基于有限元的空气弹簧刚度分析

第33卷第6期2010年11月20日

◆

电力机车与城轨车辆

ElectricLocomotives＆MassTransitVehiclesVol.33No.6Nov.20th，2010

研究开发

◆

基于有限元的空气弹簧刚度分析

陈鼎，李芾，黄运华

（西南交通大学机车车辆工程系，四川成都

摘

610031）

要：空气弹簧是现代轨道交通车辆的主要减振元件，能有效改善轨道车辆的动力学性能，提高乘坐的舒适性和车

辆的运行稳定性。文章利用非线性有限元软件ABAQUS对空气弹簧的垂向刚度与横向刚度进行模拟分析，通过考虑空气结构参数等影响空气弹簧刚度的因数，对基于各影响因数下空气弹簧刚度特性进行比较分析。弹簧的非线性性质、

关键词：空气弹簧；非线性有限元；ABAQUS软件；垂向刚度；横向刚度中图分类号：U260.331+.4

文献标识码：A

文章编号：1672-1187（2010）06-0008-05

Analysisofairspringstiffnessbasedonfiniteelement

CHENDing，LIFu，HUANGYun-hua

（DepartmentofRailwayVehicleEngineering，SouthwestJiaotongUniversity，Chengdu610031，China）

Abstract：Airspringisthemaindampingcomponentsofthemodernrailtransitvehicles，whichcaneffectivelyimprovetherailvehicledynamicperformance，raisingtheridecomfortridecomfortandstabilityofvehicles.UsingthenonlinearfiniteelementsoftwareABAQUStosimulatetheverticalstiffnessandlateralstiffnessofairspring，byconsideringthefactorofaffectingairspringstiffnessincludingnonlinearnatureandstructureparameter，simultaneouslycomparingthestiffnessofairspringbasedonthedifferentinfluencefactors.

Keywords：airspring；nonlinearfiniteelement；ABAQUS；verticalstiffness；lateralstiffness

1概述

铁道车辆二系悬挂弹性元件的刚度特性是决定车辆

辆上，增加静扰度需使用较柔软的弹簧，这就导致了空重车之间地板面与轨道距离的不同，但由于存在车钩高度差的限制，过大的车钩高度差就有可能导致车辆之间脱钩的危险。

空气弹簧的问世，解决了钢弹簧悬挂系统所无法解空气弹簧具有可调节的高度控制阀，很好地解决的难题。

决了空重车变化时稳定车辆地板面高度的问题；由于其）可知，在任何刚度是随载荷的改变而改变的，由公式（1载荷条件下空气弹簧的自振频率不变，这就使得空重车运行品质相当。此外，在隔音、吸振方面也优于普通钢弹空气弹簧的这种可变刚度特性，取决于其结构参数和簧。

自身非线性性质。由于空气弹簧的结构是利用橡胶这种

运行品质的重要因素之一，在客车与高速列车上体现得尤为明显。二系悬挂系统发展之初，大都采用钢弹簧作为二系悬挂系统的组成部分，在随后的发展过程中，采用了减振器等方式，以期改善车辆运行过程中的平稳摇动台、

性与稳定性，但决定平稳性的静扰度在钢弹簧结构上却存在较大的缺陷。钢弹簧的刚度在设计之初即已确定，运行过程中无法改变，由公式（1）可知自振频率决定于载荷的大小，这就使得钢弹簧具有一个较宽的自振频率范围，导致了车辆在重载和轻载下运行品质的差异。

大变形材料作为腔体，柔性体空气作为内部介质所组成ω=（1）

的部件，在设计计算时，准确评估其刚度具有较大的难根据式（1），为了提高车辆的平稳性，就必须尽可能地增加悬挂装置的静扰度，在钢弹簧作为二系悬挂的车

度，其可变的承载面以及复杂的结构变形都限制了计算本文通过建立空气弹簧的精度，影响列车运行的平稳性。

收稿日期：2010-06-27

作者简介：陈鼎，在读硕士研究生，研究方向为机车车辆设计及理论。基金项目：中央高校基本科研项目（西交校2009-7）

-8-

陈鼎等·基于有限元的空气弹簧刚度分析·2010年第6期

的三维模型进行有限元分析，利用有限元软件ABAQUS模拟正常工况下空气弹簧的垂向与横向刚度特性并判定自身非线性性质以及结构参数对其刚度的影响，由此分析计算结果的实际意义。

