2015年浙江衢州中考数学真题卷
一、选择题(本题有10小题,每小题3分,共30分) 1. -3的相反数是( )
A.3 B. -3 C.
11 D. - 33
【考查内容】相反数
【答案】A
2. 一个几何体零件如图所示,则它的俯视图是(
)
主视方向
第2题图
A B C D
【考查内容】简单组合体的三视图. 【答案】C 【解析】这个几何体零件的俯视图是一个正中间有一个小正方形的矩形,所以它的俯视图是选项C 中的图形.故选C . 3. 下列运算正确的是( )
235
A. a +a =2a B. (x ) =x C. 2a ÷a =2a D. x ⋅x =x
3
3
6
6
3
2
3
2
5
【考查内容】代数式. 【答案】D
232⨯36
【解析】对于A ,正确答案应为a +a =2a ,故本选项错误;B. 应为(x ) =x =x ,
3
3
3
故本选项错误;C. 应为2a ÷a =2a ,故本选项错误;故选D .
4. 如图,在四边形ABCD 中,已知AD =12cm,AB =8cm,AE 平分∠BAD 交BC 边于点E ,则CE 的长等于(
)
633
第4题图
A.8cm B.6cm C.4cm D.2cm 【考查内容】平行四边形的性质. 【答案】C
【解析】因为四边形ABCD 是平行四边形,所以BC =AD =12cm,AD ∥BC ,∠DAE =∠BEA ,因为AE 平分∠BAD ,所以∠BAE =∠DAE ,所以∠BEA =∠BAE ,故BE =AB=8cm ,得CE =BC -BE =4cm;故答案为C .
5. 某班七个兴趣小组人数分别为4,4,5,x ,6,6,7.已知这组数据的平均数是5,则这组数据的中位数是( )
A.7 B. 6 C.5 D.4 【考查内容】中位数 【答案】C
【解析】因为某班七个兴趣小组人数分别为4,4,5,x ,6,6,7.已知这组数据的平均数是5,所以x =5×7-4-4-5-6-6-7=3,所以这一组数从小到大排列为:3,4,4,5,6,6,7,所以这组数据的中位数是5.故选C .
6. 下列四个函数图象中,当x >0时,y 随x 的增大而减小的是(
)
A
B
C D 【考查内容】二次函数的图象;一次函数的图象;反比例函数的图象. 【答案】B
【解析】当x >0时,y 随x 的增大而减小的是B ,故选B.
7. 数学课上,老师让学生尺规作图画Rt △ABC ,使其斜边AB =c ,一条直角边BC =a .小明的作法如图所示,你认为这种作法中判断∠ACB 是直角的依据是(
)
第7题图
A. 勾股定理
B. 直径所对的圆心角是直角 C. 勾股定理的逆定理
D. 90°的圆周角所对的弦是直径
【考查内容】作图,勾股定理的逆定理,圆周角定理 【答案】B
【解析】由作图痕迹可以看出O 为AB 的中点,以O 为圆心,AB 为半径作圆,然后以B 为圆心BC =a 为半径花弧与圆O 交于一点C ,故∠ACB 是直径所对的圆周角,所以这种作法中判断∠ACB 是直角的依据是:直径所对的圆心角是直角.故选:B . 8. 如图,已知某广场菱形花坛ABCD 的周长是24米,∠BAD =60°,则花坛对角线AC 的长等于(
)
第8题图
A. B.6米
C. D.3米
【考查内容】菱形的性质. 【答案】A
【解析】四边形ABCD 为菱形,所以AC ⊥BD ,OA =OC ,OB =OD ,AB =BC =CD =AD =24÷4=6(米),又∠BAD =60°,从而△ABD 为等边三角形,所以BD =AB =6米,OD =OB =3米, 在Rt △AOB 中,据勾股定理得:OA
=AC =2OA
=A . 9. 如图,已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份,从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60 cm长的绑绳EF ,tan α=( )
5
,则“人字梯”的顶端离地面的高度AD 是2
第9题图
A. 144 cm B. 180 cm C. 240 cm D. 360 cm 【考查内容】解直角三角形的应用. 【答案】B
1OF AF
=, EF =30cm,∴
2DC AC
302.55AD 5∴=, AD =⨯72=180cm . 故选B . ∴CD =72cm, tan α==DC 62DC 2
【解析】如图根据题意可知:△AFO ∽△ABD ,OF =
10. 如图,已知△ABC ,AB=BC,以AB 为直径的圆交AC 于点D ,过点D 的⊙O 的切线交BC 于点E .若CD =5,CE =4,则⊙O 的半径是( )
第10题图
A. 3 B. 4 C. 【考查内容】切线的性质. 【答案】D
2525 D. 68
第10题图
【解析】如图,连接OD 、BD , DE ⊥BC ,CD =5,CE =4,∴DE =3, AB 是⊙O 的直径,
3
, S △BCD =BD ⋅CD ÷2=BC ⋅DE ÷2,∴5BD =3BC ∴BD =BC ∴∠ADB =90°
5
32525
解得BC =, BD 2+CD 2=BC 2,∴(BC ) 2+52=BC 2, AB =BC ,∴AB =,∴⊙O
544
2525÷2=的半径是;. 故选D . 48
二、填空题(本题有6小题,每小题4分,共24分)
11.(4分)从小明、小聪、小惠和小颖四人中随机选取1人参加学校组织的敬老活动,则小明被选中的概率是 . 【考查内容】概率公式 【答案】
1 4
11,故答案为. 44
【解析】因为小明、小聪、小惠和小颖四人中随机选取1人参加学校组织的敬老活动, 所以小明被选中的概率是
12.(4分)如图,小聪与小慧玩跷跷板,跷跷板支架高EF 为0.6米,E 是AB 的中点,那么
小聪能将小慧翘起的最大高度BC 等于 米.
