因式分解的十二种方法 :
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下：
1、 提公因法
如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、 分解因式x³-2x²-x (2003淮安市中考题)
x³ -2x² -x=x(x² -2x -1)
2、 应用公式法
由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a² + 4ab + 4b² (2003南通市中考题)
解：a ² + 4ab +4b² =（a+2b）²
3、 分组分解法
要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a ，把它后两项分成一组，并提出公因式b ，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m ² + 5n - mn - 5m
解：m ² + 5n - mn - 5m= m² - 5m - mn + 5n
= (m² -5m )+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4、 十字相乘法
对于mx ² +px+q形式的多项式，如果a ×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)
例4、分解因式7x ² -19x-6
分析： 1 - 3
7 2
2 - 21=-19
解：7x ² -19x-6=（7x+2）(x-3)
5、配方法
对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
例5、分解因式x ² +3x-40
33解 x ² +3x - 40=x ² + 3x + ( 2) ² - ( 2 ) ² -40
313=(x + 2 ) ² - ( 2 ) ²
313313=(x + 2 + 2 )(x + 2 - 2 )
=(x+8)(x-5)
[1**********]注：( ) ² + ==( ) ²=( ) ² 244422
6、拆、添项法
可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c – a + a +b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
7、 换元法
有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。
例7、分解因式2x4 -x³ -6x ² -x+2
解：2x4 -x³ -6x ² -x+2=2(x4 +1)-x(x² +1)-6x²
11=x² [2(x² + x²)-(x+ x )-6 ]
1令y = x + x ,
11则x ²[2(x² + x² )-(x+ x )-6 ]
= x² [2(y² -2)-y-6]
= x² (2y² -y-10)
=x² (y+2)(2y-5)
11=x² (x+ x +2)(2x+ x -5)
= (x² +2x+1) (2x² -5x+2)
=(x+1)2(2x-1)(x-2)
121注：y² =(x+ x ) = x² + x² +2
8、 求根法
令多项式f(x)=0,求出其根为x 1 ,x2 ,x3 ,„„x n ,则多项式可因式分解为
f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3 )„„(x-xn )
例8、分解因式2x 4 +7x3 -2x2 -13x+6
解：令f(x)= 2x4 +7x3 -2x2 -13x+6=0
1通过综合除法可知，f(x)=0根为 2 ，-3，-2，1
则2x 4 +7x3 -2x2 -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
注：2x 4 +7x3 -2x2 -13x+6
=2x4 +7x3 -2x2 -7x-6x +6
=2x4 -2x2 +7x3-7x-6x +6
=2x2 (x2 – 1) + 7x (x2 – 1) – 6 (x -1)
=2x2 (x +1) (x -1) + 7x (x +1) (x -1) – 6 (x -1)
=(x - 1) [2x2 (x +1) + 7x (x +1) – 6 ]
=(x - 1) (2x3 +2x2 + 7x 2 +7x – 6 )
=(x - 1) (2x3 +9x2 +7x – 6 )
=(x - 1) (2x3 +6x2+3x2 +9x -2x – 6 )
=(x - 1)[ 2x2 (x +3) +3x(x + 3) -2(x + 3 )
=(x - 1) (x +3) ( 2x2 +3x -2 )
=(x - 1) (x +3) ( 2x -1)(x + 2 )
1所以四根分别是：1；-3；2；-2。
9、 图象法
令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X 轴的交点x 1 ,x 2 ,x 3 , „„x n ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3 )„„(x-xn )
例9、因式分解x 3 +2x2 -5x-6
解：令y= x3 +2x2 -5x-6
作出其图象，见右图，与x 轴交点为-3，-1，2
则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
注：x 3 +2x2 -5x-6
= x3 +x2+x2 +x-6x -6
= x2（x +1）+ x（x+1）- 6（x +1）
= （x +1）（x 2+ x- 6）
= （x +1）（x +3）（x -2）
10、 主元法
先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。
例10、分解因式a 2 (b-c)+b2(c-a)+c2 (a-b)
分析：此题可选定a 为主元，将其按次数从高到低排列
