预紧力作用下的螺栓联接板组装接触刚度分析
Niels Leergaard Pedersen（副教授）,Pauli Pedersen（名誉教授，教授）
(固体力学与机械工程系 丹麦技术大学)
摘要：螺栓联接时结构中最重要的联接方式之一。螺栓和联接板的刚度是控制联接寿命的基本性质。与联接板刚度形成对照，螺栓刚度可以容易的计算出来，但是利用有限元和接触分析，找到联接板的刚度是可能的。在许多联接和实际应用情况下，做一个全部的有限元分析是不合适的。本文研究的目的是寻找螺栓联接刚度的简单表达式，包括联接板宽度是有限的情况。刚度的计算包括接触问题的解决都是基于有限元的，通过与刚度相关位移的定义，我们表达刚度是一个关于结构弹性能的函数。接触分析所使用的方法是不包含迭代过程的，结果与任意有用的结果作比较。提出了一个计算刚度的新方程。
1. 引言
螺栓联接是本文研究的对象。目的是两方面的：当联接板的宽度是足够大时建立一个获得联接板刚度的简单方程和当联接板的宽度是有限大时建立一个获得联接板刚度的简单方程。寻找的工具是有限元分析法，形成一个螺栓与联接板之间接触的方程（有时被称作为邻接）。在建模中，假设接触没有摩擦。
螺栓联接是在许多结构和机械联接中是最常用的方式。关于这个课题的文献和研究有许多，如文献[2]只是一个介绍性的书。螺栓的主要目的还是作为一个拉伸单元来保持联接板一起。在一些结构的用途中，螺栓联接被用作剪切载荷，但是这里剪切力被联接板间的摩擦力平衡，所以螺栓表现为拉伸单元。螺栓剪切受力的情况是不通常的，这里将不讨论。
螺栓的目的是通过预拉伸螺栓的方式在联接板之间建立接触压力。在许多应用的设计准则是遗留螺栓联接联接板中的接触压应力。
设计螺栓主要被载荷条件所控制。对于静态载荷，直接找极限应力准则，在本文中不考虑。更复杂，更实际，例如动态载荷是大多数螺栓联接的主要设计约束。当失效模式是疲劳时，限制因素是螺栓的峰值应力，因为螺栓是受拉伸，联接板是压缩的。就像我们从很多文献中发现的一样（如[7]、[11]），控制的因素是螺栓刚度与联接板刚度的比值。为了去设计螺栓，一个好的计算刚度的方法是非常重要的。以目前的有限元水平，建立整个螺栓联接的模型是可能的，但是这里涉及许多联接的接触分析将会增加相应的计算时间。所以，
用一个
简单的公式来代替似乎更加适合。
图1展示了螺栓截面的四分之一，在图中我们看到了螺栓包括垫圈的尺寸。本文进行的研究忽略了螺栓的螺纹部分，我们假设螺栓和联接板装配都是轴对称的。垫圈被看做是螺栓整合的一部分，并且因此只展示螺栓和垫圈标准高度一致。
通过螺栓装配的两块联接板假设是等厚度，相同材料的，所以除了轴对称外，也可以只用一个联接板。图2展示了四分之一联接板的装配截面，也给出了尺寸。图1和图2表明了垫圈和联接板之间的接触压应力分布。在分析中，我们假设垫圈是螺栓的一个整合部分，垫圈和螺栓之间的接触分析没有考虑，在寻找联接刚度中假设被忽略了。
联接板刚度的研究有一个很长的历史，可以回到文献[10]。大多数刚度计算公式背后的假设是联接板的宽度d a 是无限大的或者这么大以至于联接板的外层部分没有弹性能。文献
[10]建议联接板中的应力关于对称线对称的两个平截头墩是均匀的，顶角为2θ其中给定θ=45︒。这得到联接板的刚度为k m ：
2L ⎫2⎫k m = （1） βd +⎪-(αd )⎪⎪4L 2⎭⎝⎝⎭πE ⎛⎛
式中E 为杨氏弹性模量，L 为联接板的结合长度，d 为螺栓公称直径，α和β为如图1和2所示的无量纲因子。在许多文献中，孔隙设置为零，所以螺栓的公称直径在公式（1）中取α=1。但是，应该用孔的直径来代替，这就是公式（1）包括系数α的原因。引出公式
（1）的假设是简单和直接的，但是不是非常准确。假设总的接触预紧力为P ，对整个平截头墩积分得到（文献[11]）：
k m =πE αd tan θ （2） ⎛L tan θ+(β-α)d (β+α)⎫2ln L tan θ+β+αd β-α⎪⎪⎝⎭
当θ=45︒情况下，上式可以被简化。
假设θ=45︒被文献[3]和[4]证明是不合适的。一个更加适合的假设是使用θ=30︒，本文也会对这进行证明。文献[7]刚度定义为（重新排列来适合本文的定义）：
22⎫k m =βd +-(αd )⎪ （3）
⎪4L ⎝⎝⎭πE ⎛⎛
这个公式与文献[10]的一致，只不过这里取θ=30︒。文献[11]的研究者建议使用公式（2），也是θ=30︒。文献[7]和[11]的刚度计算都建议使用文献[16]的结果，他是拟合有限元结果的曲线，如下式表达：
k m =E αdA exp (B (αd /L )) （4）
式中A 和B 是与材料参数有关的常数；对于钢（E =206.8GPa , ν=0.291）这个值为A =0.78715和B =0.62873。需要声明的是文献[16]和[11]中提供的刚度图是根据文献[16]中的有限元结果而不是文献[4]中的曲线拟合。用指数函数来拟合曲线看上去是不合适的，当αd /L 变大时将完全失效。
文献[6]提供了一个新的联接板刚度更容易的表达形式。文献[6]假设联接板上的应力可以表示为：
σ(r , z ) =a 4r 4+a 3r 3+a 2r 2+a 1r +a 0 （5）
这里a 4-a 0为z 坐标的函数（见图2）。假设当距离为r 0(z )（也是关于z 的一个函数）时，应力将会消失。用来寻找这些值的这个假设的边界条件为：
d σ=02dr
d σd 2σ r =r 0⇒σ=0, =0, 2=0 （6）dr dr r =⇒
r 0αd
P =⎰α2πr σdr d 不同的r 0(z )定义是不一样的，一个与平截头墩相应的为：
2r 0=βd -2z tan θ （7）
这里公式被改写为了适合z 坐标的定义。用单向应力状态，胡克定律和点r =(α+β) d /4的位移来计算刚度。
文献[13]指出了一个更加一般的表达式，他考虑了当联接板的宽度d a 是受限制的时候的刚度。可以表示为
d a ≤βd ⇒k m =πE d (4L 2
a -(αd )
22)⎫⎛βdL L 2⎫πE ⎛d a βd
d a ≥3βd 2L ⎫2⎫⇒k m =βd +-αd ⎪()⎪⎪4L 10⎝⎭⎝⎭πE ⎛⎛
上式中的最后一个公式对于d a ≥3βd 是可以跟前面给定的刚度表达式进行比较的。刚度表达式（8）后来可以改变能在文献[14]中发现：
d a
4L (2d a -(αd )
22)2⎛⎫⎫πEd πE 22 βd ≤d a ≤L +βd ⇒k m =β-α)+βd (