第12题图
【考查内容】三角形中位线定理 【答案】1.2
【解析】因为EF ⊥AC ,BC ⊥AC ,所以EF ∥BC ,因为E 是AB 的中点,所以F 为AC 的中点,所以BC =2EF ,因为EF =0.6米,所以BC =1.2米,故答案为:1.2. 13.(4分)写出一个解集为x >1的一元一次不等式____. 【考查内容】不等式的解集 【答案】x -1>0
【解析】移项,得x -1>0(答案不唯一).
14.(4分)一条排水管的截面如图所示,已知排水管的半径OA =1m,水面宽AB =1.2m,某天下雨后,水管水面上升了0.2m ,则此时排水管水面宽CD 等于 m .
第14题图
【考查内容】垂径定理的应用;勾股定理 【答案】1.6
【解析】因为AB =1.2m,OE ⊥AB ,OA =1m,所以AE =0.8m,因为水管水面上升了0.2m , 所以AF =0.8﹣0.2=0.6m,所以CF
==0.8m ,所以CD =1.6m.
15.(4分)已知,正六边形ABCDEF 在直角坐标系内的位置如图所示,A (-2,0) ,点B 在原点,把正六边形ABCDEF 沿x 轴正半轴作无滑动的连续翻转,每次翻转60°,经过2015次翻转之后,点B 的坐标是_____________.
第15题图
【考查内容】坐标与图形变化,旋转 【答案】(4031
.
【解析】因为正六边形ABCDEF 沿x 轴正半轴作无滑动的连续翻转,每次翻转60°,所以每6次翻转为一个循环组循环,因为2015÷6=335余5,所以经过2015次翻转为第336循环组的第5次翻转. 点B 在开始时点C 的位置,因为A (-2,0) ,所以AB =2,所以翻转前进的距离=2×2015=4030,如图,过点B 作BG ⊥x 于G ,则∠BAG =60°,所以,AG==1,
1
2
BG
OG =4030+1=4031,所以,点B 的坐标为(4031
.故答案
为(4031
.
16.(4分)如图,已知直线y =-
3
x +3分别交x 轴、y 轴于点A 、B ,P 是抛物线4
1
y =-x 2+2x +5的一个动点,其横坐标为a ,过点P 且平行于y 轴的直线交直线
23
y =-x +3于点Q ,则当PQ =BQ 时,a 的值是
4
第16题图
【考查内容】二次函数综合题
【答案】-1,4,4+
4-
【解析】设点P 的坐标为(a , -
123
a +2a +5) 则点Q 为(a , -a +3) ,点B 为(0,3), 24
当点P 在点Q 上方时,BQ
=
135
a ,PQ =-a 2+2a +5-(-a +3)
244
111512112
=-a 2+a +2,因为PQ =BQ ,所以a =-a +a +2整理得a -3a -4=0解得
244243125a =-1, a =4,当点P 在点Q 下方BQ
=a PQ =-a +3-(-a +2a +5)
424
=
12115111
a -a -2,因为PQ =BQ ,所以a =a 2-a -2,整理得:a 2-8a -4=0解
24424
得:a =4+
a =4-a 的值为:-1,4,4+
4-
答案为-1,4,4+
4-
三、解答题(本题有8小题,第17-19小题每小题6分,第20-21小题每小题6分,第22-23小题每小题6分,第24小题12分,共66分。请务必写出解答过程)
17.(6
-2+(10-4sin 60.