解：a 2 (b-c)+b2(c-a)+c2 (a-b)
=a2 (b-c)-a(b2 –c 2 )+(b2 c-c2 b)
=a2 (b-c)-a(b-c) (b+c)+bc (b-c)
=(b-c) [a2 -a(b+c)+bc]
=(b-c)(a-b)(a-c) „„（十字相乘）
11、 利用特殊值法
将2或10代入x ，求出数P ，将数P 分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x ，即得因式分解式。
例11、分解因式x 3 +9x2 +23x+15
解：令x=2，则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105
将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7
注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值。（即：3=2+1，5=2+3，7=2+5）
则x 3 +9x2 +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）
12、待定系数法
首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。
例12、分解因式x 4 –x 3 -5x2 -6x-4
分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。 解：设x 4 –x 3 -5x2 -6x-4=(x2 +ax+b)(x2 +cx+d)
= x4 +(a+c)x3 +(ac+b+d)x2 +(ad+bc)x+bd
则x 4 –x 3 -5x2 -6x-4 =(x2 +x+1)(x2 -2x-4)
关于“易知这个多项式没有一次因式”，本人理解为最高次方的系数为1。或者设x 4 –x 3 -5x2 -6x-4=（x+a）(x3 + bx2 +cx+d)
关于待定系数法，下面还有讲解：
待定系数法就是说设原式=（x+a)(x2+bx+c),因为x 3一项系数是一，所以这么设，然后将它展开和原式对比系数列出3个方程就可以解出a,b,c, 然后判断后边那个2次的能不能进一步分解，如果a,b,c 无解就说明原式无法分解。
一元n 次方乘根与系数关系这么推倒，以3次为例，设3个根为x 1,x 2,x 3 则任意ax 3+bx2+cx+d就可以写成a(x-x1)(x-x2)(x-x3)
将右边展开和左边对比系数就能得到根与系数的关系。
4次及n 次方程类似。
四次的比较麻烦，必须先设原式=(x+a)( x3+bx2+cx+d)，如果可以解出未知数，就可以继续分解后面那项，如果这样不行，则要设原式=（x 2+ax+b)(x2+cx+d) 再来看看有没有解，如果还是没有解，那必然无法在实数范围内分解。
因为这两个括号里的2次也许都无法在实数范围内进一步分解，所以只设上面那一种=(x+a)(x3+bx2+cx+d)，无法包括这种情况。
高次的待定系数法我认为也要类似这么讨论
因式分解的十二种方法 :
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下：
1、 提公因法
如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、 分解因式x³-2x²-x (2003淮安市中考题)
x³ -2x² -x=x(x² -2x -1)
2、 应用公式法
由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a² + 4ab + 4b² (2003南通市中考题)
解：a ² + 4ab +4b² =（a+2b）²
3、 分组分解法
要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a ，把它后两项分成一组，并提出公因式b ，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m ² + 5n - mn - 5m
解：m ² + 5n - mn - 5m= m² - 5m - mn + 5n
= (m² -5m )+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4、 十字相乘法
对于mx ² +px+q形式的多项式，如果a ×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)
例4、分解因式7x ² -19x-6
分析： 1 - 3
7 2
2 - 21=-19
解：7x ² -19x-6=（7x+2）(x-3)
5、配方法
对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
例5、分解因式x ² +3x-40
33解 x ² +3x - 40=x ² + 3x + ( 2) ² - ( 2 ) ² -40
313=(x + 2 ) ² - ( 2 ) ²
313313=(x + 2 + 2 )(x + 2 - 2 )
=(x+8)(x-5)
[1**********]注：( ) ² + ==( ) ²=( ) ² 244422
6、拆、添项法
可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c – a + a +b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
7、 换元法
有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。
例7、分解因式2x4 -x³ -6x ² -x+2
解：2x4 -x³ -6x ² -x+2=2(x4 +1)-x(x² +1)-6x²
11=x² [2(x² + x²)-(x+ x )-6 ]
1令y = x + x ,
11则x ²[2(x² + x² )-(x+ x )-6 ]
= x² [2(y² -2)-y-6]
= x² (2y² -y-10)