2.2橡胶的非线性应力分析

橡胶材料属于各向同性的超弹性材料，其应力可表述为：

2非线性橡胶的有限元分析法

与其他材料相比，橡胶材料具有大位移、大变形的特

∂W

t=（8）∂EÁÂ

式中：tij—Kirchhoff应力张量；Eij—Green应变张量；W—应变能密度。

橡胶材料的应变能密度W是第一变形张量不变量I1

和第二变形张量不变量I2的函数，即：

W=W(I1,I2)

W=W(I1+I2)+h(I3+1)W(I1+I2)=C1(I1-3)+C2(I2-3)

（9）（10）（11）

即：在此，引用Moongy-Rovlin型的橡胶本构模型，

而结点，他在低应变区的弹性系数可以达到1MPa左右，构钢的弹性模量约为2×103GPa，这种差异导致了橡胶不同于钢材的小变形性质，普通的针对小应变的弹性有限元法不适用于橡胶材料的分析。本文通过采用非线性橡胶材料的混合有限元法对空气弹簧橡胶囊腔体进行分应力与应变的关系。析，分析大变形条件下应变与位移、2.1橡胶的非线性应变分析

Green应变张量与位移分量之根据非线性弹性理论，间的关系为：

式中：h—Lagrange乘子，其物理意义为静压力；C1与C2可通过对材料的单轴拉伸，多轴拉伸，平面试验获得。

橡胶材料可看成不可压缩材料，材料的不可压缩表

ÁÁÁ

I=λ+λ+λÂÂÁÃ方向。ÁÁÁ

=++Iλλλλλλ()()()（13）将（2）式展开得：ÁÂÁÁÃÂÃ

Á

ÁÁÁI=λλλ()ÃÂÁÃ∂u∂u∂u1∂u

=+++E∂xÃ∂xÃ∂xÃ2∂xÃ主拉伸比λÁ与主应变εÁ之间的关系可表述为：式中，

ÁÁÁ

λÁ=1+εÁ∂u∂u∂u1∂u（14）=+++E∂xÁ∂xÁ∂xÁ2∂xÁ）代入式（12）可得不可压缩材料的变形张量将式（11ÁÁÁ

∂uÂ∂uÂ∂u1∂u不变量表达式：

E=+++1∂xÂ∂xÂ∂x2∂xÂI=λ+λ+ÁÁλÂλÁ

1∂u∂u∂u∂u∂u∂u∂u1∂u（15）11EE==++++ÁÁ=Á+Á+λÂλÁI∂xÃ∂xÁ∂xÃ∂xÁ∂xÃ∂xÁ2∂xÁ2∂xÃλÂλÁ1∂u∂u∂u1∂u∂u∂u∂u∂uE=E=+++将（7）式展开得：+∂xÂ∂x∂x∂x∂x∂x∂x2∂xÁ2ÂÁÂÁÂÁ

∂W∂I∂W∂I∂W∂It=++∂u∂u∂u∂u∂u1∂u∂u1∂u（16）∂IÂ∂εÁ∂IÃ∂εÁ∂IÁ∂εÁE=E=+++ÂÂÂ+2∂xÂ∂xÃ∂xÂ∂xÃ∂xÂ∂xÃ∂xÂ2∂xÃ

将式（14）代入式（15）得主应力表达式：

（3）

2Á1∂W∂WÁ将Green应变张量用其物理分量替换，记为应变矢t=λ−Á+λÁ

∂IÂ∂IÁλÂλÂλÁ量：（17）

Á2Á1∂W∂WÁ

ε=[εÁ ε ε ε ε ε=λ−+λt]ÁÂ∂IÂ∂IÁλÁλÂλÁÁ

（4）=[EÁ EÂ EÃ EÁ EÂ EÁ]ÁÂÃÂÃÃ

由此得到的即为主应力与主拉伸比之间的关系表达

为了计算应变增量，将位移写成增量形式：

式。

un=un+Δun（n=i，j，k）（5）

达式为：∂uÁ1∂u∂u∂uE=+++（2）I3=1（12）∂u∂u∂u∂u2ÁÂÂÁ

第二变形张量不变量表达式可表述为：第一、式中：E—Green应变张量；u、u—位移分量；i，j，k—位移

ij

i

j

）式的展开式中，得应变增量：代入（3

εαβ+∆εαβ (α=i,j β=i,j)