d a -βd ) 1⎪-1⎪ （9）( ⎪4L 8L ⎭⎝⎭
d a >L +βd 2⎛⎫⎫πEd πE 22⇒k m =β-α)+βd 1⎪-1⎪(
⎪48L ⎭⎝⎭2
最近VDI 的建议又有改变。新的建议可以在文献[15]中找到。这个表达式简化后呈现在本文中：
βd
⎛(β+α)(d a -αd )⎫⎛24d a -βd ⎫ln +L -⎪αd tan(θd ) ⎝β-αd a +αd ⎭d a 2-(αd ) tan(θd ) ⎪⎝⎭
πE αd tan(θd )
⎛L tan(θd ) +β-αd β+α⎫2ln L tan(θd ) +β+αd β-α⎪⎪⎝⎭ （10） d a >d a , gr ⇒k m =
式中d a , gr 和tan(θd ) 可以表示为
⎛L ⎫⎛d a ⎫ tan(θd ) =0.362+0.032ln +0.153ln ⎪ βd ⎪ （11）βd ⎝⎭⎝⎭
d a , gr =βd +L tan(θd ) （12）
文献[15]建议的公式遵守文献[11]中的公式（2）。
其他的表示也可以在文献中找到。但是单从呈现在这里的刚度的表达式来看，这些结果有很明显的大波动。这最好用图来说明，在我们画的图3中，文献[16]和[11]也做了，无量纲刚度k m /E αd 是一个关于螺孔直径与联接板长度比值αd /L 的函数。这幅图是α=1.1，β=1.7的情况。不幸的是，这幅图高度依赖于β值。
外载荷作用在螺栓上的比例由系数Φ控制，
Φ=k b （13） k b +k m
式中k b 为螺栓的刚度。公式（13）中的比率只有当外载荷直接作用在螺栓头下面的对称线上才适用。在文献[15]中可以找到其他载荷条件的其他表达形式，但是这个比率还是由螺栓刚度和联接板刚度控制。大的联接板刚度，较少的动态载荷将会作用于螺栓，更多的会作用于联接板。对于计算螺栓寿命为设计点，过低的评估联接板的刚度是保守的。如图3的结果的分布，很难去选择，除非选择图中最保守的文献[16]的结果。我们应该把文献[16]基于FEA 的简化公式进行调整。采用指数函数形式来进行曲线拟合的方法与图3中其他的不同结果比较起来，看起来是不合适的。假如αd /L 取比较大的值，这个曲线拟合将彻底失效。一般来说，这个最合适的应该范围是0.1
从图3中我们可以看到，大多数的刚度函数看上去当αd /L 取较大值时有一个相同的斜率。这个渐近线可以这样解释，当假设αd /L →∞时，刚度肯定相当于一个等应力圆柱。如下式所示：
k π→E αd 4L αd ((βd )2-(αd )2)2⎫αd π⎛⎛β⎫ （14） = ⎪-1⎪⎪4 αL ⎝⎝⎭⎭
图3中所有曲线在极限情况下都有如公式（14）所示相同的导数，(π4)2β-1)，()(
除了文献（16）的拟合曲线。至于当αd /L →∞时，结果收敛于公式（14），我们发现只有文献[14]，如公式（9）满足。其他的所有表达式都有永久的移位或偏离。
本文的第二个目标是给出一个当联接板的宽度是有限时的联接板刚度的简化方程，并把结果与文献[13]、[14]、[15]给的公式（8）、（9）、（10）进行比较。在许多应用中，刚度常常间接的用面积A ers 代替，所以刚度为：
k m =EA ers （15） L
为了做一个如文献[12]的用A ers 的图释，必须先选择比值。
本文中做的所有数值计算都是基于两种不同尺寸的螺栓：一个是M10的螺栓，一个是M20的螺栓。螺栓的参数按照ISO /R 273标准，参数为：
-M 10:d=10mm , L =60mm , α=1.1, β=1.7, γ=0.70, ζ=0.15, E =2.1⨯1011Pa , ν=0.3-M 20:d=20mm , L =60mm , α=1.1, β=1.5, γ=0.65, ζ=0.10, E =2.1⨯1011Pa , ν=0.3 图4为面积A ers 与相应的联接板宽度的函数曲线，图针对的是公式（8）、（9）、（10）M10的表达式。从图4中我们可以看到对于刚度的预测存在较大的差异。从这幅图中可以看出，用FEA 来证明结果或者指定一个新的简单的刚度表示式是适合的。
在第2,3节有限元分析后，在第4节将呈现计算接触压力分布的精确，直接的方法。它基于在施加预紧力之前是完美接触的，在螺栓联接板接触面之间没有空隙没有缺口。对于足够大的联接板宽度，涉及到联接板之间接触压力的限制，在第5节获得了联接板刚度，并与文献中建议的值进行比较，最重要的是获得了没有FEA 计算的简单线性的刚度表达式。对于联接板宽度是有限的情况，联接板之间的压缩接触整个接触面都是积极的，特别对于VDI 中提出的指导联接板刚度，我们减小了其刚度。在第6节，我们也呈现了我们的数值结果，并与文献中的结果比较。对于这个例子，我们基于指数函数的倒数形式来给出一个新的曲线拟合方程。
2. 螺栓部分的FEA 分析
螺栓部分的刚度k b 常常是简单计算得到的，大约是螺栓头和螺母的变形量。假设对于一个总的接触压力P 和一个均匀的螺栓横截面积A b ，有一个均匀的拉伸应力σ和均匀应变
： ε=σE ，我们可以得到总的弹性能U b （螺栓弹性应变能U ε和应力能U b 的总和）
P 2A b L P 2L （16） U b =U ε+U σ=σεV ==2=E A b E EA b 式中，V 估算的体积，通过估算长度L 获得，L 也与螺栓头和螺母的刚度有关。根据一个参照的位移v p ，相应的总载荷P ，螺栓刚度为： σ2V P P 2P 2EA b （17） k b ====v p Pv p U b L
利用公式（16）获得最终的表达式。
注意的是一般都是通过总的弹性能U 来定义刚度，这就使得计算额外静载荷在接触区域A c 内的功pvd A c 或则把它近似为总的接触载荷P 乘以相应的位移v p 都是不必要的。 螺栓头到螺杆，螺母到螺杆过度区域和螺纹的应力的详细分析不是本文的主要内容，这里的有限元分析主要用来测定总的能量U ，来估计长度L 。
对于图1所示的M10螺栓的对称模型，利用前面呈现的数据，根据公式（17）来计算刚度k b 。
根据文献[2]建议来计算参考长度L =L +d ，我们得到： ⎰
k b =235.6⨯106N /m （18）
为了研究接触应力分布的影响因素，我们分析了不同分布的螺栓，如图5的Ⅰ―Ⅳ，所有分布都是同一个总载荷P 。注意的是假设的应力分布只在第2,3节适用，在随后的章节中应力分布将由一个全面的分析决定。