【考查内容】实数的运算 【解】原式
2+1-
=1. 2
2
18.(6分)先化简,再求值:(x -9) ÷【考查内容】分式的化简求值
x -3
,其中x =-1. x
x 2
=x (x +3) =x +3x ,当x =-1时,原式=1-3=-2. x -3
6
19.(6分)如图,已知点A (a ,3)是一次函数y 1=x +b 图象与反比例函数y 2=图象的
x
【解】原式=(x +3)(x -3) 一个交点.
(1)求一次函数的解析式;
(2)在y 轴的右侧,当y 1>y 2时,直接写出x 的取值范围.
第19题图 【考查内容】反比例函数与一次函数的交点问题
, 3) 【解】(1)将A (a
所以y 1=x +1;
代入y 2=
6
得a =2,所以A (2,3),将A (2,3)代入y 1=x +b 得b =1, x
(2)因为A (2,3),所以根据图象得在y 轴的右侧,当y 1>y 2时,x >2.
20.(8分)某校在开展读书交流活动中全体师生积极捐书.为了解所捐书籍的种类,对部分
书籍进行了抽样调查,李老师根据调查数据绘制了如图所示不完整统计
图.请根据统计图回答下面问题:
第20题图
(1)本次抽样调查的书籍有多少本?
(2)求出图1中表示文学类书籍的扇形圆心角度数;
(3)本次活动师生共捐书1200本,请估计有多少本科普类书籍? 【考查内容】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图 【解】(1)8÷20%=40(本),其它类;40×15%=6(本),. (2)文学类书籍的扇形圆心角度数为:360×(3)普类书籍有:
14
=126°; 40
12×1200=360(本). 40
21.(8分)如图1,将矩形ABCD 沿DE 折叠,使顶点A 落在DC 上的点A ′处,然后将矩形展平,沿EF 折叠,使顶点A 落在折痕DE 上的点G 处.再将矩形ABCD 沿CE 折叠,此时顶点B 恰好落在DE 上的点H 处.如图2.
第21题图 图1 图2 (1)求证:EG =CH ;
(2)已知AF
AD 和AB 的长.
【考查内容】全等三角形的判定与性质. 【解】(1)证明:由折叠知AE =AD =EG ,BC =CH ,因为四边形ABCD 是矩形,所以AD =BC ,所以EG =CH ;
(2),∠FGE =∠A =90°,AF
∴DG
DF =2∴AD =AF +DF
; ∠ADE =45°由折叠知∠AEF =∠GEF ,∠BEC =∠HEC ,∴∠GEF +∠HEC =90°,∠AEF +∠BEC =90°,
,∴∠BEC =∠AFE ,在△AEF 与△BCE 中, ∠AEF +∠AFE =90°
⎧∠AFE =∠BEC
⎪
(AAS ), ∴AF =BE ∴AB =AE +BE
.⎨∠A =∠B =90∴△AEF ≌△BCE
⎪AE =BC ⎩
22.(10分)小明在课外学习时遇到这样一个问题:定义:如果二次函数y =a 1x 2+b 1x +c 1(a 1≠0, a 1, b 1, c 1是常数)与y =ax 22bx +2c +
2
(a 2≠0, a 2, b 2, c 2是常数)满足a 1+a 2=0,
b 1=b 2,c 1+c 2=0则称这两个函数互为“旋转函数”.求函数y =-x 2+3x -2的“旋转函
数”.小明是这样思考的:由函数y =-x 2+3x -2可知,a 1=-1, b 1=3, c 1=-2,根据
a 1+a 2=0,b 1=b 2,c 1+c 2=0求出a 2, b 2, c 2,就能确定这个函数的“旋转函数”.
请参考小明的方法解决下面问题:
(1)写出函数y =-x 2+3x -2的“旋转函数”; (2)若函数y =-x +(3)已知函数y =-
2
4
mx -2与y =x 2-2nx +n 互为“旋转函数”,求(m +n ) 2015的值. 3
1
(x +1)(x -4) 的图象与x 轴交于点A 、B 两点,与y 轴交于点C ,点2
A 、B 、C 关于原点的对称点分布是A 1, B 1, C 1,试证明经过点A 1, B 1, C 1的二次函数与函数
1
y =-(x +1)(x -4) 互为“旋转函数”.