3空气弹簧的有限元模型

（6）

3.1气囊上下盖板的模拟

空气弹簧的上下盖板相对于橡胶囊来说，其刚度远远超过橡胶囊，故可采用刚体Rigid单元进行模拟。其中

-9-

其中应变增量可分为线性部分和非线性部分，即：

∆εαβ=∆ξαβ+∆ξαβ）（7

电力机车与城轨车辆·2010年第6

期

上盖板为三维3节点刚体单元R3D3，上盖板侧盖板为三维4节点刚体单元R3D4，下盖板为三维4节点刚体单元R3D4。Rigid单元设置刚体参考点于中轴线上，用于施加位移、约束与载荷。3.2气囊复合材料模拟

空气弹簧橡胶囊部分是由帘线层与橡胶硫化而成的复合板状结构，具有较强的力学各项异性和几何非线性。在有限元模拟中可将橡胶囊比作具有若干铺成的板状结构，橡胶层部分采用三维4节点壳单元S4R进行模拟，帘线层部分采用壳截面参数rebar单元进行模拟。

层状结构中的rebar单元运用于三维壳单元中的有限元模型如图1所示。

采用第二种方法，选用三维8节点缩减积分实体单元C3D8R来模拟橡胶囊的橡胶部分，三维8节点实体单元C3D8来模拟钢板部分。橡胶堆上端面上的节点与下摆盖板节点耦合。

图3流体单元F3D4图4腔体参考节点

3.5模型的建立

模应用有限元软件ABAQUS对空气弹簧进行模拟，型采用三维轴对称结构，其中上下盖板采用刚体单元R3D3、R3D4；橡胶囊部分采用壳单元S4R，其内部帘线层加压空气采用静水流体单元F3D3、采用rebar单元模拟；

F3D4；橡胶堆部分采用实体单元C3D8、C3D8R。模型建立

图1

rebar单元

后如图5所示。

rebar单元是用于模拟层状结构或实体结构中嵌入层面内各rebar之间的钢筋部分，其参数包含rebar层数、的间距、rebar的横截面积、rebar的方向角。这些参数均以帘线层中帘线的布置参数带入，其中，建模时选取帘线角为便于分析结果将参考于橡胶囊纬线方向，如图2所示，其转化为与经线方向的夹角。

图5

空气弹簧有限元模型

4仿真结果及其分析

空气弹簧具有很强的非线性特性，可将其刚度曲线

“S”型，即在曲设计成理想的形式。最理想的曲线形式为

图2

帘线角的布置

线中间区段具有比较低的刚度，而在两端边缘区段具有比较大的刚度，这样可以保证在车辆正常运行过程中保持较低的刚度值，提高乘坐的舒适性，而在通过道岔或通过曲线时，保持较大的刚度值，以保证车体振幅不至于过刚度曲线的变化与空气弹簧自身结构有很大关系，为大。

设计合理的刚度曲线，研究空气弹簧结构参数对刚度值的影响具有实际意义。4.1垂向刚度数值模拟

空气弹簧的垂向数值模拟分为二个工况。

第一工况：对胶囊充气，等效于施加橡胶腔体的内压。此时上盖板位移全约束，橡胶底座位移全约束，维持工作高度200mm，使空气弹簧充压至工作压强P，如图6所示。

第二工况：释放上盖板的垂向约束，对上盖板施加垂向位移30mm，压缩胶囊，如图7所示。达到平衡时，根据平衡原理可知空气弹簧下端参考点的支反力F即为上端盖所施加的载荷，其满足如下表达式：

3.3气体模拟

空气弹簧属流固耦合结构，在有限元分析软件ABAQUS中，采用三维3节点与三维4节点流体单元F3D3、F3D4模拟压缩空气，并与壳单元的三维4节点和三维3节点单元S4R、S3R共享节点，如图3所示。根据ABAQUS中的对称流体腔理论，在橡胶囊形成腔体中轴线上布置腔体参考节点，用于施加流体单元各节点上的载荷，即气压，如图4所示。3.4橡胶堆的模拟

橡胶堆同样属于刚度远远大于橡胶囊的结构，但橡胶堆属复合结构，利用钢板与橡胶硫化而成，故不能直接其一为用Rigid单元模拟。模拟橡胶堆可采用两种方法，选用ABABQUS自带的实体单元截面属性Layer分层划本文分橡胶部分和钢板部分，其二为建模划分单元处理。

-10-

陈鼎等·基于有限元的空气弹簧刚度分析·2010年第6

期

F=K·S

式中：F为外部载荷；S为上盖板位移；K为刚度。

（18）

图6加压充气过程

图10帘线厚度对空气弹簧垂向刚度的影响

图7空气弹簧垂向下压过程

由于橡胶囊在变形过程中，承载面始终随着位移的）并改变而改变，并且橡胶堆部分仍有垂向位移，公式（18不能作为计算橡胶空气弹簧刚度的公式。需通过ABAQUS的数值计算先得出时间历程下的时间-位移曲再通过后处理拟合刚度曲线，线，以及时间-载荷曲线，即位移-载荷曲线。

