论文题目：长江水质的评价及预测
摘要
本文主要通过对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价，根据近十年长江流域的水质报告，研究、预测未来长江水质变化趋势，并分析制定出解决长江水质污染问题的合理建议及计划。
针对问题一：通过分析近两年水质污染中四种主要指标含量，通过层次分析法计算出权重，然后进行灰色关联分析，得到近两年17各地区的主要指标灰色关联度，综合排序后，得出结论：
干流水质最好的区段是四川攀枝花龙洞段，支流水质最好的是湖北丹江口胡家岭；水质最差的城市是湖南岳阳岳阳楼（洞庭湖出口）地区，干流水质最差的是湖南岳阳城陵矶段，主要污染可能是来自于洞庭湖。
针对问题二：将长江干流7个观测站点分为长江分为6个江段，建立微分方程模型，先计算出每月每段的高锰酸盐和氨氮的量，再求六个污染源近一年多里每个月各个观测段的高锰酸钾和氨氮含量的平均值。最后进行对比，找到高锰酸钾和氨氮含量最高的观测段，发现主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的污染源存在于湖北宜昌南津关至湖南岳阳城陵矶段。
针对问题三：用水文年的数据进行预测长江未来十年水质变化情况，建立灰色预测模型来预测长江未来水质的发展趋势，将结果进过对比分析，发现可饮用水的比例在不断下降，2014年可饮用水比例下降到56.54，2014年劣V 类水的比例上升到19.95，排污量有明显的上升趋势，2014年排污量达到了531.31。总体来说排污量和劣质水比例的不断增加，可饮用水的比例不断减少，未来十年长江的水质会不断变差。
针对问题四：通过建立废水排放量与各类水百分比之间的二元线性回归模型，计算出长江所能承受的最大污水排放量为210.92亿吨，将这个排放量与预测的排放量作差，可得到未来十年每年需要处理的污水量。最后得出随着年限的增加，每年需要处理的污水数量有不断上升的趋势，而每年污水的排放量也在快速增长。
针对问题五：通过对上述问题的讨论，对长江水质进行分析的出评价和预测结果，总结出水质污染的根本原因。结合考察团的调查结果，模型分析得到主要污染地区，给出合理的建议和意见。
关键词：层次分析法；灰色关联分析；微分方程；灰色预测模型；二元线性回归
一．问题重述
1.1问题产生的背景
水是人类赖以生存的资源，保护水资源就是保护我们自己，对于我国大江大河水资源的保护和治理应是重中之重。长江是我国第一、世界第三大河流，长江水质的污染程度日趋严重，已引起了相关政府部门和专家们的高度重视。全国政协与中国发展研究院联合组成“保护长江万里行”考察团，10月10日从长江上游宜宾出发，历时12天抵达上海，赴21个城市实地调研，揭示了一幅长江污染的真实画面，其污染程度让人触目惊心。为此，专家们提出“若不及时拯救，长江生态10年内将濒临崩溃”，并发出了“拿什么拯救癌变长江”的呼唤。
1.2相关数据
附件3给出了长江沿线17个观测站（地区）近两年多主要水质指标的检测数据，以及干流上７个观测站近一年多的基本数据（站点距离、水流量和水流速）。
附件4是“1995~2004年长江流域水质报告”给出的主要统计数据。下面的附表是国标(GB3838-2002) 给出的《地表水环境质量标准》中4个主要项目标准
位：mg/L。
1.3需要解决的问题
为了解决长江水质污染问题，制定合理的治污方案，现根据近几年对长江水质情况的检测数据，讨论以下问题：
对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价，并分析各地区水质的污染状况。
研究、分析长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的污染源主要在哪些地区。
假如不采取更有效的治理措施，依照过去10年的主要统计数据，对长江未来水质污染的发展趋势做出预测分析，比如研究未来10年的情况。
根据预测分析，如果未来10年内每年都要求长江干流的Ⅳ类和Ⅴ类水的比例控制在20%以内，且没有劣Ⅴ类水, 求每年需要处理的污水量。
对解决长江水质污染问题有什么切实可行的建议和意见。
二．模型的假设
（1）水质污染只受所给四项指标的影响； （2）水流量近似不变；
（3）污染源只存在于两个观测点之间。
三．符号说明
四．问题分析
4.1对问题一的分析
对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价，并分析各地区水质的污染
Do 、Codm 、状况。通过题目及附录中给出的相关数据，水质污染主要由四种Ph 、
Nh3-N 四种指标判断，所以以水质污染中这四种物质为水质情况综合评价标准。要分析这水中四种物质含量，需要通过matlab 进行灰色关联分析，从而计算出灰色关联度。首先通过层次分析，得到权重，然后计算出关联度，进行大小排序，关联度越大，说明水质情况越好，从而以此分析各地区的水质污染状况，得到干流及支流水质最差和最好的地区。
4.2对问题二的分析