对于前三个不同接触压应力分布，螺栓刚度的结果分别为k b =241.3,237.6,231.7×
106N/m。不出所料，弹性最好的是分布Ⅲ所对应螺栓，但是差别不是很大。与简单的计算
（18）吻合。对于分布Ⅳ，用第4节的解释来计算，刚度为240.6×106N/m。
用不同泊松比（不同材料）进行分析，得到了几何相同的弹性能。对于压应力分布Ⅰ，结果为ν=0.2⇒k b =238.8⨯106N /m ，ν=0.3⇒k b =241.3⨯106N /m 和
ν=0.4⇒k b =244.6⨯106N /m 。
有关螺栓刚度的信息无需太多努力就能获得，事实上通常不用FEA 模型计算。在本文中，我们将关注计算压紧联接板刚度的更复杂的问题。
3. 联接板的FEA 分析
对于图2定义的半块联接板几何的对称问题，我们同样研究了接触压应力分布服从图5所示的Ⅰ―Ⅳ的影响，所有分布在z 轴负方向有同样的总载荷P 。
联接板的指定模型仍然与M10螺栓有关。此外，在本节中，我们假设联接板宽度比较大，参考图2，d a >d c βd +L tan(30︒) 。
联接板刚度k m 类似于公式（17）定义为：
P P 2P 2
（19） k m ===v m Pv m U m
但是如前言部分详细讨论，没有像总弹性能公式（16）一样的简单近似。然而，从有限元计算U m 是可行的。
两块联接板结合的接触问题需要通过迭代来求解，但是这是个相对简单的接触问题。
必
须得到联接板之间的压缩接触力区域的一个单参数（图2中的d c ）。这可以通过以下方式得到，当拉伸反应结果时，移除FEA 支撑条件；当压缩结果时，加上FEA 支撑条件。为了对于扩展接触直径d c 进行初步计算，我们应用了文献中关于螺栓/联接板装配最常用的假设，如下式所示：
(d c )guess =βd +L tan(30︒) （20）
这个计算方法在第5节中评价。
对于不同的压应力分布，Ⅰ―Ⅲ，联接板的刚度结果分别为k m =1442,1660,1767×106N/m。分布Ⅲ对应的刚度较大，相应的螺栓部分刚度较小，这都与直观的预期一致。注意的是，对于目前的问题，在第2节中，联接板刚度是螺栓刚度的7倍多。对于分布Ⅳ，用
第4节的解释来计算，刚度为1606×106N/m。
用不同泊松比（不同材料）进行分析。对于分布Ⅰ，结果为
ν=0.2⇒k m =1390⨯106N /m ，ν=0.3⇒k m =1442⨯106N /m 和
ν=0.4⇒k m =1530⨯106N /m 。注意的是真实的泊松比对于联接板刚度比对于螺栓刚度更加重要。
从传统的有限元分析中，假如接触压应力分布p =p (r ) 是可以得到的，那么位移、应变、应力、能量密度和一般刚度的详细信息也是可以得到的。但是，用迭代的方法来得到他可能相当复杂，虽然大多数FEA 程序是没问题的。因此，我们建议使用文献[9]推荐的一个直接法，简短描述这个方法（对于更详细的见文献[8]）。
4. 接触压应力分布
我们已经证明接触压应力的分布对于总体刚度，特别对于联接板的刚度不是一个可以忽略的影响。因此，我们描述如何用直接的程序（没有迭代）来获得应力分布。
在第2节中，螺栓分析被描述为一个传统的有限元程序，但是作为一种选择用超级单元来进行有限元的计算：
[S b ]{D b }={F c }⇒{D b }=[S b ]-1{F c } （21）
式中：[S b ]为螺栓超级单元的刚度矩阵，规模为螺栓/联接板接触面节点的数量乘以z 轴方向的自由度。{D b }为产生的相应位移，{F c }为相应的节点接触压力。这些力的总和为总的接触压力P ，我们描述为一个标准。 P = {F c } （22）
螺栓超级单元刚度矩阵的实际测定在文献[9]中描述。
第3节中，联接板分析也是作为一种选择用超级单元来进行有限元的计算：
[S m ]{D m }=-{F c }⇒{D m }=-[S m ]-1{F c } （23）
式中：[S m ]为联接板超级单元的刚度矩阵，规模也是螺栓/联接板接触面节点的数量乘以z 轴方向的自由度。{D m }为产生的相应位移，-{F c }为相应的节点接触压力，从z 方向测得。 预紧力位移通过共同的位移{D 0}来描述，通过一个平移常数向量给定：
{D 0}=e {1} （24）
式中：e 为一个正常数（压缩），一个向量{1}对于所有部件都是1.
加上预紧力之后，接触条件为：
e {1}={D b }-{D m }=[S b ]+[S m ]
或者通过接触力的形式来解决： (-1-1 ){F } （25）c
{F c }=([S b ]
压力P =-1+[S m ]-1-1) e {1} （26）作为公式（26）的结果，我们可以归因于假设的线性设置e =1，然后测量来获得总的F c }。
接触条件意味着非负的接触力{F c }≥{0}，事实上，这也能被证明是这样的情况。矩阵[K ]=([S b ]-1+[S m ]-1-1)是一个刚度矩阵，它是正定的和严格对角线占优的。从矩阵[K ]的每一行（或者每一列）出发，对于所有i ，∑n
j =1K ij >0，因此{F c }>{0}。所以，只有为
正接触压力时，这个接触问题才有一个解。
5. 大联接板宽度的求解
就像第3节的FEA ，在本节我们也假设一个大的联接板宽度，也就是参考图2，d a >d c βd +L tan(30︒) 。图6中的参考值与FEA 获得的接触直径d c 作比较。注意值 βd +L tan(30︒
) 只能在初级猜测时使用。
联接板宽度是一个尺寸，它宽度的增加将不改变联接板的刚度。与第3节相比，我们只是根据第4节的方法获得的正确接触解决方法呈现了参数解决方法。主要目标是把这些结果与引言中文献的结果进行比较，并建立没有应用详细FEA 计算的适合的方程。
注意，从预紧力位移{D 0}=e {1}得到的压缩量e 可以直接表示为求得的倒数刚度乘以总
e =(k b +k m )P （27）的接触压力P ，
这个可以用FEA 的位移结果e {1}={D b }-{D m }检测。
文献[15]的联接板刚度的计算结果与文献[11]的结果几乎是相等的。唯一不同的是角度θ不是一个常数，随着尺寸的改变而改变，可以根据公式（11）来计算。在图7中，所图的是无量纲刚度相对于螺孔直径与联接板长度的比值的关系，还有是FEA 的结果。
从图7中，我们可以得到一些结论。第一点，螺孔直径与联接板长度的比率与无量纲刚度之间看上去几乎是线性的。与螺栓联接中呈现的整体不确定性比较，基于数值结果的近似线性的方法应该是很有效率的。也是基于这个原因，VDI 2230的公式（10）看起来是不合理地复杂。