图8为空气弹簧内压为400kPa，标准工作高度200mm，帘线角20°，帘线厚度1mm，帘线间距3.5mm时的垂向位移与垂向载荷的关系曲线。

图12不同内压对空气弹簧垂向刚度的影响图11帘线间距对空气弹簧垂向刚度的影响

根据图9~图12中所拟合出的曲线可知，帘线部分的参数，除了帘线角的改变对空气弹簧垂向刚度影响较大外，其余参数的改变并未对空气弹簧垂向刚度造成太大的影响。压强的改变量对空气弹簧垂向刚度的影响也非常大，在设计过程中应主要考虑帘线角的选取，正线试

图8

垂向位移-垂向载荷曲线

验过程中应保证各转向架的空气弹簧压强相当。4.3横向刚度数值模拟

为了取消摇动台机构，减轻转向架自重，考虑利用空气弹簧吸收垂向振动的同时吸收横向振动。分析空气弹簧的横向刚度特性对提高列车运行性能与结构优化都具有实际的意义。

空气弹簧的横向刚度数值模拟同样分为两个工况：1）第一工况为施加内压模拟充气过程阶段，与垂向数值模拟类似，如图7所示。

2）第二工况释放上盖板位移约束，施加横向位移20mm，模拟横向位移过程，如图13所示。

图14为空气弹簧内压为400kPa，标准工作高度200mm，帘线角20°，帘线厚度1mm，帘线间距3.5mm

4.2不同参数对空气弹簧垂向刚度的影响

图9~图12给出在不同参数的情况下刚度的变化情况。分别以图7提供的参数为标准值，在所需考虑的影响参数上，选取不同值进行对比。

图9帘线角对空气弹簧垂向刚度的影响

时的横向位移与横向载荷的关系曲线。

-11-

电力机车与城轨车辆·2010年第6期

与模拟垂向刚度类似，考虑不同参数对空气弹簧横向刚度的影响（见图15~图18）。变化参数包括：帘线角、

连线厚度、帘线间距、压强。考虑各变化参数时，剩余参数均与图14给出的数据相同

。

图13空气弹簧横向位移过程图14横向位移-横向载荷曲线图15帘线角对横向刚度的影响

图16帘线厚度对横向刚度的影响图17帘线间距对横向刚度的影响图18内压对横向刚度的影响

由计算结果可知，与垂向刚度模拟时类似，帘线厚度和帘线间距对横向刚度的影响并不大，各曲线基本重合，横向刚度随着压强的增大而随之增大，唯一不同的是横向刚度随着帘线角的减小反而增大。并且随着角度的减设计时应结合垂向刚度小，横向负载特性的线性度越好。特性综合考虑，选取实际所需要的刚度值。

4）空气弹簧橡胶堆部分的钢板层最大应力值仅为100MPa，根据理论分析值可知，其在实际运用中并没有承担主要的承载与减振作用，起到减振与缓冲作用的主要是空气橡胶囊部分。

参考文献：

[1]李芾，付茂海，黄运华.空气弹簧动力学特性参数分析[J].西南交

通大学学报，2003，38（3）：276-281.

李芾，黄运华.空气弹簧系统垂向刚度特性的有限元分[2]刘增华，

析[J].西南交通大学学报，2006，41（6）：700-704.

[3]庄茁，张帆，岑松.ABAQUS非线性有限元分析与实例[M].北

京：科学出版社，2005.

[4]郑红霞，谢基龙，王文静，等.高速客车空气弹簧垂向特性的非线性

有限元仿真[J].北方交通大学学报，2004，28（4）：93-97.[5]王勖成.有限单元法[M].北京：清华大学出版社，2003.

[6]吕和祥，蒋和洋.非线性有限元[M].北京：化学工业出版社，1992.[7]

OuyangQing，ShiYin.TheNon-LinearMechanicalPropertiesOfAnAirspring[J].MechanicalSystemsandSignalProcessing，2003，17（3）：705-711.

[8]KennesP，AnthonisJ，ClijmansL，etal.ConstructionOfAPortableTest

RigToPerformExperimentalModalAnalysisOnMobileAgriculturalMachinery[J].JournalofSoundandVibration，1999，228（2）：421-441.