2
【考查内容】二次函数综合题
【解】(1) a 1=-1, b 1=3, c 1=-2,∴-1+a 2=0, b 2=3, -2+c 2=0,-2+c 2=0,
∴a 2=11, b 2=3, c 2=2∴函数y =-x 2+3x -2的“旋转函数”y =x 2+3x +2;
(2)解:根据题意得
4
m =-2n -2+n =-4,解得m =-3, n =2 3
∴(m +n ) 2015=(-3+2) 2015=-1;
(3)证明:当x =0时, y =-
11
(x +1)(x -4) =2则C (0,2),-(x +1)(x -4) =0当y =0时,22
解得x 1=-1, x 2=4,则A (-1,0) ,B (4,0),因为点A 、B 、C 关于原点的对称点分布是A 1, B 1, C 1,所以A ,0), B 1(-4,0), C 1(0,-2) ,设经过点A 1, B 1, C 1的二次函数解析式为1(1
1
所以经过点A 1, B 1, C 12
11231
的二次函数解析式为y =(x -1)(x +4) =x +x -2,而y =-(x -1)(x +4) =
2222
133
-x 2+x +2,所以a 1+a 2=0, b 1+b 2= ,c 1+c 2=0,所以经过点A 1, B 1, C 1的二次222
1
函数与函数y =-(x +1)(x -4) 互为“旋转函数.
2
解得a 2=y =a 2(x -1)(x +4) 把C 1(0,-2) 代入得a 2⋅(-1) ⋅4=-2,
23.(10分)高铁的开通,给衢州市民出行带来了极大的方便,“五一”期间,乐乐和颖颖相约到杭州市的某游乐园游玩,乐乐乘私家车从衢州出发1小时后,颖颖乘坐高铁从衢州出发,先到杭州火车站,然后再转车出租车取游乐园(换车时间忽略不计),两人恰好同时到达游乐园,他们离开衢州的距离y (千米)与乘车时间t (小时)的关系如图所示.请结合图象解决下面问题:
(1)高铁的平均速度是每小时多少千米?
(2)当颖颖达到杭州火车东站时,乐乐距离游乐园还有多少千米?
(3)若乐乐要提前18分钟到达游乐园,问私家车的速度必须达到多少千米/小时?
第23题图 【考查内容】一次函数的应用 【解】(1)v =
240
=240. 2-1
答:高铁的平均速度是每小时240千米;
(2)设y =kt +b ,当t =1时,y =0,当t =2时,y =240,得:⎨
⎧0=k +b
⎩240=2k +b
⎧k =240解得:⎨故把t =1.5代入y =240t -240,得y =120,设y =at ,当t =1.5,
b =-240⎩
y =120,得k =80,∴y =80t ,当t =2,y =160,216-160=56(千米),所以乐乐距
离游乐园还有56千米;
(3)把y =216代入y =80t ,得t =2.7,2.7-
18216
=2.4(小时)=90(千米/时),. 602.4
27
,动点P 从A 点出发,沿射线2
所以乐乐要提前18分钟到达游乐园,私家车的速度必须达到90千米/小时. 24.(12分)如图,在△ABC 中,AB =5,AC =9,S △ABC =
AB 方向以每秒5个单位的速度运动,动点Q 从C 点出发,以相同的速度在线段AC 上由C 向A 运动,当Q 点运动到A 点时,P 、Q 两点同时停止运动,以PQ 为边作正方形PQEF (P 、Q 、E 、F 按逆时针排序),以CQ 为边在AC 上方作正方形QCGH . (1)求tan A 的值;
(2)设点P 运动时间为t ,正方形PQEF 的面积为S ,请探究S 是否存在最小值?若存在,求出这个最小值,若不存在,请说明理由;
(3)当t 为何值时,正方形PQEF 的某个顶点(Q 点除外)落在正方形QCGH 的边上,请直接写出t 的值.
第24题图
【考查内容】正方形综合题
S △ABC =【解】(1)如图1,过点B 作BM ⊥AC 于点M ,因为AC =9,
=271,所以AC ⋅BM 2227127,即⋅9⋅BM =,解得BM =3.由勾股定理,得AM
=4则222
3tan A =.
4
图1
(2)存在.如图2,过点P 作PN ⊥AC 于点N .依题意得AP =CQ =5t .因为tan A =
223所以42AN =4t ,PN =3t .所以QN =AC -AN -CQ =9-9t .根据勾股定理得到:PN +NQ =PQ
9b 1629==.因为-S 正方形PQEF =PQ 2=(3t ) 2+(9-9t ) 2=90t 2-162t +81(0
在t 的取值范围之内,所以S 最小值4ac -b 281=
=4a 10
图2
99;②如图4,当点F 在边HG 上时,t 2=; 1411
9t 4=. ③如图5,当点P 边QH (或点E 在QC 上)时, t 3=1;④如图6,当点F 边C 上时,7(3)①如图3,当点E 在边HG 上时,t 1=
第11页,共12页
图3
图5 图4
图6
第12页,共12页
2015年浙江衢州中考数学真题卷
一、选择题(本题有10小题,每小题3分,共30分) 1. -3的相反数是( )
A.3 B. -3 C.
