第24卷第2期 沧州师范专科学校学报
No.2 Vol.24
2008年6月 Journal of Cangzhou Teachers’College Jun.2008
潮汐引力与时空曲率
韩万强，单勇，刘虎
1
2
3
（1.石家庄学院，河北 石家庄050035；2.沧州师专，河北 沧州061001；3.石家庄铁道学院，河北 石家庄050043）
摘 要：经典力学中的潮汐被解释为引力梯度，爱因斯坦在相对论中认为它是时空曲率的表现，而二者说的
是同一件事，因此潮汐引力应是时空曲率的一个表现。
关键词：潮汐；惯性系；测地线
中图分类号： O314 文献标识码：A 文章编号：1008-4762(2008)02-0043-02
众所周知，在经典力学中，潮汐被认为是来自地球各处引力的不均匀性，这种不均匀性常用“引力梯度”描述，故又称潮汐源于引力梯度[1]。但是，爱因斯坦在相对论中提出引力是时空结构的曲率产生的，因此潮汐应是时空曲率的表现。
上面这只是个理想实验， 但是把整个地球当作一个“航天器”来考察，其中由引力不均匀性造成的效应就足够大了。我们把地球设想成其表面完全被海水所覆盖，取地心作为参考系，不考虑地球的自转，只考虑它在月球的引力场中自由下落。这样一来，在这个巨大的理想惯性参考系里所有海水形成一个“大水滴”。如果没有外部引力的不均匀性，这个大水滴将精确地呈球形。现在考虑月球引力的影响。如图3所示，地-月系统在引力的相互作用下围绕着共同的质心O旋转。在地心参考系中各地海水所受月球的有效引力是“真实的引力”和地心的离心加速度造成的“惯性离心力”之和。这有效引力的分布就象图2所示那样，把海水沿地-月联线方向拉长而成为一个椭球，即是潮汐[1]。随地球的自转，鼓起的部分也相对于地面每昼夜转一周，致使在同一地点每12小时就有一次“高潮”和“低潮”。
1 牛顿力学中的潮汐引力
设想在地球引力场中有一个足够大的电梯舱做自由落体运动，如图1所示，由于在这样足够大的范围内引力场的不均匀性较显著，所以分别配置在舱内不同位置上的质点，其所受地球的引力大小和方向都会有明显差异。当在舱的质心放置一个质点C和在它的上下和左右分别竖直和水平地配置4个质点A、B、D、E时，考虑到引力遵从平方反比率且指向地心：
GMm
F =− r G
r2
为万有引力常数，M为地球质
量，r为质点m到地心的距离。
与中央质点C所受的引力相比，A和B受到的引力略向中间偏斜，D因离地心稍远而受力稍小，E因离地心稍近而受力稍大。由于整个参考系是以质心C的加速度运动的，其中的惯性力只把C点所受的引力精确抵消，它与其它各质点所受的引力叠加，都剩下一点残余的力。它们的方向如图2所示，A和B受到的残余力指向C，D和E受到的残余力背离C。在这样的力场中，如果在中央C处有个较大的水珠的话，严格地说它也不是球形，而是“挤拉”成略呈纺锤状的椭球。
太阳引力对地球的拉伸和挤压作用与月球几乎是一样强的，但是因为太阳在空中的位置（通常）与月球不同，所以引力作用的方向不同。地球潮汐是太阳和月球的潮汐引力联合的结果。
2 时空弯曲与测地线运动
2.1 曲面上的几何
在平面上画两条绝对直的线，两条线并列延伸，是平行的。在欧几里德空间中，对平行直线所在的面来说，永不相交是确认面的平直性的依据，如果空间是平直的，那么初始平行的直线永远不会相交。如果我们找到一对原先平行的直线确实相交了，那么空间将不再是平直了。图4所示，曲面是地球的球面。
我们在球面上找到厄瓜多尔首都基多，它坐落在赤道上。从基多出发，画一条指向北方的完全直线，直线将在同一经度
