
22
∴y =-t +t +1=-(t -) +
12
分析：(求值域先求定义域)
令t =t ≥0（引入新元要标注范围），且2x ＝(13－t 2) ，
y ＝－t 2＋t ＋＝t －(t －1)＋4≤（4t ≥0），（这里最好利用数形结合法）
2
y ∈（－∞，4] .
4、分离常数法
c ad -cb ad -cb
(ax +b ) +
cx +d c 形如y =的函数可变形为函数y =后求值域. =+ax +b ax +b a ax +b
5x +4
例4、（★）求函数y =的值域。
x -1
5x +45(x -1) +99
==5+分析： y =， x -1x -1x -1
9
≠0 ∴y ≠5 ∵x ≠1 ∴
x -1
∴函数值域为(-∞,5)
【形如y =． 巩固练习
1、（★）求函数y =
(5,+∞) ．
cx +d c
(c ≠0, bc ≠ad ) 的值域为{y |y ≠. 】 ax +b a
1-x
的值域。 2x +5
177-(2x +5) +
1-x =-1+， 分析：（此处要先求定义域）∵y ==2x +52x +522x +5
7
11-x 1
∵≠0，∴y ≠-，∴函数y =的值域为{y |y ≠-.
22x +522x +5
5、判别式法：
x 2-x +1
例5、（★）求函数y=2值域
x +x +1
分析：∵x +x +1=(x +) +
2
12
2
33
≥>0， 44
∴函数的定义域为R ，原式可化为y (x 2+x +1) =x 2-x +1, 整理得(y -1) x 2+(y +1) x +y -1=0， 若y =1, 即2x =1, 则x =1； 若y ≠1, ∵x ∈R ，即有∆≥0， ∴(y +1) 2-4(y -1) 2≥0, 解得
1
≤y ≤3且y ≠1. 3
综上：函数是值域是[,3].
【判别式法一般用于分式函数，其定义域应为R ，其分子或分母只能为二次式，且分子、分母没有公因式. . 】
巩固练习
13
x 2-x +3
1、（★）求函数y =2的值域。
x -x +1
分析：定义域为：∵x ∈R
x 2-x +3由y =2变形得(y -1) x 2-(y -1) x +y -3=0，
x -x +1
当y =1时，此方程无解；（特殊情况优先）
当y ≠1时，∵x ∈R 说明方程至少有解，∴∆=(y -1) 2-4(y -1)(y -3) ≥0， 解得1≤y ≤
1111
，又y ≠1，∴1
11x 2-x +3
∴函数y =2的值域为{y |1
3x -x +1
6、图象法:画出图像，根据图像的最高点、最低点来判断。 例6、（★）求函数y =x ++x -2的值域. 分析：
⎧-2x +1(x
方法一：将函数化为分段函数形式：y =⎨3(-1≤x
⎪2x -1(x ≥2) ⎩
由图象可知，函数的值域是{y |y ≥3}.
方法二：∵函数y =x ++x -2表示数轴上的动点x 到两定点-1，2的距离之和，∴易见y 的最小值是3，∴函数的值域是[3，+∞]. 如图
【图象法（几何法），是采用“数形结合”，利用几何性质求解的一种方法. 】 巩固练习
1、（★）求函数y =|x +3|+|x -5|的值域。 分析：
⎧-2x +2(x
⎪
∵y =|x +3|+|x -5|=⎨8 (-3≤x
⎪2x -2(x ≥5) ⎩
∴y =|x +3|+|x -5|的图像如图所示，
由图像知：函数y =|x +3|+|x -5|的值域为[8,+∞)
7、基本不等式法：分式形式，分子和分母一个是一次函数，一个是二次函数。解题时，将一次函数还原成t （注意范围），再借助基本不等式来求值域和最值。
x 2+5
(x ≥1) ，求f (x ) 的值域. 例7、（★）已知f (x ) =x x 2+55
=x +由耐克函数图像知值域为+∞) 分析：f (x ) =x x
巩固练习
x 2+2x +5
(x ≥0) ，求f (x ) 的值域. 1、（★）已知f (x ) =
x +1
x 2+2x +5(x +1) 2+44
==(x +1) +分析：f (x ) =，由耐克函数的图像性质知该函数在x ∈[0,+∞
)
x +1x +1x +1
上的值域为[4,+∞)
8、反解法：函数式中含有可以确定范围的代数式.
