5.2向量空间的定义和基本性质
授课题目：5.2线性空间的定义和基本性质
教学目标：理解并掌握线性空间的定义及基本性质
授课时数：3学时
教学重点：线性空间的定义及基本性质
教学难点：性质及有关结论的证明
教学过程：
一、线性空间的定义
1. 引例―――定义产生的背景
例子． 设α, β, γ∈F n , a , b ∈F 则向量的加法和数与向量的乘法满足下述运算律.
（1）α+β=β+α （2）(α+β) +γ=α+(β+γ)
对∀α，有-α使α+（-α）=0 （3）∃零向量∀α有+α=α （4）
（5）a (α+β) =a α+a β （6）(a +b ) α=a α+b α
（7）(ab ) α=a (b α) （8）1⋅α=α
这里α, β, γ∈F n , a , b ∈F
2. 向量空间的定义－抽象出的数学本质
Def: 设V 是一个非空集合，其中的元素称为向量。记作α, β, γ, ；F 是一个数域a , b , c ∈F , 如果在集合V 中定义了一个叫做加法的代数运算，且定义了F ⨯V 到V 的一个叫做纯量乘法的代数运算. （F 中元素a 与V 中α的乘积记作a α, a α∈V ）。如果加法和纯量乘法满足：
1）α+β=β+α
2）(α+β) +γ=α+(β+γ)
3）∃0∈V , 对∀α∈V ，有0+α=α （找出0元）
4）∀α∈V ，∃αˊ∈V 使得α+αˊ=称αˊ为α的负向量（找出负元） 5）a (α+β) =a α+a β
6）(a +b ) α=a α+b α
7）(ab ) α=a (b α)
8）1⋅α=α
V 是F 上的一个线性空间，并称F 为基数域.
3. 进一步的例子――加深定义的理解
例1：复数域C 对复数的加法和实数与复数的乘法作成实数域R 上的线性空间.
例2：任意数域F 可看作它自身的线性空间.
例3 V ={α}其加法定义为α+α=α, 数乘定义为a α=α, 则V 是数域F 上的线性空间.
注: V={0}对普通加法和乘法是数域F 上的线性空间, 称为零空间.
例4：设F 是有理数域，V 是正实数集合，规定α⊕β=αβ, a ⊗α=αa (α, β∈V , a ∈F )
练习 集合V 对规定的⊕, 是否作成数域F 上的线性空间？
V =F n ,(a 1, a 2, , a n ) ⊕(b 1, b 2, , b n )
=(a 1+b 1, a 2+b 2, , a n +b n ),
a (a 1, a 2, , a n ) =(0,0, ,0)
解 显然V 对⊕, 满足条件1）—7），但对任意的
(a 1, a 2, , a n ) ∈F n
有1 (a 1, a 2, , a n ) =(0,0, ,0) ≠(a 1, a 2, , a n ),
故集合V 对规定的不作成数域F 上的线性空间.
由此例可以看出, 线性空间定义中的条件8) 是独立的, 它不能由其他条件推出.
二、线性空间的简单性质
1、线性空间V 的加法和纯量乘法有以下基本性质.
Th5.2.1
1） V 的零向量唯一，V 中每个向量的负向量是唯一的.
2） -(-α) =α
证明：1）设01,02是V 的两个零向量，则01=01+02=02.
设α1, α2是α的负向量, 则有
于是 α1+α=0, α2+α=0, α1=α1+0=α1+(α+α2) =(α1+α) +α2=0+α2=α2
*由于负向量的唯一性, 以后我们把的α唯一负向量记作-α.
2） 因α+(-α) =0, 所以-(-α) =α.
3） *我们规定: α-β=α+(-β), 且有α+β=γ⇔α=γ-β.
定理5.2.2 对F 的任意数a, b和V 中任意向量α, β, 则有
1) 0α=α0=0.
2) a (-α) =(-a ) α=-a α, 特别地, (-1) α=-α.
3) a α=0⇒a =0或α=0.
4) a (α-β) =a α-a β,(a -b ) α=a α-b α.