* 收稿日期：2007-10-15
作者简介：韩万强（1974-），男，河北永清人，石家庄学院物理系讲师； 单勇（1973-），男，河北沧县人，沧州师专物理
系讲师；刘虎（1974-），男，河北石家庄人，石家庄铁道学院讲师。
·43·
上向北延伸，穿过北极。
图4
为什么说是直线呢？一是对航空公司来说的，直线是一个大圆，而地球球面上的大圆是两点间的最短路线。这就好比在一个苹果表皮上爬行着的蚂蚁，它设法沿着最直的路径爬行，它在行进中小心地保持左脚的步速等于右脚的步速。当它爬行在平面上时这样显然走成一条直线，因此可以合理地把这种爬行方式所产生的轨迹规定为曲面上“最直”的路径。（如果把它左右两行足迹之间的果皮小心得削出来摊平，它的确是直的。）二是对专业测量员来说，他们用经纬仪或激光束确定地理边界时，在沿大圆路径的每个区域内，大圆都是直线。因为在足够小的区域内，球面的曲率几乎测不出来。
在弯曲面上的任何路径，如果在这两种意义上是直线，我们称之为测地线或短程线。
现在我们在球面上从基多出发沿赤道向东平移几厘米，再画一条新直线与上面那条平行，那么这条直线跟第一条一样，也会经过北极（也是一条测地线）。使这两条线原先平行而后来相交的正是球面的曲率。 2.2 三角形内角和
一个小球站在北极，同时将两球沿平行轨道抛向空中，观察它们自由下落，设想球可以毫不减速地穿过地表、地壳等到达地心。潮汐引力正好使两球几乎精确地落向地心并在那相撞，就像下落的宇航员被它挤压两肋一样。每个球在时空中沿完全的直线（测地线）运动，两条直线初始是平行的，后来相交了，这就是时空曲率的标志。爱因斯坦认为时空曲率导致了平行线的相交，即导致两球相撞。
3 二者的统一
以上分析是对导致平行线相交的原因的两种完全不同的说法，一个是牛顿的，一个是爱因斯坦的，但他们说的是同一件事情，因此，时空曲率和潮汐引力是使用不同语言表达的同一件事情。我们可以在时空图中画出A、B和D、E的世界线如图5所示。
(a) (b)
图5
从图中可以看出，A和B加速地互相靠近，D和E加速地相互远离。这种表现正是弯曲空间的特征。
因此，在由月球产生的时空曲率中，地球表面朝向月球方向的两条测地线将被曲率拉开如图5（a），垂直于月球方向的两条测地线将被曲率挤压如图5（b）；也就是说，曲率在朝着月球的方向产生潮汐拉伸，在横向上产生挤压。拉伸作用的潮汐力就会在离月球最近和最远的一端掀起浪潮，挤压作用导致海洋的横向压缩。同理，对于由太阳产生的时空曲率也是如此，但太阳对潮汐的影响力只相当于月球的5/11。当月球和太阳在地球的同一侧面排成一条直线时，月球与太阳的引潮力几乎作用于同一个方向，两者的合力最大，此时海水受到的引潮力最大，就会引起大潮。当月球和太阳的位置相对于地球成直角时，它们的引潮力合力最小，就形成了小潮。
在曲面上，有三根短程线构成的“三角形”的三个内角之
和一般不等于π。图4中显示出球面上“赤道”与两段“经线”构成的三角形OAB，显然三个内角之和大于两个直角，另一方面，在双曲面上的三角形内角和则小于π。 2.3 测地线运动
狭义相对论认为一切惯性系都是等价的，就是说在任何一个惯性系中观测自由粒子的直线运动，都会得到相同的结论。爱因斯坦在等效原理中提出：无引力惯性系与真实引力宇宙中任何自由下落小惯性系是等效的，对于所有物理实验都是完全
[2]
等效的。这就保证引力不会改变自由运动。在真实引力宇宙
4 结论
