厦门一中2010数学竞赛讲座—平面几何
平面几何定理1——梅涅劳斯定理
梅涅劳斯定理：设P 、Q 、R 分别是∆ABC 三边BC ，CA 、AB 或其延长线上的点，若P 、Q 、R 三点共线，则BP CQ AR （四种证明方法） ⋅⋅=1。PC QA RB
梅涅劳斯逆定理：设P 、Q 、R 分别是∆ABC 三边BC ，CA 、AB 或其延长线上的点，若BP CQ AR ⋅⋅=1，则P 、Q 、R 三点共线。 PC QA RB
第一角元形式的梅涅劳斯定理：设P 、Q 、R 分别是∆ABC 三边BC ，CA 、AB 或其延长线上的点，则P 、Q 、R 三点共线的充要条件是：
sin ∠BAP sin ∠ACR sin ∠CBQ ⋅=1 sin ∠PAC sin ∠RCB sin ∠QBA
第二角元形式的梅涅劳斯定理：设P 、Q 、R 分别是∆ABC 三边BC ，CA 、AB 或其延长线上的点，点O 不在∆ABC 三遍所在直线上，则P 、Q 、R 三点共线的充要条件是： sin ∠BOP sin ∠AOR sin ∠COQ ⋅=1 sin ∠POC sin ∠ROB sin ∠QOA
例1．（笛沙格定理）如图，由O 点引出的三条射线上各有两个点：A 1和A 2，
B 1和B 2，C 1和C 2，直线B 1C 1和B 2C 2交于点X ：直线AC 11和A 2C 2交于点Y ， 直线A 1B 1和A 2B 2交于点Z 。求证：X 、Y 、Z 三点共线。:
:
练习：
例2：如图，在四边形ABCD 中△ABD ，△BCD ，△ABC 的面积比是3:4:1，点M ，N 分别在AC ，CD 上，满足AM ：AC=CN：CD ，并且Ｂ，Ｍ，Ｎ共线，求证M 与Ｎ分别是ＡＣ和ＣＤ的中点。
练习：
例
3
角元形式梅氏定理
例
4 例
5.
练习
2 3 4. 4 5
厦门一中2010数学竞赛讲座—平面几何
平面几何定理1——梅涅劳斯定理
梅涅劳斯定理：设P 、Q 、R 分别是∆ABC 三边BC ，CA 、AB 或其延长线上的点，若P 、Q 、R 三点共线，则BP CQ AR （四种证明方法） ⋅⋅=1。PC QA RB
梅涅劳斯逆定理：设P 、Q 、R 分别是∆ABC 三边BC ，CA 、AB 或其延长线上的点，若BP CQ AR ⋅⋅=1，则P 、Q 、R 三点共线。 PC QA RB
第一角元形式的梅涅劳斯定理：设P 、Q 、R 分别是∆ABC 三边BC ，CA 、AB 或其延长线上的点，则P 、Q 、R 三点共线的充要条件是：
sin ∠BAP sin ∠ACR sin ∠CBQ ⋅=1 sin ∠PAC sin ∠RCB sin ∠QBA
第二角元形式的梅涅劳斯定理：设P 、Q 、R 分别是∆ABC 三边BC ，CA 、AB 或其延长线上的点，点O 不在∆ABC 三遍所在直线上，则P 、Q 、R 三点共线的充要条件是： sin ∠BOP sin ∠AOR sin ∠COQ ⋅=1 sin ∠POC sin ∠ROB sin ∠QOA
例1．（笛沙格定理）如图，由O 点引出的三条射线上各有两个点：A 1和A 2，
B 1和B 2，C 1和C 2，直线B 1C 1和B 2C 2交于点X ：直线AC 11和A 2C 2交于点Y ， 直线A 1B 1和A 2B 2交于点Z 。求证：X 、Y 、Z 三点共线。:
:
练习：
例2：如图，在四边形ABCD 中△ABD ，△BCD ，△ABC 的面积比是3:4:1，点M ，N 分别在AC ，CD 上，满足AM ：AC=CN：CD ，并且Ｂ，Ｍ，Ｎ共线，求证M 与Ｎ分别是ＡＣ和ＣＤ的中点。
练习：
例
3
角元形式梅氏定理
例
4 例
5.
练习
2 3 4. 4 5