从图7中，我们也可以看到本文的FEA 数值计算结果与平截头墩θ=30°的结果是不一致的。文献[16]的数值结果与平截头墩θ=30°的刚度预测体现良好的一致性，在平截头墩的横截面中应力是恒定的。文献[16]呈现的数值结果的背后假设太粗糙了；首先两联接板的接触面是固定的，不允许分离。第二，垫圈/螺栓头假设是刚体，事实并不是这么回事。在文献[5]或则[1]中没应用这些假设，本文的一般的结果是联接板刚度为更小。
从图7中，我们注意到根据β值的不同结果有很大差别，假如给定一个简单的一般的表达式，这是不能满足的。第一个假设可以把联接板看作为孔径为αd ，外径为βd 的管子。假如管子假设应力是均匀分布的，那么管子的刚度k t 为：
EA E πd 2(β2-α2) k t == （28） L 4L
式中：E 为线性弹性模量。可以变形得到：
k t π(β-α) d = （29）
E (β+α) d 4L
联接板不能完全看作为应力管子，但是刚度肯定与公式（29）有相似之处。这个推导建议，联接板的刚度k m 可以表示为：
k m ⎛(β-α) d ⎫ =f ⎪ （30）E (β+α) d L ⎝⎭
也就是看作一个关于变量(β-α) d L 的函数f ，图6也应用了这个方法。把坐标轴变为这个变量，我们可以看到图8的结果。
在图8中，我们可以看到文献[11]预测的两条曲线，对于不同的β值几何是一致的。数值计算得到的M10螺栓和M20螺栓的两条曲线也是一致的。我们也发现曲线几乎是线性的。图9展示的是本文的数值计算结果以及对结果的简单线性曲线拟合。
前面我们讨论过这个有趣的尺寸范围0.1
新的建议的简化刚度计算公式可以表示为：
⎛(β-α)d +0.2⎫E β+αd =Ed ⎛0.59β2-α2d +0.2β+α⎫ （31）
k m = 0.59)()⎪()⎪( L L ⎝⎭⎝⎭
对于公式（31）我们能得到以下结论：
—他是简单的。
—他比以前的建议的大多数公式要保守。
—他是建立在弹性能基础上的清晰和直接的刚度计算。
—曲线拟合基于FEA 计算，并且考虑了接触，允许联接板之间分离。
公式（31）的数值计算是应用在钢铁螺栓和联接板也是等厚度的钢铁材料组成的情况。扩展到更加一般的例子和其他材料（泊松比）是可能的。
6. 联接板宽度有限时的解决
在第5节中给出了当联接板的宽度是足够大时的联接板刚度的渐进值。这个公式不包含的情况，我们可以应用其他VDI 建议的公式（8）—（10）。本节的目的是找个一个数值结果的曲线能像图4中的VDI 结果的方式一样应用。本节中我们呈现的是前面使用的M10和M20的结果，但是这里联接板的宽度是变化的，为了完整性我们也包括M20的螺栓，且他的螺栓直径是变化的（β=1.7）。参数解是通过图4的正确接触方法来获得的。主要目标是可以把这些结果与VDI 的有用结果相比较，提出一个没有详细FEA 计算的合适的方程。在图10，与三个例子的联接板的宽度d a 相对应的代替面积A ers （前面提到的，M10螺栓
M20螺栓β=1.5，M20螺栓β=1.7）。数值计算的实现是针对d a >βd 的情况。 β=1.7，
图10的曲线是很不同的，但是也可以得到一些一般性的结论。当d a →∞时，三条曲线都聚焦于一个常数水平，全部的形式是相同的。对于联接板直径小于垫圈直径的数值研究d a
k m =πE
4L (2d a -(αd )2)d a
图10对于d a =βd 的极限值与上式是一致的。目标是在没有FEA 接触分析的情况下，得到一个简化的刚度表达式。许多曲线拟合是可能的；本文的整体目标是提出一个简单的表达式，相对于一个全体FEA 分析获得的结果在工程的精度范围内。曲线拟合应该满足一下条件： —当d a =βd 时，刚度值应该为k m =πE (β4L 2-α2)d 2。
—当d a =βd 时刚度的导数应该与当d a
d (k m )d (d a )=πE
2L βd 。
—当d a →∞时，渐进值应该与公式（31）的值相同。
我们选择应用指数函数，简化的方程如下式所示：
d a ≤βd ⇒ k m =πE (d 4L 2
a -(αd )2)d a
βd
d a ≥βd +L ⇒ k m =k max (35) 这里k 0为当d a =βd 所对应的刚度值，k max 为公式（31）的渐进值。他们可以表示为：
k 0=πE
4L (β2-α2) d 2 （36）
k max =Ed 0.59β2-α2⎛
⎝(⎫ +0.2(β+α)⎪ （37）)d
L ⎭
在图11的（a ）-（c ）中，数值结果与公式 （34）的刚度值进行比较。d a 的过渡点为当渐进值达到公式（35）时，公式（34）应该设置d a =βd +L 。事实上，定义这个过渡点是没有必要的，因为公式（34）会收敛于公式（35）。包括公式（35）的原因是更加容易计算，与公式（31）有清晰的联系。
在图11的（a ）-（c ）中，我们可以看到公式（34）在数值计算的工程精度范围内。 图12作为一个最终的结果，这里展示了M10螺栓结果和三个VDI
的不同建议。我们
可以看到新的建议的刚度计算公式（33）-（35）与数值结果的匹配度比三个VDI 建议的任何一个都要好。
7. 结论
有关研究螺栓联接的书籍和文献的数目是海量的，这也说明了这种联接的重要意义。当螺栓收到动态载荷时，疲劳是一个衡量的因素，相对于联接板刚度螺栓刚度是一个控制因素。
计算螺栓刚度是相当简单的，文章基本上同意计算这个刚度的过程。在本文中已经证实，泊松比和螺栓头下的不同压应力分布对刚度值有较小的影响。因此，文献中已经呈现的方程可以直接应用。
计算联接板的刚度更加困难。在文献中也能看到许多表达式，但是获得的结果差别很大。本文中，我们应用接触分析的FEA 法来计算螺栓和联接板的弹性能。从这个能量来直接计算刚度。这种方法的优点是我们不需要去定义相对于总压力的位移。相对于大多数文献，这个刚度的定义更加清晰。在执行接触分析时，我们应用了超级单元技术，他可以移除计算接触力的迭代性质。这个简化了相当大的计算量。
本文的主要结果是计算联接板刚度的新简化表达式。这里也包括联接板宽度是有限的情况，也就是联接板最外层的应力不为零。应该说，这个表示式是简单的，但是给出的结果是在工程精度范围内的，是基于涉及接触的整体FEA 计算的。本文的表达式中假设是没有摩擦和不包括不同厚度的联接板的例子，但是扩展到这些例子是可能的。