证明: 1) 因为0α=(0+0) α=0α+0α. 所以0α=0. 类似地可证α0=0.
α) ) =a 0= 0所, 以a (-α) 是a α的负向量, 即 2) 因为a α+a (-α) =a (α+(-
a (-α) =-a α.
同理可证 (-a ) α=-a α.
3) 设a α=0,
-1 如果-1a ≠0, 则有a -1∈F , 于是α=1⋅αa -(1=a ) αa =(a α a ) =0=0.
4) a (α-β) =a (α+(-β)) =a α+a (-β) =a α-a β,
(a -b ) α=(a +(-b )) α=a α+(-b ) α=a α-b α.
注: 线性空间的定义中1⋅α=α与定理5.2.2的性质3) 在其他条件不变的情况下等价.
事实上, 由线性空间的定义可推出定理5.2.2的性质3).
反之, 由线性空间定义中的条件1) —7) 及定理5.2.2的性质3）可推得1⋅α=α
1⋅(1⋅α-α) =1⋅(1⋅α+(-α))
因为 =1⋅(1⋅α) +1⋅(-α) =(1⋅1) ⋅α+(-1) ⋅α
=1⋅α+(-1) ⋅α=0,
由性质3） 1⋅α-α=0所以 . , 1⋅α=α
课堂讨论题：
检验以下集合对于指定的线性运算是否构成相应数域上的线性空间：
1）起点在原点，终点在一条直线上的空间向量的全体作成的集合V ，按通常集合向量的加法及数乘运算；
2）V 1={(x 1, x 2, , x n ) x 1+x 2+ +x n =1, x i ∈F }
V 2={(x 1, x 2, , x n ) x 1+x 2+ +x n =0, x i ∈F }
按通常数域F 上n 维向量的加法及乘法运算；
3）V 3={X Tr (X ) =0, X ∈F n ⨯n }
V 3={数域F 上n 阶对称与反对称方阵的全体}
按通常数域F 上矩阵的加法及乘法运算；
4）V 5={a 1x +a 3x 3+ +a 2n +1x 2n +1a i ∈F }
V 6={a 0+a 1x +a 2x 2+ +a n -1x n -1a 0+a 1+ +a n -1=1, a i ∈F }
按通常数域F 上多项式的加法及数乘运算；
5）全体实数R 的集合按通常数的加法与乘法运算是否构成复数域C 上线性空间？ 全体复数域C 的集合按通常数的加法与乘法运算是否构成实数域R 上线性空间？
6）数域F 上的n 阶方阵全体，按通常数与矩阵乘法，但加法定义为
A ⊕B =A B -B A
三、子空间
1、子空间的定义
定义2：子空间的定义：V 是F 上一个线性空间，W 是V 的一个非空子集，如果W 对V 的加法和F ⨯V 到V 的纯量乘法，也作成F 上的一个线性空间，则称W 是V 的子空间。
例5：F n [x]是F[x]的子空间.
例6：V 是它本身的一个子空间. {0}也是V 的子空间.
V 和零空间叫做V 的平凡子空间，V 的其他子空间叫做V 的真子空间.
2、子空间的判断：
Th5.2.3 设V 是数域F 上的线性空间, W是V 的一个非空子集，则W 是V 的子空间的充要条件：
（1）∀α, β∈V , 有α+β∈V
（2）∀a ∈F , α∈V 有a α∈W
证明：
(1) W 对加法封闭, 即对任意α, β∈W , 有α+β∈W .
(2) W 对纯量乘法封闭, 即对任意a ∈F , α∈W , 有a α∈W .
证明: 必要性. 设W 是V 的子空间, 则V 的加法是W 的代数运算, 从而W 对V 的加法封闭; 另外, F ⨯V 到V 的纯量乘法也是F ⨯W 到W 的纯量乘法, 因此W 对纯量乘法也封闭.