为了研究、分析长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的污染源，需要求出一年多里每个月各个观测段的高锰酸钾和氨氮含量的平均值。下游观测点的污染物含量是上游污染物经降解后的含量与两观测点之间污染源发出的污染物含量的和。所以，计算两个观测点之间高锰酸钾和氨氮含量来判断污染源所在位置。建立微分方程模型，由上游观测点的污染量与降解系数求出污染物的变化量。将长江干流7个观测站点分为长江分为6个江段，先计算出每月每段的高锰酸盐和氨氮的量，再求六个污染源近一年所排放的污染物含量的平均值。最后进行对比，找到高锰酸钾和氨氮含量最高的观测段，即为高锰酸盐指数和氨氮的污染源。
4.3对问题三的分析
不采取更有效的治理措施，依照过去10年的主要统计数据，对长江未来水质污染的发展趋势做出预测分析。由于问题三数据的异常性较高，已知数据较少且是对在一定范围内变化、与时间序列有关的未知过程进行预测，符合灰色预测理论。根据地表水环境的标准中I 、II 、III 类为可饮用水，其余三类为不可饮用水，而将1995到2004长江流域水质报告对比发现，用水文年的数据进行预测长江未来十年水质变化情况比较客观，排污量的预测则由过去十年来的排污量进行预测，最后得到对未来十年较为准确预测。
4.4对问题四的分析
如果未来10年内每年都要求长江干流的Ⅳ类和Ⅴ类水的比例控制在20%以内，且没有劣Ⅴ类水, 求每年需要处理的污水量。通过建立废水排放量与各类水百分比之间的二元线性回归模型，计算出在满足题目要求的情况下，长江所能承受的最大污水排放量为210.92亿吨，将这个排放量与预测的排放量作差，可得到未来十年每年需要处理的污水量。随着年限的增加，每年需要处理的污水数量有不断上升的趋势，而每年污水的排放量也在快速增长。
4.5对问题五的分析
分析附录中长江流域河流污染出现问题和不同时段各地区的水流量及主要污染物质含量的监测数据，对长江水质进行分析的出评价和预测结果，总结出水质污染的根本原因。结合考察团的调查结果，模型分析得到主要污染地区，给出合理的建议和意见。
五．数据的分析和处理
5.1数据的标准化处理
将各地区进行编号排序，便于编程的进行，使计算结果结果更加明确，便于了解各地区的污染情况。
便于观察对水质影响的四种主要物质含量。 六．对问题的求解
6.1问题一的求解
6.1.1模型的建立和求解
确定比较的对象和参考数列，设评价对象有m 个，评价指标有n 个，参考数列为
x 0={x 0⨯(k ) k =1, 2, …, n }
比较数列为
x i ={x i ⨯(k ) k =1, 2, …, n }，i =1,2, …, m 。
确定各指标值对应的权重，用层次分析法确定各项指标对应的权重
w =w 1, …, w n
第k 个评价指标对应的权重w k 为
w k (k =1,2, …, n )
计算灰色关联系数ξi (k ) ：
ξi (k ) =
min min x 0(t ) -x s (t ) +ρmax min x 0(t ) -x s (t )
s
t
s
t
x 0(k ) -x i (k ) +ρmax min x 0(t ) -x s (t )
s
t
比较数列x i 对参考数列x 0在第k 个指标上的关联系数，其中ρ∈[0,1]为分辨系数，分辨系数ρ越大，分辨率越大；分辨系数ρ越小，分辨率越小。
r i 为第i 个评价对象对理想对象的灰色加权关联度，计算灰色加权关联度:
r i =∑w i ξi (k ) [1]
k =1n
根据灰色关联度的大小，对各评价对象进行排序，建立评价对象关联度，关联度越大，评价结果就越好。
利用matlab 对数据进行了灰色关联度的求解，得到不同地区的灰色关联度r i，通过关联度的大小（表3）分析判断各地区的污染情况。
其环境污染情况越轻微；关联度越小的地区，其环境污染情况越严重，通过对关联度的大小对比，得到了近两年来长江地区的污染情况。
6.1.2问题一的结果分析
个观测点28个月的水质的关联度系数，得出水质最差的是湖南岳阳岳阳楼（洞庭湖出口）地区，干流水质最差的是湖南岳阳城陵矶段，主要污染可能是来自于洞庭湖；干流水质最好的区段是四川攀枝花龙洞段，支流水质最好的是湖北丹江口胡家岭。
6.2问题二的求解
6.2.1模型的建立和求解
计算两个观测点之间高锰酸钾和氨氮含量来判断污染源所在位置，建立微分方程模型，根据上游观测点的污染量p 0与降解系数α求出污染物的变化量：
dp
=-α⨯p 0 dt
污染物总量p 为
p =p 0⨯e -α
通过两观测点的距离x i -x i -1和污染物流动的平均速度v ，污染物从上游观测点到下游观测点需要的时间t ：
t =
x i -x i -1
(i =2，…，7) v
t
污染物从上游观测点到下游观测点的平均速度v ：
v =
v i -v i -1
2
计算得到表5：
江河西水到安徽安庆皖河口段的高锰酸盐数量最少，氨氮的数量在安徽安庆皖河口至江苏南京林山段最少。 6.2.2问题二的结果分析