预紧力作用下的螺栓联接板组装接触刚度分析
Niels Leergaard Pedersen（副教授）,Pauli Pedersen（名誉教授，教授）
(固体力学与机械工程系 丹麦技术大学)
摘要：螺栓联接时结构中最重要的联接方式之一。螺栓和联接板的刚度是控制联接寿命的基本性质。与联接板刚度形成对照，螺栓刚度可以容易的计算出来，但是利用有限元和接触分析，找到联接板的刚度是可能的。在许多联接和实际应用情况下，做一个全部的有限元分析是不合适的。本文研究的目的是寻找螺栓联接刚度的简单表达式，包括联接板宽度是有限的情况。刚度的计算包括接触问题的解决都是基于有限元的，通过与刚度相关位移的定义，我们表达刚度是一个关于结构弹性能的函数。接触分析所使用的方法是不包含迭代过程的，结果与任意有用的结果作比较。提出了一个计算刚度的新方程。
1. 引言
螺栓联接是本文研究的对象。目的是两方面的：当联接板的宽度是足够大时建立一个获得联接板刚度的简单方程和当联接板的宽度是有限大时建立一个获得联接板刚度的简单方程。寻找的工具是有限元分析法，形成一个螺栓与联接板之间接触的方程（有时被称作为邻接）。在建模中，假设接触没有摩擦。
螺栓联接是在许多结构和机械联接中是最常用的方式。关于这个课题的文献和研究有许多，如文献[2]只是一个介绍性的书。螺栓的主要目的还是作为一个拉伸单元来保持联接板一起。在一些结构的用途中，螺栓联接被用作剪切载荷，但是这里剪切力被联接板间的摩擦力平衡，所以螺栓表现为拉伸单元。螺栓剪切受力的情况是不通常的，这里将不讨论。
螺栓的目的是通过预拉伸螺栓的方式在联接板之间建立接触压力。在许多应用的设计准则是遗留螺栓联接联接板中的接触压应力。
设计螺栓主要被载荷条件所控制。对于静态载荷，直接找极限应力准则，在本文中不考虑。更复杂，更实际，例如动态载荷是大多数螺栓联接的主要设计约束。当失效模式是疲劳时，限制因素是螺栓的峰值应力，因为螺栓是受拉伸，联接板是压缩的。就像我们从很多文献中发现的一样（如[7]、[11]），控制的因素是螺栓刚度与联接板刚度的比值。为了去设计螺栓，一个好的计算刚度的方法是非常重要的。以目前的有限元水平，建立整个螺栓联接的模型是可能的，但是这里涉及许多联接的接触分析将会增加相应的计算时间。所以，
用一个
简单的公式来代替似乎更加适合。
图1展示了螺栓截面的四分之一，在图中我们看到了螺栓包括垫圈的尺寸。本文进行的研究忽略了螺栓的螺纹部分，我们假设螺栓和联接板装配都是轴对称的。垫圈被看做是螺栓整合的一部分，并且因此只展示螺栓和垫圈标准高度一致。
通过螺栓装配的两块联接板假设是等厚度，相同材料的，所以除了轴对称外，也可以只用一个联接板。图2展示了四分之一联接板的装配截面，也给出了尺寸。图1和图2表明了垫圈和联接板之间的接触压应力分布。在分析中，我们假设垫圈是螺栓的一个整合部分，垫圈和螺栓之间的接触分析没有考虑，在寻找联接刚度中假设被忽略了。
联接板刚度的研究有一个很长的历史，可以回到文献[10]。大多数刚度计算公式背后的假设是联接板的宽度d a 是无限大的或者这么大以至于联接板的外层部分没有弹性能。文献
[10]建议联接板中的应力关于对称线对称的两个平截头墩是均匀的，顶角为2θ其中给定θ=45︒。这得到联接板的刚度为k m ：
2L ⎫2⎫k m = （1） βd +⎪-(αd )⎪⎪4L 2⎭⎝⎝⎭πE ⎛⎛
式中E 为杨氏弹性模量，L 为联接板的结合长度，d 为螺栓公称直径，α和β为如图1和2所示的无量纲因子。在许多文献中，孔隙设置为零，所以螺栓的公称直径在公式（1）中取α=1。但是，应该用孔的直径来代替，这就是公式（1）包括系数α的原因。引出公式
（1）的假设是简单和直接的，但是不是非常准确。假设总的接触预紧力为P ，对整个平截头墩积分得到（文献[11]）：
k m =πE αd tan θ （2） ⎛L tan θ+(β-α)d (β+α)⎫2ln L tan θ+β+αd β-α⎪⎪⎝⎭
当θ=45︒情况下，上式可以被简化。
假设θ=45︒被文献[3]和[4]证明是不合适的。一个更加适合的假设是使用θ=30︒，本文也会对这进行证明。文献[7]刚度定义为（重新排列来适合本文的定义）：
22⎫k m =βd +-(αd )⎪ （3）
⎪4L ⎝⎝⎭πE ⎛⎛
这个公式与文献[10]的一致，只不过这里取θ=30︒。文献[11]的研究者建议使用公式（2），也是θ=30︒。文献[7]和[11]的刚度计算都建议使用文献[16]的结果，他是拟合有限元结果的曲线，如下式表达：
k m =E αdA exp (B (αd /L )) （4）
式中A 和B 是与材料参数有关的常数；对于钢（E =206.8GPa , ν=0.291）这个值为A =0.78715和B =0.62873。需要声明的是文献[16]和[11]中提供的刚度图是根据文献[16]中的有限元结果而不是文献[4]中的曲线拟合。用指数函数来拟合曲线看上去是不合适的，当αd /L 变大时将完全失效。
文献[6]提供了一个新的联接板刚度更容易的表达形式。文献[6]假设联接板上的应力可以表示为：
σ(r , z ) =a 4r 4+a 3r 3+a 2r 2+a 1r +a 0 （5）
这里a 4-a 0为z 坐标的函数（见图2）。假设当距离为r 0(z )（也是关于z 的一个函数）时，应力将会消失。用来寻找这些值的这个假设的边界条件为：
d σ=02dr
d σd 2σ r =r 0⇒σ=0, =0, 2=0 （6）dr dr r =⇒
r 0αd
P =⎰α2πr σdr d 不同的r 0(z )定义是不一样的，一个与平截头墩相应的为：
2r 0=βd -2z tan θ （7）
这里公式被改写为了适合z 坐标的定义。用单向应力状态，胡克定律和点r =(α+β) d /4的位移来计算刚度。
文献[13]指出了一个更加一般的表达式，他考虑了当联接板的宽度d a 是受限制的时候的刚度。可以表示为
d a ≤βd ⇒k m =πE d (4L 2
a -(αd )
22)⎫⎛βdL L 2⎫πE ⎛d a βd
d a ≥3βd 2L ⎫2⎫⇒k m =βd +-αd ⎪()⎪⎪4L 10⎝⎭⎝⎭πE ⎛⎛
上式中的最后一个公式对于d a ≥3βd 是可以跟前面给定的刚度表达式进行比较的。刚度表达式（8）后来可以改变能在文献[14]中发现：
d a
4L (2d a -(αd )
22)2⎛⎫⎫πEd πE 22 βd ≤d a ≤L +βd ⇒k m =β-α)+βd (