5结论

1）本文利用有限元法分析空气弹簧的非线性特性，

采用有限元软件ABAQUS，模拟了空气弹簧在标准工作横向的刚度值，通过比较不同的结构参数状态下的垂向、

对空气弹簧各向刚度的影响，为实际空气弹簧设计研究提供理论依据。

2）通过模拟空气弹簧垂向压缩过程分析垂向刚度特性，基本符合了垂向刚度的理想曲线，并通过判断各参数对垂向刚度的影响大小，得出相关有利于设计理想垂向刚度的理论参数。

3）空气弹簧的横向位移刚度曲线较为合理，接近于线性性质，但未能呈现理想的曲线性质的主要原因可能在进一与帘线的材质选取，上下盖板的形状有很大关系。步的分析处理中应得到改善。

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第33卷第6期2010年11月20日

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电力机车与城轨车辆

ElectricLocomotives＆MassTransitVehiclesVol.33No.6Nov.20th，2010

研究开发

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基于有限元的空气弹簧刚度分析

陈鼎，李芾，黄运华

（西南交通大学机车车辆工程系，四川成都

摘

610031）

要：空气弹簧是现代轨道交通车辆的主要减振元件，能有效改善轨道车辆的动力学性能，提高乘坐的舒适性和车

辆的运行稳定性。文章利用非线性有限元软件ABAQUS对空气弹簧的垂向刚度与横向刚度进行模拟分析，通过考虑空气结构参数等影响空气弹簧刚度的因数，对基于各影响因数下空气弹簧刚度特性进行比较分析。弹簧的非线性性质、

关键词：空气弹簧；非线性有限元；ABAQUS软件；垂向刚度；横向刚度中图分类号：U260.331+.4

文献标识码：A

文章编号：1672-1187（2010）06-0008-05

Analysisofairspringstiffnessbasedonfiniteelement

CHENDing，LIFu，HUANGYun-hua

（DepartmentofRailwayVehicleEngineering，SouthwestJiaotongUniversity，Chengdu610031，China）

Abstract：Airspringisthemaindampingcomponentsofthemodernrailtransitvehicles，whichcaneffectivelyimprovetherailvehicledynamicperformance，raisingtheridecomfortridecomfortandstabilityofvehicles.UsingthenonlinearfiniteelementsoftwareABAQUStosimulatetheverticalstiffnessandlateralstiffnessofairspring，byconsideringthefactorofaffectingairspringstiffnessincludingnonlinearnatureandstructureparameter，simultaneouslycomparingthestiffnessofairspringbasedonthedifferentinfluencefactors.

Keywords：airspring；nonlinearfiniteelement；ABAQUS；verticalstiffness；lateralstiffness

1概述

铁道车辆二系悬挂弹性元件的刚度特性是决定车辆

辆上，增加静扰度需使用较柔软的弹簧，这就导致了空重车之间地板面与轨道距离的不同，但由于存在车钩高度差的限制，过大的车钩高度差就有可能导致车辆之间脱钩的危险。

空气弹簧的问世，解决了钢弹簧悬挂系统所无法解空气弹簧具有可调节的高度控制阀，很好地解决的难题。

决了空重车变化时稳定车辆地板面高度的问题；由于其）可知，在任何刚度是随载荷的改变而改变的，由公式（1载荷条件下空气弹簧的自振频率不变，这就使得空重车运行品质相当。此外，在隔音、吸振方面也优于普通钢弹空气弹簧的这种可变刚度特性，取决于其结构参数和簧。

自身非线性性质。由于空气弹簧的结构是利用橡胶这种

运行品质的重要因素之一，在客车与高速列车上体现得尤为明显。二系悬挂系统发展之初，大都采用钢弹簧作为二系悬挂系统的组成部分，在随后的发展过程中，采用了减振器等方式，以期改善车辆运行过程中的平稳摇动台、

性与稳定性，但决定平稳性的静扰度在钢弹簧结构上却存在较大的缺陷。钢弹簧的刚度在设计之初即已确定，运行过程中无法改变，由公式（1）可知自振频率决定于载荷的大小，这就使得钢弹簧具有一个较宽的自振频率范围，导致了车辆在重载和轻载下运行品质的差异。

大变形材料作为腔体，柔性体空气作为内部介质所组成ω=（1）

的部件，在设计计算时，准确评估其刚度具有较大的难根据式（1），为了提高车辆的平稳性，就必须尽可能地增加悬挂装置的静扰度，在钢弹簧作为二系悬挂的车

度，其可变的承载面以及复杂的结构变形都限制了计算本文通过建立空气弹簧的精度，影响列车运行的平稳性。

收稿日期：2010-06-27

作者简介：陈鼎，在读硕士研究生，研究方向为机车车辆设计及理论。基金项目：中央高校基本科研项目（西交校2009-7）

-8-

陈鼎等·基于有限元的空气弹簧刚度分析·2010年第6期

的三维模型进行有限元分析，利用有限元软件ABAQUS模拟正常工况下空气弹簧的垂向与横向刚度特性并判定自身非线性性质以及结构参数对其刚度的影响，由此分析计算结果的实际意义。

