量子力学课程论文
题 目：《由薛定谔方程引发的深思》
学 院： 数理信息工程学院 专 业： 物理112班 学生姓名： 徐盈盈 王黎明 学 号：11260124 11180216
完成时间： 2013年12月20日
由薛定谔方程引发的深思
【摘要】
薛定谔方程的提出揭示了微观物理世界物质运动的基本规律，它是原子物理学中处理一切非相对论问题的有力工具[1]。作为量子力学之魂，薛定谔方程完整的向我们诠释了微观世界的魅力。为更加深入地学习薛定谔方程和量子力学，我们将分析薛定谔方程的推导过程、介绍其在求解粒子问题中的应用以及其在原子物理、核物理、固体物理等学科的应用，最后谈谈自己的想法。
【引言】
随着“任何粒子都具有波粒二象性”的德布罗意假说成功被戴维森-革末实验所证实，薛定谔思考着会有一个波动方程可以反应粒子的这种量子行为。于是，基于众多前人研究成果，薛定谔于1926年提出薛定谔方程，完美的解释了波函数的行为。正是因为薛定谔方程在量子力学进程中起着举足轻重的作用，所以我们必须深入学习其推导过程和应用。并且由薛定谔方程出发，深刻思考我们在物理学习过程中所必须具备的思维方式和学习态度。
【关键词】
薛定谔方程 玻尔理论 波函数 深思
【正文】
一、薛定谔方程的提出与推导
1、薛定谔方程的历史背景
爱因斯坦认为普朗克的量子为光子，并且提出了奇妙的“波粒二象性”。1924年，路易·德布罗意提出“物质波”的概念，认为任何粒子都具有波粒二象性，并且这个假说于1927年成功被戴维森-革末实验所证实。薛定谔由此认为一定会有一个波动方程能够恰当的描述粒子的这种性质。最后他借助于经典力学的哈密顿原理以及光学的费马原理，将牛顿力学与光学类比，并且以哈密顿-雅克比方程为工具，成功建立了薛定谔方程，并且准确的计算了氢原子的谱线。
2、薛定谔方程的推导思路
①首先自由粒子可用平面波来表示，可当粒子收到随时间或位置变化的力场的作用时，应该用波函数来表示。波函数描写体系的量子状态。波函数是指在空间中某一点的强度和在该点找到粒子的概率成比例[2]。
②当讨论粒子状态随时间变化所遵从的规律时，必须建立波函数随时间变化的方程。
i(p.r-Et)/h③用平面波描写自由粒子的波函数ψ(r,t)=Ae, 并且对时间求偏微商，对
位置求二次偏微商，再利用能量和动量的关系式E=p/2m+V(r),最终可得到薛定谔方程：
2
④从一维薛定谔方程出发，可以得出三维薛定谔方程和定态薛定谔方程：
3、薛定谔方程与玻尔理论的对比分析
一般认为以薛定谔方程为代表的量子力学是“新量子力学”，以玻尔理论为代表的量子力学是“旧量子力学”，但二者在根本上是同出一源，只是所用的概念和模型不同而已。
①玻尔理论:用粒子表示电子。
(1)玻尔理论的基础来源：牛顿定律、库仑定律、玻尔的定态及跃迁假设和玻尔
的角动量量子化假设。
(2)玻尔理论的逻辑推导过程：
A 、氢原子中，电子绕核作圆周运动，根据牛顿第二定律 kze /r=mv/r---（1）
B 、电子的总能量E 是电子的动能和势能之和 E=mv/2-kze/r. ---（2）
C 、玻尔关于电子轨道运动的角动量量子化假设 mvr=nh/2π ----- （3）
D 、玻尔关于电子轨道跃迁辐射的公式为 E 2-E 1=hf---------- （4） E 、 由以上四式可解得
r=nh /4πmkze , --------------------------------(5) 222222222
E=-z22π2mk 2e 4/n2h 2 ------------------------------ (6)
1/λ=f / c=z22π2mk 2e 4/ch3(1/n12-1/n22) ---------(7)
以上三式成功的解释了氢原子中电子轨道的量子化和能量量子化和巴耳末系，并且成功的预告了其他线系的存在[3]。