=x² (y+2)(2y-5)
11=x² (x+ x +2)(2x+ x -5)
= (x² +2x+1) (2x² -5x+2)
=(x+1)2(2x-1)(x-2)
121注：y² =(x+ x ) = x² + x² +2
8、 求根法
令多项式f(x)=0,求出其根为x 1 ,x2 ,x3 ,„„x n ,则多项式可因式分解为
f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3 )„„(x-xn )
例8、分解因式2x 4 +7x3 -2x2 -13x+6
解：令f(x)= 2x4 +7x3 -2x2 -13x+6=0
1通过综合除法可知，f(x)=0根为 2 ，-3，-2，1
则2x 4 +7x3 -2x2 -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
注：2x 4 +7x3 -2x2 -13x+6
=2x4 +7x3 -2x2 -7x-6x +6
=2x4 -2x2 +7x3-7x-6x +6
=2x2 (x2 – 1) + 7x (x2 – 1) – 6 (x -1)
=2x2 (x +1) (x -1) + 7x (x +1) (x -1) – 6 (x -1)
=(x - 1) [2x2 (x +1) + 7x (x +1) – 6 ]
=(x - 1) (2x3 +2x2 + 7x 2 +7x – 6 )
=(x - 1) (2x3 +9x2 +7x – 6 )
=(x - 1) (2x3 +6x2+3x2 +9x -2x – 6 )
=(x - 1)[ 2x2 (x +3) +3x(x + 3) -2(x + 3 )
=(x - 1) (x +3) ( 2x2 +3x -2 )
=(x - 1) (x +3) ( 2x -1)(x + 2 )
1所以四根分别是：1；-3；2；-2。
9、 图象法
令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X 轴的交点x 1 ,x 2 ,x 3 , „„x n ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3 )„„(x-xn )
例9、因式分解x 3 +2x2 -5x-6
解：令y= x3 +2x2 -5x-6
作出其图象，见右图，与x 轴交点为-3，-1，2
则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
注：x 3 +2x2 -5x-6
= x3 +x2+x2 +x-6x -6
= x2（x +1）+ x（x+1）- 6（x +1）
= （x +1）（x 2+ x- 6）
= （x +1）（x +3）（x -2）
10、 主元法
先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。
例10、分解因式a 2 (b-c)+b2(c-a)+c2 (a-b)
分析：此题可选定a 为主元，将其按次数从高到低排列
解：a 2 (b-c)+b2(c-a)+c2 (a-b)
=a2 (b-c)-a(b2 –c 2 )+(b2 c-c2 b)
=a2 (b-c)-a(b-c) (b+c)+bc (b-c)
=(b-c) [a2 -a(b+c)+bc]
=(b-c)(a-b)(a-c) „„（十字相乘）
11、 利用特殊值法
将2或10代入x ，求出数P ，将数P 分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x ，即得因式分解式。
例11、分解因式x 3 +9x2 +23x+15
解：令x=2，则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105
将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7
注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值。（即：3=2+1，5=2+3，7=2+5）
则x 3 +9x2 +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）
12、待定系数法
首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。
例12、分解因式x 4 –x 3 -5x2 -6x-4
分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。 解：设x 4 –x 3 -5x2 -6x-4=(x2 +ax+b)(x2 +cx+d)
= x4 +(a+c)x3 +(ac+b+d)x2 +(ad+bc)x+bd
则x 4 –x 3 -5x2 -6x-4 =(x2 +x+1)(x2 -2x-4)
关于“易知这个多项式没有一次因式”，本人理解为最高次方的系数为1。或者设x 4 –x 3 -5x2 -6x-4=（x+a）(x3 + bx2 +cx+d)
关于待定系数法，下面还有讲解：
待定系数法就是说设原式=（x+a)(x2+bx+c),因为x 3一项系数是一，所以这么设，然后将它展开和原式对比系数列出3个方程就可以解出a,b,c, 然后判断后边那个2次的能不能进一步分解，如果a,b,c 无解就说明原式无法分解。
一元n 次方乘根与系数关系这么推倒，以3次为例，设3个根为x 1,x 2,x 3 则任意ax 3+bx2+cx+d就可以写成a(x-x1)(x-x2)(x-x3)
将右边展开和左边对比系数就能得到根与系数的关系。
4次及n 次方程类似。
四次的比较麻烦，必须先设原式=(x+a)( x3+bx2+cx+d)，如果可以解出未知数，就可以继续分解后面那项，如果这样不行，则要设原式=（x 2+ax+b)(x2+cx+d) 再来看看有没有解，如果还是没有解，那必然无法在实数范围内分解。
因为这两个括号里的2次也许都无法在实数范围内进一步分解，所以只设上面那一种=(x+a)(x3+bx2+cx+d)，无法包括这种情况。
高次的待定系数法我认为也要类似这么讨论