x 2-1
例8：（★）求函数y =2的值域。
x +1
分析：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为R （定义域优先原则），对函数进行变形可得
(y -1) x 2=-(y +1) ，
∵y ≠1，（特殊情况优先原则）∴x =-
2
y +1
（x ∈R ，y ≠1）， y -1
∴-
y +1
≥0，∴-1≤y
x 2-1
∴函数y =2的值域为{y |-1≤y
x +1
【此类题要根据题目发现关系式中有范围的量，用y 表示x ，进而解得y 的范围. 】 巩固练习
1、（★）求y =分析： y =
5-x
（1≤x ≤3）的值域. 2x +5
5-5y 5-x
⇒x = 2x +52y +1
∵1≤x ≤3 ∴1≤
5-5y 24
≤3⇒y ∈[, ]
1172y +1
回顾总结
5 min.
1、一元二次函数的值域问题无论x 有没有范围都要进行画图去看，在出现根式的题目中需要进行换 元，
将函数转换为x 有范围的一元二次函数的值域问题。
2、分子分母同为一次函数形式的函数的值域问题中当x 没有特别的条件限制时，y =
ax +b
(c ≠0) 值域cx +d
为 (-∞, ) ⋃(, +∞) ，当x 有特定的范围时需要进行画图分析单调性，求解值域.
3、分子为二次分母为一次形式的函数的值域问题，可以进行换 元将函数转化为耐克函数或者双增函数进行求解值域; 分子为一次分母为二次的形式的函数的值域，可以进行取 倒转化为分子为二次分母为一次的函数的值域问题，注意y 补零.
a c a c
4、分子分母同为二次形式的函数的值域问题有两种求解方法：分离转化为分子为一次分母为二次的函数5、对于含绝对值的函数的值域问题可以分段函数和绝对值的几何意义进行求解，根据绝对值的意义得 ，y =|x +a |-|x +b |(a ≠b ) 的值域为y =|x +a |+|x +b |(a ≠b ) 的值域为[a -b +∞, )
[-a -b , +a -b ) 6、对于解析式中x ，解y 得范围即可.
专题：函数的值域和最值(★)
教学目标
掌握常见的函数的值域（最大值最小值）的求解方法，如一元二次函数、分式形式及分段函数的函数值域的求解方法。
知识梳理
常用的求解值域的方法有：
（1） 直接法：从自变量x 的范围出发，推出y =f (x ) 的取值范围； （2） 配方法：适用于与二次函数有关的函数；
（3） 换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形
如y =ax +b a 、b 、c 、d 均为常数，且a ≠0）的函数常用此法求解;
（4）分离常数法
5 min.
c ad -cb ad -cb (ax +b ) +
cx +d c 形如y =的函数可变形为函数y =后求值域； =+ax +b ax +b a ax +b
（5）判别式法； （6）图象法.
典例精讲
1、直接法：从自变量x 的范围出发，推出y =f (x ) 的取值范围。
30min .
(-1≤x ≤1) 例1、求下列函数的值域y =3x +2 -3≤3x ≤3， 分析：∵ -1≤x ≤1，∴
-1≤3x +2≤5，即--1≤y ≤5 ∴
， ∴函数的值域是[-15]
【直接法就是利用常见函数的值域来求函数的值域. 】 巩固练习
1、求f (x ) =2+4-x 的值域
分析：
[0,+∞) ∴f (x ) ∈[2,+∞∴ 函数的值域是[2,+∞)
.
2、配方法：适用于与二次函数有关的函数。
例2（★）已知函数y =x 2-4x +1，分别求它在下列区间上的值域。
（1）x ∈R ； （2）[3,4] （3）[0,1] （4）[0,5] 分析：（1）∵x ∈R ，∴ y ≥-3，
∴函数的值域是[-3, +∞) .
（2）∵x ∈[3,4]时，图象在对称轴右边，图象递增.