将长江干流7个观测站点分为长江分为6个江段，通过污染物流量随时间的变化关系建立了微分方程模型，先计算出每月每段的高锰酸盐和氨氮的量，再对六个污染源近一年所排放的污染物含量的平均值，分析湖北宜昌南津关至湖南岳阳城陵矶段的高锰酸盐和氨氮的数量最多，江西九江河西水到安徽安庆皖河口段的高锰酸盐数量最少，氨氮的数量在安徽安庆皖河口至江苏南京林山段最少，得出污染物高锰酸盐指数和氨氮的污染源主要集中在湖北宜昌南津关至湖南岳阳城陵矶段。
6.3问题三的求解
6.3.1模型的建立
预测未来十年长江水质的变化，建立灰色预测模型，通过对水文年全流域水质的变化，研究来对长江未来水质污染的发展趋势作出预测分析。
根据参考数据列，建立水文年全流域数据时间序列如下：
x (0)=(x (0)(1),x (0)(2),…, x (0)(10))
级比λ(k )
x (0)(k -1)
λ(k ) =(0)
x (k )
λ=(λ(2),λ(3),…, λ(10))
进行级比判断
λ(k ) ∈[λ(2),λ(10)],(k =2,…,10)
用x (0)作令人满意的GM (1,1)建模，对于原始数据进行累加处理：
k
x (k ) =∑x (0)(i ),(k =1,2,…,10)
(1)
i =1
加成数据列为
x (1)=(x (1)(1),x (1)(2),…, x (1)(10))
建立模型：
dx (1)∧(1)∧[1]
+a x =b dt
6.3.2模型的检验
6.3.3模型的求解
V
断增加，可饮用水的百分比在2012年已低于60%,而劣V 类水比例在2012年超过了60%。
6.3.4问题三的结果分析
问题三中水文年是指在一年内所有检测数据的平均值，通过建立灰色预测模型，用水文年的数据来反应长江流域水质污染的整体情况。对未来十年的水质情况进行预测，进过对比分析，发现可饮用水的比例在不断下降，2014年可饮用水比例下降到56.54，2014年劣V 类水的比例上升到19.95，排污量有明显的上升趋势，2014年排污量达到了531.31。目前，必须马上采取相关措施对长江流域的污染进行治理，否则长江无疑会成为第二条黄河。随着排污量和劣质水比例的增加，可饮用水的比例将不断减少，未来十年长江的水质会不断变差。
6.4问题四的求解
6.4.1模型的建立和求解
如果未来10年内每年都要求长江干流的Ⅳ类和Ⅴ类水的比例控制在20%以内，且没有劣Ⅴ类水, 求每年需要处理的污水量，建立多元线性回归方程：
y =c 0+c 1x 1+c 2x 2c j =c j j =0,1, 2
Q =∑ε=∑(bi -b i ) 2
2i i =1
i =1
10
10
∧
∧
计算c 0，c 1，c 2的估计值。
记y ，x 1，x 2的观察值分别为b i , a i 1, a i 2, i =1, ,10且
⎡1a 11a 12⎤⎡b 1⎤
⎥，Y =⎢ ⎥ X=⎢ ⎢⎥⎢⎥
⎢⎢⎣1a 10, 1a 10, 2⎥⎦⎣b 10⎥⎦
用最小二乘法求c 0，即应选估计值c j ，使当c j =c j ，j =0,1, 2c 1，c 2的估计值，
时，误差平方和为
Q =∑ε=∑(bi -b i ) =∑(b i -c 0-c 1a i 1-c 2a i 2) 2
2i
2
i =1
i =1
i =1
10
10
∧
10
∧∧
令
∂Q
=0, j =0,1, 2 ∂c j
求解正规方程组得c 0，c 1，c 2的估计值
[c 0, c 1, c 2]=(X T X ) -1X T Y
∧
∧
∧
得出
c 0=196.9617, c 1=0.6979, c 2=5.5157
又因为允许排入长江的污水量满足y 1≤20, y 2=0，则
X =193.96+0.698y 1+5.5157y 2≤196.9617+0.6979⨯20
即
X ≤210.92
得到表中数据
6.4.2问题四的结果分析
通过建立废水排放量与各类水百分比之间的二元线性回归模型，计算出在满足题目要求的情况下，长江所能承受的最大污水排放量为210.92亿吨，将这个排放量与预测的排放量作差，可得到未来十年每年需要处理的污水量（见表7）。分析可得：随着年限的增加，每年需要处理的污水数量有不断上升的趋势，而每年污水的排放量也在快速增长，应采取合理的治理措施，保护水资源。
6.5问题五的求解
分析各地区水质的污染状况，得出目前长江水质污染情况已经十分严重，各地区均出现不同程度的污染情况。问题二中更是得出了一些污染极为严重的地区，如：湖南岳阳岳阳楼、江西九江蛤蟆石、江西南昌滁槎等。从问题三、四的求解结果可以看出，在未来的十年里，长江水质不断恶化，废水排放量逐年递增，需要处理的污水也越来越多。随着污染程度的日益加剧，合理解决长江水污染问题迫在眉睫，要从根本解决问题，就必需减少污染源，增强排污能力：
（1）严格控制污染物排放总量, 继续削减工业污染, 对钢铁、电力、化工、煤炭等重点污染行业推广废水循环闭路的零排放制度, 切实加强对污染排放单位审核和监督.
（2）从根本上避免城市水环境继续恶化, 完善城市排水系统, 提高城市污水处理的技术水平. 缺水城市在规划污水处理设施的同时要安排回用设施的建设, 开展污水的深度处理.
（3）发展生态农业和有机农业, 扩大有机肥的使用率, 制定农药、化肥的减量计划. 做好长江沿岸的绿化工作, 植树造林, 减少水土流失.
