２００９＃－９２７襄（Ｔｇ）考试羯甏
例谈凑微分法
李干因
（滩安技蠛学院，江苏淮安２２３００１）
摘要：凑微分法是重要的积分法．也是初学者难以掌握的积分法。本文通过攀例拳说明如何凑微分。
关罐蘧：基本积分公式凑微分幂踅积分能够用基本积分公式商接求函数的不定积分问题很有限，对许多函数的积分，比如像Ｓｔａｎｘｄｘ这样基本初等函数的积分，都不熬建基本积分公式毫接缮塞绩暴。凑微分法，裁是先获基本积分公式巾我弼与要求的积分式子楣近的公式。再对照公式，把被积表达式凑成与公式相同的形式．从而利用公式求出积分。能够用这种方法求解的被积函数的形式的多样性，决定了凑微分法的鬟要性，也癫子被积最数形式的多撵性。决定了凑微分法的多燮性和困难穗。怎么凑，这是令初学者常感
困惑的事情。
下面试举几例来说明如何用凑微分来求不定积分。敬请
读者攒蔗。
捌ｌ：求ＳｃｏｓｘｄｘＤ
。
从基本积分公式中找到与此积分栩近的公式：Ｓｃｏｓｘｄｘ＝ｓｉｎｘ＋Ｃ。找到与公式中的不同之处：ｄｘ中ｘ的系数与被积函数中
ｘ酶系数不一群。我织通过求ｄ２ｘ＝２ｄｘ。鳓ｌｄｘ＝二ｄ２ｘ，这就是
＇
２
凑微分，用ｄ２ｘ表示ｄ）【。使得ｄ后渐的系数与前面的一样。代入。
１
１
１
得Ｓｃｏｓ２ｘｄｘ＝Ｓｅｏｓ２ｘ・÷ｄ２ｘ＝÷，ｃｏ宣２ｘｄ２ｘ２÷ｓｉｎ２ｘ＋Ｃ。
，
二
Ｚ
Ｚ
’
｛
例２：求ｆ』Ｌｄｘ。
从基本积分公式中找到岛此积分相近的公式：，上ｄｘ：１１１Ｉ
ｘｌ＋Ｃ，找蠲掰求积分每公式薛零游之薤。要凑微分．逶邋求ｄ《ｘ．｝
１）－－ｄｘ，有ｄｘ＝ｄ（ｘ＋１）’代入，得，击ｄ】【可ｘ＋击ｄ（ｘ＋１）＝ｈｌｘｌ
＋ｌｌ＋ｃ。
Ｘ＋
ｘ
１
类懿的，毒ｆ÷ｄｘ＝ｌｎｌｘ－ｌｌ＋Ｃ。
Ｘ－－ｌ
例３：求，土ｄｘ。
ｘ＋４
纛基本稷分公茂孛，我囊砖就积分稳避盼公式：ｆ土矗：
ｘ＋ｌ
黻４娥ｌ
Ｊ去妊｝赤氐娥撒４娥７
ｋ
一样。要凑擞分，毙求土２
ｘ的微分，有《÷ｘ）＝三２玉，所以有ｄｘ＝
孥！＠｝｝若≯骞『＝
丢鲫鼬寻川。＿＇。＿，’一，¨√－’＾ｊ、ｏ；．｝，
万方数据
妣球，赤帆
获基本积分公式巾我赘毒就蔌分稳近懿公式：
，—兰ｄｘ＝ａｒｅｓｉｎｘ＋Ｃ。、／ｌｏ
。
髑撇毒皴埘击埘乖可１瓯捌等
公式申的举阉之处，邋过求ｄ（｛ｘ）＝三２ｄｘ，有ｄｘ＝２ｄ（丢ｘ），奠
朋，赤出可矿季１埘而１萝峥＝
。
㈣斑１２
ｘ＋Ｃ＃
例５：求，—ｊ—ｄｘ。
（２ｘ＋１）‘
在基本积分公式审找舞与此税分相近的公式：，去ｄｘ＝
泰－２ｄｘ一上＋ｃ，￡ｈｄ（２ｘ＋Ｘ）＝２ｄｘ，ｄ】ｃ划Ｃ２ｘ＋１），从薅露，——！一ｄ艄，赤’虿１ｘ（２ｘ＋ｌ≥‘
ｄ（２ｘ＋ｍ一丽１心
对一嫂含有复合瞒敷ｆ【零《ｘ）３的积分，要找准绨个丞数爨毒（ｘ），凑微分，一般是涎避直接求ｄ【摩（ｘ）】，褥交淑豹表达式。