2.2橡胶的非线性应力分析

橡胶材料属于各向同性的超弹性材料，其应力可表述为：

2非线性橡胶的有限元分析法

与其他材料相比，橡胶材料具有大位移、大变形的特

∂W

t=（8）∂EÁÂ

式中：tij—Kirchhoff应力张量；Eij—Green应变张量；W—应变能密度。

橡胶材料的应变能密度W是第一变形张量不变量I1

和第二变形张量不变量I2的函数，即：

W=W(I1,I2)

W=W(I1+I2)+h(I3+1)W(I1+I2)=C1(I1-3)+C2(I2-3)

（9）（10）（11）

即：在此，引用Moongy-Rovlin型的橡胶本构模型，

而结点，他在低应变区的弹性系数可以达到1MPa左右，构钢的弹性模量约为2×103GPa，这种差异导致了橡胶不同于钢材的小变形性质，普通的针对小应变的弹性有限元法不适用于橡胶材料的分析。本文通过采用非线性橡胶材料的混合有限元法对空气弹簧橡胶囊腔体进行分应力与应变的关系。析，分析大变形条件下应变与位移、2.1橡胶的非线性应变分析

Green应变张量与位移分量之根据非线性弹性理论，间的关系为：

式中：h—Lagrange乘子，其物理意义为静压力；C1与C2可通过对材料的单轴拉伸，多轴拉伸，平面试验获得。

橡胶材料可看成不可压缩材料，材料的不可压缩表

ÁÁÁ

I=λ+λ+λÂÂÁÃ方向。ÁÁÁ

=++Iλλλλλλ()()()（13）将（2）式展开得：ÁÂÁÁÃÂÃ

Á

ÁÁÁI=λλλ()ÃÂÁÃ∂u∂u∂u1∂u

=+++E∂xÃ∂xÃ∂xÃ2∂xÃ主拉伸比λÁ与主应变εÁ之间的关系可表述为：式中，

ÁÁÁ

λÁ=1+εÁ∂u∂u∂u1∂u（14）=+++E∂xÁ∂xÁ∂xÁ2∂xÁ）代入式（12）可得不可压缩材料的变形张量将式（11ÁÁÁ

∂uÂ∂uÂ∂u1∂u不变量表达式：

E=+++1∂xÂ∂xÂ∂x2∂xÂI=λ+λ+ÁÁλÂλÁ

1∂u∂u∂u∂u∂u∂u∂u1∂u（15）11EE==++++ÁÁ=Á+Á+λÂλÁI∂xÃ∂xÁ∂xÃ∂xÁ∂xÃ∂xÁ2∂xÁ2∂xÃλÂλÁ1∂u∂u∂u1∂u∂u∂u∂u∂uE=E=+++将（7）式展开得：+∂xÂ∂x∂x∂x∂x∂x∂x2∂xÁ2ÂÁÂÁÂÁ

∂W∂I∂W∂I∂W∂It=++∂u∂u∂u∂u∂u1∂u∂u1∂u（16）∂IÂ∂εÁ∂IÃ∂εÁ∂IÁ∂εÁE=E=+++ÂÂÂ+2∂xÂ∂xÃ∂xÂ∂xÃ∂xÂ∂xÃ∂xÂ2∂xÃ

将式（14）代入式（15）得主应力表达式：

（3）

2Á1∂W∂WÁ将Green应变张量用其物理分量替换，记为应变矢t=λ−Á+λÁ

∂IÂ∂IÁλÂλÂλÁ量：（17）

Á2Á1∂W∂WÁ

ε=[εÁ ε ε ε ε ε=λ−+λt]ÁÂ∂IÂ∂IÁλÁλÂλÁÁ

（4）=[EÁ EÂ EÃ EÁ EÂ EÁ]ÁÂÃÂÃÃ

由此得到的即为主应力与主拉伸比之间的关系表达

为了计算应变增量，将位移写成增量形式：

式。

un=un+Δun（n=i，j，k）（5）

达式为：∂uÁ1∂u∂u∂uE=+++（2）I3=1（12）∂u∂u∂u∂u2ÁÂÂÁ

第二变形张量不变量表达式可表述为：第一、式中：E—Green应变张量；u、u—位移分量；i，j，k—位移

ij

i

j

）式的展开式中，得应变增量：代入（3

εαβ+∆εαβ (α=i,j β=i,j)