11 D. - 33
【考查内容】相反数
【答案】A
2. 一个几何体零件如图所示,则它的俯视图是(
)
主视方向
第2题图
A B C D
【考查内容】简单组合体的三视图. 【答案】C 【解析】这个几何体零件的俯视图是一个正中间有一个小正方形的矩形,所以它的俯视图是选项C 中的图形.故选C . 3. 下列运算正确的是( )
235
A. a +a =2a B. (x ) =x C. 2a ÷a =2a D. x ⋅x =x
3
3
6
6
3
2
3
2
5
【考查内容】代数式. 【答案】D
232⨯36
【解析】对于A ,正确答案应为a +a =2a ,故本选项错误;B. 应为(x ) =x =x ,
3
3
3
故本选项错误;C. 应为2a ÷a =2a ,故本选项错误;故选D .
4. 如图,在四边形ABCD 中,已知AD =12cm,AB =8cm,AE 平分∠BAD 交BC 边于点E ,则CE 的长等于(
)
633
第4题图
A.8cm B.6cm C.4cm D.2cm 【考查内容】平行四边形的性质. 【答案】C
【解析】因为四边形ABCD 是平行四边形,所以BC =AD =12cm,AD ∥BC ,∠DAE =∠BEA ,因为AE 平分∠BAD ,所以∠BAE =∠DAE ,所以∠BEA =∠BAE ,故BE =AB=8cm ,得CE =BC -BE =4cm;故答案为C .
5. 某班七个兴趣小组人数分别为4,4,5,x ,6,6,7.已知这组数据的平均数是5,则这组数据的中位数是( )
A.7 B. 6 C.5 D.4 【考查内容】中位数 【答案】C
【解析】因为某班七个兴趣小组人数分别为4,4,5,x ,6,6,7.已知这组数据的平均数是5,所以x =5×7-4-4-5-6-6-7=3,所以这一组数从小到大排列为:3,4,4,5,6,6,7,所以这组数据的中位数是5.故选C .
6. 下列四个函数图象中,当x >0时,y 随x 的增大而减小的是(
)
A
B
C D 【考查内容】二次函数的图象;一次函数的图象;反比例函数的图象. 【答案】B
【解析】当x >0时,y 随x 的增大而减小的是B ,故选B.
7. 数学课上,老师让学生尺规作图画Rt △ABC ,使其斜边AB =c ,一条直角边BC =a .小明的作法如图所示,你认为这种作法中判断∠ACB 是直角的依据是(
)
第7题图
A. 勾股定理
B. 直径所对的圆心角是直角 C. 勾股定理的逆定理
D. 90°的圆周角所对的弦是直径
【考查内容】作图,勾股定理的逆定理,圆周角定理 【答案】B
【解析】由作图痕迹可以看出O 为AB 的中点,以O 为圆心,AB 为半径作圆,然后以B 为圆心BC =a 为半径花弧与圆O 交于一点C ,故∠ACB 是直径所对的圆周角,所以这种作法中判断∠ACB 是直角的依据是:直径所对的圆心角是直角.故选:B . 8. 如图,已知某广场菱形花坛ABCD 的周长是24米,∠BAD =60°,则花坛对角线AC 的长等于(
)
第8题图
A. B.6米
C. D.3米
【考查内容】菱形的性质. 【答案】A
【解析】四边形ABCD 为菱形,所以AC ⊥BD ,OA =OC ,OB =OD ,AB =BC =CD =AD =24÷4=6(米),又∠BAD =60°,从而△ABD 为等边三角形,所以BD =AB =6米,OD =OB =3米, 在Rt △AOB 中,据勾股定理得:OA
=AC =2OA
=A . 9. 如图,已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份,从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60 cm长的绑绳EF ,tan α=( )
5
,则“人字梯”的顶端离地面的高度AD 是2
第9题图
A. 144 cm B. 180 cm C. 240 cm D. 360 cm 【考查内容】解直角三角形的应用. 【答案】B
1OF AF
=, EF =30cm,∴
2DC AC
302.55AD 5∴=, AD =⨯72=180cm . 故选B . ∴CD =72cm, tan α==DC 62DC 2
【解析】如图根据题意可知:△AFO ∽△ABD ,OF =
10. 如图,已知△ABC ,AB=BC,以AB 为直径的圆交AC 于点D ,过点D 的⊙O 的切线交BC 于点E .若CD =5,CE =4,则⊙O 的半径是( )
第10题图
A. 3 B. 4 C. 【考查内容】切线的性质. 【答案】D
2525 D. 68
第10题图
【解析】如图,连接OD 、BD , DE ⊥BC ,CD =5,CE =4,∴DE =3, AB 是⊙O 的直径,
3
, S △BCD =BD ⋅CD ÷2=BC ⋅DE ÷2,∴5BD =3BC ∴BD =BC ∴∠ADB =90°
5
32525
解得BC =, BD 2+CD 2=BC 2,∴(BC ) 2+52=BC 2, AB =BC ,∴AB =,∴⊙O
544
2525÷2=的半径是;. 故选D . 48
二、填空题(本题有6小题,每小题4分,共24分)
11.(4分)从小明、小聪、小惠和小颖四人中随机选取1人参加学校组织的敬老活动,则小明被选中的概率是 . 【考查内容】概率公式 【答案】
1 4
11,故答案为. 44
【解析】因为小明、小聪、小惠和小颖四人中随机选取1人参加学校组织的敬老活动, 所以小明被选中的概率是
12.(4分)如图,小聪与小慧玩跷跷板,跷跷板支架高EF 为0.6米,E 是AB 的中点,那么
小聪能将小慧翘起的最大高度BC 等于 米.