d a -βd ) 1⎪-1⎪ （9）( ⎪4L 8L ⎭⎝⎭
d a >L +βd 2⎛⎫⎫πEd πE 22⇒k m =β-α)+βd 1⎪-1⎪(
⎪48L ⎭⎝⎭2
最近VDI 的建议又有改变。新的建议可以在文献[15]中找到。这个表达式简化后呈现在本文中：
βd
⎛(β+α)(d a -αd )⎫⎛24d a -βd ⎫ln +L -⎪αd tan(θd ) ⎝β-αd a +αd ⎭d a 2-(αd ) tan(θd ) ⎪⎝⎭
πE αd tan(θd )
⎛L tan(θd ) +β-αd β+α⎫2ln L tan(θd ) +β+αd β-α⎪⎪⎝⎭ （10） d a >d a , gr ⇒k m =
式中d a , gr 和tan(θd ) 可以表示为
⎛L ⎫⎛d a ⎫ tan(θd ) =0.362+0.032ln +0.153ln ⎪ βd ⎪ （11）βd ⎝⎭⎝⎭
d a , gr =βd +L tan(θd ) （12）
文献[15]建议的公式遵守文献[11]中的公式（2）。
其他的表示也可以在文献中找到。但是单从呈现在这里的刚度的表达式来看，这些结果有很明显的大波动。这最好用图来说明，在我们画的图3中，文献[16]和[11]也做了，无量纲刚度k m /E αd 是一个关于螺孔直径与联接板长度比值αd /L 的函数。这幅图是α=1.1，β=1.7的情况。不幸的是，这幅图高度依赖于β值。
外载荷作用在螺栓上的比例由系数Φ控制，
Φ=k b （13） k b +k m
式中k b 为螺栓的刚度。公式（13）中的比率只有当外载荷直接作用在螺栓头下面的对称线上才适用。在文献[15]中可以找到其他载荷条件的其他表达形式，但是这个比率还是由螺栓刚度和联接板刚度控制。大的联接板刚度，较少的动态载荷将会作用于螺栓，更多的会作用于联接板。对于计算螺栓寿命为设计点，过低的评估联接板的刚度是保守的。如图3的结果的分布，很难去选择，除非选择图中最保守的文献[16]的结果。我们应该把文献[16]基于FEA 的简化公式进行调整。采用指数函数形式来进行曲线拟合的方法与图3中其他的不同结果比较起来，看起来是不合适的。假如αd /L 取比较大的值，这个曲线拟合将彻底失效。一般来说，这个最合适的应该范围是0.1
从图3中我们可以看到，大多数的刚度函数看上去当αd /L 取较大值时有一个相同的斜率。这个渐近线可以这样解释，当假设αd /L →∞时，刚度肯定相当于一个等应力圆柱。如下式所示：
k π→E αd 4L αd ((βd )2-(αd )2)2⎫αd π⎛⎛β⎫ （14） = ⎪-1⎪⎪4 αL ⎝⎝⎭⎭
图3中所有曲线在极限情况下都有如公式（14）所示相同的导数，(π4)2β-1)，()(
除了文献（16）的拟合曲线。至于当αd /L →∞时，结果收敛于公式（14），我们发现只有文献[14]，如公式（9）满足。其他的所有表达式都有永久的移位或偏离。
本文的第二个目标是给出一个当联接板的宽度是有限时的联接板刚度的简化方程，并把结果与文献[13]、[14]、[15]给的公式（8）、（9）、（10）进行比较。在许多应用中，刚度常常间接的用面积A ers 代替，所以刚度为：
k m =EA ers （15） L
为了做一个如文献[12]的用A ers 的图释，必须先选择比值。
本文中做的所有数值计算都是基于两种不同尺寸的螺栓：一个是M10的螺栓，一个是M20的螺栓。螺栓的参数按照ISO /R 273标准，参数为：
-M 10:d=10mm , L =60mm , α=1.1, β=1.7, γ=0.70, ζ=0.15, E =2.1⨯1011Pa , ν=0.3-M 20:d=20mm , L =60mm , α=1.1, β=1.5, γ=0.65, ζ=0.10, E =2.1⨯1011Pa , ν=0.3 图4为面积A ers 与相应的联接板宽度的函数曲线，图针对的是公式（8）、（9）、（10）M10的表达式。从图4中我们可以看到对于刚度的预测存在较大的差异。从这幅图中可以看出，用FEA 来证明结果或者指定一个新的简单的刚度表示式是适合的。
在第2,3节有限元分析后，在第4节将呈现计算接触压力分布的精确，直接的方法。它基于在施加预紧力之前是完美接触的，在螺栓联接板接触面之间没有空隙没有缺口。对于足够大的联接板宽度，涉及到联接板之间接触压力的限制，在第5节获得了联接板刚度，并与文献中建议的值进行比较，最重要的是获得了没有FEA 计算的简单线性的刚度表达式。对于联接板宽度是有限的情况，联接板之间的压缩接触整个接触面都是积极的，特别对于VDI 中提出的指导联接板刚度，我们减小了其刚度。在第6节，我们也呈现了我们的数值结果，并与文献中的结果比较。对于这个例子，我们基于指数函数的倒数形式来给出一个新的曲线拟合方程。
2. 螺栓部分的FEA 分析
螺栓部分的刚度k b 常常是简单计算得到的，大约是螺栓头和螺母的变形量。假设对于一个总的接触压力P 和一个均匀的螺栓横截面积A b ，有一个均匀的拉伸应力σ和均匀应变
： ε=σE ，我们可以得到总的弹性能U b （螺栓弹性应变能U ε和应力能U b 的总和）
P 2A b L P 2L （16） U b =U ε+U σ=σεV ==2=E A b E EA b 式中，V 估算的体积，通过估算长度L 获得，L 也与螺栓头和螺母的刚度有关。根据一个参照的位移v p ，相应的总载荷P ，螺栓刚度为： σ2V P P 2P 2EA b （17） k b ====v p Pv p U b L
利用公式（16）获得最终的表达式。
注意的是一般都是通过总的弹性能U 来定义刚度，这就使得计算额外静载荷在接触区域A c 内的功pvd A c 或则把它近似为总的接触载荷P 乘以相应的位移v p 都是不必要的。 螺栓头到螺杆，螺母到螺杆过度区域和螺纹的应力的详细分析不是本文的主要内容，这里的有限元分析主要用来测定总的能量U ，来估计长度L 。
对于图1所示的M10螺栓的对称模型，利用前面呈现的数据，根据公式（17）来计算刚度k b 。
根据文献[2]建议来计算参考长度L =L +d ，我们得到： ⎰
k b =235.6⨯106N /m （18）
为了研究接触应力分布的影响因素，我们分析了不同分布的螺栓，如图5的Ⅰ―Ⅳ，所有分布都是同一个总载荷P 。注意的是假设的应力分布只在第2,3节适用，在随后的章节中应力分布将由一个全面的分析决定。