充分性. 由于W 对V 的加法封闭, 对F ⨯V 到V 的纯量乘法封闭, 所以V 的加法是W 的代数运算, F ⨯V 到V 的纯量乘法也是F ⨯W 到V 的纯量乘法的代数运算. 线性空间定义中的算律1), 2), 5), 6), 7), 8)对V 中任意向量都成立, 自然对W 的向量也成立. 由W 对纯量乘法的封闭性和定理5.2.2, 对于α∈W ,0=0α∈W , 所以V 中的零向量属于W, 它自然也是W 的零向量, 并且-α=(-1) α∈W , 因此条件3) 和条件4) 也成立, 故W 是
V 的子空间.
推论1：W 是V 的一个非空子集，则W 是V 的子空间的充要条件：
∀a , b ∈F , α, β∈W 有a α+b β∈W
3、生成子空间
例7：设α1, α2, , αn 是数域F 上的线性空间V 的一组向量.
L (α1, α2, , αn ) ={a 1α1+a 2α2+ +a n αn |a i ∈F }
则L (α1, α2, , αn ) 作为V 的一个子空间.
事实上, 取a i =0(i =1,2, , n ), 于是
0=0α1+0α2+ 0αn ∈L (α1, α2, , αn ),
又因(a 1α1+a 2α2+ a n αn ) +(b 1α1+b 2α2+ b n αn ) 所以L (α1, α2, , αn ) ≠φ.
=(a 1+b 1) α1+(a 2+b 2) α2+ +(a n +b n ) αn ) ∈L (α1, α2, , αn ) a (a 1α1+a 2α2+ a n αn ) =(aa 1) α1+(aa 2) α2+ +(aa n ) αn ∈L (α1, α2, , αn ),
所以L (α1, α2, , αn ) 作成V 的一个子空间.
L (α1, α2, , αn ) 称为由α1, α2, , αn 生成的
子空间, α1, α2, , αn 称为它的一组生成元.
4、子空间的交与并
Th4: W1,W 2是V 的两个子空间，则W 1⋂ W 2仍是V 的子空间. (问W 1⋃W 2是否为V 的子空间.)
证明: 因为W 1,W 2是V 的两个子空间，所以0∈W 1,0∈W 2, 从而0∈W 1⋂W 2, 于是 W 1⋂W 2≠φ.
对任意a , b ∈F , α, β∈W 1⋂W 2,
有a α+b β∈W 1, a α+b β∈W 2,
因而a α+b β∈W 1⋂W 2,
所以W 1⋂W 2是V 的子空间.
推广：若W 1，W 2 W n 是V 的子空间，则 W i (i =1, 2, n ) 也是V 的子空间.
例：A 是一个n 阶矩阵，S （A ）={B∈M n [F ]|AB=BA}则S （A ）是U n [F ]的一个子空间.
证： IA =AI ∴I ∈S (A ) ≠Φ
∀B 1, B 2∈S (A ), 于是AB 1=B 1A ，AB 2=B 2A
又
A (kB 1+lB 2) =kAB 1+lAB 2
=kB 1A +lB 2A
=(kB 1+lB 2) A
∴kB 1+lB 2∈S (A )
2. 两个子空间的并则不一定是子空间. （W 1 W 2={α|α∈W 1或α∈W 2}）
例：设V 1，V 2是V 的两个子空间，证明V 1 V 2是V 的子空间的充要条件是V 1⊆V 2或V 2⊆V 1.
“⇒”（充分性）证： 当V 1⊆V 2时V 1 V 2=V 2
当V 2⊆V 1时V 1⊆V 2=V 1
由已知V 1，V 2均为V 的子空间.
“⇐”（反证）设V 1 V 2是V 的子空间，且V 1⊄V 2，则存在α∈V 1，V 2⊄V 1，α∈V 2，也存在β∈V 1，β ∈V 2，由于α, β∈V 1 V 2且V 1 V 2是V 的子空间，因而α+β∈V 1 V 2，于是α+β∈V 1或α+β∈V 2，故有β∈V 1或α∉V 2与α∉V 2且β∈V 1矛盾
因此 V 1⊆V 2或V 2⊆V 1
5.2向量空间的定义和基本性质
授课题目：5.2线性空间的定义和基本性质
教学目标：理解并掌握线性空间的定义及基本性质
授课时数：3学时
教学重点：线性空间的定义及基本性质
教学难点：性质及有关结论的证明
教学过程：
一、线性空间的定义
1. 引例―――定义产生的背景
例子． 设α, β, γ∈F n , a , b ∈F 则向量的加法和数与向量的乘法满足下述运算律.
