例1（1）关于x 的方程x 2+2(m +3) x +2m +14=0有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围；
（2）关于x 的方程x 2+2(m +3) x +2m +14=0有两实根都在[0, 4) 内，求m 的取值范围； ⑶关于x 的方程x 2+2(m +3) x +2m +14=0有两实根在[1, 3]外，求m 的取值范围
（4）关于x 的方程mx 2+2(m +3) x +2m +14=0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围.
例3已知函数f (x ) =ax 2+(2a -1) x -3在区间[-, 2]上的最大值为1，求实数a 的值。
32
解（1）令f (x ) =x 2+2(m +3) x +2m +14，∵对应抛物线开口向上，∴方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1等价于f (1) 0吗？），即m
（2）令f (x ) =x 2+2(m +3) x +2m +14，原命题等价于
⎧f (0) ≥0⎧2m +14≥0⎪f (4) ≥0⎪16+8(m +3) +2m +14>0⎪27⎪⎪⇔⇔-
（3）令f (x ) =x 2+2(m +3) x +2m +14，原命题等价于
⎧f (1)
（4）令g (x ) =mx 2+2(m +3) x +2m +14，依题得
⎧m >0⎧m 0
例2（1）已知函数f (x ) =ax
范围；
值范围。 2+a -2，若f (x ) a 恒成立，求实数a 的取
解：（1）f (x )
（2）当x ∈[-1, 1]时，f (x ) >a 恒成立⇔[f (x )]min >a . 又当x ∈[-1, 1]时，
[f (x )]min =f (-1) =-5，所以a ∈(-∞, -5).
【评注】“有解”与“恒成立”是很容易搞混的两个概念。一般地，对于“有解”与“恒成立”，有下列常用结论：（1）f (x ) >a 恒成立⇔[f (x )]min >a ；（2）f (x ) a 有解⇔[f (x )]max >a ；（4）f (x )
分析：这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，首先应搞清二次项系数a 是否为零，如果a ≠0, f (x ) 的最大值与二次函数系数a 的正负有关，也与对称轴
x 0=1-2a 的位置有关，但f(x)的最大值只可能在端点或顶点处取得，解答时必2a
须用讨论法。
解、a =0时，f (x ) =-x -3，
3f (x ) 在[-, 2]上不能取得1，故a ≠0. 2
f (x ) =ax 2+(2a -1) x -3(a ≠0) 的对称轴方程为x 0=1-2a . 2a
3
2
233此时x 0=-∈[-, 2]， 202（1）令f (-) =1，解得a =-10， 3
因为a
（2）令f (2) =1，解得a =此时x 0=-∈[-, 2]， 313 >0, x 0=-∈[-, 2]，且距右端点2较远，所以f (2) 最大，合适。432
1（3）令f (x 0) =1，得a =(-3±22) ， 2
1验证后知只有a =(-3-22) 才合适。 2
13综上所述，a =，或a =-(3+22). 2413323， 432因为a =
例1（1）关于x 的方程x 2+2(m +3) x +2m +14=0有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围；
（2）关于x 的方程x 2+2(m +3) x +2m +14=0有两实根都在[0, 4) 内，求m 的取值范围； ⑶关于x 的方程x 2+2(m +3) x +2m +14=0有两实根在[1, 3]外，求m 的取值范围
（4）关于x 的方程mx 2+2(m +3) x +2m +14=0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围.
例3已知函数f (x ) =ax 2+(2a -1) x -3在区间[-, 2]上的最大值为1，求实数a 的值。
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解（1）令f (x ) =x 2+2(m +3) x +2m +14，∵对应抛物线开口向上，∴方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1等价于f (1) 0吗？），即m
（2）令f (x ) =x 2+2(m +3) x +2m +14，原命题等价于
⎧f (0) ≥0⎧2m +14≥0⎪f (4) ≥0⎪16+8(m +3) +2m +14>0⎪27⎪⎪⇔⇔-
（3）令f (x ) =x 2+2(m +3) x +2m +14，原命题等价于
⎧f (1)
（4）令g (x ) =mx 2+2(m +3) x +2m +14，依题得
⎧m >0⎧m 0
例2（1）已知函数f (x ) =ax
范围；
值范围。 2+a -2，若f (x ) a 恒成立，求实数a 的取
解：（1）f (x )
（2）当x ∈[-1, 1]时，f (x ) >a 恒成立⇔[f (x )]min >a . 又当x ∈[-1, 1]时，
[f (x )]min =f (-1) =-5，所以a ∈(-∞, -5).
【评注】“有解”与“恒成立”是很容易搞混的两个概念。一般地，对于“有解”与“恒成立”，有下列常用结论：（1）f (x ) >a 恒成立⇔[f (x )]min >a ；（2）f (x ) a 有解⇔[f (x )]max >a ；（4）f (x )
分析：这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，首先应搞清二次项系数a 是否为零，如果a ≠0, f (x ) 的最大值与二次函数系数a 的正负有关，也与对称轴
x 0=1-2a 的位置有关，但f(x)的最大值只可能在端点或顶点处取得，解答时必2a
须用讨论法。
解、a =0时，f (x ) =-x -3，
3f (x ) 在[-, 2]上不能取得1，故a ≠0. 2
f (x ) =ax 2+(2a -1) x -3(a ≠0) 的对称轴方程为x 0=1-2a . 2a
3
2
233此时x 0=-∈[-, 2]， 202（1）令f (-) =1，解得a =-10， 3
因为a
（2）令f (2) =1，解得a =此时x 0=-∈[-, 2]， 313 >0, x 0=-∈[-, 2]，且距右端点2较远，所以f (2) 最大，合适。432
1（3）令f (x 0) =1，得a =(-3±22) ， 2
1验证后知只有a =(-3-22) 才合适。 2
13综上所述，a =，或a =-(3+22). 2413323， 432因为a =