由此看来，引力作用的物理图像应该是：物质在其周围激发引力场，这个引力场反过来作用于在其中的物体。在经典力若将引力势学中，物质的分布有空间各点的质量密度ρ描写，写成ϕ，则经典形式的引力场方程： ∇中G是引力常数。
爱因斯坦的强等效原理把引力场和弯曲空间联系了起来，之后，他把引力场进一步几何化，认为引力场就是时空的弯曲，并且给出了时空弯曲的定律即著名的爱因斯坦场方程：[5]
[4]
中，自由运动的粒子进入并穿过一个自由下落小惯性系时，一定沿直线穿过该系。这就类似于测量员在地球表面的一个小区域内所观测的直线行为；这种直线实际上是地球表面的测地
[3]
线，又称为短程线。也就是说，粒子在时空小区域内的直线
2
ϕ=4πGρ 其
运动意味着粒子沿时空中的测地线运动，这对所有粒子都一样，因此，每个自由运动的粒子（不受引力之外的任何力作用）沿时空测地线运动，这就是广义相对论中的“惯性定律”。
既然如此，我们可以做一个思想实验：一个人两只手各拿
·44·
（下转第46页）
实 验 氯酸钾+浓盐酸 KI—淀粉+氯气 KBr+氯气 钠+氯气 红磷+氯气 铜丝+氯气 铁粉+氯气
实 验 现 象
有黄绿色气体生成
无色的KI—淀粉试纸变蓝，然后蓝色褪去。
无色的KBr试纸变橙红色，然后橙红色褪去。
燃烧，黄色火焰，产生白烟 燃烧，产生白色烟、雾 燃烧，产生棕黄色的烟 燃烧，产生棕色的烟
有关的化学方程式：
KClO3+6HCl=KCl+3Cl2↑+3H2O2KI+Cl2=2KCl+I2
I2+5Cl2+6H2O=2HIO3+10HCl 2KBr+Cl2=2KCl+Br2
Br2+5Cl2+6H2O=2HBrO3+10HCl2Na+Cl2=2NaCl 2P+3Cl2=2PCl32P+5Cl2=2PCl5 Cu+Cl2
第24卷第2期 沧州师范专科学校学报
No.2 Vol.24
2008年6月 Journal of Cangzhou Teachers’College Jun.2008
潮汐引力与时空曲率
韩万强，单勇，刘虎
1
2
3
（1.石家庄学院，河北 石家庄050035；2.沧州师专，河北 沧州061001；3.石家庄铁道学院，河北 石家庄050043）
摘 要：经典力学中的潮汐被解释为引力梯度，爱因斯坦在相对论中认为它是时空曲率的表现，而二者说的
是同一件事，因此潮汐引力应是时空曲率的一个表现。
关键词：潮汐；惯性系；测地线
中图分类号： O314 文献标识码：A 文章编号：1008-4762(2008)02-0043-02
众所周知，在经典力学中，潮汐被认为是来自地球各处引力的不均匀性，这种不均匀性常用“引力梯度”描述，故又称潮汐源于引力梯度[1]。但是，爱因斯坦在相对论中提出引力是时空结构的曲率产生的，因此潮汐应是时空曲率的表现。
上面这只是个理想实验， 但是把整个地球当作一个“航天器”来考察，其中由引力不均匀性造成的效应就足够大了。我们把地球设想成其表面完全被海水所覆盖，取地心作为参考系，不考虑地球的自转，只考虑它在月球的引力场中自由下落。这样一来，在这个巨大的理想惯性参考系里所有海水形成一个“大水滴”。如果没有外部引力的不均匀性，这个大水滴将精确地呈球形。现在考虑月球引力的影响。如图3所示，地-月系统在引力的相互作用下围绕着共同的质心O旋转。在地心参考系中各地海水所受月球的有效引力是“真实的引力”和地心的离心加速度造成的“惯性离心力”之和。这有效引力的分布就象图2所示那样，把海水沿地-月联线方向拉长而成为一个椭球，即是潮汐[1]。随地球的自转，鼓起的部分也相对于地面每昼夜转一周，致使在同一地点每12小时就有一次“高潮”和“低潮”。