例６：求＾ｅ。ｄｘ。
这里ｅ‘是ｘ。的函数，直接求Ｘ２的微分，ｄｘ。＝２地，有ｘｄｘ＝
专＆，霭蕊南ｌ矗妊ｓ苫・鼍舔孓鼍｛誉酶毛毒式ｔ
有时，将被积函数先作适当变形。比较祷易看出如何凑微分。
鲷７：：；ｇＳｓｉｎ２ｘｄｘ。
解法一：很明显，ｓｉｎ２ｘ是２ｘ的聪数，Ｅｈｄ２ｘ＝２ｄｘ，ｄｘ＝－÷ｄ２ｘ，
代入，Ｊ＇ｓｉｎ２ｘｄｘ＝Ｊ＇ｓｉｎ２ｘ・｛拉ｘ＝｛牺ｎ２ｘｄ２＝渺－｛鼎１２ｘ《。
”
解法二：ｓｉｎ２ｘ＝２ｓｉｎｘｃｏｓｘ，ｄｓｉｎｘ＝ｃｏｓｘｄｘ。
Ｊ＇ｓｉｎ２ｘｄｘ＝Ｓ２ｓｉｎｘｃｏｓｘｄｘ＝２Ｊ＇ｓｉｎｘｄｓｉｎｘ－－ｓｉｎ＇ｘ＋Ｃ。
或ｄｃｏｓｘ＝－ｓｉｎｘｄｘ。Ｊ＇ｓｉｎ２ｘｄｘ＝．［２ｓｉｎｘｃｏｓｘｄｘ＝－２Ｓｅｏｓｘｄｅｎｓｘ－－
濑２ｘ＋ｃ。
例８：习乏Ｊｔａｎｘ叔。
这里臻先将被积鼷敷ｔａＩ疆变形为—！一・ｓｉ腻，苒把』一肴
ＣＯａＸ
ＣＯ￥Ｘ
垅是ＣＯａＸ添数，求ｄ赫栉内ｉｎｘｄｘ，嚣褥鸯ｓｉｎｘｄｘ＝－ｄｅｏｓｘ，我入褥
Ｓｔａｎｘｄｘ＝Ｓ＿～・ｓｉｎｘｄｘ¨—Ｌｄｃ撇》抽Ｉｃ删。．－㈠
考试周刊２００９年第２７期（下卷）
在应用题教学中培养学生能力
符景旺
（海口市秀英区永兴中心小学，海南海口５７１１５２）
应用题教学是小学数学教学的重点内容之一．也是训练学生应用数学知识和技能解决问题的重要方式。通过应用题的教学，促进学生数学能力的提高．是小学数学教学的一项重要任务。因为应用题反映了常见的数量关系和各种各样的实际问题。需要用不同的数学知识同实际生活联系起来．从而使学生既了解数学知识的实际应用．又初步培养运用所学的数学知识解决实际问题的能力。那么。如何在数学教学中培养学
生的能力呢？
某人计划要加工２００个零件。结果２天加工了这批零件的２／５。照这样计算，加工这批零件只要用几天？
在教学中。我引导学生找出题中的关键字词：２天加工了这批零件的２／５，引导学生进行思考。因为２天加工了这批零件的２／５。可知加工完这批零件要用的天数即为：２＋２／５＝５（天）。这比先求出２天加工的零件个数，再求出每天加工的零件个数。最后再求出加Ｔ这批零件要用的天数的常规方法简洁多了。
三、分层指导。灵活训练
一、运用应用题的开放性培养学生思维
发展学生的思维，培养学生分析问题、解决问题的能力。是教学的根本任务。一题多解在发展学生思维、培养学生的能力方面起到了重要作用。应用题的开放性。能有效地促进学生的思考，扩展学生思维，提高学生思维遥灵活性。例如。在学习
了“百分数的应用”后。我出示了下面一题：
某校五年级共有学生７９人．在参加植树劳动派一位同学去商店购买果汁，商店规定：单盒买每盒２元，买４０盒装一箱９折优惠，买５０盒装一箱８．８折优惠。怎样购买才能既让每个同
学都能喝到一盒果汁，又最省钱？