（1）α+β=β+α （2）(α+β) +γ=α+(β+γ)
对∀α，有-α使α+（-α）=0 （3）∃零向量∀α有+α=α （4）
（5）a (α+β) =a α+a β （6）(a +b ) α=a α+b α
（7）(ab ) α=a (b α) （8）1⋅α=α
这里α, β, γ∈F n , a , b ∈F
2. 向量空间的定义－抽象出的数学本质
Def: 设V 是一个非空集合，其中的元素称为向量。记作α, β, γ, ；F 是一个数域a , b , c ∈F , 如果在集合V 中定义了一个叫做加法的代数运算，且定义了F ⨯V 到V 的一个叫做纯量乘法的代数运算. （F 中元素a 与V 中α的乘积记作a α, a α∈V ）。如果加法和纯量乘法满足：
1）α+β=β+α
2）(α+β) +γ=α+(β+γ)
3）∃0∈V , 对∀α∈V ，有0+α=α （找出0元）
4）∀α∈V ，∃αˊ∈V 使得α+αˊ=称αˊ为α的负向量（找出负元） 5）a (α+β) =a α+a β
6）(a +b ) α=a α+b α
7）(ab ) α=a (b α)
8）1⋅α=α
V 是F 上的一个线性空间，并称F 为基数域.
3. 进一步的例子――加深定义的理解
例1：复数域C 对复数的加法和实数与复数的乘法作成实数域R 上的线性空间.
例2：任意数域F 可看作它自身的线性空间.
例3 V ={α}其加法定义为α+α=α, 数乘定义为a α=α, 则V 是数域F 上的线性空间.
注: V={0}对普通加法和乘法是数域F 上的线性空间, 称为零空间.
例4：设F 是有理数域，V 是正实数集合，规定α⊕β=αβ, a ⊗α=αa (α, β∈V , a ∈F )
练习 集合V 对规定的⊕, 是否作成数域F 上的线性空间？
V =F n ,(a 1, a 2, , a n ) ⊕(b 1, b 2, , b n )
=(a 1+b 1, a 2+b 2, , a n +b n ),
a (a 1, a 2, , a n ) =(0,0, ,0)
解 显然V 对⊕, 满足条件1）—7），但对任意的
(a 1, a 2, , a n ) ∈F n
有1 (a 1, a 2, , a n ) =(0,0, ,0) ≠(a 1, a 2, , a n ),
故集合V 对规定的不作成数域F 上的线性空间.
由此例可以看出, 线性空间定义中的条件8) 是独立的, 它不能由其他条件推出.
二、线性空间的简单性质
1、线性空间V 的加法和纯量乘法有以下基本性质.
Th5.2.1
1） V 的零向量唯一，V 中每个向量的负向量是唯一的.
2） -(-α) =α
证明：1）设01,02是V 的两个零向量，则01=01+02=02.
设α1, α2是α的负向量, 则有
于是 α1+α=0, α2+α=0, α1=α1+0=α1+(α+α2) =(α1+α) +α2=0+α2=α2
*由于负向量的唯一性, 以后我们把的α唯一负向量记作-α.
2） 因α+(-α) =0, 所以-(-α) =α.
3） *我们规定: α-β=α+(-β), 且有α+β=γ⇔α=γ-β.
定理5.2.2 对F 的任意数a, b和V 中任意向量α, β, 则有
1) 0α=α0=0.
2) a (-α) =(-a ) α=-a α, 特别地, (-1) α=-α.
3) a α=0⇒a =0或α=0.
4) a (α-β) =a α-a β,(a -b ) α=a α-b α.