（4）科学合理地调配水资源, 保证生态用水, 开发利用水资源应以保护水环境功能为前提, 兼顾水资源上、下流域的需求, 要按照水资源可开发总量来发放许可证
（5）完善与水资源保护相关的法律法规，并依法严格执行，制定包括长江流域水资源保护内容的综合性的《长江流域管理法》，作为长江流域可持续发展管理的基本法律。
七．模型的评价
7.1模型的优点
优点一：问题一的模型通过灰色关联分析和层次法分析，综合考虑了水质污染物中四项主要指标，由灰色关联度进行较为客观判断
优点二：本文使用的灰色预测模型，所需要的数据量比较少，预测比较准确，精度较高。样本分布不需要有规律性，计算简便，检验方便。
优点三：线性回归模型的应用中，只要采用的模型和数据相同，通过标准的统计方法可以计算出唯一的结果。分析多因素模型时，更加简单和方便。可以准确地计量各个因素之间的相关程度与回归拟合程度的高低，提高预测方程式的效果
7.2模型的缺点
缺点一：灰色预测模型只适用于中短期预测，只适合指数增长的预测 缺点二：在回归分析中，选用何种因子和该因子采用何种表达式只是一种推测，这影响了用电因子的多样性和某些因子的不可测性，使得回归分析在某些情况下受到限制。
八．模型的改进与推广
8.1模型的改进
在问题三对不可饮用水的预测时，只考虑和分析了劣V 类水预测值，对最后的预测结果会产生影响，导致判断的不准确。
所以将其他类别的不可饮用水也进行预测得到：
8.2模型的推广
灰色关联分析和层次法分析在实际生活中运用也十分广泛，在葡萄品质评价、地下水质评价、工业结构生态化调整及目标威胁度评估上都发挥着十分重要的作用，而灰色预测是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法，在销售额预测、城市道路交通事故预测、城市发生火灾次数预测和灾变与异常值预测中都有广泛的应用。
九．参考文献
[1]司守奎、孙兆亮，数学建模算法与应用（第二版）[M],北京：国防工业出版社，2017.1
十. 附录
问题一的相关程序：
层次分析，算权重 % %数据读入 clc;
clear all ;
disp(' 请输入判断矩阵A' ); A=input('A=');
% %一致性检验和权向量计算 [n,n]=size(A); [v,d]=eig(A); r=d(1,1);
CI=(r-n)/(n-1);
RI=[0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59]; CR=CI/RI(n); if (CR
CR_RESULT=' 通过' ; else
CR_RESULT=' 不通过' ; end
% %权向量计算
w=v(:,1)/sum(v(:,1)); w=w';
% %结果给出
disp(' 该判断矩阵权向量计算报告:'); disp([' 一致性指标:' num2str(CI)]); disp([' 一致性比例:' num2str(CR)]); disp([' 一致性检验结果:' CR_RESULT]); disp([' 特征值:' num2str(r)]);
disp([' 特征向量(权重):' num2str(w)]);
灰色关联分析，算关联度 a=xlsread(‘shuju ’); for i=1
a(i,:)=(a(i,:)-min(a(i,:)))/(max(a(i,:))-min(a(i,:)));%指标标准化 end for i=2:4
a(i,:)=(max(a(i,:))-a(i,:))/(max(a(i,:))-min(a(i,:)));%指标标准化 end a
[m,n]=size(a);
cankao=max(a')';%求参考序列的取值 disp('(参考序列的取值)x=')
disp(cankao)
t=repmat(cankao,[1,n])-a;%求参考序列与每一个序列的差 mmin=min(min(t));%计算最小差 mmax=max(max(t));%计算最大差 rho=0.5;%分辨系数
xishu=(mmin+rho*mmax)./(t+rho*mmax);%计算灰色关联系数 disp(' 灰色关联系数=') disp(xishu)
guanliandu=mean(xishu);%取等权重，计算关联度 disp(' 关联度' ) disp(guanliandu)
disp(' 对关联度从大到小排序' )
[gsort,ind]=sort(guanliandu,'descend' ) %对关联度从大到小排序
问题二的相关程序：
clc clear
v0=xlsread('shuju' , 'sheet1' , 'A1:G13'); for i=1:13 for j=1:6
v(i,j)=0.5*(v0(i,j)+v0(i,j+1)); v0(i,j+1)=v(i,j); end end
L=[950 778 395 500 164 464]; for i=1:13 for j=1:6
t(i,j)=L(j)/v(i,j)*1000; end end
for i=1:13 for j=1:6
K1(i,j)=exp(-0.2*t(i,j)); K2(i,j)=exp(-0.2*t(i,j)); end end
V=xlsread('shuju' , 'sheet1' , 'A18:G30'); C1=xlsread('shuju' , 'sheet1' , 'I1:O13'); C2=xlsread('shuju' , 'sheet1' , 'Q1:W13'); for i=1:13 for j=1:6
m1(i,j)=C1(i,j)*V(i,j)*K1(i,j)/10000; m2(i,j)=C2(i,j)*V(i,j)*K2(i,j)/1000; product1(i,1)=C1(i,1)*V(i,1)/10000;
product2(i,1)=C2(i,1)*V(i,1)/1000;