学生经过讨论分析。得出了以下几个购买方案：
（１）买单盒７９盒：２ｘ７９＝１５８（元）；
（２）买４０盒装一箱。再买单盒３９盒：２ｘ４０ｘＯ．９＋２ｘ３９＝１５０
（元）；
（３）买５０盒装一箱，再买单盒２９盒：２ｘ５０ｘＯ．８８＋２ｘ２９＝１４６
（元）；
（４）买４０盒装两箱：２×４０ｘＯ．９ｘ２＝１４４（元）。
最后得出：买４０盒装两箱。既能让每个同学喝一盒果汁．又最省钱．还剩余ｉｔ。
这样．多设计一些开放性的应用题。能有效地培养学生思维的开放性和灵活性。从而培养学生思维的有效性和创造性。
并能优化学生思维。
二、抓住关键的宇词。培养学生的创造思维
创造性思维的特征应该是新奇独特、别出心裁、突破常规。应用题教学更应注重学生的创造性。在应用题中．教师要注意引导学生抓住题中的一些关键字词，创造性地解题，从而促进学生创造性思维的发展。例如，教学“分数应用题”后。我出示下列一题：
在应用题教学中．教师应注意对不同层次的学生进行针对性的指导。在教师的指导下，学生分层练习，能够获得不同层次的发展，培养创造力。例如，在教学“分数除法应用题”时。可出示以下两个条件：五年级有学生１１１人。相当于四年级学生人数的３／４，再给３个问题：（１）四年级有学生多少人？（２）四、五年级有学生多少人？（３）三年级学生人数是四年级的３／２倍，三年级有学生多少人？这道题有３个问题，可采用分层练习：学阑生做第１题：中等生做第２题；优等生做第３题。这样一道综合性题目．根据问题的难易度适用班级不同层次的学生实际水平与学习要求标准，设计行之有效的练习，能使不同水平的学生对知识进行不同层次的概括，增强学习信心。提高学生素质。
四、培养学生应用转化思想解题
转化思想是数学教学中常用的数学思想。也是解应用题的重要的思想方法。我们在解应用题时，常把新的问题转化为已知的问题。转化可以沟通知识间的联系。使得解法灵活多变。分数应用题与份数、比、按比例分配应用题都有着内在联系。它们之间常常互相转化。有些应用题数量关系较为复杂，但只要善于运用转化，即能收到事半功倍的效果。例如。教学“分数应用题”后．我布置了下面一题：
某校女生的人数是全校学生人数的４０％多２０人。但比男生少１００人。问这所学校中有男生多少人？
解答这题有一定的难度．我启发学生：“女生的人数是全校学生人数的４０％多２０人，但比男生少１００人。”学生经过思考，认为可将条件转化成：男生是全校人数的４０％多（１００＋２０）人。
因此，可求得全校的学生人数为：（１００＋２０＋２０）÷（１－－４０％ｘ２）＝７００（人）。这所学校的男生人数则为：７００ｘ４０％＋１２０－－４００（人），或为：７００－（７００ｘ４０％＋２０）－－４００（人）。
类似的，有Ｓｃｏｔｘｄｘ＝ｌｎｌｓｉｎｘｌ＋Ｃ。
例９：求，土ｄｘ。
ｘＬ－１