第12题图
【考查内容】三角形中位线定理 【答案】1.2
【解析】因为EF ⊥AC ,BC ⊥AC ,所以EF ∥BC ,因为E 是AB 的中点,所以F 为AC 的中点,所以BC =2EF ,因为EF =0.6米,所以BC =1.2米,故答案为:1.2. 13.(4分)写出一个解集为x >1的一元一次不等式____. 【考查内容】不等式的解集 【答案】x -1>0
【解析】移项,得x -1>0(答案不唯一).
14.(4分)一条排水管的截面如图所示,已知排水管的半径OA =1m,水面宽AB =1.2m,某天下雨后,水管水面上升了0.2m ,则此时排水管水面宽CD 等于 m .
第14题图
【考查内容】垂径定理的应用;勾股定理 【答案】1.6
【解析】因为AB =1.2m,OE ⊥AB ,OA =1m,所以AE =0.8m,因为水管水面上升了0.2m , 所以AF =0.8﹣0.2=0.6m,所以CF
==0.8m ,所以CD =1.6m.
15.(4分)已知,正六边形ABCDEF 在直角坐标系内的位置如图所示,A (-2,0) ,点B 在原点,把正六边形ABCDEF 沿x 轴正半轴作无滑动的连续翻转,每次翻转60°,经过2015次翻转之后,点B 的坐标是_____________.
第15题图
【考查内容】坐标与图形变化,旋转 【答案】(4031
.
【解析】因为正六边形ABCDEF 沿x 轴正半轴作无滑动的连续翻转,每次翻转60°,所以每6次翻转为一个循环组循环,因为2015÷6=335余5,所以经过2015次翻转为第336循环组的第5次翻转. 点B 在开始时点C 的位置,因为A (-2,0) ,所以AB =2,所以翻转前进的距离=2×2015=4030,如图,过点B 作BG ⊥x 于G ,则∠BAG =60°,所以,AG==1,
1
2
BG
OG =4030+1=4031,所以,点B 的坐标为(4031
.故答案
为(4031
.
16.(4分)如图,已知直线y =-
3
x +3分别交x 轴、y 轴于点A 、B ,P 是抛物线4
1
y =-x 2+2x +5的一个动点,其横坐标为a ,过点P 且平行于y 轴的直线交直线
23
y =-x +3于点Q ,则当PQ =BQ 时,a 的值是
4
第16题图
【考查内容】二次函数综合题
【答案】-1,4,4+
4-
【解析】设点P 的坐标为(a , -
123
a +2a +5) 则点Q 为(a , -a +3) ,点B 为(0,3), 24
当点P 在点Q 上方时,BQ
=
135
a ,PQ =-a 2+2a +5-(-a +3)
244
111512112
=-a 2+a +2,因为PQ =BQ ,所以a =-a +a +2整理得a -3a -4=0解得
244243125a =-1, a =4,当点P 在点Q 下方BQ
=a PQ =-a +3-(-a +2a +5)
424
=
12115111
a -a -2,因为PQ =BQ ,所以a =a 2-a -2,整理得:a 2-8a -4=0解
24424
得:a =4+
a =4-a 的值为:-1,4,4+
4-
答案为-1,4,4+
4-
三、解答题(本题有8小题,第17-19小题每小题6分,第20-21小题每小题6分,第22-23小题每小题6分,第24小题12分,共66分。请务必写出解答过程)
17.(6
-2+(10-4sin 60.