1 牛顿力学中的潮汐引力
设想在地球引力场中有一个足够大的电梯舱做自由落体运动，如图1所示，由于在这样足够大的范围内引力场的不均匀性较显著，所以分别配置在舱内不同位置上的质点，其所受地球的引力大小和方向都会有明显差异。当在舱的质心放置一个质点C和在它的上下和左右分别竖直和水平地配置4个质点A、B、D、E时，考虑到引力遵从平方反比率且指向地心：
GMm
F =− r G
r2
为万有引力常数，M为地球质
量，r为质点m到地心的距离。
与中央质点C所受的引力相比，A和B受到的引力略向中间偏斜，D因离地心稍远而受力稍小，E因离地心稍近而受力稍大。由于整个参考系是以质心C的加速度运动的，其中的惯性力只把C点所受的引力精确抵消，它与其它各质点所受的引力叠加，都剩下一点残余的力。它们的方向如图2所示，A和B受到的残余力指向C，D和E受到的残余力背离C。在这样的力场中，如果在中央C处有个较大的水珠的话，严格地说它也不是球形，而是“挤拉”成略呈纺锤状的椭球。
太阳引力对地球的拉伸和挤压作用与月球几乎是一样强的，但是因为太阳在空中的位置（通常）与月球不同，所以引力作用的方向不同。地球潮汐是太阳和月球的潮汐引力联合的结果。
2 时空弯曲与测地线运动
2.1 曲面上的几何
在平面上画两条绝对直的线，两条线并列延伸，是平行的。在欧几里德空间中，对平行直线所在的面来说，永不相交是确认面的平直性的依据，如果空间是平直的，那么初始平行的直线永远不会相交。如果我们找到一对原先平行的直线确实相交了，那么空间将不再是平直了。图4所示，曲面是地球的球面。
我们在球面上找到厄瓜多尔首都基多，它坐落在赤道上。从基多出发，画一条指向北方的完全直线，直线将在同一经度
* 收稿日期：2007-10-15
作者简介：韩万强（1974-），男，河北永清人，石家庄学院物理系讲师； 单勇（1973-），男，河北沧县人，沧州师专物理
系讲师；刘虎（1974-），男，河北石家庄人，石家庄铁道学院讲师。
·43·
上向北延伸，穿过北极。
图4
为什么说是直线呢？一是对航空公司来说的，直线是一个大圆，而地球球面上的大圆是两点间的最短路线。这就好比在一个苹果表皮上爬行着的蚂蚁，它设法沿着最直的路径爬行，它在行进中小心地保持左脚的步速等于右脚的步速。当它爬行在平面上时这样显然走成一条直线，因此可以合理地把这种爬行方式所产生的轨迹规定为曲面上“最直”的路径。（如果把它左右两行足迹之间的果皮小心得削出来摊平，它的确是直的。）二是对专业测量员来说，他们用经纬仪或激光束确定地理边界时，在沿大圆路径的每个区域内，大圆都是直线。因为在足够小的区域内，球面的曲率几乎测不出来。
在弯曲面上的任何路径，如果在这两种意义上是直线，我们称之为测地线或短程线。
现在我们在球面上从基多出发沿赤道向东平移几厘米，再画一条新直线与上面那条平行，那么这条直线跟第一条一样，也会经过北极（也是一条测地线）。使这两条线原先平行而后来相交的正是球面的曲率。 2.2 三角形内角和
一个小球站在北极，同时将两球沿平行轨道抛向空中，观察它们自由下落，设想球可以毫不减速地穿过地表、地壳等到达地心。潮汐引力正好使两球几乎精确地落向地心并在那相撞，就像下落的宇航员被它挤压两肋一样。每个球在时空中沿完全的直线（测地线）运动，两条直线初始是平行的，后来相交了，这就是时空曲率的标志。爱因斯坦认为时空曲率导致了平行线的相交，即导致两球相撞。