类似的，有，ｓｉｎ２ｘｄ】【＝了１
ｘ－｛ｓｉｎ２ｘ＋ｃ。
击。吾ｃ击一击埘击ａｘ可吉ｃ击一再１。）ｄｘ＝丢ｃｒ击州击蜘ｌ（１ｎｌｘ－ｌｌ－ｌｎｋ＋ｌｌ，缸｛ｋｌ等卜
例ｌｏ：求如ｏｓ２ｘｄ】【。
例１１：求，－：』一ｄｘ。ｆ＋４ｘ＋８
瓦１ｘ２＋４ｘ＋８（ｘ＋咖２雨１＝１４｝（ｘ记）】２ｎ，所以，ｊ三ｉｄｘ－÷
［、～…。ｘ、４ｘ＋８。４
“
，÷（ｘ＋２）】２＋・ｄ】【＝寻』÷（ｘ＋２）】２ｊ－ｄ［÷（ｘ＋２）］＝｛矾泣蚰÷（ｘ＋
２Ｍ
利用凑微分法求不定积分，要熟悉基本积分公式．在此基础上，扩大基本积分公式的应用范围。我们经过一定量的练习，注意不断总结，能达到熟练应用，也就能比较快地判断出在什么情况下用凑微分法解题。
９８
这里要用三角公式ｃ∞２ｘ．｛（１＋ｏ∞２ｘ）将被积函数进行降次，胁２ｘｄｘ－，｛（１＋ｅｏｓ２ｘ）ｄｘ＝｛Ｊｄｘ＋｛如∞２ｘｄｘ＝吉ｘ＋÷
ｓｉｎ２ｘ＋Ｃ。
万方数据
例谈凑微分法
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
李干国
淮安技师学院,江苏,淮安,223001考试周刊
KAOSHI ZHOUKAN2009，""(27)0次
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２００９＃－９２７襄（Ｔｇ）考试羯甏
例谈凑微分法
李干因
（滩安技蠛学院，江苏淮安２２３００１）
摘要：凑微分法是重要的积分法．也是初学者难以掌握的积分法。本文通过攀例拳说明如何凑微分。
关罐蘧：基本积分公式凑微分幂踅积分能够用基本积分公式商接求函数的不定积分问题很有限，对许多函数的积分，比如像Ｓｔａｎｘｄｘ这样基本初等函数的积分，都不熬建基本积分公式毫接缮塞绩暴。凑微分法，裁是先获基本积分公式巾我弼与要求的积分式子楣近的公式。再对照公式，把被积表达式凑成与公式相同的形式．从而利用公式求出积分。能够用这种方法求解的被积函数的形式的多样性，决定了凑微分法的鬟要性，也癫子被积最数形式的多撵性。决定了凑微分法的多燮性和困难穗。怎么凑，这是令初学者常感
困惑的事情。
下面试举几例来说明如何用凑微分来求不定积分。敬请
读者攒蔗。
捌ｌ：求ＳｃｏｓｘｄｘＤ
。
从基本积分公式中找到与此积分栩近的公式：Ｓｃｏｓｘｄｘ＝ｓｉｎｘ＋Ｃ。找到与公式中的不同之处：ｄｘ中ｘ的系数与被积函数中
ｘ酶系数不一群。我织通过求ｄ２ｘ＝２ｄｘ。鳓ｌｄｘ＝二ｄ２ｘ，这就是
＇
２
凑微分，用ｄ２ｘ表示ｄ）【。使得ｄ后渐的系数与前面的一样。代入。
１
１
１
得Ｓｃｏｓ２ｘｄｘ＝Ｓｅｏｓ２ｘ・÷ｄ２ｘ＝÷，ｃｏ宣２ｘｄ２ｘ２÷ｓｉｎ２ｘ＋Ｃ。
，
二
Ｚ
Ｚ
’
｛
例２：求ｆ』Ｌｄｘ。
从基本积分公式中找到岛此积分相近的公式：，上ｄｘ：１１１Ｉ