【考查内容】实数的运算 【解】原式
2+1-
=1. 2
2
18.(6分)先化简,再求值:(x -9) ÷【考查内容】分式的化简求值
x -3
,其中x =-1. x
x 2
=x (x +3) =x +3x ,当x =-1时,原式=1-3=-2. x -3
6
19.(6分)如图,已知点A (a ,3)是一次函数y 1=x +b 图象与反比例函数y 2=图象的
x
【解】原式=(x +3)(x -3) 一个交点.
(1)求一次函数的解析式;
(2)在y 轴的右侧,当y 1>y 2时,直接写出x 的取值范围.
第19题图 【考查内容】反比例函数与一次函数的交点问题
, 3) 【解】(1)将A (a
所以y 1=x +1;
代入y 2=
6
得a =2,所以A (2,3),将A (2,3)代入y 1=x +b 得b =1, x
(2)因为A (2,3),所以根据图象得在y 轴的右侧,当y 1>y 2时,x >2.
20.(8分)某校在开展读书交流活动中全体师生积极捐书.为了解所捐书籍的种类,对部分
书籍进行了抽样调查,李老师根据调查数据绘制了如图所示不完整统计
图.请根据统计图回答下面问题:
第20题图
(1)本次抽样调查的书籍有多少本?
(2)求出图1中表示文学类书籍的扇形圆心角度数;
(3)本次活动师生共捐书1200本,请估计有多少本科普类书籍? 【考查内容】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图 【解】(1)8÷20%=40(本),其它类;40×15%=6(本),. (2)文学类书籍的扇形圆心角度数为:360×(3)普类书籍有:
14
=126°; 40
12×1200=360(本). 40
21.(8分)如图1,将矩形ABCD 沿DE 折叠,使顶点A 落在DC 上的点A ′处,然后将矩形展平,沿EF 折叠,使顶点A 落在折痕DE 上的点G 处.再将矩形ABCD 沿CE 折叠,此时顶点B 恰好落在DE 上的点H 处.如图2.
第21题图 图1 图2 (1)求证:EG =CH ;
(2)已知AF
AD 和AB 的长.
【考查内容】全等三角形的判定与性质. 【解】(1)证明:由折叠知AE =AD =EG ,BC =CH ,因为四边形ABCD 是矩形,所以AD =BC ,所以EG =CH ;
(2),∠FGE =∠A =90°,AF
∴DG
DF =2∴AD =AF +DF
; ∠ADE =45°由折叠知∠AEF =∠GEF ,∠BEC =∠HEC ,∴∠GEF +∠HEC =90°,∠AEF +∠BEC =90°,
,∴∠BEC =∠AFE ,在△AEF 与△BCE 中, ∠AEF +∠AFE =90°
⎧∠AFE =∠BEC
⎪
(AAS ), ∴AF =BE ∴AB =AE +BE
.⎨∠A =∠B =90∴△AEF ≌△BCE
⎪AE =BC ⎩
22.(10分)小明在课外学习时遇到这样一个问题:定义:如果二次函数y =a 1x 2+b 1x +c 1(a 1≠0, a 1, b 1, c 1是常数)与y =ax 22bx +2c +
2
(a 2≠0, a 2, b 2, c 2是常数)满足a 1+a 2=0,
b 1=b 2,c 1+c 2=0则称这两个函数互为“旋转函数”.求函数y =-x 2+3x -2的“旋转函
数”.小明是这样思考的:由函数y =-x 2+3x -2可知,a 1=-1, b 1=3, c 1=-2,根据
a 1+a 2=0,b 1=b 2,c 1+c 2=0求出a 2, b 2, c 2,就能确定这个函数的“旋转函数”.
请参考小明的方法解决下面问题:
(1)写出函数y =-x 2+3x -2的“旋转函数”; (2)若函数y =-x +(3)已知函数y =-
2
4
mx -2与y =x 2-2nx +n 互为“旋转函数”,求(m +n ) 2015的值. 3
1
(x +1)(x -4) 的图象与x 轴交于点A 、B 两点,与y 轴交于点C ,点2
A 、B 、C 关于原点的对称点分布是A 1, B 1, C 1,试证明经过点A 1, B 1, C 1的二次函数与函数
1
y =-(x +1)(x -4) 互为“旋转函数”.
