POPULAR STATISTICS
变异系数
—— 一个衡量离散程度简单而有用的统计指标
文 ／ 王文森
在
分析写作过程中，我们常常会 碰到这样的问题：如何定量地
图２
标，当用其来对同一总体的不同时期或 不同总体进行对比时，缺乏可比性。原 因 是： 第一，当总体平均水平不同时，用 绝对差异指标不可比。例如当比较广东 与新建两地的人均收入差异程度时，若 计算得出两地的人均收入标准差都是 ５ ０ ０ 元，这时我们不能简单地认为两省 的人均收入差异程度是一样的，因为 上述两个数据序列的平均数都是 ５ ０ ０ 元对两省人均收入的意义大不一 样 。 第二，绝对指标受量纲（计量单 位）的限制，导致横向数据不可比。 比如在比较中国和美国各地人均 Ｇ Ｄ Ｐ 的 差异程度时，就存在一个不同货币计量 单位之间的换算问题，如果采用相对差 异指标，就可以消除这种限制。因此， 在不同水平的总体之间、不同量纲的总 体之间，需要采用变异系数来比较标志 值变动程度的大小。变异系数越小，说 明标志值离散程度越小，总体各单位的 差距越小。
说明一个总体各单位的不同时期集中或 分散的发展变化趋势，或不同总体同一 时期的发展差异程度？比如我们要分析 某地区工业企业的盈利水平在五年内是 趋于平均化还是趋于分化，又如要对比 分析 ２００１ 年广东与广西两省内部的经济 发 展 均 衡 程 度 ，等 等 。 在 这 里 ， 笔 者 介绍一个既简单常用又能说明问题的统 计指标——变 异 系 数 。 ３ ０ ０ ，但标准差和变异系数不同，序列 １ 的变异系数为 ０ ． ２ ５，而序列 ２ 的变异 系数为 ０．１３。表现在图上，就是图 １ 的 数据波动幅度比较大，而图 ２ 的数据波 动幅度比较小，也即序列 １ 各数据之间 的差距大于序列 ２ 。变异系数正是用来 描述这种数据波动程度。
平均数 ＝３００，标准差 ＝３７．７９，变异系数 ＝０．１３
变异系数的概念
变异系数，就是标准差系数，有 的书上也称差异系数、离散系数，都 是同一个意思。 变异系数是发映总体各单位标志值 的差异程度或离散程度的指标，是反映 数据分布状况的指标之一。其含义是总 体各单位的标准差与其算术平均数对比 的 相 对 数 ， 其 计 算 公 式 为：
标准差
在进一步了解变异系数之前，需要 先解释标准差。标准差是总体各单位标 志值与其算术平均数离差平方和的算术 平 均 数 的 平 方 根 ， 通 常 用 σ 表 示 。标 准差的平方称为方差，用σ ２ 表示。标 准差的一般计算公式为：
上式中，Ｖ 代表变异系数，σ代表 标准差，ｘ 代表算术平均数。 大家知道
，我们一般用平均数来反 映客观现象总体各单位某一数量标志的 一般水平，如平均年龄、平均收入等。 但平均数只能反映总体的一般数量水 平，不能说明总体各单位标志值的数量 差异程度，不能揭示其离散程度和集中 趋势，这时候就要用到平均差、标准 差 和 变 异 系 数 （ 标 准 差 系 数 ）等 变 异 指标。下面图示可帮助大家理解平均数 和变异系数的含义。
图１
变异系数的计算
由上面的内容可知，计算出一个数 据序列的标准差和平均数，就可得出变 异系数。上例中，
式中 Ｎ 代表数据个数，Ｘ 代表各单 位标志值，ｘ 代表各单位标志值的平均 数 。 下表列出 ５ 个企业产值数据，以此 为例计算企业产值的标准差。 变异系数的计算较简便，利用计算 器或有关的统计软件就可以得出结果。 如在 Ｅ Ｘ Ｃ Ｅ Ｌ 软件中，利用“工具”菜 单中的“数据分析”工具就可计算出 标准差、平均数和变异系数等一些常用 的统计指标。 在实际计算时，若有必要考虑各数 根 据 上 表 ，可 计 算 出 标 准 差 σ： 据的不同重要性，则通常采用加权平均的 形式。比如，在计算各地区人均 ＧＤＰ 的变 异系数时，一般应以各地区的人口数作为 标准差的局限性。标准差以算术平 均数为中心，它可以反映一个总体全部 权数进行加权评价。用公式表示为：