ｘｌ＋Ｃ，找蠲掰求积分每公式薛零游之薤。要凑微分．逶邋求ｄ《ｘ．｝
１）－－ｄｘ，有ｄｘ＝ｄ（ｘ＋１）’代入，得，击ｄ】【可ｘ＋击ｄ（ｘ＋１）＝ｈｌｘｌ
＋ｌｌ＋ｃ。
Ｘ＋
ｘ
１
类懿的，毒ｆ÷ｄｘ＝ｌｎｌｘ－ｌｌ＋Ｃ。
Ｘ－－ｌ
例３：求，土ｄｘ。
ｘ＋４
纛基本稷分公茂孛，我囊砖就积分稳避盼公式：ｆ土矗：
ｘ＋ｌ
黻４娥ｌ
Ｊ去妊｝赤氐娥撒４娥７
ｋ
一样。要凑擞分，毙求土２
ｘ的微分，有《÷ｘ）＝三２玉，所以有ｄｘ＝
孥！＠｝｝若≯骞『＝
丢鲫鼬寻川。＿＇。＿，’一，¨√－’＾ｊ、ｏ；．｝，
万方数据
妣球，赤帆
获基本积分公式巾我赘毒就蔌分稳近懿公式：
，—兰ｄｘ＝ａｒｅｓｉｎｘ＋Ｃ。、／ｌｏ
。
髑撇毒皴埘击埘乖可１瓯捌等
公式申的举阉之处，邋过求ｄ（｛ｘ）＝三２ｄｘ，有ｄｘ＝２ｄ（丢ｘ），奠
朋，赤出可矿季１埘而１萝峥＝
。
㈣斑１２
ｘ＋Ｃ＃
例５：求，—ｊ—ｄｘ。
（２ｘ＋１）‘
在基本积分公式审找舞与此税分相近的公式：，去ｄｘ＝
泰－２ｄｘ一上＋ｃ，￡ｈｄ（２ｘ＋Ｘ）＝２ｄｘ，ｄ】ｃ划Ｃ２ｘ＋１），从薅露，——！一ｄ艄，赤’虿１ｘ（２ｘ＋ｌ≥‘
ｄ（２ｘ＋ｍ一丽１心
对一嫂含有复合瞒敷ｆ【零《ｘ）３的积分，要找准绨个丞数爨毒（ｘ），凑微分，一般是涎避直接求ｄ【摩（ｘ）】，褥交淑豹表达式。
例６：求＾ｅ。ｄｘ。
这里ｅ‘是ｘ。的函数，直接求Ｘ２的微分，ｄｘ。＝２地，有ｘｄｘ＝
专＆，霭蕊南ｌ矗妊ｓ苫・鼍舔孓鼍｛誉酶毛毒式ｔ
有时，将被积函数先作适当变形。比较祷易看出如何凑微分。
鲷７：：；ｇＳｓｉｎ２ｘｄｘ。
解法一：很明显，ｓｉｎ２ｘ是２ｘ的聪数，Ｅｈｄ２ｘ＝２ｄｘ，ｄｘ＝－÷ｄ２ｘ，
代入，Ｊ＇ｓｉｎ２ｘｄｘ＝Ｊ＇ｓｉｎ２ｘ・｛拉ｘ＝｛牺ｎ２ｘｄ２＝渺－｛鼎１２ｘ《。
”
解法二：ｓｉｎ２ｘ＝２ｓｉｎｘｃｏｓｘ，ｄｓｉｎｘ＝ｃｏｓｘｄｘ。
Ｊ＇ｓｉｎ２ｘｄｘ＝Ｓ２ｓｉｎｘｃｏｓｘｄｘ＝２Ｊ＇ｓｉｎｘｄｓｉｎｘ－－ｓｉｎ＇ｘ＋Ｃ。
或ｄｃｏｓｘ＝－ｓｉｎｘｄｘ。Ｊ＇ｓｉｎ２ｘｄｘ＝．［２ｓｉｎｘｃｏｓｘｄｘ＝－２Ｓｅｏｓｘｄｅｎｓｘ－－
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例８：习乏Ｊｔａｎｘ叔。
这里臻先将被积鼷敷ｔａＩ疆变形为—！一・ｓｉ腻，苒把』一肴
ＣＯａＸ
ＣＯ￥Ｘ
垅是ＣＯａＸ添数，求ｄ赫栉内ｉｎｘｄｘ，嚣褥鸯ｓｉｎｘｄｘ＝－ｄｅｏｓｘ，我入褥
Ｓｔａｎｘｄｘ＝Ｓ＿～・ｓｉｎｘｄｘ¨—Ｌｄｃ撇》抽Ｉｃ删。．－㈠
考试周刊２００９年第２７期（下卷）
在应用题教学中培养学生能力
符景旺
（海口市秀英区永兴中心小学，海南海口５７１１５２）