证明: 1) 因为0α=(0+0) α=0α+0α. 所以0α=0. 类似地可证α0=0.
α) ) =a 0= 0所, 以a (-α) 是a α的负向量, 即 2) 因为a α+a (-α) =a (α+(-
a (-α) =-a α.
同理可证 (-a ) α=-a α.
3) 设a α=0,
-1 如果-1a ≠0, 则有a -1∈F , 于是α=1⋅αa -(1=a ) αa =(a α a ) =0=0.
4) a (α-β) =a (α+(-β)) =a α+a (-β) =a α-a β,
(a -b ) α=(a +(-b )) α=a α+(-b ) α=a α-b α.
注: 线性空间的定义中1⋅α=α与定理5.2.2的性质3) 在其他条件不变的情况下等价.
事实上, 由线性空间的定义可推出定理5.2.2的性质3).
反之, 由线性空间定义中的条件1) —7) 及定理5.2.2的性质3）可推得1⋅α=α
1⋅(1⋅α-α) =1⋅(1⋅α+(-α))
因为 =1⋅(1⋅α) +1⋅(-α) =(1⋅1) ⋅α+(-1) ⋅α
=1⋅α+(-1) ⋅α=0,
由性质3） 1⋅α-α=0所以 . , 1⋅α=α
课堂讨论题：
检验以下集合对于指定的线性运算是否构成相应数域上的线性空间：
1）起点在原点，终点在一条直线上的空间向量的全体作成的集合V ，按通常集合向量的加法及数乘运算；
2）V 1={(x 1, x 2, , x n ) x 1+x 2+ +x n =1, x i ∈F }
V 2={(x 1, x 2, , x n ) x 1+x 2+ +x n =0, x i ∈F }
按通常数域F 上n 维向量的加法及乘法运算；
3）V 3={X Tr (X ) =0, X ∈F n ⨯n }
V 3={数域F 上n 阶对称与反对称方阵的全体}
按通常数域F 上矩阵的加法及乘法运算；
4）V 5={a 1x +a 3x 3+ +a 2n +1x 2n +1a i ∈F }
V 6={a 0+a 1x +a 2x 2+ +a n -1x n -1a 0+a 1+ +a n -1=1, a i ∈F }
按通常数域F 上多项式的加法及数乘运算；
5）全体实数R 的集合按通常数的加法与乘法运算是否构成复数域C 上线性空间？ 全体复数域C 的集合按通常数的加法与乘法运算是否构成实数域R 上线性空间？
6）数域F 上的n 阶方阵全体，按通常数与矩阵乘法，但加法定义为
A ⊕B =A B -B A
三、子空间
1、子空间的定义
定义2：子空间的定义：V 是F 上一个线性空间，W 是V 的一个非空子集，如果W 对V 的加法和F ⨯V 到V 的纯量乘法，也作成F 上的一个线性空间，则称W 是V 的子空间。
例5：F n [x]是F[x]的子空间.
例6：V 是它本身的一个子空间. {0}也是V 的子空间.
V 和零空间叫做V 的平凡子空间，V 的其他子空间叫做V 的真子空间.
2、子空间的判断：
Th5.2.3 设V 是数域F 上的线性空间, W是V 的一个非空子集，则W 是V 的子空间的充要条件：
（1）∀α, β∈V , 有α+β∈V
（2）∀a ∈F , α∈V 有a α∈W
证明：
(1) W 对加法封闭, 即对任意α, β∈W , 有α+β∈W .
(2) W 对纯量乘法封闭, 即对任意a ∈F , α∈W , 有a α∈W .
证明: 必要性. 设W 是V 的子空间, 则V 的加法是W 的代数运算, 从而W 对V 的加法封闭; 另外, F ⨯V 到V 的纯量乘法也是F ⨯W 到W 的纯量乘法, 因此W 对纯量乘法也封闭.