平均数 ＝３００，标准差 ＝７５．５９，变异系数 ＝０．２５
标志值的离散程度。但它是一个绝对指
ＣＨＩＮＡ ＳＴＡＴＩＳＴＩＣＳ
４１
200 7. 6
统计科普
200 7. 6
见 解
ＶＩＥＷ ＰＯＩＮＴ
式中 ｖ 、ｘ 和 ｘ 的意义同上，ｐ ｉ 代表第 ｉ 地区的人口数，ｐ 代表全部地区的人口 数总和。 集数据的一项实践活动，调查总体由有 限或无限个总体单位所构成，因此，就 统计调查的范围来看，统计调查方法有 全面调查和非全面调查之分。顾名思
变异系数的应用
变异系数是一个虽简单但用途广泛 的指标，普遍地用于反映某一总体各单 位标志值的差异程度、集中或离散状 况。国内外学者普遍利用变异系数来分 析地区差距问题。下面笔者举出在写作 过程中用过的几个例子，其他可以举一 反三。 例 １ ：工业 ５ ０ 强发展差距分析。 在一篇分析广东工业 ５ ０ 强的文章 中，利用变异系数来说明大企业发展差 距拉大。引文： “从 ５ ０ 强 企 业 的 发 展 变化看，强势企业间的差距有进一步拉 大的趋势。１ ９ ９ ８ 年 ５ ０ 强企业销售收入 的变异系数为 ０．５８，１９９９ 年的变异系数 为 ０．６０，显示强势企业间的差距也在拉 大 。” 例 ２ ：广东省地
区发展差距分析。 利用 １９９５ 年和 ２０００ 年广东省各市 人均 ＧＤＰ 数据，计算得出 １９９５ 年人均 ＧＤＰ 的变异系数为 ０．１６，２０００ 年人均 ＧＤＰ 的 变异系数为 ０．１８（未作加权） 。计算结果 表明， “九五”期间，广东省各地区的发 展速度快慢不均，发展差距有所拉大。如 果将改革开放以来全省人均 Ｇ Ｄ Ｐ 的变异 系数都计算出来，则可进一步分析地区 差距的发展变化趋势。
统 计 调 查 方 法 的
文 ／ 王 天 营
义，全面调查就是对调查总体中全部总 体单位一一进行调查，而非全面调查仅 对调查总体中部分总体单位进行调查。 第二，就非全面调查而言，按照从总 体中选取部分单位方法的不同，又可以 分 为 重 点 调 查 、典 型 调 查 和 抽 样 调 查 等。重点调查就是仅对调查总体中调查 者认为比较重要的单位进行的调查。典 型调查就是仅对调查总体中调查者认为 比较典型的单位进行的调查。抽样调查 就是根据随机性原则从调查总体中选取 部分单位进行的调查。第三，从抽样
哲 学 思 考
调查的具体组织实施来看，抽样调查又 有简单随机抽样调查、系统抽样调查、 分层（组）抽样调查、整群抽样调查 和多阶段抽样调查等。 唯物辨证论通常要研究有限与无 限、部分与整体、现象与本质、原因 与结果、特殊与一般、可能性与现实 性、相对性与绝对性、量变与质变、 偶然性与必然性、形式与内容等基本哲 学范畴。而对这些问题的基本观点与态 度，不仅影响着一个人对周围世界的基 本态度，而且对一门学科的发展同样有 着基础性的影响。例如，对各种统计 方法的衍生与应用就有着至关重要的引
统
计学作为一门关于如何收集数 据、整理数据和分析数据的方
领作用。
分析差异状况的其他指标