②薛定谔方程：用波函数表示电子。 薛定谔方程的逻辑推导过程：
A 、引来一个必需的、消去了时间的、一维的波动方程
d2u/dx2+(2π/λ)2u=0 -----（8）
B 、粒子的能量关系
E=p2/2m+V -------------（9）
C 、根据玻尔的角动量量子化假设
mvr=nh/2π=pr----------（10）
D 、利用驻波理论 2πr=nλ-------------------（11）
E 、最后得到d 2u/dx2+8π2m(E-V)u/h2=0这是一维不含时薛定谔方程。三维薛定谔
方程的推导原理相同。
③玻尔理论与薛定谔方程的对比分析：玻尔理论和薛定谔方程在一定程度上具有等价性。两者是解决粒子问题的两套不同的思路，但是殊途同归，具有异曲同工之处。
一、薛定谔方程在解决量子力学问题中的应用：
1、用薛定谔方程求解量子力学问题的基本步骤：
①写出具体问题的势函数V(r)的形式代入薛定谔方程；
②用变量分离法求解微分方程；
③用归一化条件和标准条件确定积分常数并得出波函数；
④讨论解的物理意义。
2、薛定谔方程应用于解决一维势阱中粒子问题
将薛定谔方程应用于解决一维势阱的问题时，首先要对势阱进行分区（不同区的势能不同），接着要求解二次微分方程的通解，根据边界条件、归一化条件、连接条件（波函数和波函数的导数的连续性）定系数A 、B 、C ，最后根据得出的能量和波函数分析物理意义。
3、薛定谔方程应用于解决谐振子问题
主要解决势能为V(x)=m wx /2时的薛定谔方程 22
对于求解这个方程主要有代数法和解析法。
①解析法：先把薛定谔方程无量纲化，求出极限解，再用上边界条件得到尝试解，把尝试解代入无量纲化后的薛定谔方程，即可得到一个厄米微分方程。再用级数展开法，解这个微分方程。利用有限性条件，让u 中断为一个多项式，即可得到λ-1=2n,从而可以得到本征值和本征态。
②代数解法：受解析法的启发，以解析解为基础构造出升幂算符和降幂算符，再利用升降幂算符的性质，在不求解薛定谔方程的基础上得到本征值和本征态。
4、薛定谔方程应用于解决三维体系中的量子力学问题
将薛定谔方程中的位置坐标扩展开，即可得到三维薛定谔方程。通过分离变量法可以求解若干三维体系中量子力学问题以及无相互作用的两体问题等。另外，可将三维薛定谔方程中的坐标（x,y,z ）换成（r, θ，φ），从而得到球坐标系下的薛定谔方程，以此解决球势阱、氢原子等问题。
二、薛定谔方程在前沿领域中的应用
1、薛定谔方程在化学中的应用
①由于原子中的电子在核外的球形对称场中运动，把直角坐标系转换为球坐标系，通过波函数的解析图像来掌握核外电子的运动情况。薛定谔方程作为一个类比方程，可应用于原子核外电子的描述、分子中的化学键的描述等。
②对于原子，通过求解薛定谔方程得得到的波函数ψ即为原子轨道，而对于分子而言则称之为分子轨道。与该轨道对应的能量E 则成为轨道能量。
2、薛定谔方程还被广泛应用于原子物理、核物理和固体物理，对于原子、分子、核、固体等一系列问题中求解的结果都与实际符合的很好。
三、思考与总结
1、薛定谔方程的建立与创新思维
不管学习哪个学科都必须注重创造性思维的培养，而薛定谔方程的建立过程正是体现了很多创造性思维的特征。
①创造性思维定义及其操作模型：创造性思维的定义可归纳为：人脑对客观事物本质和事物之间内在联系规律所作出的概括、间接与能动的反映。而其具体操作模型为：
②薛定谔方程的创造性特征：
（1）问题提出：具有波粒二象性的粒子运动的基本规律是什么？
（2）发散思维：
A 、建立方程需要选择物理量，要用什么物理量来描述具有波粒二象性的粒
子的运动以及其物理意义是什么？
B 、建立方程的形式应基于那一基本类型？这个方程的解是什么？
C 、建立方程中的自变量是什么？
D 、被描述的实物粒子所处的环境将又怎样描述？
（3）联想思维：
