最大似然估计学习总结------MadTurtle
1. 作用
在已知试验结果（即是样本）的情况下，用来估计满足这些样本分布的参数，把可能性最大的那个参数
作为真实
的参数估计。
2. 离散型
设
为离散型随机变量，
为多维参数向量，如果随机变量
相互独立且概率计算式为P{
，则可得概率函数为P{
}=
，在
固定时，上式表示
的概率；当
已知的时候，它又变成
的函数，可以把它记为
，称此函数为似然函数。似然函数值的大小意味着该样本值出现的可能性的大小，既然已经得到了样本值
，那么它出现的可能性应该是较大的，即似然函数的值也应该是比较大的，因而最大似然估计就是选择使
达到最大值的那个
作为真实
的估计。
3. 连续型
设
为连续型随机变量，其概率密度函数为
，
为从该总体中抽出的样本，同样的如果
相互独立且同分布，于是样本的联合概率密度为
。大致过程同离散型一样。
4. 关于概率密度(PDF)
我们来考虑个简单的情况(m=k=1)，即是参数和样本都为1的情况。假设进行一个实验，实验次数定为10次，每次实验成功率为0.2，那么不成功的概率为0.8，用y来表示成功的次数。由于前后的实验是相互独立的，所以可以计算得到成功的次数的概率密度为：
=
其中y
由于y的取值范围已定，而且
也为已知，所以图1显示了y取不同值时的概率分布情况，而图2显示了当
时的y值概率情况。
图1
时概率分布图
图2
时概率分布图
那么
在[0,1]之间变化而形成的概率密度函数的集合就形成了一个模型。
5. 最大似然估计的求法
由上面的介绍可以知道，对于图1这种情况y=2是最有可能发生的事件。但是在现实中我们还会面临另外一种情况：我们已经知道了一系列的观察值和一个感兴趣的模型，现在需要找出是哪个PDF（具体来说参数
为多少时）产生出来的这些观察值。要解决这个问题，就需要用到参数估计的方法，在最大似然估计法中，我们对调PDF中数据向量和参数向量的角色，于是可以得到似然函数的定义为：
该函数可以理解为，在给定了样本值的情况下，关于参数向量
取值情况的函数。还是以上面的简单实验情况为例，若此时给定y为7，那么可以得到关于
的似然函数为：
继续回顾前面所讲，图1,2是在给定
的情况下，样本向量y取值概率的分布情况；而图3是图1,2横纵坐标轴相交换而成，它所描述的似然函数图则指出在给定样本向量y的情况下，符合该取值样本分布的各种参数向量
的可能性。若
相比于
，使得y=7出现的可能性要高，那么理所当然的
要比
更加接近于真正的估计参数。所以求
的极大似然估计就归结为求似然函数
的最大值点。那么
取何值时似然函数
最大，这就需要用到高等数学中求导的概念，如果是多维参数向量那么就是求偏导。
图3
的似然函数分布图
主要注意的是多数情况下，直接对变量进行求导反而会使得计算式子更加的复杂，此时可以借用对数函数。由于对数函数是单调增函数，所以
与
具有相同的最大值点，而在许多情况下，求
的最大值点比较简单。于是，我们将求
的最大值点改为求
的最大值点。
若该似然函数的导数存在，那么对
关于参数向量的各个参数求导数（当前情况向量维数为1），并命其等于零，得到方程组：
可以求得
时似然函数有极值，为了进一步判断该点位最大值而不是最小值，可以继续求二阶导来判断函数的凹凸性，如果
的二阶导为负数那么即是最大值，这里再不细说。
还要指出，若函数
关于
的导数不存在，我们就无法得到似然方程组，这时就必须用其它的方法来求最大似然估计值，例如用有界函数的增减性去求
的最大值点
6. 总结
最大似然估计，只是一种概率论在统计学的应用，它是参数估计的方法之一。说的是已知某个随机样本满足某种概率分布，但是其中具体的参数不清楚，参数估计就是通过若干次试验，观察其结果，利用结果推出参数的大概值。最大似然估计是建立在这样的思想上：已知某个参数能使这个样本出现的概率最大，我们当然不会再去选择其他小概率的样本，所以干脆就把这个参数作为估计的真实值。
求最大似然函数估计值的一般步骤：
（1） 写出似然函数
（2） 对似然函数取对数，并整理
（3） 求导数
（4） 解似然方程
对于最大似然估计方法的应用，需要结合特定的环境，因为它需要你提供样本的已知模型进而来估算参数，例如在模式识别中，我们可以规定目标符合高斯模型。而且对于该算法，我理解为，“知道”和“能用”就行，没必要在程序设计时将该部分实现，因为在大多数程序中只会用到我最后推导出来的结果。个人建议，如有问题望有经验者指出。在文献[1]中讲解了本文的相关理论内容，在文献[2]附有3个推导例子。
7. 参考文献
[1]I.J. Myung. Tutorial on maximum likelihood estimation[J]. Journal of Mathematical Psychology, 2003, 90-100.