3 二者的统一
以上分析是对导致平行线相交的原因的两种完全不同的说法，一个是牛顿的，一个是爱因斯坦的，但他们说的是同一件事情，因此，时空曲率和潮汐引力是使用不同语言表达的同一件事情。我们可以在时空图中画出A、B和D、E的世界线如图5所示。
(a) (b)
图5
从图中可以看出，A和B加速地互相靠近，D和E加速地相互远离。这种表现正是弯曲空间的特征。
因此，在由月球产生的时空曲率中，地球表面朝向月球方向的两条测地线将被曲率拉开如图5（a），垂直于月球方向的两条测地线将被曲率挤压如图5（b）；也就是说，曲率在朝着月球的方向产生潮汐拉伸，在横向上产生挤压。拉伸作用的潮汐力就会在离月球最近和最远的一端掀起浪潮，挤压作用导致海洋的横向压缩。同理，对于由太阳产生的时空曲率也是如此，但太阳对潮汐的影响力只相当于月球的5/11。当月球和太阳在地球的同一侧面排成一条直线时，月球与太阳的引潮力几乎作用于同一个方向，两者的合力最大，此时海水受到的引潮力最大，就会引起大潮。当月球和太阳的位置相对于地球成直角时，它们的引潮力合力最小，就形成了小潮。
在曲面上，有三根短程线构成的“三角形”的三个内角之
和一般不等于π。图4中显示出球面上“赤道”与两段“经线”构成的三角形OAB，显然三个内角之和大于两个直角，另一方面，在双曲面上的三角形内角和则小于π。 2.3 测地线运动
狭义相对论认为一切惯性系都是等价的，就是说在任何一个惯性系中观测自由粒子的直线运动，都会得到相同的结论。爱因斯坦在等效原理中提出：无引力惯性系与真实引力宇宙中任何自由下落小惯性系是等效的，对于所有物理实验都是完全
[2]
等效的。这就保证引力不会改变自由运动。在真实引力宇宙
4 结论
由此看来，引力作用的物理图像应该是：物质在其周围激发引力场，这个引力场反过来作用于在其中的物体。在经典力若将引力势学中，物质的分布有空间各点的质量密度ρ描写，写成ϕ，则经典形式的引力场方程： ∇中G是引力常数。
爱因斯坦的强等效原理把引力场和弯曲空间联系了起来，之后，他把引力场进一步几何化，认为引力场就是时空的弯曲，并且给出了时空弯曲的定律即著名的爱因斯坦场方程：[5]
[4]
中，自由运动的粒子进入并穿过一个自由下落小惯性系时，一定沿直线穿过该系。这就类似于测量员在地球表面的一个小区域内所观测的直线行为；这种直线实际上是地球表面的测地
[3]
线，又称为短程线。也就是说，粒子在时空小区域内的直线
2
ϕ=4πGρ 其
运动意味着粒子沿时空中的测地线运动，这对所有粒子都一样，因此，每个自由运动的粒子（不受引力之外的任何力作用）沿时空测地线运动，这就是广义相对论中的“惯性定律”。
既然如此，我们可以做一个思想实验：一个人两只手各拿
·44·
（下转第46页）
实 验 氯酸钾+浓盐酸 KI—淀粉+氯气 KBr+氯气 钠+氯气 红磷+氯气 铜丝+氯气 铁粉+氯气
实 验 现 象
有黄绿色气体生成
无色的KI—淀粉试纸变蓝，然后蓝色褪去。
无色的KBr试纸变橙红色，然后橙红色褪去。
燃烧，黄色火焰，产生白烟 燃烧，产生白色烟、雾 燃烧，产生棕黄色的烟 燃烧，产生棕色的烟
有关的化学方程式：
KClO3+6HCl=KCl+3Cl2↑+3H2O2KI+Cl2=2KCl+I2
I2+5Cl2+6H2O=2HIO3+10HCl 2KBr+Cl2=2KCl+Br2
Br2+5Cl2+6H2O=2HBrO3+10HCl2Na+Cl2=2NaCl 2P+3Cl2=2PCl32P+5Cl2=2PCl5 Cu+Cl2