product1(i,j+1)=C1(i,j+1)*V(i,j)/10000-m1(i,j); product2(i,j+1)=C2(i,j+1)*V(i,j)/1000-m2(i,j); end end
fprintf(' 各观测点高锰酸盐浓度：%g\n\n',product1) fprintf(' 各观测点氨浓度：%g\n\n',product2) disp(' 将上面数据变换成13*7的矩阵' )
A=reshape(product1,13,7)%A是13*7的矩阵 B=reshape(product2,13,7)%A是13*7的矩阵
问题三的相关程序：
clear; syms ab ; c=[a b]';
disp(' 请输入初始值A' ); A=input('A=');
B=cumsum(A); %原始数据累加 n=length(A); for i=1:(n-1)
C(i)=(B(i)+B(i+1))/2; %生成累加矩阵 end
%计算待定参数的值 D=A;D(1)=[]; D=D';
E=[-C;ones(1,n-1)]; c=inv(E*E')*E*D; c=c';
a=c(1);b=c(2); %预测后续数据 F=[];F(1)=A(1);
for i=2:(n+10) %只推测后10个数据，可以从此修改 F(i)=(A(1)-b/a)/exp(a*(i-1))+b/a; end
G=[];G(1)=A(1);
for i=2:(n+10) %只推测后10个数据，可以从此修改 G(i)=F(i)-F(i-1); %得到预测出来的数据 end
t1=1995:2004; %年份x 轴 t2=1995:2014; %多10组数据 G
h=plot(t1,A,'o' ,t2,G, '-' ); %原始数据与预测数据的比较 set(h,'LineWidth' ,1.5);
问题四的相关程序：
clc clear
x1=[9.6 0.8 13.3 0 12.8 25.4 26.8 22.5 6.1 23.5]'; %95-04年IV-V 类的百分比之和 x2=[0 0 0 0 0 0 5.8 8.7 0 9]'; %95-04年劣V 类水的百分比
y=[174 179 183 189 207 234 220.5 256 270 285]'; %95-04年废水排放总量 x=[ones(size(x1)),x1,x2];
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x) ;% b：回归系数；bint ：回归系数的区间估计；r 表示残差；rint 表示置信区间；stats 表示用于检验回归模型的统计量 disp(' 回归系数' ) b
disp(' 回归系数的区间估计' ) bint
disp(' 表示残差' ) r
disp(' 表示置信区间' ) rint
disp(' 表示用于检验回归模型的统计量' ) stats
论文题目：长江水质的评价及预测
摘要
本文主要通过对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价，根据近十年长江流域的水质报告，研究、预测未来长江水质变化趋势，并分析制定出解决长江水质污染问题的合理建议及计划。
针对问题一：通过分析近两年水质污染中四种主要指标含量，通过层次分析法计算出权重，然后进行灰色关联分析，得到近两年17各地区的主要指标灰色关联度，综合排序后，得出结论：
干流水质最好的区段是四川攀枝花龙洞段，支流水质最好的是湖北丹江口胡家岭；水质最差的城市是湖南岳阳岳阳楼（洞庭湖出口）地区，干流水质最差的是湖南岳阳城陵矶段，主要污染可能是来自于洞庭湖。
针对问题二：将长江干流7个观测站点分为长江分为6个江段，建立微分方程模型，先计算出每月每段的高锰酸盐和氨氮的量，再求六个污染源近一年多里每个月各个观测段的高锰酸钾和氨氮含量的平均值。最后进行对比，找到高锰酸钾和氨氮含量最高的观测段，发现主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的污染源存在于湖北宜昌南津关至湖南岳阳城陵矶段。
针对问题三：用水文年的数据进行预测长江未来十年水质变化情况，建立灰色预测模型来预测长江未来水质的发展趋势，将结果进过对比分析，发现可饮用水的比例在不断下降，2014年可饮用水比例下降到56.54，2014年劣V 类水的比例上升到19.95，排污量有明显的上升趋势，2014年排污量达到了531.31。总体来说排污量和劣质水比例的不断增加，可饮用水的比例不断减少，未来十年长江的水质会不断变差。
针对问题四：通过建立废水排放量与各类水百分比之间的二元线性回归模型，计算出长江所能承受的最大污水排放量为210.92亿吨，将这个排放量与预测的排放量作差，可得到未来十年每年需要处理的污水量。最后得出随着年限的增加，每年需要处理的污水数量有不断上升的趋势，而每年污水的排放量也在快速增长。
针对问题五：通过对上述问题的讨论，对长江水质进行分析的出评价和预测结果，总结出水质污染的根本原因。结合考察团的调查结果，模型分析得到主要污染地区，给出合理的建议和意见。
关键词：层次分析法；灰色关联分析；微分方程；灰色预测模型；二元线性回归
一．问题重述
1.1问题产生的背景
水是人类赖以生存的资源，保护水资源就是保护我们自己，对于我国大江大河水资源的保护和治理应是重中之重。长江是我国第一、世界第三大河流，长江水质的污染程度日趋严重，已引起了相关政府部门和专家们的高度重视。全国政协与中国发展研究院联合组成“保护长江万里行”考察团，10月10日从长江上游宜宾出发，历时12天抵达上海，赴21个城市实地调研，揭示了一幅长江污染的真实画面，其污染程度让人触目惊心。为此，专家们提出“若不及时拯救，长江生态10年内将濒临崩溃”，并发出了“拿什么拯救癌变长江”的呼唤。
1.2相关数据
附件3给出了长江沿线17个观测站（地区）近两年多主要水质指标的检测数据，以及干流上７个观测站近一年多的基本数据（站点距离、水流量和水流速）。
附件4是“1995~2004年长江流域水质报告”给出的主要统计数据。下面的附表是国标(GB3838-2002) 给出的《地表水环境质量标准》中4个主要项目标准