3空气弹簧的有限元模型

（6）

3.1气囊上下盖板的模拟

空气弹簧的上下盖板相对于橡胶囊来说，其刚度远远超过橡胶囊，故可采用刚体Rigid单元进行模拟。其中

-9-

其中应变增量可分为线性部分和非线性部分，即：

∆εαβ=∆ξαβ+∆ξαβ）（7

电力机车与城轨车辆·2010年第6

期

上盖板为三维3节点刚体单元R3D3，上盖板侧盖板为三维4节点刚体单元R3D4，下盖板为三维4节点刚体单元R3D4。Rigid单元设置刚体参考点于中轴线上，用于施加位移、约束与载荷。3.2气囊复合材料模拟

空气弹簧橡胶囊部分是由帘线层与橡胶硫化而成的复合板状结构，具有较强的力学各项异性和几何非线性。在有限元模拟中可将橡胶囊比作具有若干铺成的板状结构，橡胶层部分采用三维4节点壳单元S4R进行模拟，帘线层部分采用壳截面参数rebar单元进行模拟。

层状结构中的rebar单元运用于三维壳单元中的有限元模型如图1所示。

采用第二种方法，选用三维8节点缩减积分实体单元C3D8R来模拟橡胶囊的橡胶部分，三维8节点实体单元C3D8来模拟钢板部分。橡胶堆上端面上的节点与下摆盖板节点耦合。

图3流体单元F3D4图4腔体参考节点

3.5模型的建立

模应用有限元软件ABAQUS对空气弹簧进行模拟，型采用三维轴对称结构，其中上下盖板采用刚体单元R3D3、R3D4；橡胶囊部分采用壳单元S4R，其内部帘线层加压空气采用静水流体单元F3D3、采用rebar单元模拟；

F3D4；橡胶堆部分采用实体单元C3D8、C3D8R。模型建立

图1

rebar单元

后如图5所示。

rebar单元是用于模拟层状结构或实体结构中嵌入层面内各rebar之间的钢筋部分，其参数包含rebar层数、的间距、rebar的横截面积、rebar的方向角。这些参数均以帘线层中帘线的布置参数带入，其中，建模时选取帘线角为便于分析结果将参考于橡胶囊纬线方向，如图2所示，其转化为与经线方向的夹角。

图5

空气弹簧有限元模型

4仿真结果及其分析

空气弹簧具有很强的非线性特性，可将其刚度曲线

“S”型，即在曲设计成理想的形式。最理想的曲线形式为

图2

帘线角的布置

线中间区段具有比较低的刚度，而在两端边缘区段具有比较大的刚度，这样可以保证在车辆正常运行过程中保持较低的刚度值，提高乘坐的舒适性，而在通过道岔或通过曲线时，保持较大的刚度值，以保证车体振幅不至于过刚度曲线的变化与空气弹簧自身结构有很大关系，为大。

设计合理的刚度曲线，研究空气弹簧结构参数对刚度值的影响具有实际意义。4.1垂向刚度数值模拟

空气弹簧的垂向数值模拟分为二个工况。

第一工况：对胶囊充气，等效于施加橡胶腔体的内压。此时上盖板位移全约束，橡胶底座位移全约束，维持工作高度200mm，使空气弹簧充压至工作压强P，如图6所示。

第二工况：释放上盖板的垂向约束，对上盖板施加垂向位移30mm，压缩胶囊，如图7所示。达到平衡时，根据平衡原理可知空气弹簧下端参考点的支反力F即为上端盖所施加的载荷，其满足如下表达式：

3.3气体模拟

空气弹簧属流固耦合结构，在有限元分析软件ABAQUS中，采用三维3节点与三维4节点流体单元F3D3、F3D4模拟压缩空气，并与壳单元的三维4节点和三维3节点单元S4R、S3R共享节点，如图3所示。根据ABAQUS中的对称流体腔理论，在橡胶囊形成腔体中轴线上布置腔体参考节点，用于施加流体单元各节点上的载荷，即气压，如图4所示。3.4橡胶堆的模拟

橡胶堆同样属于刚度远远大于橡胶囊的结构，但橡胶堆属复合结构，利用钢板与橡胶硫化而成，故不能直接其一为用Rigid单元模拟。模拟橡胶堆可采用两种方法，选用ABABQUS自带的实体单元截面属性Layer分层划本文分橡胶部分和钢板部分，其二为建模划分单元处理。