除变异系数外，还有其他反映总体 各单位标志值差异状况的统计指标，如 极差、极值比率、基尼系数、Ｔ ｈ ｅ ｉ ｌ 熵 等 。 极差是数据序列中极大值和极小值 之间的差额，极值比率是极大值与极 小值之比。这两个指标在分析中也比 较常用，比如算工业 ５ ０ 强中的第一名 和 最 后 一 名 的 差 距 或 比 率 ，分 析 其 实 力差距。基尼系数将在后面章节中具 体介绍。Ｔｈｅｉｌ 熵最早是由 Ｔｈｅｉｌ 于 １９６７ 年提出来的，用于研究国家之间的收 入差距，该指标相对复杂，这里不做 叙述。 （作者单位：广东省统计局）
法论科学，其之所以成为科学就在于其 以世界是可以认知的观点为基本出发 点，在于其所阐述的各种统计方法中无 不处处闪烁着哲学的思想火花，更在于 通过各种统计方法的应
用，能帮助人们 对五彩缤纷的世界有更深刻的认识。尽 管统计学是从量的方面认知社会、自 然、科技等现象的方法论体系，而且 每一具体的方法都蕴涵着朴素的哲学思 想，但是本文仅就收集数据中几种基本 调查方法所体现的哲学意义加以探讨， 以便使人们能更自觉、科学地使用这些 统计调查方法，并强化人们对运用这些 统计调查方法所得数据的尊重意识。
统计调查方法的哲学意义
１ ． 全面调查与非全面调查的哲学意 义。从全面调查与非全面调查的含义来 看，它体现着“部分与整体” “有 、 限性与无限性” “可能性与现实性” 、 等辩证关系。事实上，只要承认通过 对总体中足够多的个体的认识，就可以 达到对总体一定程度上的正确认识，那 么，人们在一定的场合无论采用全面调 查获取数据，还是采用非全面调查获取 数据都可以达到认识总体数量规律性的 目的。其二，客观事物（现象）通常 都可以看成是由有限个或无限个个体所 构成。显然对有限个个体所构成的事 物，可以采用全面调查，也可以采用 非全面调查。但是，对由无限个个体 所构成的事物，则必须采用非全面调查
统计调查方法与哲学的基本范畴
统计调查是在一定的调查总体内收
４ ２ ＣＨＩＮＡ ＳＴＡＴＩＳＴＩＣＳ
POPULAR STATISTICS
变异系数
—— 一个衡量离散程度简单而有用的统计指标
文 ／ 王文森
在
分析写作过程中，我们常常会 碰到这样的问题：如何定量地
图２
标，当用其来对同一总体的不同时期或 不同总体进行对比时，缺乏可比性。原 因 是： 第一，当总体平均水平不同时，用 绝对差异指标不可比。例如当比较广东 与新建两地的人均收入差异程度时，若 计算得出两地的人均收入标准差都是 ５ ０ ０ 元，这时我们不能简单地认为两省 的人均收入差异程度是一样的，因为 上述两个数据序列的平均数都是 ５ ０ ０ 元对两省人均收入的意义大不一 样 。 第二，绝对指标受量纲（计量单 位）的限制，导致横向数据不可比。 比如在比较中国和美国各地人均 Ｇ Ｄ Ｐ 的 差异程度时，就存在一个不同货币计量 单位之间的换算问题，如果采用相对差 异指标，就可以消除这种限制。因此， 在不同水平的总体之间、不同量纲的总 体之间，需要采用变异系数来比较标志 值变动程度的大小。变异系数越小，说 明标志值离散程度越小，总体各单位的 差距越小。
说明一个总体各单位的不同时期集中或 分散的发展变化趋势，或不同总体同一 时期的发展差异程度？比如我们要分析 某地区工业企业的盈利水平在五年内是 趋于平均化还是趋于分化，又如要对比 分析 ２００１ 年广东与广西两省内部的经济 发 展 均 衡 程 度 ，等 等 。 在 这 里 ， 笔 者 介绍一个既简单常用又能说明问题的统 计指标——变 异 系 数 。 ３ ０ ０ ，但标准差和变异系数不同，序列 １ 的变异系数为 ０ ． ２ ５，而序列 ２ 的变异 系数为 ０．１３。表现在图上，就是图 １ 的 数据波动幅度比较大，而图 ２ 的数据波 动幅度比较小，也即序列 １ 各数据之间 的差距大于序列 ２ 。变异系数正是用来 描述这种数据波动程度。