充分性. 由于W 对V 的加法封闭, 对F ⨯V 到V 的纯量乘法封闭, 所以V 的加法是W 的代数运算, F ⨯V 到V 的纯量乘法也是F ⨯W 到V 的纯量乘法的代数运算. 线性空间定义中的算律1), 2), 5), 6), 7), 8)对V 中任意向量都成立, 自然对W 的向量也成立. 由W 对纯量乘法的封闭性和定理5.2.2, 对于α∈W ,0=0α∈W , 所以V 中的零向量属于W, 它自然也是W 的零向量, 并且-α=(-1) α∈W , 因此条件3) 和条件4) 也成立, 故W 是
V 的子空间.
推论1：W 是V 的一个非空子集，则W 是V 的子空间的充要条件：
∀a , b ∈F , α, β∈W 有a α+b β∈W
3、生成子空间
例7：设α1, α2, , αn 是数域F 上的线性空间V 的一组向量.
L (α1, α2, , αn ) ={a 1α1+a 2α2+ +a n αn |a i ∈F }
则L (α1, α2, , αn ) 作为V 的一个子空间.
事实上, 取a i =0(i =1,2, , n ), 于是
0=0α1+0α2+ 0αn ∈L (α1, α2, , αn ),
又因(a 1α1+a 2α2+ a n αn ) +(b 1α1+b 2α2+ b n αn ) 所以L (α1, α2, , αn ) ≠φ.
=(a 1+b 1) α1+(a 2+b 2) α2+ +(a n +b n ) αn ) ∈L (α1, α2, , αn ) a (a 1α1+a 2α2+ a n αn ) =(aa 1) α1+(aa 2) α2+ +(aa n ) αn ∈L (α1, α2, , αn ),
所以L (α1, α2, , αn ) 作成V 的一个子空间.
L (α1, α2, , αn ) 称为由α1, α2, , αn 生成的
子空间, α1, α2, , αn 称为它的一组生成元.
4、子空间的交与并
Th4: W1,W 2是V 的两个子空间，则W 1⋂ W 2仍是V 的子空间. (问W 1⋃W 2是否为V 的子空间.)
证明: 因为W 1,W 2是V 的两个子空间，所以0∈W 1,0∈W 2, 从而0∈W 1⋂W 2, 于是 W 1⋂W 2≠φ.
对任意a , b ∈F , α, β∈W 1⋂W 2,
有a α+b β∈W 1, a α+b β∈W 2,
因而a α+b β∈W 1⋂W 2,
所以W 1⋂W 2是V 的子空间.
推广：若W 1，W 2 W n 是V 的子空间，则 W i (i =1, 2, n ) 也是V 的子空间.
例：A 是一个n 阶矩阵，S （A ）={B∈M n [F ]|AB=BA}则S （A ）是U n [F ]的一个子空间.
证： IA =AI ∴I ∈S (A ) ≠Φ
∀B 1, B 2∈S (A ), 于是AB 1=B 1A ，AB 2=B 2A
又
A (kB 1+lB 2) =kAB 1+lAB 2
=kB 1A +lB 2A
=(kB 1+lB 2) A
∴kB 1+lB 2∈S (A )
2. 两个子空间的并则不一定是子空间. （W 1 W 2={α|α∈W 1或α∈W 2}）
例：设V 1，V 2是V 的两个子空间，证明V 1 V 2是V 的子空间的充要条件是V 1⊆V 2或V 2⊆V 1.
“⇒”（充分性）证： 当V 1⊆V 2时V 1 V 2=V 2
当V 2⊆V 1时V 1⊆V 2=V 1
由已知V 1，V 2均为V 的子空间.
“⇐”（反证）设V 1 V 2是V 的子空间，且V 1⊄V 2，则存在α∈V 1，V 2⊄V 1，α∈V 2，也存在β∈V 1，β ∈V 2，由于α, β∈V 1 V 2且V 1 V 2是V 的子空间，因而α+β∈V 1 V 2，于是α+β∈V 1或α+β∈V 2，故有β∈V 1或α∉V 2与α∉V 2且β∈V 1矛盾
因此 V 1⊆V 2或V 2⊆V 1