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陈鼎等·基于有限元的空气弹簧刚度分析·2010年第6

期

F=K·S

式中：F为外部载荷；S为上盖板位移；K为刚度。

（18）

图6加压充气过程

图10帘线厚度对空气弹簧垂向刚度的影响

图7空气弹簧垂向下压过程

由于橡胶囊在变形过程中，承载面始终随着位移的）并改变而改变，并且橡胶堆部分仍有垂向位移，公式（18不能作为计算橡胶空气弹簧刚度的公式。需通过ABAQUS的数值计算先得出时间历程下的时间-位移曲再通过后处理拟合刚度曲线，线，以及时间-载荷曲线，即位移-载荷曲线。

图8为空气弹簧内压为400kPa，标准工作高度200mm，帘线角20°，帘线厚度1mm，帘线间距3.5mm时的垂向位移与垂向载荷的关系曲线。

图12不同内压对空气弹簧垂向刚度的影响图11帘线间距对空气弹簧垂向刚度的影响

根据图9~图12中所拟合出的曲线可知，帘线部分的参数，除了帘线角的改变对空气弹簧垂向刚度影响较大外，其余参数的改变并未对空气弹簧垂向刚度造成太大的影响。压强的改变量对空气弹簧垂向刚度的影响也非常大，在设计过程中应主要考虑帘线角的选取，正线试

图8

垂向位移-垂向载荷曲线

验过程中应保证各转向架的空气弹簧压强相当。4.3横向刚度数值模拟

为了取消摇动台机构，减轻转向架自重，考虑利用空气弹簧吸收垂向振动的同时吸收横向振动。分析空气弹簧的横向刚度特性对提高列车运行性能与结构优化都具有实际的意义。

空气弹簧的横向刚度数值模拟同样分为两个工况：1）第一工况为施加内压模拟充气过程阶段，与垂向数值模拟类似，如图7所示。

2）第二工况释放上盖板位移约束，施加横向位移20mm，模拟横向位移过程，如图13所示。

图14为空气弹簧内压为400kPa，标准工作高度200mm，帘线角20°，帘线厚度1mm，帘线间距3.5mm

4.2不同参数对空气弹簧垂向刚度的影响

图9~图12给出在不同参数的情况下刚度的变化情况。分别以图7提供的参数为标准值，在所需考虑的影响参数上，选取不同值进行对比。

图9帘线角对空气弹簧垂向刚度的影响

时的横向位移与横向载荷的关系曲线。

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电力机车与城轨车辆·2010年第6期

与模拟垂向刚度类似，考虑不同参数对空气弹簧横向刚度的影响（见图15~图18）。变化参数包括：帘线角、

连线厚度、帘线间距、压强。考虑各变化参数时，剩余参数均与图14给出的数据相同

。

图13空气弹簧横向位移过程图14横向位移-横向载荷曲线图15帘线角对横向刚度的影响

图16帘线厚度对横向刚度的影响图17帘线间距对横向刚度的影响图18内压对横向刚度的影响

由计算结果可知，与垂向刚度模拟时类似，帘线厚度和帘线间距对横向刚度的影响并不大，各曲线基本重合，横向刚度随着压强的增大而随之增大，唯一不同的是横向刚度随着帘线角的减小反而增大。并且随着角度的减设计时应结合垂向刚度小，横向负载特性的线性度越好。特性综合考虑，选取实际所需要的刚度值。

4）空气弹簧橡胶堆部分的钢板层最大应力值仅为100MPa，根据理论分析值可知，其在实际运用中并没有承担主要的承载与减振作用，起到减振与缓冲作用的主要是空气橡胶囊部分。

参考文献：

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5结论

1）本文利用有限元法分析空气弹簧的非线性特性，

采用有限元软件ABAQUS，模拟了空气弹簧在标准工作横向的刚度值，通过比较不同的结构参数状态下的垂向、

对空气弹簧各向刚度的影响，为实际空气弹簧设计研究提供理论依据。

2）通过模拟空气弹簧垂向压缩过程分析垂向刚度特性，基本符合了垂向刚度的理想曲线，并通过判断各参数对垂向刚度的影响大小，得出相关有利于设计理想垂向刚度的理论参数。

3）空气弹簧的横向位移刚度曲线较为合理，接近于线性性质，但未能呈现理想的曲线性质的主要原因可能在进一与帘线的材质选取，上下盖板的形状有很大关系。步的分析处理中应得到改善。

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