对于前三个不同接触压应力分布，螺栓刚度的结果分别为k b =241.3,237.6,231.7×
106N/m。不出所料，弹性最好的是分布Ⅲ所对应螺栓，但是差别不是很大。与简单的计算
（18）吻合。对于分布Ⅳ，用第4节的解释来计算，刚度为240.6×106N/m。
用不同泊松比（不同材料）进行分析，得到了几何相同的弹性能。对于压应力分布Ⅰ，结果为ν=0.2⇒k b =238.8⨯106N /m ，ν=0.3⇒k b =241.3⨯106N /m 和
ν=0.4⇒k b =244.6⨯106N /m 。
有关螺栓刚度的信息无需太多努力就能获得，事实上通常不用FEA 模型计算。在本文中，我们将关注计算压紧联接板刚度的更复杂的问题。
3. 联接板的FEA 分析
对于图2定义的半块联接板几何的对称问题，我们同样研究了接触压应力分布服从图5所示的Ⅰ―Ⅳ的影响，所有分布在z 轴负方向有同样的总载荷P 。
联接板的指定模型仍然与M10螺栓有关。此外，在本节中，我们假设联接板宽度比较大，参考图2，d a >d c βd +L tan(30︒) 。
联接板刚度k m 类似于公式（17）定义为：
P P 2P 2
（19） k m ===v m Pv m U m
但是如前言部分详细讨论，没有像总弹性能公式（16）一样的简单近似。然而，从有限元计算U m 是可行的。
两块联接板结合的接触问题需要通过迭代来求解，但是这是个相对简单的接触问题。
必
须得到联接板之间的压缩接触力区域的一个单参数（图2中的d c ）。这可以通过以下方式得到，当拉伸反应结果时，移除FEA 支撑条件；当压缩结果时，加上FEA 支撑条件。为了对于扩展接触直径d c 进行初步计算，我们应用了文献中关于螺栓/联接板装配最常用的假设，如下式所示：
(d c )guess =βd +L tan(30︒) （20）
这个计算方法在第5节中评价。
对于不同的压应力分布，Ⅰ―Ⅲ，联接板的刚度结果分别为k m =1442,1660,1767×106N/m。分布Ⅲ对应的刚度较大，相应的螺栓部分刚度较小，这都与直观的预期一致。注意的是，对于目前的问题，在第2节中，联接板刚度是螺栓刚度的7倍多。对于分布Ⅳ，用
第4节的解释来计算，刚度为1606×106N/m。
用不同泊松比（不同材料）进行分析。对于分布Ⅰ，结果为
ν=0.2⇒k m =1390⨯106N /m ，ν=0.3⇒k m =1442⨯106N /m 和
ν=0.4⇒k m =1530⨯106N /m 。注意的是真实的泊松比对于联接板刚度比对于螺栓刚度更加重要。
从传统的有限元分析中，假如接触压应力分布p =p (r ) 是可以得到的，那么位移、应变、应力、能量密度和一般刚度的详细信息也是可以得到的。但是，用迭代的方法来得到他可能相当复杂，虽然大多数FEA 程序是没问题的。因此，我们建议使用文献[9]推荐的一个直接法，简短描述这个方法（对于更详细的见文献[8]）。
4. 接触压应力分布
我们已经证明接触压应力的分布对于总体刚度，特别对于联接板的刚度不是一个可以忽略的影响。因此，我们描述如何用直接的程序（没有迭代）来获得应力分布。
在第2节中，螺栓分析被描述为一个传统的有限元程序，但是作为一种选择用超级单元来进行有限元的计算：
[S b ]{D b }={F c }⇒{D b }=[S b ]-1{F c } （21）
式中：[S b ]为螺栓超级单元的刚度矩阵，规模为螺栓/联接板接触面节点的数量乘以z 轴方向的自由度。{D b }为产生的相应位移，{F c }为相应的节点接触压力。这些力的总和为总的接触压力P ，我们描述为一个标准。 P = {F c } （22）
螺栓超级单元刚度矩阵的实际测定在文献[9]中描述。
第3节中，联接板分析也是作为一种选择用超级单元来进行有限元的计算：
[S m ]{D m }=-{F c }⇒{D m }=-[S m ]-1{F c } （23）
式中：[S m ]为联接板超级单元的刚度矩阵，规模也是螺栓/联接板接触面节点的数量乘以z 轴方向的自由度。{D m }为产生的相应位移，-{F c }为相应的节点接触压力，从z 方向测得。 预紧力位移通过共同的位移{D 0}来描述，通过一个平移常数向量给定：
{D 0}=e {1} （24）
式中：e 为一个正常数（压缩），一个向量{1}对于所有部件都是1.
加上预紧力之后，接触条件为：
e {1}={D b }-{D m }=[S b ]+[S m ]
或者通过接触力的形式来解决： (-1-1 ){F } （25）c
{F c }=([S b ]
压力P =-1+[S m ]-1-1) e {1} （26）作为公式（26）的结果，我们可以归因于假设的线性设置e =1，然后测量来获得总的F c }。
接触条件意味着非负的接触力{F c }≥{0}，事实上，这也能被证明是这样的情况。矩阵[K ]=([S b ]-1+[S m ]-1-1)是一个刚度矩阵，它是正定的和严格对角线占优的。从矩阵[K ]的每一行（或者每一列）出发，对于所有i ，∑n
j =1K ij >0，因此{F c }>{0}。所以，只有为
正接触压力时，这个接触问题才有一个解。
5. 大联接板宽度的求解
就像第3节的FEA ，在本节我们也假设一个大的联接板宽度，也就是参考图2，d a >d c βd +L tan(30︒) 。图6中的参考值与FEA 获得的接触直径d c 作比较。注意值 βd +L tan(30︒
) 只能在初级猜测时使用。
联接板宽度是一个尺寸，它宽度的增加将不改变联接板的刚度。与第3节相比，我们只是根据第4节的方法获得的正确接触解决方法呈现了参数解决方法。主要目标是把这些结果与引言中文献的结果进行比较，并建立没有应用详细FEA 计算的适合的方程。
注意，从预紧力位移{D 0}=e {1}得到的压缩量e 可以直接表示为求得的倒数刚度乘以总
e =(k b +k m )P （27）的接触压力P ，
这个可以用FEA 的位移结果e {1}={D b }-{D m }检测。
文献[15]的联接板刚度的计算结果与文献[11]的结果几乎是相等的。唯一不同的是角度θ不是一个常数，随着尺寸的改变而改变，可以根据公式（11）来计算。在图7中，所图的是无量纲刚度相对于螺孔直径与联接板长度的比值的关系，还有是FEA 的结果。
从图7中，我们可以得到一些结论。第一点，螺孔直径与联接板长度的比率与无量纲刚度之间看上去几乎是线性的。与螺栓联接中呈现的整体不确定性比较，基于数值结果的近似线性的方法应该是很有效率的。也是基于这个原因，VDI 2230的公式（10）看起来是不合理地复杂。