应用题教学是小学数学教学的重点内容之一．也是训练学生应用数学知识和技能解决问题的重要方式。通过应用题的教学，促进学生数学能力的提高．是小学数学教学的一项重要任务。因为应用题反映了常见的数量关系和各种各样的实际问题。需要用不同的数学知识同实际生活联系起来．从而使学生既了解数学知识的实际应用．又初步培养运用所学的数学知识解决实际问题的能力。那么。如何在数学教学中培养学
生的能力呢？
某人计划要加工２００个零件。结果２天加工了这批零件的２／５。照这样计算，加工这批零件只要用几天？
在教学中。我引导学生找出题中的关键字词：２天加工了这批零件的２／５，引导学生进行思考。因为２天加工了这批零件的２／５。可知加工完这批零件要用的天数即为：２＋２／５＝５（天）。这比先求出２天加工的零件个数，再求出每天加工的零件个数。最后再求出加Ｔ这批零件要用的天数的常规方法简洁多了。
三、分层指导。灵活训练
一、运用应用题的开放性培养学生思维
发展学生的思维，培养学生分析问题、解决问题的能力。是教学的根本任务。一题多解在发展学生思维、培养学生的能力方面起到了重要作用。应用题的开放性。能有效地促进学生的思考，扩展学生思维，提高学生思维遥灵活性。例如。在学习
了“百分数的应用”后。我出示了下面一题：
某校五年级共有学生７９人．在参加植树劳动派一位同学去商店购买果汁，商店规定：单盒买每盒２元，买４０盒装一箱９折优惠，买５０盒装一箱８．８折优惠。怎样购买才能既让每个同
学都能喝到一盒果汁，又最省钱？
学生经过讨论分析。得出了以下几个购买方案：
（１）买单盒７９盒：２ｘ７９＝１５８（元）；
（２）买４０盒装一箱。再买单盒３９盒：２ｘ４０ｘＯ．９＋２ｘ３９＝１５０
（元）；
（３）买５０盒装一箱，再买单盒２９盒：２ｘ５０ｘＯ．８８＋２ｘ２９＝１４６
（元）；
（４）买４０盒装两箱：２×４０ｘＯ．９ｘ２＝１４４（元）。
最后得出：买４０盒装两箱。既能让每个同学喝一盒果汁．又最省钱．还剩余ｉｔ。
这样．多设计一些开放性的应用题。能有效地培养学生思维的开放性和灵活性。从而培养学生思维的有效性和创造性。
并能优化学生思维。
二、抓住关键的宇词。培养学生的创造思维
创造性思维的特征应该是新奇独特、别出心裁、突破常规。应用题教学更应注重学生的创造性。在应用题中．教师要注意引导学生抓住题中的一些关键字词，创造性地解题，从而促进学生创造性思维的发展。例如，教学“分数应用题”后。我出示下列一题：
在应用题教学中．教师应注意对不同层次的学生进行针对性的指导。在教师的指导下，学生分层练习，能够获得不同层次的发展，培养创造力。例如，在教学“分数除法应用题”时。可出示以下两个条件：五年级有学生１１１人。相当于四年级学生人数的３／４，再给３个问题：（１）四年级有学生多少人？（２）四、五年级有学生多少人？（３）三年级学生人数是四年级的３／２倍，三年级有学生多少人？这道题有３个问题，可采用分层练习：学阑生做第１题：中等生做第２题；优等生做第３题。这样一道综合性题目．根据问题的难易度适用班级不同层次的学生实际水平与学习要求标准，设计行之有效的练习，能使不同水平的学生对知识进行不同层次的概括，增强学习信心。提高学生素质。