A、从德布罗意和爱因斯坦那里吸收了关于电子波动和物质具有波动性的思
想，提出用波函数描述电子的状态；
B、从哈密顿的分析力学中悟出经典力学与几何光学类似的思想；
C、哈密顿的波动理论；
D、从玻尔理论得到能量是分立的，从而注意到数学中偏微分方程的本征值； E、实物粒子一定要处于一个环境之中，因此描述实物粒子的环境应是经典
力学中粒子所处场中的势能。
（4）再造思想
A、原子领域中电子的能量是分立的；
B 、在一定的边界条件下，波动方程的振动频率只能取一系列分裂的本征频
率；
C、哈密顿-雅可比方程不仅可用于描述粒子的运动，也可用于描述光波；
D 、最关键的是爱因斯坦和德布罗意关于波粒二象性的思想。电子可以看成
是一种波，其能量E 和动量P 可用德布罗意公式与波长和频率联系在一起。
（5）得出结论
A、得到氢原子的能级公式；
B、得到谐振子的能级和定态波函数；
C、处理了普朗克谐振子和双原子分子等问题；
D、可用于计算氢原子的Stark 效应。
2、学习物理的思维方式和态度
①从薛定谔身上学到的思维方式和学习态度
薛定谔作为概率波动力学的创始人，他之所以能够在量子力学的舞台上如此熠熠生辉，并不只是因为他在物理知识上的贡献，还因为他具备值得我们学习的思维方式和学习态度。在文中提到，自从德布罗意假说被实验所证实，薛定谔就开始尝试用一个波动方程去描述这种量子行为，期间他通过发散思维找出自己应该解决的问题，借鉴了众多前人的研究成果与经验尽量解决每一个疑问，并且一步步完善自己的理论。所以薛定谔方程的成功提出并不是偶然，而是薛定谔在日复一日的辛苦付出后的成果。
②自己的反思与计划
首先，我深刻的反思了自己的学习态度是否端正。对于一个并不知道结果的问题，薛定谔一步步尝试着去解决，而且之后他还不断完善自己的理论。而想想我们在平日的学习过程中，并没有具备学习物理该有的态度。很多时候我们只是拘泥于老师的作业，认为只要完成作业就万事大吉了，其实我们根本就没有很好地锻炼自己的物理素养。真正的学习物理的态度是得像薛定谔那样深入的挖掘问题内在的含义，不断通过调研解决问题。（虽然老师也经常强调这一点，但是我们却没有将这个任务很好的落到实处。）
另外，通过这次研究，虽然意识到自己在日常学习过程中还存在很多问题，但是也让我更加明确接下来应该怎样规划自己的学习。在保质保量的完成老师的作业外，要多找一些拓展性的题目，每天花上1～2小时去深入调研，注意采用发散思维的方式，尽量找出问题的每一考察角度，然后依次解决，归纳一般解题步骤。这对于我们这些“未来的物理教师”来说，是非常重要的。因为这不仅锻炼了我们的解题能力，而且在日后的教学过程中难免会遇到学生会问问题的一个小侧面，所以我们自己事先去考虑问题的每个侧面能够帮助我们及时高效的解决学生的疑问。
总之，通过这次课程论文的书写，我不仅学习到了很多有关于薛定谔方程的知识，而且也让我学到了薛定谔思考问题的方式和学习的态度，也让我深刻的反思自己在日常学习中的问题，也让我有机会能够给自己制定一个更加科学高效的学习计划。
【参考文献】
[1]百度百科. 薛定谔方程[OL]. http://baike.baidu.com/link?url=yBGqNTIiqti7U9EldcX8ktR3R03Lq1tdnTvT35ATnuli0KjEEmVrbp5Ri1qvtC1q
[2]周世勋. 量子力学教程[M].第二版. 高等教育出版社.
[3]张蓓蓓，李勇. 由薛定谔方程引发的深思[D].浙江：浙江师范大学，2008.
[4]孙诒丹. 谈薛定谔方程的建立与创造性思维特征[J].鞍山师范学院学报.2004,(04).
[5]苑壮东, 考秀娟. 薛定谔方程在化学中的应用[J].济宁学院学报.2008,(06).
[6]David J.Griffiths.Introduction to Quantum Mechanics[M].