2
【考查内容】二次函数综合题
【解】(1) a 1=-1, b 1=3, c 1=-2,∴-1+a 2=0, b 2=3, -2+c 2=0,-2+c 2=0,
∴a 2=11, b 2=3, c 2=2∴函数y =-x 2+3x -2的“旋转函数”y =x 2+3x +2;
(2)解:根据题意得
4
m =-2n -2+n =-4,解得m =-3, n =2 3
∴(m +n ) 2015=(-3+2) 2015=-1;
(3)证明:当x =0时, y =-
11
(x +1)(x -4) =2则C (0,2),-(x +1)(x -4) =0当y =0时,22
解得x 1=-1, x 2=4,则A (-1,0) ,B (4,0),因为点A 、B 、C 关于原点的对称点分布是A 1, B 1, C 1,所以A ,0), B 1(-4,0), C 1(0,-2) ,设经过点A 1, B 1, C 1的二次函数解析式为1(1
1
所以经过点A 1, B 1, C 12
11231
的二次函数解析式为y =(x -1)(x +4) =x +x -2,而y =-(x -1)(x +4) =
2222
133
-x 2+x +2,所以a 1+a 2=0, b 1+b 2= ,c 1+c 2=0,所以经过点A 1, B 1, C 1的二次222
1
函数与函数y =-(x +1)(x -4) 互为“旋转函数.
2
解得a 2=y =a 2(x -1)(x +4) 把C 1(0,-2) 代入得a 2⋅(-1) ⋅4=-2,
23.(10分)高铁的开通,给衢州市民出行带来了极大的方便,“五一”期间,乐乐和颖颖相约到杭州市的某游乐园游玩,乐乐乘私家车从衢州出发1小时后,颖颖乘坐高铁从衢州出发,先到杭州火车站,然后再转车出租车取游乐园(换车时间忽略不计),两人恰好同时到达游乐园,他们离开衢州的距离y (千米)与乘车时间t (小时)的关系如图所示.请结合图象解决下面问题:
(1)高铁的平均速度是每小时多少千米?
(2)当颖颖达到杭州火车东站时,乐乐距离游乐园还有多少千米?
(3)若乐乐要提前18分钟到达游乐园,问私家车的速度必须达到多少千米/小时?
第23题图 【考查内容】一次函数的应用 【解】(1)v =
240
=240. 2-1
答:高铁的平均速度是每小时240千米;
(2)设y =kt +b ,当t =1时,y =0,当t =2时,y =240,得:⎨
⎧0=k +b
⎩240=2k +b
⎧k =240解得:⎨故把t =1.5代入y =240t -240,得y =120,设y =at ,当t =1.5,
b =-240⎩
y =120,得k =80,∴y =80t ,当t =2,y =160,216-160=56(千米),所以乐乐距
离游乐园还有56千米;
(3)把y =216代入y =80t ,得t =2.7,2.7-
18216
=2.4(小时)=90(千米/时),. 602.4
27
,动点P 从A 点出发,沿射线2
所以乐乐要提前18分钟到达游乐园,私家车的速度必须达到90千米/小时. 24.(12分)如图,在△ABC 中,AB =5,AC =9,S △ABC =
AB 方向以每秒5个单位的速度运动,动点Q 从C 点出发,以相同的速度在线段AC 上由C 向A 运动,当Q 点运动到A 点时,P 、Q 两点同时停止运动,以PQ 为边作正方形PQEF (P 、Q 、E 、F 按逆时针排序),以CQ 为边在AC 上方作正方形QCGH . (1)求tan A 的值;
(2)设点P 运动时间为t ,正方形PQEF 的面积为S ,请探究S 是否存在最小值?若存在,求出这个最小值,若不存在,请说明理由;
(3)当t 为何值时,正方形PQEF 的某个顶点(Q 点除外)落在正方形QCGH 的边上,请直接写出t 的值.
第24题图
【考查内容】正方形综合题
S △ABC =【解】(1)如图1,过点B 作BM ⊥AC 于点M ,因为AC =9,
=271,所以AC ⋅BM 2227127,即⋅9⋅BM =,解得BM =3.由勾股定理,得AM
=4则222
3tan A =.
4
图1
(2)存在.如图2,过点P 作PN ⊥AC 于点N .依题意得AP =CQ =5t .因为tan A =
223所以42AN =4t ,PN =3t .所以QN =AC -AN -CQ =9-9t .根据勾股定理得到:PN +NQ =PQ
9b 1629==.因为-S 正方形PQEF =PQ 2=(3t ) 2+(9-9t ) 2=90t 2-162t +81(0
在t 的取值范围之内,所以S 最小值4ac -b 281=
=4a 10
图2
99;②如图4,当点F 在边HG 上时,t 2=; 1411
9t 4=. ③如图5,当点P 边QH (或点E 在QC 上)时, t 3=1;④如图6,当点F 边C 上时,7(3)①如图3,当点E 在边HG 上时,t 1=
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图3
图5 图4
图6
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