位：mg/L。
1.3需要解决的问题
为了解决长江水质污染问题，制定合理的治污方案，现根据近几年对长江水质情况的检测数据，讨论以下问题：
对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价，并分析各地区水质的污染状况。
研究、分析长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的污染源主要在哪些地区。
假如不采取更有效的治理措施，依照过去10年的主要统计数据，对长江未来水质污染的发展趋势做出预测分析，比如研究未来10年的情况。
根据预测分析，如果未来10年内每年都要求长江干流的Ⅳ类和Ⅴ类水的比例控制在20%以内，且没有劣Ⅴ类水, 求每年需要处理的污水量。
对解决长江水质污染问题有什么切实可行的建议和意见。
二．模型的假设
（1）水质污染只受所给四项指标的影响； （2）水流量近似不变；
（3）污染源只存在于两个观测点之间。
三．符号说明
四．问题分析
4.1对问题一的分析
对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价，并分析各地区水质的污染
Do 、Codm 、状况。通过题目及附录中给出的相关数据，水质污染主要由四种Ph 、
Nh3-N 四种指标判断，所以以水质污染中这四种物质为水质情况综合评价标准。要分析这水中四种物质含量，需要通过matlab 进行灰色关联分析，从而计算出灰色关联度。首先通过层次分析，得到权重，然后计算出关联度，进行大小排序，关联度越大，说明水质情况越好，从而以此分析各地区的水质污染状况，得到干流及支流水质最差和最好的地区。
4.2对问题二的分析
为了研究、分析长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的污染源，需要求出一年多里每个月各个观测段的高锰酸钾和氨氮含量的平均值。下游观测点的污染物含量是上游污染物经降解后的含量与两观测点之间污染源发出的污染物含量的和。所以，计算两个观测点之间高锰酸钾和氨氮含量来判断污染源所在位置。建立微分方程模型，由上游观测点的污染量与降解系数求出污染物的变化量。将长江干流7个观测站点分为长江分为6个江段，先计算出每月每段的高锰酸盐和氨氮的量，再求六个污染源近一年所排放的污染物含量的平均值。最后进行对比，找到高锰酸钾和氨氮含量最高的观测段，即为高锰酸盐指数和氨氮的污染源。
4.3对问题三的分析
不采取更有效的治理措施，依照过去10年的主要统计数据，对长江未来水质污染的发展趋势做出预测分析。由于问题三数据的异常性较高，已知数据较少且是对在一定范围内变化、与时间序列有关的未知过程进行预测，符合灰色预测理论。根据地表水环境的标准中I 、II 、III 类为可饮用水，其余三类为不可饮用水，而将1995到2004长江流域水质报告对比发现，用水文年的数据进行预测长江未来十年水质变化情况比较客观，排污量的预测则由过去十年来的排污量进行预测，最后得到对未来十年较为准确预测。
4.4对问题四的分析
如果未来10年内每年都要求长江干流的Ⅳ类和Ⅴ类水的比例控制在20%以内，且没有劣Ⅴ类水, 求每年需要处理的污水量。通过建立废水排放量与各类水百分比之间的二元线性回归模型，计算出在满足题目要求的情况下，长江所能承受的最大污水排放量为210.92亿吨，将这个排放量与预测的排放量作差，可得到未来十年每年需要处理的污水量。随着年限的增加，每年需要处理的污水数量有不断上升的趋势，而每年污水的排放量也在快速增长。
4.5对问题五的分析
分析附录中长江流域河流污染出现问题和不同时段各地区的水流量及主要污染物质含量的监测数据，对长江水质进行分析的出评价和预测结果，总结出水质污染的根本原因。结合考察团的调查结果，模型分析得到主要污染地区，给出合理的建议和意见。
五．数据的分析和处理
5.1数据的标准化处理
将各地区进行编号排序，便于编程的进行，使计算结果结果更加明确，便于了解各地区的污染情况。
便于观察对水质影响的四种主要物质含量。 六．对问题的求解
6.1问题一的求解
6.1.1模型的建立和求解
确定比较的对象和参考数列，设评价对象有m 个，评价指标有n 个，参考数列为
x 0={x 0⨯(k ) k =1, 2, …, n }
比较数列为
x i ={x i ⨯(k ) k =1, 2, …, n }，i =1,2, …, m 。
确定各指标值对应的权重，用层次分析法确定各项指标对应的权重
w =w 1, …, w n
第k 个评价指标对应的权重w k 为
w k (k =1,2, …, n )
计算灰色关联系数ξi (k ) ：
ξi (k ) =
min min x 0(t ) -x s (t ) +ρmax min x 0(t ) -x s (t )
s
t
s
t
x 0(k ) -x i (k ) +ρmax min x 0(t ) -x s (t )
s
t
比较数列x i 对参考数列x 0在第k 个指标上的关联系数，其中ρ∈[0,1]为分辨系数，分辨系数ρ越大，分辨率越大；分辨系数ρ越小，分辨率越小。
r i 为第i 个评价对象对理想对象的灰色加权关联度，计算灰色加权关联度:
r i =∑w i ξi (k ) [1]
k =1n
根据灰色关联度的大小，对各评价对象进行排序，建立评价对象关联度，关联度越大，评价结果就越好。
利用matlab 对数据进行了灰色关联度的求解，得到不同地区的灰色关联度r i，通过关联度的大小（表3）分析判断各地区的污染情况。
其环境污染情况越轻微；关联度越小的地区，其环境污染情况越严重，通过对关联度的大小对比，得到了近两年来长江地区的污染情况。
6.1.2问题一的结果分析
个观测点28个月的水质的关联度系数，得出水质最差的是湖南岳阳岳阳楼（洞庭湖出口）地区，干流水质最差的是湖南岳阳城陵矶段，主要污染可能是来自于洞庭湖；干流水质最好的区段是四川攀枝花龙洞段，支流水质最好的是湖北丹江口胡家岭。
6.2问题二的求解
6.2.1模型的建立和求解