量子力学课程论文
题 目：《由薛定谔方程引发的深思》
学 院： 数理信息工程学院 专 业： 物理112班 学生姓名： 徐盈盈 王黎明 学 号：11260124 11180216
完成时间： 2013年12月20日
由薛定谔方程引发的深思
【摘要】
薛定谔方程的提出揭示了微观物理世界物质运动的基本规律，它是原子物理学中处理一切非相对论问题的有力工具[1]。作为量子力学之魂，薛定谔方程完整的向我们诠释了微观世界的魅力。为更加深入地学习薛定谔方程和量子力学，我们将分析薛定谔方程的推导过程、介绍其在求解粒子问题中的应用以及其在原子物理、核物理、固体物理等学科的应用，最后谈谈自己的想法。
【引言】
随着“任何粒子都具有波粒二象性”的德布罗意假说成功被戴维森-革末实验所证实，薛定谔思考着会有一个波动方程可以反应粒子的这种量子行为。于是，基于众多前人研究成果，薛定谔于1926年提出薛定谔方程，完美的解释了波函数的行为。正是因为薛定谔方程在量子力学进程中起着举足轻重的作用，所以我们必须深入学习其推导过程和应用。并且由薛定谔方程出发，深刻思考我们在物理学习过程中所必须具备的思维方式和学习态度。
【关键词】
薛定谔方程 玻尔理论 波函数 深思
【正文】
一、薛定谔方程的提出与推导
1、薛定谔方程的历史背景
爱因斯坦认为普朗克的量子为光子，并且提出了奇妙的“波粒二象性”。1924年，路易·德布罗意提出“物质波”的概念，认为任何粒子都具有波粒二象性，并且这个假说于1927年成功被戴维森-革末实验所证实。薛定谔由此认为一定会有一个波动方程能够恰当的描述粒子的这种性质。最后他借助于经典力学的哈密顿原理以及光学的费马原理，将牛顿力学与光学类比，并且以哈密顿-雅克比方程为工具，成功建立了薛定谔方程，并且准确的计算了氢原子的谱线。
2、薛定谔方程的推导思路
①首先自由粒子可用平面波来表示，可当粒子收到随时间或位置变化的力场的作用时，应该用波函数来表示。波函数描写体系的量子状态。波函数是指在空间中某一点的强度和在该点找到粒子的概率成比例[2]。
②当讨论粒子状态随时间变化所遵从的规律时，必须建立波函数随时间变化的方程。
i(p.r-Et)/h③用平面波描写自由粒子的波函数ψ(r,t)=Ae, 并且对时间求偏微商，对
位置求二次偏微商，再利用能量和动量的关系式E=p/2m+V(r),最终可得到薛定谔方程：
2
④从一维薛定谔方程出发，可以得出三维薛定谔方程和定态薛定谔方程：
3、薛定谔方程与玻尔理论的对比分析
一般认为以薛定谔方程为代表的量子力学是“新量子力学”，以玻尔理论为代表的量子力学是“旧量子力学”，但二者在根本上是同出一源，只是所用的概念和模型不同而已。
①玻尔理论:用粒子表示电子。
(1)玻尔理论的基础来源：牛顿定律、库仑定律、玻尔的定态及跃迁假设和玻尔
的角动量量子化假设。
(2)玻尔理论的逻辑推导过程：
A 、氢原子中，电子绕核作圆周运动，根据牛顿第二定律 kze /r=mv/r---（1）
B 、电子的总能量E 是电子的动能和势能之和 E=mv/2-kze/r. ---（2）
C 、玻尔关于电子轨道运动的角动量量子化假设 mvr=nh/2π ----- （3）
D 、玻尔关于电子轨道跃迁辐射的公式为 E 2-E 1=hf---------- （4） E 、 由以上四式可解得
r=nh /4πmkze , --------------------------------(5) 222222222
E=-z22π2mk 2e 4/n2h 2 ------------------------------ (6)
1/λ=f / c=z22π2mk 2e 4/ch3(1/n12-1/n22) ---------(7)
以上三式成功的解释了氢原子中电子轨道的量子化和能量量子化和巴耳末系，并且成功的预告了其他线系的存在[3]。