四、培养学生应用转化思想解题
转化思想是数学教学中常用的数学思想。也是解应用题的重要的思想方法。我们在解应用题时，常把新的问题转化为已知的问题。转化可以沟通知识间的联系。使得解法灵活多变。分数应用题与份数、比、按比例分配应用题都有着内在联系。它们之间常常互相转化。有些应用题数量关系较为复杂，但只要善于运用转化，即能收到事半功倍的效果。例如。教学“分数应用题”后．我布置了下面一题：
某校女生的人数是全校学生人数的４０％多２０人。但比男生少１００人。问这所学校中有男生多少人？
解答这题有一定的难度．我启发学生：“女生的人数是全校学生人数的４０％多２０人，但比男生少１００人。”学生经过思考，认为可将条件转化成：男生是全校人数的４０％多（１００＋２０）人。
因此，可求得全校的学生人数为：（１００＋２０＋２０）÷（１－－４０％ｘ２）＝７００（人）。这所学校的男生人数则为：７００ｘ４０％＋１２０－－４００（人），或为：７００－（７００ｘ４０％＋２０）－－４００（人）。
类似的，有Ｓｃｏｔｘｄｘ＝ｌｎｌｓｉｎｘｌ＋Ｃ。
例９：求，土ｄｘ。
ｘＬ－１
类似的，有，ｓｉｎ２ｘｄ】【＝了１
ｘ－｛ｓｉｎ２ｘ＋ｃ。
击。吾ｃ击一击埘击ａｘ可吉ｃ击一再１。）ｄｘ＝丢ｃｒ击州击蜘ｌ（１ｎｌｘ－ｌｌ－ｌｎｋ＋ｌｌ，缸｛ｋｌ等卜
例ｌｏ：求如ｏｓ２ｘｄ】【。
例１１：求，－：』一ｄｘ。ｆ＋４ｘ＋８
瓦１ｘ２＋４ｘ＋８（ｘ＋咖２雨１＝１４｝（ｘ记）】２ｎ，所以，ｊ三ｉｄｘ－÷
［、～…。ｘ、４ｘ＋８。４
“
，÷（ｘ＋２）】２＋・ｄ】【＝寻』÷（ｘ＋２）】２ｊ－ｄ［÷（ｘ＋２）］＝｛矾泣蚰÷（ｘ＋
２Ｍ
利用凑微分法求不定积分，要熟悉基本积分公式．在此基础上，扩大基本积分公式的应用范围。我们经过一定量的练习，注意不断总结，能达到熟练应用，也就能比较快地判断出在什么情况下用凑微分法解题。
９８
这里要用三角公式ｃ∞２ｘ．｛（１＋ｏ∞２ｘ）将被积函数进行降次，胁２ｘｄｘ－，｛（１＋ｅｏｓ２ｘ）ｄｘ＝｛Ｊｄｘ＋｛如∞２ｘｄｘ＝吉ｘ＋÷
ｓｉｎ２ｘ＋Ｃ。
万方数据
例谈凑微分法
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
李干国
淮安技师学院,江苏,淮安,223001考试周刊
KAOSHI ZHOUKAN2009，""(27)0次
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