三角形与圆有关的简单综合问题（教案）
长沙市外国语学校 饶潋滟
【自我求解】
1、（2012年达州）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，连结 OB、OC ，若OB=BC，则∠BAC 等于（ ）
A 、60° B、45° C、30° D、20°
C
2、 如图，从圆O 外一点P 引圆O 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ．如果∠APB=60°，PA=
，那么点P 与O 间的距离是（ D ）
A ．
B ．
C ． 5
D ． 4
3、（2013年贵阳）如图，AD 、AC 分别是⊙O 的直径和弦，∠CAD=30°，B 是AC 上一点，B O ⊥AD ，垂足为O ，BO=5cm，则CD 等于 cm
．C
B
A O D
4、（2013年重庆）如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，AO 与⊙O 交于点C ，若∠BAO=400，则∠OCB 的度数为（ C ）
A ．400 B ．500 C ．650 D ．750
C
B A
学生归纳提问：1、上述问题的条件与问题是否具有的共同点？
2、分析过程有没有相通的地方？
【能力提升】
1、（2013年黔东南）Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C 为圆心，r 为半径作圆，若圆C 与直线AB 相切，则r 的值为（ B ）
A ．2cm B ．2.4cm C ．3cm D ．4c m [来源:Zxxk.Com]
C
A B
2、如图，⊙O 的直径AB =16cm，点M 在OB 的中点，弦CD 经过点M ，且∠CMA =30, 则
CD=________cm
.
B
3、(2008年泸州) 如图，正方形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 在劣弧CD 上不同于点C 得到任意一点，则∠BPC 的度数是（ A ）
A ．45 B ．60 C ．75 D ．90
P
4、（2013年苏州）如图，AB 是半圆的直径，点D 是AC 的中点，∠ABC ＝500，则∠DAB 等于（ C ）
A ．55°
C
D B ．60° C ．65° D ．70°
B A
[来
【方法归纳】
与三角形和圆有关的简单综合问题的一般分析策略
1、 阅读与分析：通过对条件或者问题的阅读，获得与线段（边）、角所在的三角形或圆有关的信息；
2、 两个重点分析角度：三角形的角度与圆的角度
⑴三角形的角度
将涉及到的线段（边）或角找其所在的直角、等腰、全等或相似三角形研究：
①边方向：三边的关系、三角形的面积等；
②角方向：内、外角关系与锐角三角函数等
⑵圆的角度
将涉及到的线段或角找其所在的圆进行研究：
①角方向： 圆心角、圆周角与弦切角等；
②线段方向：垂径定理与切线长定理等
【思维拓展】
例1、（2013年长沙）如图，△ABC中，以AB 为直径的⊙O交AC 于点D ，∠DBC=∠BAC．
（1）求证：BC 是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，∠BAC=30°，求图中阴影部分的面积．
分析：（1）求出∠ADB 的度数，求出∠ABD+∠DBC=90°，根据切线判定推出即可；
（2）分别求出等边三角形DOB 面积和扇形DOB 面积，即可求出答案．
解析：（1）证明：∵AB 为⊙O 直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAC+∠ABD=90°，
∵∠DBC=∠BAC ，
∴∠DBC+∠ABD=90°，
∴AB ⊥BC ，
∵AB 为直径，
∴BC 是⊙O 切线；
（2）解：连接OD ，过O 作OM ⊥BD 于M ，
∵∠BAC=30°，
∴∠BOD=2∠A=60°，
∵OB=OD，
∴△OBD 是等边三角形，
∴OB=BD=OD=2，
∴BM=DM=1，
由勾股定理得：OM=，
∴阴影部分的面积S=S扇形DOB ﹣S △DOB =﹣×2×=π﹣．
点评：本题考查了切线的判定，圆周角定理，扇形面积，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出
∠ABD+⊕DBC=90°和分别求出扇形DOB 和三角形DOB 的面积．
例2、（2013年随州）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，∠BAC 的平分线交⊙O 与点D ，过点D 的切线分别交AB 、AC 的延长线与点E 、F ．
（1）求证：AF ⊥EF ．
（2）小强同学通过探究发现：AF+CF=AB，请你帮忙小强同学证明这一结论．
分析：（1）首先连接OD ，由EF 是⊙O 的切线，可得OD ⊥EF ，由∠BAC 的平行线交⊙O 与点D ，易证得OD ⊥BC ，即可得BC ∥EF ，由AB 为直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得AC ⊥BC ，继而证得AF ⊥EF 。
（2）首先连接BD 并延长，交AF 的延长线于点H ，连接CD ，易证得△ADH ≌△ADB ，△CDF ≌△HDF ，继而证得AF+CF=AB。