[2] http://edu6.teacher.com.cn/ttg006a/chap7/jiangjie/72.htm
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最大似然估计学习总结------MadTurtle
1. 作用
在已知试验结果（即是样本）的情况下，用来估计满足这些样本分布的参数，把可能性最大的那个参数
作为真实
的参数估计。
2. 离散型
设
为离散型随机变量，
为多维参数向量，如果随机变量
相互独立且概率计算式为P{
，则可得概率函数为P{
}=
，在
固定时，上式表示
的概率；当
已知的时候，它又变成
的函数，可以把它记为
，称此函数为似然函数。似然函数值的大小意味着该样本值出现的可能性的大小，既然已经得到了样本值
，那么它出现的可能性应该是较大的，即似然函数的值也应该是比较大的，因而最大似然估计就是选择使
达到最大值的那个
作为真实
的估计。
3. 连续型
设
为连续型随机变量，其概率密度函数为
，
为从该总体中抽出的样本，同样的如果
相互独立且同分布，于是样本的联合概率密度为
。大致过程同离散型一样。
4. 关于概率密度(PDF)
我们来考虑个简单的情况(m=k=1)，即是参数和样本都为1的情况。假设进行一个实验，实验次数定为10次，每次实验成功率为0.2，那么不成功的概率为0.8，用y来表示成功的次数。由于前后的实验是相互独立的，所以可以计算得到成功的次数的概率密度为：
=
其中y
由于y的取值范围已定，而且
也为已知，所以图1显示了y取不同值时的概率分布情况，而图2显示了当
时的y值概率情况。
图1
时概率分布图
图2
时概率分布图
那么
在[0,1]之间变化而形成的概率密度函数的集合就形成了一个模型。
5. 最大似然估计的求法
由上面的介绍可以知道，对于图1这种情况y=2是最有可能发生的事件。但是在现实中我们还会面临另外一种情况：我们已经知道了一系列的观察值和一个感兴趣的模型，现在需要找出是哪个PDF（具体来说参数
为多少时）产生出来的这些观察值。要解决这个问题，就需要用到参数估计的方法，在最大似然估计法中，我们对调PDF中数据向量和参数向量的角色，于是可以得到似然函数的定义为：
该函数可以理解为，在给定了样本值的情况下，关于参数向量
取值情况的函数。还是以上面的简单实验情况为例，若此时给定y为7，那么可以得到关于
的似然函数为：
继续回顾前面所讲，图1,2是在给定
的情况下，样本向量y取值概率的分布情况；而图3是图1,2横纵坐标轴相交换而成，它所描述的似然函数图则指出在给定样本向量y的情况下，符合该取值样本分布的各种参数向量
的可能性。若
相比于
，使得y=7出现的可能性要高，那么理所当然的
要比
更加接近于真正的估计参数。所以求
的极大似然估计就归结为求似然函数
的最大值点。那么
取何值时似然函数
最大，这就需要用到高等数学中求导的概念，如果是多维参数向量那么就是求偏导。
图3
的似然函数分布图
主要注意的是多数情况下，直接对变量进行求导反而会使得计算式子更加的复杂，此时可以借用对数函数。由于对数函数是单调增函数，所以
与
具有相同的最大值点，而在许多情况下，求
的最大值点比较简单。于是，我们将求
的最大值点改为求
的最大值点。
若该似然函数的导数存在，那么对
关于参数向量的各个参数求导数（当前情况向量维数为1），并命其等于零，得到方程组：
可以求得
时似然函数有极值，为了进一步判断该点位最大值而不是最小值，可以继续求二阶导来判断函数的凹凸性，如果
的二阶导为负数那么即是最大值，这里再不细说。
还要指出，若函数
关于
的导数不存在，我们就无法得到似然方程组，这时就必须用其它的方法来求最大似然估计值，例如用有界函数的增减性去求
的最大值点
6. 总结
最大似然估计，只是一种概率论在统计学的应用，它是参数估计的方法之一。说的是已知某个随机样本满足某种概率分布，但是其中具体的参数不清楚，参数估计就是通过若干次试验，观察其结果，利用结果推出参数的大概值。最大似然估计是建立在这样的思想上：已知某个参数能使这个样本出现的概率最大，我们当然不会再去选择其他小概率的样本，所以干脆就把这个参数作为估计的真实值。
求最大似然函数估计值的一般步骤：
（1） 写出似然函数
（2） 对似然函数取对数，并整理
（3） 求导数
（4） 解似然方程
对于最大似然估计方法的应用，需要结合特定的环境，因为它需要你提供样本的已知模型进而来估算参数，例如在模式识别中，我们可以规定目标符合高斯模型。而且对于该算法，我理解为，“知道”和“能用”就行，没必要在程序设计时将该部分实现，因为在大多数程序中只会用到我最后推导出来的结果。个人建议，如有问题望有经验者指出。在文献[1]中讲解了本文的相关理论内容，在文献[2]附有3个推导例子。
7. 参考文献
[1]I.J. Myung. Tutorial on maximum likelihood estimation[J]. Journal of Mathematical Psychology, 2003, 90-100.
[2] http://edu6.teacher.com.cn/ttg006a/chap7/jiangjie/72.htm
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