平均数 ＝３００，标准差 ＝３７．７９，变异系数 ＝０．１３
变异系数的概念
变异系数，就是标准差系数，有 的书上也称差异系数、离散系数，都 是同一个意思。 变异系数是发映总体各单位标志值 的差异程度或离散程度的指标，是反映 数据分布状况的指标之一。其含义是总 体各单位的标准差与其算术平均数对比 的 相 对 数 ， 其 计 算 公 式 为：
标准差
在进一步了解变异系数之前，需要 先解释标准差。标准差是总体各单位标 志值与其算术平均数离差平方和的算术 平 均 数 的 平 方 根 ， 通 常 用 σ 表 示 。标 准差的平方称为方差，用σ ２ 表示。标 准差的一般计算公式为：
上式中，Ｖ 代表变异系数，σ代表 标准差，ｘ 代表算术平均数。 大家知道
，我们一般用平均数来反 映客观现象总体各单位某一数量标志的 一般水平，如平均年龄、平均收入等。 但平均数只能反映总体的一般数量水 平，不能说明总体各单位标志值的数量 差异程度，不能揭示其离散程度和集中 趋势，这时候就要用到平均差、标准 差 和 变 异 系 数 （ 标 准 差 系 数 ）等 变 异 指标。下面图示可帮助大家理解平均数 和变异系数的含义。
图１
变异系数的计算
由上面的内容可知，计算出一个数 据序列的标准差和平均数，就可得出变 异系数。上例中，
式中 Ｎ 代表数据个数，Ｘ 代表各单 位标志值，ｘ 代表各单位标志值的平均 数 。 下表列出 ５ 个企业产值数据，以此 为例计算企业产值的标准差。 变异系数的计算较简便，利用计算 器或有关的统计软件就可以得出结果。 如在 Ｅ Ｘ Ｃ Ｅ Ｌ 软件中，利用“工具”菜 单中的“数据分析”工具就可计算出 标准差、平均数和变异系数等一些常用 的统计指标。 在实际计算时，若有必要考虑各数 根 据 上 表 ，可 计 算 出 标 准 差 σ： 据的不同重要性，则通常采用加权平均的 形式。比如，在计算各地区人均 ＧＤＰ 的变 异系数时，一般应以各地区的人口数作为 标准差的局限性。标准差以算术平 均数为中心，它可以反映一个总体全部 权数进行加权评价。用公式表示为：
平均数 ＝３００，标准差 ＝７５．５９，变异系数 ＝０．２５
标志值的离散程度。但它是一个绝对指
ＣＨＩＮＡ ＳＴＡＴＩＳＴＩＣＳ
４１
200 7. 6
统计科普
200 7. 6
见 解
ＶＩＥＷ ＰＯＩＮＴ
式中 ｖ 、ｘ 和 ｘ 的意义同上，ｐ ｉ 代表第 ｉ 地区的人口数，ｐ 代表全部地区的人口 数总和。 集数据的一项实践活动，调查总体由有 限或无限个总体单位所构成，因此，就 统计调查的范围来看，统计调查方法有 全面调查和非全面调查之分。顾名思
变异系数的应用
变异系数是一个虽简单但用途广泛 的指标，普遍地用于反映某一总体各单 位标志值的差异程度、集中或离散状 况。国内外学者普遍利用变异系数来分 析地区差距问题。下面笔者举出在写作 过程中用过的几个例子，其他可以举一 反三。 例 １ ：工业 ５ ０ 强发展差距分析。 在一篇分析广东工业 ５ ０ 强的文章 中，利用变异系数来说明大企业发展差 距拉大。引文： “从 ５ ０ 强 企 业 的 发 展 变化看，强势企业间的差距有进一步拉 大的趋势。１ ９ ９ ８ 年 ５ ０ 强企业销售收入 的变异系数为 ０．５８，１９９９ 年的变异系数 为 ０．６０，显示强势企业间的差距也在拉 大 。” 例 ２ ：广东省地