计算两个观测点之间高锰酸钾和氨氮含量来判断污染源所在位置，建立微分方程模型，根据上游观测点的污染量p 0与降解系数α求出污染物的变化量：
dp
=-α⨯p 0 dt
污染物总量p 为
p =p 0⨯e -α
通过两观测点的距离x i -x i -1和污染物流动的平均速度v ，污染物从上游观测点到下游观测点需要的时间t ：
t =
x i -x i -1
(i =2，…，7) v
t
污染物从上游观测点到下游观测点的平均速度v ：
v =
v i -v i -1
2
计算得到表5：
江河西水到安徽安庆皖河口段的高锰酸盐数量最少，氨氮的数量在安徽安庆皖河口至江苏南京林山段最少。 6.2.2问题二的结果分析
将长江干流7个观测站点分为长江分为6个江段，通过污染物流量随时间的变化关系建立了微分方程模型，先计算出每月每段的高锰酸盐和氨氮的量，再对六个污染源近一年所排放的污染物含量的平均值，分析湖北宜昌南津关至湖南岳阳城陵矶段的高锰酸盐和氨氮的数量最多，江西九江河西水到安徽安庆皖河口段的高锰酸盐数量最少，氨氮的数量在安徽安庆皖河口至江苏南京林山段最少，得出污染物高锰酸盐指数和氨氮的污染源主要集中在湖北宜昌南津关至湖南岳阳城陵矶段。
6.3问题三的求解
6.3.1模型的建立
预测未来十年长江水质的变化，建立灰色预测模型，通过对水文年全流域水质的变化，研究来对长江未来水质污染的发展趋势作出预测分析。
根据参考数据列，建立水文年全流域数据时间序列如下：
x (0)=(x (0)(1),x (0)(2),…, x (0)(10))
级比λ(k )
x (0)(k -1)
λ(k ) =(0)
x (k )
λ=(λ(2),λ(3),…, λ(10))
进行级比判断
λ(k ) ∈[λ(2),λ(10)],(k =2,…,10)
用x (0)作令人满意的GM (1,1)建模，对于原始数据进行累加处理：
k
x (k ) =∑x (0)(i ),(k =1,2,…,10)
(1)
i =1
加成数据列为
x (1)=(x (1)(1),x (1)(2),…, x (1)(10))
建立模型：
dx (1)∧(1)∧[1]
+a x =b dt
6.3.2模型的检验
6.3.3模型的求解
V
断增加，可饮用水的百分比在2012年已低于60%,而劣V 类水比例在2012年超过了60%。
6.3.4问题三的结果分析
问题三中水文年是指在一年内所有检测数据的平均值，通过建立灰色预测模型，用水文年的数据来反应长江流域水质污染的整体情况。对未来十年的水质情况进行预测，进过对比分析，发现可饮用水的比例在不断下降，2014年可饮用水比例下降到56.54，2014年劣V 类水的比例上升到19.95，排污量有明显的上升趋势，2014年排污量达到了531.31。目前，必须马上采取相关措施对长江流域的污染进行治理，否则长江无疑会成为第二条黄河。随着排污量和劣质水比例的增加，可饮用水的比例将不断减少，未来十年长江的水质会不断变差。
6.4问题四的求解
6.4.1模型的建立和求解
如果未来10年内每年都要求长江干流的Ⅳ类和Ⅴ类水的比例控制在20%以内，且没有劣Ⅴ类水, 求每年需要处理的污水量，建立多元线性回归方程：
y =c 0+c 1x 1+c 2x 2c j =c j j =0,1, 2
Q =∑ε=∑(bi -b i ) 2
2i i =1
i =1
10
10
∧
∧
计算c 0，c 1，c 2的估计值。
记y ，x 1，x 2的观察值分别为b i , a i 1, a i 2, i =1, ,10且
⎡1a 11a 12⎤⎡b 1⎤
⎥，Y =⎢ ⎥ X=⎢ ⎢⎥⎢⎥
⎢⎢⎣1a 10, 1a 10, 2⎥⎦⎣b 10⎥⎦
用最小二乘法求c 0，即应选估计值c j ，使当c j =c j ，j =0,1, 2c 1，c 2的估计值，
时，误差平方和为
Q =∑ε=∑(bi -b i ) =∑(b i -c 0-c 1a i 1-c 2a i 2) 2
2i
2
i =1
i =1
i =1
10
10
∧
10
∧∧
令
∂Q
=0, j =0,1, 2 ∂c j
求解正规方程组得c 0，c 1，c 2的估计值
[c 0, c 1, c 2]=(X T X ) -1X T Y
∧
∧
∧
得出
c 0=196.9617, c 1=0.6979, c 2=5.5157
又因为允许排入长江的污水量满足y 1≤20, y 2=0，则
X =193.96+0.698y 1+5.5157y 2≤196.9617+0.6979⨯20
即
X ≤210.92
得到表中数据
6.4.2问题四的结果分析
通过建立废水排放量与各类水百分比之间的二元线性回归模型，计算出在满足题目要求的情况下，长江所能承受的最大污水排放量为210.92亿吨，将这个排放量与预测的排放量作差，可得到未来十年每年需要处理的污水量（见表7）。分析可得：随着年限的增加，每年需要处理的污水数量有不断上升的趋势，而每年污水的排放量也在快速增长，应采取合理的治理措施，保护水资源。
6.5问题五的求解
分析各地区水质的污染状况，得出目前长江水质污染情况已经十分严重，各地区均出现不同程度的污染情况。问题二中更是得出了一些污染极为严重的地区，如：湖南岳阳岳阳楼、江西九江蛤蟆石、江西南昌滁槎等。从问题三、四的求解结果可以看出，在未来的十年里，长江水质不断恶化，废水排放量逐年递增，需要处理的污水也越来越多。随着污染程度的日益加剧，合理解决长江水污染问题迫在眉睫，要从根本解决问题，就必需减少污染源，增强排污能力：
（1）严格控制污染物排放总量, 继续削减工业污染, 对钢铁、电力、化工、煤炭等重点污染行业推广废水循环闭路的零排放制度, 切实加强对污染排放单位审核和监督.
（2）从根本上避免城市水环境继续恶化, 完善城市排水系统, 提高城市污水处理的技术水平. 缺水城市在规划污水处理设施的同时要安排回用设施的建设, 开展污水的深度处理.
（3）发展生态农业和有机农业, 扩大有机肥的使用率, 制定农药、化肥的减量计划. 做好长江沿岸的绿化工作, 植树造林, 减少水土流失.