从图7中，我们也可以看到本文的FEA 数值计算结果与平截头墩θ=30°的结果是不一致的。文献[16]的数值结果与平截头墩θ=30°的刚度预测体现良好的一致性，在平截头墩的横截面中应力是恒定的。文献[16]呈现的数值结果的背后假设太粗糙了；首先两联接板的接触面是固定的，不允许分离。第二，垫圈/螺栓头假设是刚体，事实并不是这么回事。在文献[5]或则[1]中没应用这些假设，本文的一般的结果是联接板刚度为更小。
从图7中，我们注意到根据β值的不同结果有很大差别，假如给定一个简单的一般的表达式，这是不能满足的。第一个假设可以把联接板看作为孔径为αd ，外径为βd 的管子。假如管子假设应力是均匀分布的，那么管子的刚度k t 为：
EA E πd 2(β2-α2) k t == （28） L 4L
式中：E 为线性弹性模量。可以变形得到：
k t π(β-α) d = （29）
E (β+α) d 4L
联接板不能完全看作为应力管子，但是刚度肯定与公式（29）有相似之处。这个推导建议，联接板的刚度k m 可以表示为：
k m ⎛(β-α) d ⎫ =f ⎪ （30）E (β+α) d L ⎝⎭
也就是看作一个关于变量(β-α) d L 的函数f ，图6也应用了这个方法。把坐标轴变为这个变量，我们可以看到图8的结果。
在图8中，我们可以看到文献[11]预测的两条曲线，对于不同的β值几何是一致的。数值计算得到的M10螺栓和M20螺栓的两条曲线也是一致的。我们也发现曲线几乎是线性的。图9展示的是本文的数值计算结果以及对结果的简单线性曲线拟合。
前面我们讨论过这个有趣的尺寸范围0.1
新的建议的简化刚度计算公式可以表示为：
⎛(β-α)d +0.2⎫E β+αd =Ed ⎛0.59β2-α2d +0.2β+α⎫ （31）
k m = 0.59)()⎪()⎪( L L ⎝⎭⎝⎭
对于公式（31）我们能得到以下结论：
—他是简单的。
—他比以前的建议的大多数公式要保守。
—他是建立在弹性能基础上的清晰和直接的刚度计算。
—曲线拟合基于FEA 计算，并且考虑了接触，允许联接板之间分离。
公式（31）的数值计算是应用在钢铁螺栓和联接板也是等厚度的钢铁材料组成的情况。扩展到更加一般的例子和其他材料（泊松比）是可能的。
6. 联接板宽度有限时的解决
在第5节中给出了当联接板的宽度是足够大时的联接板刚度的渐进值。这个公式不包含的情况，我们可以应用其他VDI 建议的公式（8）—（10）。本节的目的是找个一个数值结果的曲线能像图4中的VDI 结果的方式一样应用。本节中我们呈现的是前面使用的M10和M20的结果，但是这里联接板的宽度是变化的，为了完整性我们也包括M20的螺栓，且他的螺栓直径是变化的（β=1.7）。参数解是通过图4的正确接触方法来获得的。主要目标是可以把这些结果与VDI 的有用结果相比较，提出一个没有详细FEA 计算的合适的方程。在图10，与三个例子的联接板的宽度d a 相对应的代替面积A ers （前面提到的，M10螺栓
M20螺栓β=1.5，M20螺栓β=1.7）。数值计算的实现是针对d a >βd 的情况。 β=1.7，
图10的曲线是很不同的，但是也可以得到一些一般性的结论。当d a →∞时，三条曲线都聚焦于一个常数水平，全部的形式是相同的。对于联接板直径小于垫圈直径的数值研究d a
k m =πE
4L (2d a -(αd )2)d a
图10对于d a =βd 的极限值与上式是一致的。目标是在没有FEA 接触分析的情况下，得到一个简化的刚度表达式。许多曲线拟合是可能的；本文的整体目标是提出一个简单的表达式，相对于一个全体FEA 分析获得的结果在工程的精度范围内。曲线拟合应该满足一下条件： —当d a =βd 时，刚度值应该为k m =πE (β4L 2-α2)d 2。
—当d a =βd 时刚度的导数应该与当d a
d (k m )d (d a )=πE
2L βd 。
—当d a →∞时，渐进值应该与公式（31）的值相同。
我们选择应用指数函数，简化的方程如下式所示：
d a ≤βd ⇒ k m =πE (d 4L 2
a -(αd )2)d a
βd
d a ≥βd +L ⇒ k m =k max (35) 这里k 0为当d a =βd 所对应的刚度值，k max 为公式（31）的渐进值。他们可以表示为：
k 0=πE
4L (β2-α2) d 2 （36）
k max =Ed 0.59β2-α2⎛
⎝(⎫ +0.2(β+α)⎪ （37）)d
L ⎭
在图11的（a ）-（c ）中，数值结果与公式 （34）的刚度值进行比较。d a 的过渡点为当渐进值达到公式（35）时，公式（34）应该设置d a =βd +L 。事实上，定义这个过渡点是没有必要的，因为公式（34）会收敛于公式（35）。包括公式（35）的原因是更加容易计算，与公式（31）有清晰的联系。
在图11的（a ）-（c ）中，我们可以看到公式（34）在数值计算的工程精度范围内。 图12作为一个最终的结果，这里展示了M10螺栓结果和三个VDI
的不同建议。我们
可以看到新的建议的刚度计算公式（33）-（35）与数值结果的匹配度比三个VDI 建议的任何一个都要好。
7. 结论
有关研究螺栓联接的书籍和文献的数目是海量的，这也说明了这种联接的重要意义。当螺栓收到动态载荷时，疲劳是一个衡量的因素，相对于联接板刚度螺栓刚度是一个控制因素。
计算螺栓刚度是相当简单的，文章基本上同意计算这个刚度的过程。在本文中已经证实，泊松比和螺栓头下的不同压应力分布对刚度值有较小的影响。因此，文献中已经呈现的方程可以直接应用。
计算联接板的刚度更加困难。在文献中也能看到许多表达式，但是获得的结果差别很大。本文中，我们应用接触分析的FEA 法来计算螺栓和联接板的弹性能。从这个能量来直接计算刚度。这种方法的优点是我们不需要去定义相对于总压力的位移。相对于大多数文献，这个刚度的定义更加清晰。在执行接触分析时，我们应用了超级单元技术，他可以移除计算接触力的迭代性质。这个简化了相当大的计算量。
本文的主要结果是计算联接板刚度的新简化表达式。这里也包括联接板宽度是有限的情况，也就是联接板最外层的应力不为零。应该说，这个表示式是简单的，但是给出的结果是在工程精度范围内的，是基于涉及接触的整体FEA 计算的。本文的表达式中假设是没有摩擦和不包括不同厚度的联接板的例子，但是扩展到这些例子是可能的。