三角形与圆有关的简单综合问题（教案）
长沙市外国语学校 饶潋滟
【自我求解】
1、（2012年达州）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，连结 OB、OC ，若OB=BC，则∠BAC 等于（ ）
A 、60° B、45° C、30° D、20°
C
2、 如图，从圆O 外一点P 引圆O 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ．如果∠APB=60°，PA=
，那么点P 与O 间的距离是（ D ）
A ．
B ．
C ． 5
D ． 4
3、（2013年贵阳）如图，AD 、AC 分别是⊙O 的直径和弦，∠CAD=30°，B 是AC 上一点，B O ⊥AD ，垂足为O ，BO=5cm，则CD 等于 cm
．C
B
A O D
4、（2013年重庆）如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，AO 与⊙O 交于点C ，若∠BAO=400，则∠OCB 的度数为（ C ）
A ．400 B ．500 C ．650 D ．750
C
B A
学生归纳提问：1、上述问题的条件与问题是否具有的共同点？
2、分析过程有没有相通的地方？
【能力提升】
1、（2013年黔东南）Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C 为圆心，r 为半径作圆，若圆C 与直线AB 相切，则r 的值为（ B ）
A ．2cm B ．2.4cm C ．3cm D ．4c m [来源:Zxxk.Com]
C
A B
2、如图，⊙O 的直径AB =16cm，点M 在OB 的中点，弦CD 经过点M ，且∠CMA =30, 则
CD=________cm
.
B
3、(2008年泸州) 如图，正方形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 在劣弧CD 上不同于点C 得到任意一点，则∠BPC 的度数是（ A ）
A ．45 B ．60 C ．75 D ．90
P
4、（2013年苏州）如图，AB 是半圆的直径，点D 是AC 的中点，∠ABC ＝500，则∠DAB 等于（ C ）
A ．55°
C
D B ．60° C ．65° D ．70°
B A
[来
【方法归纳】
与三角形和圆有关的简单综合问题的一般分析策略
1、 阅读与分析：通过对条件或者问题的阅读，获得与线段（边）、角所在的三角形或圆有关的信息；
2、 两个重点分析角度：三角形的角度与圆的角度
⑴三角形的角度
将涉及到的线段（边）或角找其所在的直角、等腰、全等或相似三角形研究：
①边方向：三边的关系、三角形的面积等；
②角方向：内、外角关系与锐角三角函数等
⑵圆的角度
将涉及到的线段或角找其所在的圆进行研究：
①角方向： 圆心角、圆周角与弦切角等；
②线段方向：垂径定理与切线长定理等
【思维拓展】
例1、（2013年长沙）如图，△ABC中，以AB 为直径的⊙O交AC 于点D ，∠DBC=∠BAC．
（1）求证：BC 是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，∠BAC=30°，求图中阴影部分的面积．
分析：（1）求出∠ADB 的度数，求出∠ABD+∠DBC=90°，根据切线判定推出即可；
（2）分别求出等边三角形DOB 面积和扇形DOB 面积，即可求出答案．
解析：（1）证明：∵AB 为⊙O 直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAC+∠ABD=90°，
∵∠DBC=∠BAC ，
∴∠DBC+∠ABD=90°，
∴AB ⊥BC ，
∵AB 为直径，
∴BC 是⊙O 切线；
（2）解：连接OD ，过O 作OM ⊥BD 于M ，
∵∠BAC=30°，
∴∠BOD=2∠A=60°，
∵OB=OD，
∴△OBD 是等边三角形，
∴OB=BD=OD=2，
∴BM=DM=1，
由勾股定理得：OM=，
∴阴影部分的面积S=S扇形DOB ﹣S △DOB =﹣×2×=π﹣．
点评：本题考查了切线的判定，圆周角定理，扇形面积，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出
∠ABD+⊕DBC=90°和分别求出扇形DOB 和三角形DOB 的面积．
例2、（2013年随州）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，∠BAC 的平分线交⊙O 与点D ，过点D 的切线分别交AB 、AC 的延长线与点E 、F ．
（1）求证：AF ⊥EF ．
（2）小强同学通过探究发现：AF+CF=AB，请你帮忙小强同学证明这一结论．
分析：（1）首先连接OD ，由EF 是⊙O 的切线，可得OD ⊥EF ，由∠BAC 的平行线交⊙O 与点D ，易证得OD ⊥BC ，即可得BC ∥EF ，由AB 为直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得AC ⊥BC ，继而证得AF ⊥EF 。
（2）首先连接BD 并延长，交AF 的延长线于点H ，连接CD ，易证得△ADH ≌△ADB ，△CDF ≌△HDF ，继而证得AF+CF=AB。