（4）科学合理地调配水资源, 保证生态用水, 开发利用水资源应以保护水环境功能为前提, 兼顾水资源上、下流域的需求, 要按照水资源可开发总量来发放许可证
（5）完善与水资源保护相关的法律法规，并依法严格执行，制定包括长江流域水资源保护内容的综合性的《长江流域管理法》，作为长江流域可持续发展管理的基本法律。
七．模型的评价
7.1模型的优点
优点一：问题一的模型通过灰色关联分析和层次法分析，综合考虑了水质污染物中四项主要指标，由灰色关联度进行较为客观判断
优点二：本文使用的灰色预测模型，所需要的数据量比较少，预测比较准确，精度较高。样本分布不需要有规律性，计算简便，检验方便。
优点三：线性回归模型的应用中，只要采用的模型和数据相同，通过标准的统计方法可以计算出唯一的结果。分析多因素模型时，更加简单和方便。可以准确地计量各个因素之间的相关程度与回归拟合程度的高低，提高预测方程式的效果
7.2模型的缺点
缺点一：灰色预测模型只适用于中短期预测，只适合指数增长的预测 缺点二：在回归分析中，选用何种因子和该因子采用何种表达式只是一种推测，这影响了用电因子的多样性和某些因子的不可测性，使得回归分析在某些情况下受到限制。
八．模型的改进与推广
8.1模型的改进
在问题三对不可饮用水的预测时，只考虑和分析了劣V 类水预测值，对最后的预测结果会产生影响，导致判断的不准确。
所以将其他类别的不可饮用水也进行预测得到：
8.2模型的推广
灰色关联分析和层次法分析在实际生活中运用也十分广泛，在葡萄品质评价、地下水质评价、工业结构生态化调整及目标威胁度评估上都发挥着十分重要的作用，而灰色预测是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法，在销售额预测、城市道路交通事故预测、城市发生火灾次数预测和灾变与异常值预测中都有广泛的应用。
九．参考文献
[1]司守奎、孙兆亮，数学建模算法与应用（第二版）[M],北京：国防工业出版社，2017.1
十. 附录
问题一的相关程序：
层次分析，算权重 % %数据读入 clc;
clear all ;
disp(' 请输入判断矩阵A' ); A=input('A=');
% %一致性检验和权向量计算 [n,n]=size(A); [v,d]=eig(A); r=d(1,1);
CI=(r-n)/(n-1);
RI=[0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59]; CR=CI/RI(n); if (CR
CR_RESULT=' 通过' ; else
CR_RESULT=' 不通过' ; end
% %权向量计算
w=v(:,1)/sum(v(:,1)); w=w';
% %结果给出
disp(' 该判断矩阵权向量计算报告:'); disp([' 一致性指标:' num2str(CI)]); disp([' 一致性比例:' num2str(CR)]); disp([' 一致性检验结果:' CR_RESULT]); disp([' 特征值:' num2str(r)]);
disp([' 特征向量(权重):' num2str(w)]);
灰色关联分析，算关联度 a=xlsread(‘shuju ’); for i=1
a(i,:)=(a(i,:)-min(a(i,:)))/(max(a(i,:))-min(a(i,:)));%指标标准化 end for i=2:4
a(i,:)=(max(a(i,:))-a(i,:))/(max(a(i,:))-min(a(i,:)));%指标标准化 end a
[m,n]=size(a);
cankao=max(a')';%求参考序列的取值 disp('(参考序列的取值)x=')
disp(cankao)
t=repmat(cankao,[1,n])-a;%求参考序列与每一个序列的差 mmin=min(min(t));%计算最小差 mmax=max(max(t));%计算最大差 rho=0.5;%分辨系数
xishu=(mmin+rho*mmax)./(t+rho*mmax);%计算灰色关联系数 disp(' 灰色关联系数=') disp(xishu)
guanliandu=mean(xishu);%取等权重，计算关联度 disp(' 关联度' ) disp(guanliandu)
disp(' 对关联度从大到小排序' )
[gsort,ind]=sort(guanliandu,'descend' ) %对关联度从大到小排序
问题二的相关程序：
clc clear
v0=xlsread('shuju' , 'sheet1' , 'A1:G13'); for i=1:13 for j=1:6
v(i,j)=0.5*(v0(i,j)+v0(i,j+1)); v0(i,j+1)=v(i,j); end end
L=[950 778 395 500 164 464]; for i=1:13 for j=1:6
t(i,j)=L(j)/v(i,j)*1000; end end
for i=1:13 for j=1:6
K1(i,j)=exp(-0.2*t(i,j)); K2(i,j)=exp(-0.2*t(i,j)); end end
V=xlsread('shuju' , 'sheet1' , 'A18:G30'); C1=xlsread('shuju' , 'sheet1' , 'I1:O13'); C2=xlsread('shuju' , 'sheet1' , 'Q1:W13'); for i=1:13 for j=1:6
m1(i,j)=C1(i,j)*V(i,j)*K1(i,j)/10000; m2(i,j)=C2(i,j)*V(i,j)*K2(i,j)/1000; product1(i,1)=C1(i,1)*V(i,1)/10000;
product2(i,1)=C2(i,1)*V(i,1)/1000;
product1(i,j+1)=C1(i,j+1)*V(i,j)/10000-m1(i,j); product2(i,j+1)=C2(i,j+1)*V(i,j)/1000-m2(i,j); end end
fprintf(' 各观测点高锰酸盐浓度：%g\n\n',product1) fprintf(' 各观测点氨浓度：%g\n\n',product2) disp(' 将上面数据变换成13*7的矩阵' )
A=reshape(product1,13,7)%A是13*7的矩阵 B=reshape(product2,13,7)%A是13*7的矩阵
问题三的相关程序：
clear; syms ab ; c=[a b]';
disp(' 请输入初始值A' ); A=input('A=');
B=cumsum(A); %原始数据累加 n=length(A); for i=1:(n-1)
C(i)=(B(i)+B(i+1))/2; %生成累加矩阵 end
%计算待定参数的值 D=A;D(1)=[]; D=D';
E=[-C;ones(1,n-1)]; c=inv(E*E')*E*D; c=c';
a=c(1);b=c(2); %预测后续数据 F=[];F(1)=A(1);
for i=2:(n+10) %只推测后10个数据，可以从此修改 F(i)=(A(1)-b/a)/exp(a*(i-1))+b/a; end
G=[];G(1)=A(1);
for i=2:(n+10) %只推测后10个数据，可以从此修改 G(i)=F(i)-F(i-1); %得到预测出来的数据 end
t1=1995:2004; %年份x 轴 t2=1995:2014; %多10组数据 G
h=plot(t1,A,'o' ,t2,G, '-' ); %原始数据与预测数据的比较 set(h,'LineWidth' ,1.5);
问题四的相关程序：
clc clear
x1=[9.6 0.8 13.3 0 12.8 25.4 26.8 22.5 6.1 23.5]'; %95-04年IV-V 类的百分比之和 x2=[0 0 0 0 0 0 5.8 8.7 0 9]'; %95-04年劣V 类水的百分比
y=[174 179 183 189 207 234 220.5 256 270 285]'; %95-04年废水排放总量 x=[ones(size(x1)),x1,x2];
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x) ;% b：回归系数；bint ：回归系数的区间估计；r 表示残差；rint 表示置信区间；stats 表示用于检验回归模型的统计量 disp(' 回归系数' ) b
disp(' 回归系数的区间估计' ) bint
disp(' 表示残差' ) r
disp(' 表示置信区间' ) rint
disp(' 表示用于检验回归模型的统计量' ) stats