区发展差距分析。 利用 １９９５ 年和 ２０００ 年广东省各市 人均 ＧＤＰ 数据，计算得出 １９９５ 年人均 ＧＤＰ 的变异系数为 ０．１６，２０００ 年人均 ＧＤＰ 的 变异系数为 ０．１８（未作加权） 。计算结果 表明， “九五”期间，广东省各地区的发 展速度快慢不均，发展差距有所拉大。如 果将改革开放以来全省人均 Ｇ Ｄ Ｐ 的变异 系数都计算出来，则可进一步分析地区 差距的发展变化趋势。
统 计 调 查 方 法 的
文 ／ 王 天 营
义，全面调查就是对调查总体中全部总 体单位一一进行调查，而非全面调查仅 对调查总体中部分总体单位进行调查。 第二，就非全面调查而言，按照从总 体中选取部分单位方法的不同，又可以 分 为 重 点 调 查 、典 型 调 查 和 抽 样 调 查 等。重点调查就是仅对调查总体中调查 者认为比较重要的单位进行的调查。典 型调查就是仅对调查总体中调查者认为 比较典型的单位进行的调查。抽样调查 就是根据随机性原则从调查总体中选取 部分单位进行的调查。第三，从抽样
哲 学 思 考
调查的具体组织实施来看，抽样调查又 有简单随机抽样调查、系统抽样调查、 分层（组）抽样调查、整群抽样调查 和多阶段抽样调查等。 唯物辨证论通常要研究有限与无 限、部分与整体、现象与本质、原因 与结果、特殊与一般、可能性与现实 性、相对性与绝对性、量变与质变、 偶然性与必然性、形式与内容等基本哲 学范畴。而对这些问题的基本观点与态 度，不仅影响着一个人对周围世界的基 本态度，而且对一门学科的发展同样有 着基础性的影响。例如，对各种统计 方法的衍生与应用就有着至关重要的引
统
计学作为一门关于如何收集数 据、整理数据和分析数据的方
领作用。
分析差异状况的其他指标
除变异系数外，还有其他反映总体 各单位标志值差异状况的统计指标，如 极差、极值比率、基尼系数、Ｔ ｈ ｅ ｉ ｌ 熵 等 。 极差是数据序列中极大值和极小值 之间的差额，极值比率是极大值与极 小值之比。这两个指标在分析中也比 较常用，比如算工业 ５ ０ 强中的第一名 和 最 后 一 名 的 差 距 或 比 率 ，分 析 其 实 力差距。基尼系数将在后面章节中具 体介绍。Ｔｈｅｉｌ 熵最早是由 Ｔｈｅｉｌ 于 １９６７ 年提出来的，用于研究国家之间的收 入差距，该指标相对复杂，这里不做 叙述。 （作者单位：广东省统计局）
法论科学，其之所以成为科学就在于其 以世界是可以认知的观点为基本出发 点，在于其所阐述的各种统计方法中无 不处处闪烁着哲学的思想火花，更在于 通过各种统计方法的应
用，能帮助人们 对五彩缤纷的世界有更深刻的认识。尽 管统计学是从量的方面认知社会、自 然、科技等现象的方法论体系，而且 每一具体的方法都蕴涵着朴素的哲学思 想，但是本文仅就收集数据中几种基本 调查方法所体现的哲学意义加以探讨， 以便使人们能更自觉、科学地使用这些 统计调查方法，并强化人们对运用这些 统计调查方法所得数据的尊重意识。
统计调查方法的哲学意义
１ ． 全面调查与非全面调查的哲学意 义。从全面调查与非全面调查的含义来 看，它体现着“部分与整体” “有 、 限性与无限性” “可能性与现实性” 、 等辩证关系。事实上，只要承认通过 对总体中足够多的个体的认识，就可以 达到对总体一定程度上的正确认识，那 么，人们在一定的场合无论采用全面调 查获取数据，还是采用非全面调查获取 数据都可以达到认识总体数量规律性的 目的。其二，客观事物（现象）通常 都可以看成是由有限个或无限个个体所 构成。显然对有限个个体所构成的事 物，可以采用全面调查，也可以采用 非全面调查。但是，对由无限个个体 所构成的事物，则必须采用非全面调查
统计调查方法与哲学的基本范畴
统计调查是在一定的调查总体内收
４ ２ ＣＨＩＮＡ ＳＴＡＴＩＳＴＩＣＳ