∴ x =3时，y min =-2；x =4时，y max =1； ∴在[3,4]上，函数的值域为[-2,1].
（3）∵x ∈[0,1]时，图象在对称轴左边，图象递减.
∴x =0时， y max =1；x =1时，y min =-2, ∴在x ∈[0,1]上，函数的值域为[-2,1].
（4）∵x ∈[0,5]时，图象含抛物线顶点，∴y min =-3
而当x =0时，y =1；x =5时，y =6, ∴y max =6 ∴在x ∈[0,5]上，函数的值域为[-3,6].
【配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，一般是根据函数所给的x 取值范围，结合函数的图象求得函数的值域. . 】 巩固练习
1、求函数y =-x 2+4x +2（x ∈[-1,1]）的值域。(开口方向；区间与对称轴的关系) 分析：有二次函数的图像得该函数的值域为[-2,5]
3、换元法：
运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如
y =ax +b a 、b 、c 、d 均为常数，且a ≠0）的函数常用此法求解。
例3（★）求函数y =2x +4-x 的值域
2
分析：设
t =则t ≥0 x =1-t
代入得 y =f (t ) =2⋅(1-t 2) +4t =-2t 2+4t +2=-2(t -1) 2+4 ∵t ≥0 ∴y ≤4 ∴函数的值域为[-∞, 4]
【换元法就是用“换元”的方法，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域. . 】 巩固练习
1、（★）
求函数y =2x
1-t 2分析：(求值域先求定义域)
令t =t ≥0）（引入新元要标注范围），则x =，
25
（t ≥0） 4
135
∵当t =，即x =时，y max =，无最小值。
284
5
∴函数y =2x (-∞, ]。
4
2、（★）
求y =2x －3
22
∴y =-t +t +1=-(t -) +
12
分析：(求值域先求定义域)
令t =t ≥0（引入新元要标注范围），且2x ＝(13－t 2) ，
y ＝－t 2＋t ＋＝t －(t －1)＋4≤（4t ≥0），（这里最好利用数形结合法）
2
y ∈（－∞，4] .
4、分离常数法
c ad -cb ad -cb
(ax +b ) +
cx +d c 形如y =的函数可变形为函数y =后求值域. =+ax +b ax +b a ax +b
5x +4
例4、（★）求函数y =的值域。
x -1
5x +45(x -1) +99
==5+分析： y =， x -1x -1x -1
9
≠0 ∴y ≠5 ∵x ≠1 ∴
x -1
∴函数值域为(-∞,5)
【形如y =． 巩固练习
1、（★）求函数y =
(5,+∞) ．
cx +d c
(c ≠0, bc ≠ad ) 的值域为{y |y ≠. 】 ax +b a
1-x
的值域。 2x +5
177-(2x +5) +
1-x =-1+， 分析：（此处要先求定义域）∵y ==2x +52x +522x +5
7
11-x 1
∵≠0，∴y ≠-，∴函数y =的值域为{y |y ≠-.
22x +522x +5
5、判别式法：
x 2-x +1
例5、（★）求函数y=2值域
x +x +1
分析：∵x +x +1=(x +) +
2
12
2
33
≥>0， 44
∴函数的定义域为R ，原式可化为y (x 2+x +1) =x 2-x +1, 整理得(y -1) x 2+(y +1) x +y -1=0， 若y =1, 即2x =1, 则x =1； 若y ≠1, ∵x ∈R ，即有∆≥0， ∴(y +1) 2-4(y -1) 2≥0, 解得
1
≤y ≤3且y ≠1. 3
综上：函数是值域是[,3].