②薛定谔方程：用波函数表示电子。 薛定谔方程的逻辑推导过程：
A 、引来一个必需的、消去了时间的、一维的波动方程
d2u/dx2+(2π/λ)2u=0 -----（8）
B 、粒子的能量关系
E=p2/2m+V -------------（9）
C 、根据玻尔的角动量量子化假设
mvr=nh/2π=pr----------（10）
D 、利用驻波理论 2πr=nλ-------------------（11）
E 、最后得到d 2u/dx2+8π2m(E-V)u/h2=0这是一维不含时薛定谔方程。三维薛定谔
方程的推导原理相同。
③玻尔理论与薛定谔方程的对比分析：玻尔理论和薛定谔方程在一定程度上具有等价性。两者是解决粒子问题的两套不同的思路，但是殊途同归，具有异曲同工之处。
一、薛定谔方程在解决量子力学问题中的应用：
1、用薛定谔方程求解量子力学问题的基本步骤：
①写出具体问题的势函数V(r)的形式代入薛定谔方程；
②用变量分离法求解微分方程；
③用归一化条件和标准条件确定积分常数并得出波函数；
④讨论解的物理意义。
2、薛定谔方程应用于解决一维势阱中粒子问题
将薛定谔方程应用于解决一维势阱的问题时，首先要对势阱进行分区（不同区的势能不同），接着要求解二次微分方程的通解，根据边界条件、归一化条件、连接条件（波函数和波函数的导数的连续性）定系数A 、B 、C ，最后根据得出的能量和波函数分析物理意义。
3、薛定谔方程应用于解决谐振子问题
主要解决势能为V(x)=m wx /2时的薛定谔方程 22
对于求解这个方程主要有代数法和解析法。
①解析法：先把薛定谔方程无量纲化，求出极限解，再用上边界条件得到尝试解，把尝试解代入无量纲化后的薛定谔方程，即可得到一个厄米微分方程。再用级数展开法，解这个微分方程。利用有限性条件，让u 中断为一个多项式，即可得到λ-1=2n,从而可以得到本征值和本征态。
②代数解法：受解析法的启发，以解析解为基础构造出升幂算符和降幂算符，再利用升降幂算符的性质，在不求解薛定谔方程的基础上得到本征值和本征态。
4、薛定谔方程应用于解决三维体系中的量子力学问题
将薛定谔方程中的位置坐标扩展开，即可得到三维薛定谔方程。通过分离变量法可以求解若干三维体系中量子力学问题以及无相互作用的两体问题等。另外，可将三维薛定谔方程中的坐标（x,y,z ）换成（r, θ，φ），从而得到球坐标系下的薛定谔方程，以此解决球势阱、氢原子等问题。
二、薛定谔方程在前沿领域中的应用
1、薛定谔方程在化学中的应用
①由于原子中的电子在核外的球形对称场中运动，把直角坐标系转换为球坐标系，通过波函数的解析图像来掌握核外电子的运动情况。薛定谔方程作为一个类比方程，可应用于原子核外电子的描述、分子中的化学键的描述等。
②对于原子，通过求解薛定谔方程得得到的波函数ψ即为原子轨道，而对于分子而言则称之为分子轨道。与该轨道对应的能量E 则成为轨道能量。
2、薛定谔方程还被广泛应用于原子物理、核物理和固体物理，对于原子、分子、核、固体等一系列问题中求解的结果都与实际符合的很好。
三、思考与总结
1、薛定谔方程的建立与创新思维
不管学习哪个学科都必须注重创造性思维的培养，而薛定谔方程的建立过程正是体现了很多创造性思维的特征。
①创造性思维定义及其操作模型：创造性思维的定义可归纳为：人脑对客观事物本质和事物之间内在联系规律所作出的概括、间接与能动的反映。而其具体操作模型为：
②薛定谔方程的创造性特征：
（1）问题提出：具有波粒二象性的粒子运动的基本规律是什么？
（2）发散思维：
A 、建立方程需要选择物理量，要用什么物理量来描述具有波粒二象性的粒
子的运动以及其物理意义是什么？
B 、建立方程的形式应基于那一基本类型？这个方程的解是什么？
C 、建立方程中的自变量是什么？
D 、被描述的实物粒子所处的环境将又怎样描述？
（3）联想思维：