【判别式法一般用于分式函数，其定义域应为R ，其分子或分母只能为二次式，且分子、分母没有公因式. . 】
巩固练习
13
x 2-x +3
1、（★）求函数y =2的值域。
x -x +1
分析：定义域为：∵x ∈R
x 2-x +3由y =2变形得(y -1) x 2-(y -1) x +y -3=0，
x -x +1
当y =1时，此方程无解；（特殊情况优先）
当y ≠1时，∵x ∈R 说明方程至少有解，∴∆=(y -1) 2-4(y -1)(y -3) ≥0， 解得1≤y ≤
1111
，又y ≠1，∴1
11x 2-x +3
∴函数y =2的值域为{y |1
3x -x +1
6、图象法:画出图像，根据图像的最高点、最低点来判断。 例6、（★）求函数y =x ++x -2的值域. 分析：
⎧-2x +1(x
方法一：将函数化为分段函数形式：y =⎨3(-1≤x
⎪2x -1(x ≥2) ⎩
由图象可知，函数的值域是{y |y ≥3}.
方法二：∵函数y =x ++x -2表示数轴上的动点x 到两定点-1，2的距离之和，∴易见y 的最小值是3，∴函数的值域是[3，+∞]. 如图
【图象法（几何法），是采用“数形结合”，利用几何性质求解的一种方法. 】 巩固练习
1、（★）求函数y =|x +3|+|x -5|的值域。 分析：
⎧-2x +2(x
⎪
∵y =|x +3|+|x -5|=⎨8 (-3≤x
⎪2x -2(x ≥5) ⎩
∴y =|x +3|+|x -5|的图像如图所示，
由图像知：函数y =|x +3|+|x -5|的值域为[8,+∞)
7、基本不等式法：分式形式，分子和分母一个是一次函数，一个是二次函数。解题时，将一次函数还原成t （注意范围），再借助基本不等式来求值域和最值。
x 2+5
(x ≥1) ，求f (x ) 的值域. 例7、（★）已知f (x ) =x x 2+55
=x +由耐克函数图像知值域为+∞) 分析：f (x ) =x x
巩固练习
x 2+2x +5
(x ≥0) ，求f (x ) 的值域. 1、（★）已知f (x ) =
x +1
x 2+2x +5(x +1) 2+44
==(x +1) +分析：f (x ) =，由耐克函数的图像性质知该函数在x ∈[0,+∞
)
x +1x +1x +1
上的值域为[4,+∞)
8、反解法：函数式中含有可以确定范围的代数式.
x 2-1
例8：（★）求函数y =2的值域。
x +1
分析：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为R （定义域优先原则），对函数进行变形可得
(y -1) x 2=-(y +1) ，
∵y ≠1，（特殊情况优先原则）∴x =-
2
y +1
（x ∈R ，y ≠1）， y -1
∴-
y +1
≥0，∴-1≤y
x 2-1
∴函数y =2的值域为{y |-1≤y
x +1
【此类题要根据题目发现关系式中有范围的量，用y 表示x ，进而解得y 的范围. 】 巩固练习
1、（★）求y =分析： y =
5-x
（1≤x ≤3）的值域. 2x +5
5-5y 5-x
⇒x = 2x +52y +1
∵1≤x ≤3 ∴1≤
5-5y 24
≤3⇒y ∈[, ]
1172y +1
回顾总结
5 min.
1、一元二次函数的值域问题无论x 有没有范围都要进行画图去看，在出现根式的题目中需要进行换 元，
将函数转换为x 有范围的一元二次函数的值域问题。
2、分子分母同为一次函数形式的函数的值域问题中当x 没有特别的条件限制时，y =
ax +b
(c ≠0) 值域cx +d
为 (-∞, ) ⋃(, +∞) ，当x 有特定的范围时需要进行画图分析单调性，求解值域.
3、分子为二次分母为一次形式的函数的值域问题，可以进行换 元将函数转化为耐克函数或者双增函数进行求解值域; 分子为一次分母为二次的形式的函数的值域，可以进行取 倒转化为分子为二次分母为一次的函数的值域问题，注意y 补零.
a c a c
4、分子分母同为二次形式的函数的值域问题有两种求解方法：分离转化为分子为一次分母为二次的函数5、对于含绝对值的函数的值域问题可以分段函数和绝对值的几何意义进行求解，根据绝对值的意义得 ，y =|x +a |-|x +b |(a ≠b ) 的值域为y =|x +a |+|x +b |(a ≠b ) 的值域为[a -b +∞, )
[-a -b , +a -b ) 6、对于解析式中x ，解y 得范围即可.