A、从德布罗意和爱因斯坦那里吸收了关于电子波动和物质具有波动性的思
想，提出用波函数描述电子的状态；
B、从哈密顿的分析力学中悟出经典力学与几何光学类似的思想；
C、哈密顿的波动理论；
D、从玻尔理论得到能量是分立的，从而注意到数学中偏微分方程的本征值； E、实物粒子一定要处于一个环境之中，因此描述实物粒子的环境应是经典
力学中粒子所处场中的势能。
（4）再造思想
A、原子领域中电子的能量是分立的；
B 、在一定的边界条件下，波动方程的振动频率只能取一系列分裂的本征频
率；
C、哈密顿-雅可比方程不仅可用于描述粒子的运动，也可用于描述光波；
D 、最关键的是爱因斯坦和德布罗意关于波粒二象性的思想。电子可以看成
是一种波，其能量E 和动量P 可用德布罗意公式与波长和频率联系在一起。
（5）得出结论
A、得到氢原子的能级公式；
B、得到谐振子的能级和定态波函数；
C、处理了普朗克谐振子和双原子分子等问题；
D、可用于计算氢原子的Stark 效应。
2、学习物理的思维方式和态度
①从薛定谔身上学到的思维方式和学习态度
薛定谔作为概率波动力学的创始人，他之所以能够在量子力学的舞台上如此熠熠生辉，并不只是因为他在物理知识上的贡献，还因为他具备值得我们学习的思维方式和学习态度。在文中提到，自从德布罗意假说被实验所证实，薛定谔就开始尝试用一个波动方程去描述这种量子行为，期间他通过发散思维找出自己应该解决的问题，借鉴了众多前人的研究成果与经验尽量解决每一个疑问，并且一步步完善自己的理论。所以薛定谔方程的成功提出并不是偶然，而是薛定谔在日复一日的辛苦付出后的成果。
②自己的反思与计划
首先，我深刻的反思了自己的学习态度是否端正。对于一个并不知道结果的问题，薛定谔一步步尝试着去解决，而且之后他还不断完善自己的理论。而想想我们在平日的学习过程中，并没有具备学习物理该有的态度。很多时候我们只是拘泥于老师的作业，认为只要完成作业就万事大吉了，其实我们根本就没有很好地锻炼自己的物理素养。真正的学习物理的态度是得像薛定谔那样深入的挖掘问题内在的含义，不断通过调研解决问题。（虽然老师也经常强调这一点，但是我们却没有将这个任务很好的落到实处。）
另外，通过这次研究，虽然意识到自己在日常学习过程中还存在很多问题，但是也让我更加明确接下来应该怎样规划自己的学习。在保质保量的完成老师的作业外，要多找一些拓展性的题目，每天花上1～2小时去深入调研，注意采用发散思维的方式，尽量找出问题的每一考察角度，然后依次解决，归纳一般解题步骤。这对于我们这些“未来的物理教师”来说，是非常重要的。因为这不仅锻炼了我们的解题能力，而且在日后的教学过程中难免会遇到学生会问问题的一个小侧面，所以我们自己事先去考虑问题的每个侧面能够帮助我们及时高效的解决学生的疑问。
总之，通过这次课程论文的书写，我不仅学习到了很多有关于薛定谔方程的知识，而且也让我学到了薛定谔思考问题的方式和学习的态度，也让我深刻的反思自己在日常学习中的问题，也让我有机会能够给自己制定一个更加科学高效的学习计划。
【参考文献】
[1]百度百科. 薛定谔方程[OL]. http://baike.baidu.com/link?url=yBGqNTIiqti7U9EldcX8ktR3R03Lq1tdnTvT35ATnuli0KjEEmVrbp5Ri1qvtC1q
[2]周世勋. 量子力学教程[M].第二版. 高等教育出版社.
[3]张蓓蓓，李勇. 由薛定谔方程引发的深思[D].浙江：浙江师范大学，2008.
[4]孙诒丹. 谈薛定谔方程的建立与创造性思维特征[J].鞍山师范学院学报.2004,(04).
[5]苑壮东, 考秀娟. 薛定谔方程在化学中的应用[J].济宁学院学报.2008,(06).
[6]David J.Griffiths.Introduction to Quantum Mechanics[M].